MAI QUANG VINH (Chủ biên) TRẦN THANH PHONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bình Dương, tháng 10 năm 2015 Mục lục Giới thiệu 4 1 VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 7 1 1 Khái niệm vectơ Các phép toán đối với vectơ 7 1 1 1 Khái niệm v.
MAI QUANG VINH (Chủ biên) - TRẦN THANH PHONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bình Dương, tháng 10 năm 2015 Mục lục Giới thiệu VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ 1.1.1 Khái niệm vectơ 1.1.2 Các phép toán vectơ 1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 1.1.4 Chiếu vectơ 1.1.5 Tích vơ hướng hai vectơ 1.2 Mục tiêu affine mặt phẳng 1.2.1 Mục tiêu affine-Tọa độ 1.2.2 Đổi mục tiêu affine 1.2.3 Tâm tỉ cự 1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Biểu thức tọa độ tích vô hướng 1.3.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn 1.3.4 Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ 1.4 Mục tiêu affine không gian 1.4.1 Mục tiêu affine không gian Tọa độ 1.4.2 Đổi mục tiêu affine không gian 1.5 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn 1.5.3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 1.5.4 Tích có hướng hai vectơ 1.5.5 Tích hỗn hợp ba vectơ 1.6 Phương trình đường mặt 1.6.1 Phương trình đường mặt phẳng 1.6.2 Mặt không gian 1.6.3 Đường không gian 1.6.4 Hai toán thường gặp Hình học giải tích 1.7 BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 2.1 Đường thẳng mặt phẳng 2.1.1 Phương trình đường thẳng mục 2.1.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.1.3 Chùm đường thẳng 2.1.4 Nửa mặt phẳng tiêu affine 7 10 12 13 15 15 17 21 22 22 22 23 26 27 27 28 31 31 32 35 35 37 38 38 40 43 44 45 51 51 51 53 54 55 MỤC LỤC 2.1.5 Phương trình đường thẳng hệ tọa độ trực chuẩn Mặt phẳng không gian 2.2.1 Phương trình mặt phẳng mục tiêu affine 2.2.2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 2.2.3 Chùm mặt phẳng 2.2.4 Nửa không gian 2.2.5 Phương trình mặt phẳng hệ tọa độ trực chuẩn Đường thẳng không gian 2.3.1 Phương trình đường thẳng không gian 2.3.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian 2.3.3 Vị trí tương đối mặt phẳng đường thẳng 2.3.4 Góc đường thẳng mặt phẳng 2.3.5 Góc hai đường thẳng không gian 2.3.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian 2.3.7 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.3.8 Áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học BÀI TẬP 56 58 59 61 62 63 65 67 67 69 70 70 71 ĐƯỜNG BẬC HAI 3.1 Ba đường conic 3.1.1 Đường tròn ellipse 3.1.2 Hyperbol parabol 3.1.3 Ba đường conic 3.1.4 Đường kính ba đường conic 3.1.5 Tiếp tuyến ba đường conic 3.1.6 Đường chuẩn ba đường conic 3.2 Đường bậc hai mặt phẳng với mục tiêu affine 3.2.1 Khái niệm 3.2.2 Phương trình tắc đường bậc hai 3.2.3 Giao đường bậc hai đường thẳng 3.2.4 Tâm đường bậc hai 3.2.5 Tiếp tuyến đường bậc hai 3.2.6 Phương tiệm cận đường tiệm cận 3.2.7 Đường kính liên hợp 3.3 Đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 3.4 Các bất biến đa thức bậc hai Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 3.4.1 Các bất biến đa thức bậc hai 3.4.2 Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 3.5 BÀI TẬP 83 83 83 86 87 89 93 96 98 98 98 103 105 106 108 109 111 118 118 123 128 MẶT BẬC HAI 4.1 Mặt tròn xoay 4.2 Mặt tròn xoay bậc hai 4.2.1 Mặt cầu 4.2.2 Ellipsoid tròn xoay 4.2.3 Hyperboloid trịn xoay 4.2.4 Paraboloid trịn xoay 4.2.5 Mặt nón tròn xoay 131 131 133 134 134 135 137 138 2.2 2.3 2.4 71 72 73 77 MỤC LỤC 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.2.6 Mặt trụ tròn xoay 4.2.7 Cặp mặt phẳng song song 4.2.8 Cặp mặt phẳng trùng Mặt bậc hai 4.3.1 Ellipsoid 4.3.2 Hyperboloid 4.3.3 Paraboloid 4.3.4 Mặt nón bậc hai 4.3.5 Mặt trụ bậc hai Mặt bậc hai không gian với mục tiêu affine 4.4.1 Phương trình tắc mặt bậc hai 4.4.2 Giao mặt bậc hai đường thẳng 4.4.3 Giao mặt bậc hai mặt phẳng 4.4.4 Tâm mặt bậc hai 4.4.5 Mặt kính liên hợp mặt bậc hai Mặt bậc hai không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 4.6.1 Khái niệm 4.6.2 Đường sinh thẳng hyperboloid tầng 4.6.3 Đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic BÀI TẬP 138 139 139 140 140 141 141 142 143 145 145 152 153 154 156 160 165 165 165 170 174 Tài liệu tham khảo 178 Danh mục từ khóa 180 Giới thiệu Quyển sách Hình học giải tích viết cho sinh viên học hình học bậc phổ thơng đại số tuyến tính bậc đại học Hơn nữa, tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu thêm hình học giải tích Trong sách này, chúng tơi hệ thống hóa khái qt hóa kiến thức hình học giải tích THPT bổ sung kiến thức giúp cho người đọc thấy nghiên cứu hình học nhiều phương pháp khác phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Phần lớn tính chất chứng minh chặt chẽ, tìm thấy tài liệu tham khảo, trừ chứng minh dễ dàng nhận dành cho bạn đọc xem tập Các tính chất khái niệm đối tượng xét mục tiêu (hệ tọa độ) phù hợp (affine hay trực chuẩn) Đồng thời, nhiều ví dụ trình bày chi tiết giúp cho việc tìm hiểu lí thuyết tốt Nội dung sách chia làm bốn chương Chương Vectơ tọa độ Trong chương này, khái niệm vectơ phép tốn vectơ trình bày kĩ Bên cạnh đó, khái niệm hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính, tâm tỉ cự tích hỗn hợp bổ sung Về phương pháp tọa độ, mục tiêu affine (hệ tọa độ xiên), hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng không gian trình bày kĩ, chặt chẽ sở với mong muốn giúp người đọc có nhìn thấu đáu tảng hình học Và qua đó, tìm hiểu hình học khác tốt hơn, chẳng hạn hình học affine, hình học Euclide Ở cuối chương, tọa độ cực, tọa độ trụ tọa độ cầu giới thiệu sơ lược để giúp người đọc thấy tồn nhiều hệ tạo độ khác bước đầu làm quen với sở cho mơn học Tốn khác Chương Đường thẳng-Mặt phẳng Khái niệm tính chất đường thẳng mặt phẳng khơng gian hệ thống hóa đầy đủ, với khái niệm tính chất mặt phẳng khơng gian Bên cạnh đó, chúng tơi cịn bổ sung vào phần nửa mặt phẳng nửa không gian, số ví dụ minh họa việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học Chương Đường bậc hai Ba đường conic (ellipse, hyperbol parabol) đối tượng quen thuộc giới thiệu trước tiên nhằm giúp người đọc dễ tiếp cận với đối tượng chương đường bậc hai tổng quát số chủ đề liên quan tâm, phương tiệm cận, Đồng thời, dấu hiệu để nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến đa thức bậc hai trình bày chi tiết đầy đủ Đây xem nội dung đặc biệt thú vị chương Chương Mặt bậc hai Mặt tròn xoay, mặt tròn xoay bậc hai mặt bậc hai đối tượng xét đến trước tiếp cận với mặt bậc hai tổng quát số chủ đề liên quan tâm, giao mặt bậc hai mặt phẳng, mặt bậc hai Và tính chất hai mặt kẻ bậc hai đặc biệt, hyperboloid tầng paraboloid hyperbolic (hay mặt yên ngựa), trình bày đầy đủ chi tiết Bên cạnh đó, hình ảnh minh họa cho cơng trình xây dựng thực tế mơ theo số mặt bậc hai đặc biệt Giới thiệu trình bày nhằm giúp người đọc thấy tốn học khơng phải xa rời thực tế Việc nắm vững số kiến thức không gian vectơ sở tọa độ vectơ, dạng toàn phương Đại số tuyến tính cần thiết để tiếp cận nội dung sách cách thuận lợi Ở cuối chương có phần tập phong phú để thực hành củng cố nội dung lí thuyết trình bày trước Làm nhiều tập tốt cho việc tìm hiểu nắm vững kiến thức liên quan, việc học Tốn học Có thể nói sách kết việc tổng hợp chọn lọc phần ưu điểm tài liệu tham khảo Việc tóm tắt lí thuyết cho chương sau học cần thiết thú vị Vì vậy, việc dành cho người đọc Hy vọng sách giúp ích cho sinh viên ngành Tốn dùng làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Và xin cảm ơn bạn đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp ý kiến để sách hoàn thiện Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để sách tốt Bình Dương, tháng 11 năm 2015 Tác giả Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 1.1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ Khái niệm vectơ Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng không gian, cho hai điểm A B Đoạn thẳng AB thứ tự hai điểm mút gọi vectơ hay đoạn thẳng có hướng Một điểm gọi điểm đầu, điểm lại gọi −→ điểm cuối Đường thẳng (AB) gọi giá vectơ AB −→ Nếu A điểm đầu, B điểm cuối vectơ kí hiệu AB Vectơ cịn có → − − − − thể kí hiệu → a , b ; , → x ,→ y , −→ Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài hay module AB kí hiệu −→ −→ −→ −→ độ dài AB |AB| Suy hai vectơ AB BA có độ dài −→ −−→ Định nghĩa 1.1.2 Hai vectơ AB CD gọi hai vectơ phương hay cộng tính đường thẳng AB CD song song trùng −→ −−→ Hai vectơ phương AB CD gọi hướng xảy hai trường hợp sau (xem Hình 1.1): (i) Nếu hai đường thẳng AB CD song song hai điểm B D nằm phía đường thẳng AC (ii) Nếu hai đường thẳng AB CD trùng hai tia AB (gốc A) tia CD (gốc C) chứa tia D B C A B C A Hình 1.1: Hai vectơ hướng D Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Hai vectơ phương mà khơng hướng gọi hai vectơ ngược hướng → − → − − − Định nghĩa 1.1.3 Hai vectơ → a b gọi nhau, kí hiệu → a = b, chúng có hướng độ dài − − − Vectơ đối vectơ → a , kí hiệu −→ a , vectơ ngược hướng với → a có độ dài → − với độ dài a −→ −−→ Đặc biệt, vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA, M M , → − gọi vectơ-khơng, kí hiệu Độ dài vectơ-không Quy ước: vectơ-không phương hướng với vectơ Từ suy vectơ-khơng 1.1.2 Các phép toán vectơ Cộng trừ vectơ → − − Định nghĩa 1.1.4 Tổng hai vectơ → a b vectơ xác định −→ − sau: từ điểm O tùy ý không gian, dựng vectơ OA = → a , từ A dựng → − −→ −−→ → − vectơ AB = b (xem Hình 1.2) Vectơ c = OB gọi vectơ tổng hai → − → − − −c = → − vectơ → a b Kí hiệu → a + b − − − Tương tự, ta định nghĩa tổng n vectơ → a ,→ a , , → a n A → − b → − a O → − → −c = → − a + b B Hình 1.2: Cộng vectơ Từ định nghĩa suy phép cộng vectơ có tính chất sau → − → − − − Mệnh đề 1.1.5 (i) Giao hoán: → a + b = b +→ a → − → − − −c = → − −c ) (ii) Kết hợp: (→ a + b )+→ a +( b +→ → − − − (iii) Có vectơ không: → a + =→ a → − → − → − (iv) Có vectơ đối: a + (− a ) = → − −→ −→ −−→ − − Chứng minh (i) Đặt OA = → a , AB = b BC = → a xem Hình 1.3 Khi đó, OACB hình bình hành theo định nghĩa tổng hai vectơ, ta có → − −→ −→ −−→ → − a + b = OA + AB = OB, → − → −→ −−→ −→ b +− a = AB + BC = AC → − → − − − =⇒ → a + b = b +→ a Chứng minh phần (ii), (iii), (iv) hoàn toàn tương tự với chứng minh 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ Hình 1.3: → − − Nhận xét 1.1.6 Vectơ tổng → a + b vectơ đường chéo hình bình hành nên người ta cịn nói phép cộng hai vectơ thực theo quy tắc hình bình hành Định nghĩa phép cộng hai vectơ phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng qui học → − → − − − − Định nghĩa 1.1.7 Hiệu hai vectơ → a b , kí hiệu → a − b , vectơ → x → − → → − − → − → − → − cho b + x = a Người ta gọi vectơ x vectơ hiệu viết x = a − b Nhân số với vectơ − − Định nghĩa 1.1.8 Tích số k với vectơ → a vectơ, kí hiệu k → a, − − − có độ dài |k|.|→ a |, hướng với vectơ → a k > 0, ngược hướng với → a k < (xem Hình 1.4) → − a → − a → − − b = k→ a (k > 0) → − − b = k→ a (k < 0) Hình 1.4: Nhân số với vectơ Phép nhân số với vectơ có tính chất sau Các chứng minh xem tập → − − Mệnh đề 1.1.9 Với vectơ → a , b số thực k, l tùy ý, ta có − − (i) 1.→ a =→ a → − − (ii) (−1) a = −→ a → − − (iii) k(l a ) = (kl)→ a → − → − → − − (iv) k( a + b ) = k → a +k b − − − (v) (k + l)→ a = k→ a + l→ a Khái niệm vectơ phép toán vectơ định nghĩa mục làm cho mặt phẳng không gian trở thành không gian vectơ trừu tượng theo nghĩa Đại số tuyến tính Tuy nhiên, mục tiêu muốn có tài liệu tham khảo phù hợp với người đọc học sinh phổ thông nên khái niệm phép tốn trình bày cách sơ cấp Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 68 Đặt z = t, ta có hệ phương trình hai ẩn x y sau Ax + By A = −(Ct + D) x + B y = −(C t + D ) Giải hệ phương trình ta tính x, y theo tham số t −(Ct + D) B −(C t + D ) B x= =: pt + x0 ; A B A B A −(Ct + D) A −(C t + D ) y= =: qt + y0 , A B A B ta có phương trình tham số x = pt + x0 y = qt + y0 z = t, → − u = í B C C A B C C A , ,1 A B A B A B A B = (p, q, 1) Vậy, lấy vectơ phương l → − v = Ç B C C A A B , , B C C A A B å Ví dụ 2.3.2 Cho hai mặt phẳng có phương trình P : x + y + 2z + = Q : 2x + y − z − = Chứng minh hai mặt phẳng P Q cắt tìm vectơ phương giao tuyến Giải Ta có (1 : : 2) = (2 : : −1) nên hai mặt phẳng cắt Vectơ phương giao tuyến Ç B C C A A B , , B C C A A B = (−3, 5, −1) → − u = å Ç = 1 1 , , −1 −1 2 å − hay → v = (3, −5, 1) Phương trình đường thẳng qua hai điểm Cho đường thẳng l qua M1 (x1 , y1 , z1 ) M2 (x2 , y2 , z2 ) Khi đó, ta xem l −−−−→ đường thẳng qua M1 có vectơ phương M1 M2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) Ta có phương trình l x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y z2 − z1 Đây phương trình đường thẳng l qua hai điểm cho 2.3 Đường thẳng không gian 69 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Điều kiện cần đủ để ba điểm M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) M3 (x3 , y3 , z3 ) thẳng hàng điểm M3 thuộc đường thẳng M1 M2 , tức x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 2.3.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian − Cho đường thẳng l1 qua điểm M1 (x1 , y1 , z1 ) có vectơ phương → u1 = → − (p1 , q1 , r1 ), đường thẳng l2 qua M2 (x2 , y2 , z2 ) có vectơ phương u2 = (p2 , q2 , r2 ) −−−−→ Ta có vectơ M1 M2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) Có thể xét vị trí tương đối hai đường thẳng cho dựa ba vectơ −−−−→ → − − u1 , → u2 , M1 M2 −−−−→ − − • Hai đường thẳng l l đồng phẳng ba vectơ → u ,→ u ,M M 2 đồng phẳng Khi đó, − − u1 → u2 khơng cộng tuyến, l1 l2 cắt – → −−−−→ − − – → u1 → u2 cộng tuyến chúng khơng cộng tuyến với M1 M2 , l1 l2 song song −−−−→ − − – → u ,→ u M M cộng tuyến đôi một, l l trùng 2 −−−−→ − − • Hai đường thẳng l1 l2 chéo ba vectơ → u1 , → u2 M1 M2 không đồng phẳng Như vậy, xét định thức p1 q1 r1 p2 q2 r2 D= x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 • Nếu D = – (p1 : q1 : r1 ) = (p2 : q2 : r2 ), hai đường thẳng cắt – (p1 : q1 : r1 ) = (p2 : q2 : r2 ) = (x2 − x1 : y2 − y1 : z2 − z1 ), l1 l2 song song – (p1 : q1 : r1 ) = (p2 : q2 : r2 ) = (x2 − x1 : y2 − y1 : z2 − z1 ) l1 l2 trùng • Nếu D = 0, hai đường thẳng chéo y−6 z−2 x−6 x−8 Ví dụ 2.3.3 Cho hai đường thẳng l : = = l : = y−4 z−1 = Giải Ta có 4 D= = = 8−6 6−4 2−1 2 Do (4 : : 1) = (8 : : 2) = (2 : : 1) nên hai đường thẳng cho song song Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 70 2.3.3 Vị trí tương đối mặt phẳng đường thẳng Trong không gian, cho đường thẳng l có phương trình x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct , a2 + b2 + c2 = 0, mặt phẳng P có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B + C = Để tìm tọa độ giao điểm l P ta thay biểu thức x, y, z phương trình l vào phương trình P Khi đó, ta thu A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = ⇔ (Aa + Bb + Cc)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = Bởi vậy, • đường thẳng l cắt mặt phẳng P Aa + Bb + Cc = • đường thẳng l song song với P Aa + Bb + Cc = Ax0 + By0 + Cz0 + D = • đường thẳng l nằm P Aa + Bb + Cc = Ax0 + By0 + Cz0 + D = Khi l cho phương trình tổng qt ta đưa phương trình tham số, P cho tham số ta đưa phương trình tổng quát xét 2.3.4 Góc đường thẳng mặt phẳng Góc α đường thẳng l mặt phẳng P định nghĩa sau • Nếu l ⊥ (P ), α = 900 • Nếu l khơng vng góc với P, α góc đường thẳng l hình chiếu vng góc l P Từ định nghĩa suy gọi β góc đường thẳng l đường thẳng − − − vng góc với P α + β = 900 hay sin β = cos α = | cos(→ u ,→ n )| với → u vectơ → − phương đường thẳng l vectơ n vectơ pháp tuyến mặt phẳng P Nếu mặt phẳng P có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B + C = 0, đường thẳng l có phương trình x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct , a2 + b2 + c2 = góc α l P tính theo cơng thức sin α = √ |Aa + Bb + Cc| √ , A2 + B + C a2 + b2 + c2 ≤ α ≤ 900 Đặc biệt, l song song với P l ⊂ P Aa + Bb + Cc = 2.3 Đường thẳng không gian 71 Hình 2.3: 2.3.5 Góc hai đường thẳng khơng gian Góc hai đường thẳng l l góc vectơ phương chúng Gọi ← − π − u = (p, q, r), u = (p , q , r ) α, α ∈ [0, ], góc hai đường thẳng l l , → vectơ phương l l Khi đó, α tính theo cơng thức sau pp + qq + rr » cos α = cos(l, l ) = » p + q + r2 p2 + q + r2 Đặc biệt, l ⊥ l ⇔ pp + qq + rr = 2.3.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian Cho điểm M1 (x1 , y1 , z1 ) đường thẳng l có phương trình tắc y − y0 z − z0 x − x0 = = p q r − Đường thẳng l qua điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) có vectơ phương → u = (p, q, r) −−−−→ − − → → − Vectơ M0 M1 u = M0 I tạo thành hình bình hành M0 M1 N I có diện tích S −−−−→ − Ta có S = |M M ∧ → u | Đường cao HM hình bình hành khoảng cách 1 từ M1 đến đường thẳng l −−−−→ − |M0 M1 ∧ → u| S d(M1 , l) = HM1 = −−→ = → − |u| |M0 I| Mà −−−−→ → M0 M1 ∧ − u = Ç y1 − y0 z1 − z0 z1 − z0 x1 − x0 x1 − x0 y1 − y0 , , q r r p p q å −−−−→ − ⇒ S = |M0 M1 ∧ → u| à = 2 y1 − y0 z1 − z0 z − z0 x1 − x0 x − x0 y1 − y0 + + q r r p p q Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 72 Vậy, khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng l à d(M1 ; l) = 2 y1 − y0 z1 − z0 z − z0 x1 − x0 x − x y − y0 + + q r r p p q » p2 + q + r 2 Ví dụ 2.3.4 Hãy tính khoảng cách từ điểm M (0, 1, 1) đến đường thẳng x =1+t l : y = −t z = Giải − Ta có l có vectơ phương → u = (1, −1, 0) qua điểm M0 (1, 0, 2) Áp dụng cơng thức tính khoảng cách, ta có −−−→ − |M0 M ∧ → u| |(−1, 1, −1) ∧ (1, −1, 0)| d(M, l) = = − |→ u| |(1, −1, 0)| |(−1, −1, 0)| √ = = 2.3.7 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng l l chéo có phương trình tham số x = x0 + at l : y = y0 + bt z = z0 + ct x = x0 + a s l : y = y0 + b s z = z0 + c s − − Gọi M0 (x0 , y0 , z0 ) M0 (x0 , y0 , z0 ) Do vectơ → u = (a, b, c), → v = (a , b , c ) −−−−→ M0 M0 không đồng phẳng nên định thức cấp ba tọa độ chúng khác không Khoảng cách l l khoảng cách từ mặt phẳng P qua l song song với l đến mặt phẳng P’ qua l song song với l −−−−→ − − Gọi V thể tích hình hộp tạo ba vectơ → u ,→ v , M0 M0 S diện tích hình − − bình hành tạo hai vectơ → u ,→ v Vậy, −−−−→ − − |[→ u ,→ v , M0 M0 ]| V = = d(l, l ) = − − S |→ u ∧→ v| a b c a b c x0 − x0 y0 − y0 z0 − z0 à 2 c a a b b c + + a b b c c a Ví dụ 2.3.5 Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng x =1+t l : y = t z=0 x =s l : y = z = 2s 2.3 Đường thẳng không gian 73 Giải − Đường thẳng l qua M (1, 0, 0) có vectơ phương → u = (1, 1, 0) Đường → − thẳng l qua M (0, 1, 0) có vectơ phương v = (1, 0, 2) Ta có −−−→ → − − u ∧→ v = (2, −2, −1), M M = (−1, 1, 0) Do đó, khoảng cách cần tìm −−−→ − − |[→ u ,→ v , M M ]| = d(l, l ) = → − → − |u ∧ v| 2.3.8 Áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học Ngồi cách giải toán suy luận tổng hợp biết phổ thơng, Hình học giải tích, tốn hình học cịn giải phương pháp tọa độ Bằng cách chọn hệ trục tọa độ đó, ta đưa giả thiết kết luận tốn Hình học giả thiết kết tốn Đại số Do đó, cần tính tốn, biến đổi đến kết luận nhờ kiến thức đại số Vấn đề phải chọn hệ tọa độ cho tính tốn đơn giản Sau số ví dụ cách giải tốn hình học phương pháp tọa độ qua thấy nên chọn hệ tọa độ Ví dụ 2.3.6 (1) Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng l1 l2 cắt điểm K khơng nằm hai đường thẳng Hai đường thẳng phân biệt thay đổi l l , qua K cắt l1 l2 Ta gọi A = l ∩ l1 , B = l ∩ l2 , A = l ∩ l1 , B = l ∩ l2 Tìm quỹ tích giao điểm M hai đường thẳng AB’ A’B Giải Gọi O giao điểm (l1 ) (l2 ) Lấy hai điểm I ∈ l1 J ∈ l2 cho −−→ −→ −→ −→ → − −→ → − OK = OI + OJ đặt OI = i , OJ = j → − → − Ta chọn mục tiêu affine (O; i , j ) Khi đó, điểm K có tọa độ (1, 1) Giả sử giao điểm có tọa độ A(a, 0), B(0, b), A (a , 0), B (0, b ) Khi đó, đường thẳng x y l có phương trình + = 1, l qua K(1, 1) nên ta có a b 1 (2.16) l: + =1 a b Tương tự, ta có 1 + =1 (2.17) a b Các đường thẳng AB A B có phương trình x y (2.18) (AB ) : + = 1, a b x y + = (2.19) a b Điểm M giao điểm AB A B tọa độ M thỏa mãn (2.18) (2.19) Suy phải thỏa mãn phương trình sau (bằng cách trừ hai phương trình đó) Ç å Ç å 1 1 − x+ − y=0 (2.20) a a b b l : Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 74 Chú ý rằng, từ hai điều kiện (2.16) (2.17) suy (bằng cách trừ hai đẳng thức đó) 1 1 − = − a a b b Từ (2.20) trở thành phương trình x + y = Vậy, M thuộc đường thẳng có phương trình l : x + y = Ngược lại, giả sử M0 (x0 , y0 ) điểm đường thẳng l M0 ≡ O Ta lấy số tùy ý khác 1, xác định số b, a , b cho: 1 1 1 1 + = 1, − = , − = a b a b x0 a b x0 1 Khi đó, ta có + = a b Gọi A(a, 0), B(0, b), A (a , 0), B (0, b ) Gọi l1 l2 đường thẳng AB A B phương trình l1 l2 1 1 + = + = a b a b Điều chứng tỏ l1 l2 qua K(1, 1) Các đường thẳng AB A B có phương trình x y x y + = + = a b a b Thay tọa độ (x0 , −x0 ) điểm M0 vào hai phương trình ta suy AB A B cắt M0 Vậy, quỹ tích M đường thẳng x + y = Chú ý Đối với toán dùng hệ tọa độ trực chuẩn phức tạp Nếu dùng mục tiêu affine hiển nhiên chọn đường thẳng l1 l2 làm trục tọa độ O gốc tọa độ Khi đó, K có tọa độ (x0 , y0 ) Vì giả thiết K khơng thuộc (l1 ) (l2 ) nên ta chọn vectơ sở mục tiêu cho K có tọa độ (1, 1) để phép tính đơn giản (2) Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a b cắt Tìm quỹ tích điểm M cho tích khoảng cách từ M tới a b số không đổi k = Giải Do tính đối xứng cặp đường thẳng cắt nên ta chọn hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho Ox Oy hai đường phân giác góc hợp hai đường thẳng a b Khi đó, phương trình đường thẳng a b a : x + py = b : x − py = Nếu M (x, y) khoảng cách từ M tới a b d = d(M ; a) = |x − py| |x + py| , d = d(M ; b) = » 1+p + p2 » Do đó, ta tìm quỹ tích điểm M cho d.d = k , nghĩa |x + py| |x − py| |x2 − p2 y | » = k ⇔ = k2 2 + p 1+p 1+p ⇔ x2 − p2 y = ±k (1 + p2 ) » 2.3 Đường thẳng không gian 75 Vậy, quỹ tích điểm M hai đường hyperbol (3) Cho ba tia Ox, Oy Oz không đồng phẳng xuất phát từ điểm O không gian Trên tia đó, lấy điểm A, B C di động cho 1 1 + + = , với k số khác Chứng minh mặt phẳng OA OB OC k (ABC) qua điểm cố định Giải − − → − → − → → − → − → Chọn mục tiêu affine (O; i , j , k ) với vectơ i , j , k nằm tia Ox, Oy, Oz, xem Hình 2.4 Hình 2.4: Minh họa cho ví dụ → − −→ → − −−→ → − −→ Giả sử OA = a i , OB = b j , OC = c k Phương trình mặt phẳng (ABC) x y z + + = a b c Theo giả thiết, ta có 1 1 + + = a b c k Do đó, k k k + + =1 a b c Vậy, điểm M (k, k, k) cố định luôn thuộc mặt phẳng (ABC) (4) Cho hai hình vng ABCD BKM N có chung đỉnh B đỉnh M nằm DB kéo dài Chứng minh trung tuyến BE tam giác ABK nằm đường thẳng chứa đường cao BH tam giác BN C Giải −−→ −→ Chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc (B; BC, BA) Ta có B(0, 0), C(1, 0), A(0, 1), D(1, 1), xem Hình 2.5 76 Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG Hình 2.5: Minh họa cho ví dụ n Giả sử N (0, −n) Khi đó, K(−n, 0) E − , Do đó, 2 Ç å −−→ n −−→ BE = − , , N C = (1, n) 2 −−→ −−→ n ⇒ BE.N C = − + n = 2 Ç å Vậy, BE ⊥ N C hay BE nằm đường thẳng chứa đường cao tam giác BN C Chú ý Đối với toán liên quan tới khoảng cách, hay tổng quát toán liên quan đến định lượng, khơng thể dùng hệ tọa độ affine mà phải dùng hệ tọa độ trực chuẩn Người đọc tham khảo thêm chủ đề [4] 2.4 BÀI TẬP 2.4 77 BÀI TẬP Bài tập mặt phẳng với mục tiêu affine 2.1 Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng trường hợp sau (a) Đi qua hai điểm (1, 1) (−1, (b) Đi qua điểm (−1, 1) song song với đường thẳng x + y − = (c) Đi qua A(1, −1) cắt hai trục tọa độ B C cho A trung điểm BC 2.2 Hai cạnh tam giác có phương trình 2x − y = 3x + y − = Một đường trung tuyến có phương trình x = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác biết qua điểm (4, −2) 2.3 Tìm quỹ tích tâm hình bình hành nội tiếp tứ giác cho cho cạnh chúng song song với đường chéo tứ giác 2.4 Một cạnh tam giác có phương trình x − y + = hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh cịn lại có phương trình 3x + 2y − = 3x − 8y + 17 = Hãy viết phương trình hai cạnh cịn lại 2.5 Cho hình bình hành có hai cạnh kề a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = tâm I(x0 , y0 ) Hãy viết phương trình hai cạnh cịn lại hình bình hành 2.6 Hãy viết phương trình cạnh hình bình hành ABCD biết tâm I(7/2, 6) cạnh AB, BC, CD, DA qua điểm E(−2, 3), F (4, −1), G(13, 4), H(0, −2) 2.7 Cho tam giác ABC Gọi A , B , C ba điểm cho −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ A B = aA C, B C = bB A, C A = cC B Tìm mối liên hệ a, b, c cho (a) Ba điểm A , B , C thẳng hàng (b) Ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy 2.8 Tìm điều kiện cần đủ để điểm M (x0 , y0 ) nằm tam giác có ba cạnh a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = a3 x + b3 y + c3 = 2.9 Cho hai đường thẳng cắt a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = điểm M0 (x0 , y0 ) không nằm hai đường thẳng Tìm điều kiện để điểm M (x, y) nằm góc tạo hai đường thẳng chứa điểm M0 2.10 Cho bốn điểm A(2, 4), B(6, 5), C(5, 2), D(1, 1) Chứng minh bốn điểm bốn đỉnh hình bình hành Tìm hệ bất phương trình xác định miền hình bình hành 2.11 Cho hai hình bình hành ABCD A B C D Ta kí hiệu I, J, K, L trung điểm tương ứng cặp điểm (A, A ), (B, B ), (C, C ), (D, D ) Chứng minh IJKL hình bình hành 2.12 Cho hai số tự nhiên p, q cho p + q = n với n ≥ n điểm phân biệt đôi A1 , A2 , , An Chứng minh tồn đường thẳng L mặt phẳng tách điểm A1 , , An cho phía có p điểm phía q điểm lại 2.13 Cho A, B, C, A , B, C sáu điểm phân biệt đôi cho A, B, C thẳng hàng A , B , C thẳng hàng Chứng minh AB song song BA , BC song song CB AC song song với CA Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 78 2.14 (Định lí Pappus) Cho l l hai đường thẳng, ba điểm A, B, C thuộc l, ba điểm A , B , C thuộc l Giả sử (AB ) ∩ (BA ) = {C }, (BC ) ∩ (CB ) = {A }, (CA ) ∩ (AC ) = {B } Chứng minh A , B , C thẳng hàng Bài tập mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 2.15 Cho hai hệ tọa độ trực chuẩn Oxy O x y Đối với hệ tọa độ Oxy, đường thẳng O x O y có phương trình x + y = x − y + = Viết công thức đổi tọa độ từ Oxy sangO x y biết (a) (Ox, O x ) = 450 (Oy, O y ) = 1350 ; (b) (Ox, O x ) = 450 (Oy, O y ) = 3150 2.16 Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(2, 3) C(3, 5) Hãy viết phương trình đường cao tìm tọa độ trực tâm tam giác 2.17 Cho tam giác ABC với A(−4, 0), B(−1, 3) trực tâm H(−1, −1) Tìm tọa độ đỉnh C 2.18 Hai cạnh tam giác có phương trình x + 4y − 14 = 2x − y + = gốc tọa độ O trực tâm Tìm phương trình cạnh thứ ba 2.19 Tam giác ABC có A(−2, 4) hai đường cao 4x − y = 0, x + 2y = Hãy viết phương trình cạnh BC 2.20 Viết phương trình hai đường thẳng qua A(4, 1), B(1, 4) biết đường thẳng x + 2y = phân giác góc hợp hai đường thẳng 2.21 Viết phương trình cạnh hình thang cân biết trung điểm cạnh đáy I(−2, 2) O(0, 0), hai điểm M (1, 4), N (−4, −2) nằm hai cạnh bên 2.22 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(5, 4) tiếp tuyến đường trịn có tâm I(1, 2), bán kính √ 2.23 Chứng minh đường thẳng ax + by + a2 + b2 = với a, b thay đổi tiếp xúc với đường tròn cố định 2.24 Viết phương trình cạnh hình vng nội tiếp đường trịn tâm I(1, 1), bán kính 3, biết đường chéo hình vng song song với đường thẳng có phương trình x + 2y = 2.25 Viết phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng x + 7y = x − y − = góc chứa điểm (1, 2) 2.26 Tìm tâm bán kính đường trịn qua điểm I(−1, 3) tiếp xúc với hai đường thẳng 7x + y = x − y + = 2.27 Tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác có ba cạnh có phương trình x + 7y − = 0, x − y − = 0, 3x + 4y + = 2.28 Viết phương trình đường phân giác góc lớn tam giác có ba cạnh x + 7y − = 0, x − y − = 0, 3x + 4y + = Bài tập không gian với mục tiêu affine 2.29 Viết phương trình mặt phẳng P (a) song song với mặt phẳng x + y = qua điểm A(1, 1, 3); 2.4 BÀI TẬP 79 (b) qua trục Ox điểm B(1, 2, 1); (c) song song với trục Oy qua hai điểm C(1, 1, 0), D(2, 1, 1) 2.30 Viết phương trình tham số đường trung tuyến qua đỉnh C tam giác ABC biết A(1, 1, 3), B(2, 1, 0) C(0, 1, 3) 2.31 Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng 2x + y −1=0 l: 3x − y + = 3x + 2y l : −1=0 x − 2y = 2.32 Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình tham số sau x = + u + v x = t − s P : y = − u − 2v P : y = − t z=v z = −1 + s 2.33 Hãy viết phương trình tham số, phương trình tổng quát phương trình tắc đường thẳng qua điểm A(1, 1, −2) có vectơ phương → − u = (1, −1, −2) 2.34 Hãy viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng x + y l: −z =0 2x − 3y + 4z − = song song với đường thẳng x + y − 2z = l : 2x + y + 4z − = 2.35 Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2, −1, 1), song song với mặt phẳng P : x − y + z − = cắt trục Oz 2.36 Cho đường thẳng ∆ có phương trình x + y −1=0 − z + = 2x + y Hãy viết phương trình hình chiếu ∆ mặt phẳng Oxy theo phương chiếu Oz 2.37 Cho đường thẳng x − ky +z+2=0 l: 2kx − 2y + 3z + = Với giá trị k đường thẳng l (a) nằm mặt phẳng Ozx (b) nằm mặt phẳng Oxy (c) nằm mặt phẳng P1 : z − = (d) song song với mặt phẳng P2 : x − z − = (e) cắt mặt phẳng P3 : x − y − z − = điểm Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 80 2.38 Cho ba đường thẳng x = − 2t l1 : y = t z =1+t , x =s l2 : y = + 2s z = −1 + s , x + y l3 : −2=0 2x − z + = Hãy viết phương trình đường thẳng l song song với đường thẳng l3 cắt hai đường thẳng l1 , l2 2.39 Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1, 0, 1) cắt hai đường thẳng x y−1 z+1 l1 : = = −1 x =1−t l2 : y = z = + t 2.40 Cho A, B, C, D bốn điểm không thẳng hàng, M, N, P, Q điểm lấy theo thứ tự đường thẳng AB, BC, CD, DA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng M A N B P C QD · · · = M B N C P D QA 2.41 Cho ba đường thẳng l1 , l2 , l3 đồng quy điểm O, ba mặt phẳng P1 , P2 , P3 song song, P1 , P2 khơng đối xứng qua O Gọi A1 , B1 , C1 giao điểm theo thứ tự P1 với l1 , l2 , l3 , A2 , B2 , C2 giao điểm theo thứ tự P2 với l1 , l2 , l3 , A3 , B3 , C3 giao điểm theo thứ tự P3 với l1 , l2 , l3 , (B1 C2 ) ∩ (B2 C1 ) = {L}, (C1 A2 ) ∩ (C2 A1 ) = {M }, (A1 B2 ) ∩ (A2 B1 ) = {N } Chứng minh đường thẳng (LA3 ), (M B3 ), (N C3 ) đồng quy song song 2.42 Cho A1 , A2 , A3 , A4 bốn điểm không đồng phẳng điểm M Giả sử (M A1 A2 ) ∩ (A3 A4 ) = {B1 }, (M A2 A3 ) ∩ (A4 A1 ) = {B2 }, (M A3 A4 ) ∩ (A1 A2 ) = {B3 }, (M A4 A1 ) ∩ (A2 A3 ) = {B4 } Chứng minh bốn điểm B1 , B2 , B3 , B4 đồng phẳng → − − 2.43 Cho A, B, C A , B , C sáu điểm cho tồn vectơ → u = α, β, γ ∈ R∗ thỏa mãn (i) A, B, C không thẳng hàng; − (ii) → u không thuộc phương mặt phẳng (ABC); −−→ −−→ −−→ − − − (iii) AA = α→ u , BB = β → u , CC = γ → u Chứng minh tồn đường thẳng song song với ba mặt phẳng (A BC), (AB C), (ABC ) 1 + + = α β γ 2.4 BÀI TẬP 81 Bài tập khơng gian với hệ tọa độ trực chuẩn 2.44 Tính khoảng cách từ điểm M (1, 1, 1) đến mặt phẳng qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) C(0, 0, 3) 2.45 Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ vng góc với hai mặt phẳng P1 : x − y + = 0, P2 : x + y − z + = 2.46 Viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A(1, 2, 1), B(1, 1, 0) vng góc với mặt phẳng P : x − y − 3z + = 2.47 Viết phương trình mặt phẳng vng góc với mặt phẳng P : x − y + 4z − = qua giao tuyến mặt phẳng P với mặt phẳng Q : x − 2y + = 2.48 Tính đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện ABCD biết A(1, 1, 1), B(1, 1, 3), C(1, 2, 2) D(2, 1, 4) 2.49 Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng x−y +z = khoảng cách từ điểm A(1, 1, 5) đến P 2.50 Tính khoảng cách từ điểm A(1, −1, 3) đến đường thẳng x − y l: + 2z = x − y + = 2.51 Cho hai đường thẳng x − =0 l: 2y − z + = x + 2y − 2z − = l : 2x + y − z + = (a) Tính khoảng cách hai đường thẳng (b) Tính góc chúng (c) Viết phương trình đường vng góc chung chúng 2.52 Cho đường thẳng ∆ có phương trình x + y −1=0 − z + = 2x + y Hãy viết phương trình hình chiếu ∆ trường hợp sau (a) Trên mặt phẳng Oxy theo phương chiếu Oz (b) Trên mặt phẳng P : x − y + 2z − = theo phương chiếu vng góc (c) Trên mặt phẳng x = + 2t P : y = + t − s z = −1 − t + s theo phương chiếu vng góc 2.53 Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt I, J, K, L, M, N trung điểm cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, KL, M N có trung điểm 2.54 Cho bốn điểm A, B, C, D, λ, µ ∈ R, M, N, P, Q điểm xác định −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ AM = λAB, DN = λDC, AP = µAD, BQ = µBC Chứng minh đường thẳng (M N ) (P Q) đồng phẳng 82 Chương ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG ... sách Hình học giải tích viết cho sinh viên học hình học bậc phổ thơng đại số tuyến tính bậc đại học Hơn nữa, tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu thêm hình học giải tích. .. chuẩn (xem Hình 1.9) Hệ tọa độ trực chuẩn gọi hệ tọa độ Descartes vng góc y → − j → − i O x Hình 1.9: Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng Những tính chất với hệ tọa độ affine với hệ tọa độ trực chuẩn... thay x = y = vào công thức đổi hệ tọa Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 26 √ é √ 3 , − 2 Ñ Vậy, M 1.3.4 − →− → (O ; i , j ) = Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ → − → − → − → − Đổi hệ tọa độ trực chuẩn