phat hien tinh chat dac trung cua hinh hoc phang de ap dung vao bai toan hinh hoc giai tich trong mat phang lop 10 1715

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ  TRƯỜNG THPT N ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HIỆN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH  HỌC PHẲNG ĐỂ ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN HÌNH  HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG LỚP 10        Người thực hiện:  Lê Bá Tn    Chức vụ:  Giáo viên    SKKN thuộc mơn:  Tốn MỤC LỤC 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài                                                                          1      2. Mục đich nghiên cứu                                                                     1 3. Đối tượng thời gian nghiên cứu                                                     1 4. Phương pháp nghiên cứu                                                               1 2. NỘI DUNG  Cơ sở lý luận                                                                                2 Thực trạng vấn đề                                                                        17 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện                                              18 Hiệu quả của đề tài                                                                      18  3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ   Kết luận                                                                                        19 Kiến nghị                                                                                      19 1. MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài       Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình  học phổ  thơng đó là phương pháp toạ  độ  trong mặt phẳng. Đây là phần tiếp  nối của hình học phẳng  ở cấp Trung học cơ  sở  nhưng được nhìn dưới quan  điểm đại số  và giải tích. Như  vậy, mỗi bài tốn hình học toạ  độ  trong mặt   phẳng đều mang bản chất của một bài tốn hình học phẳng nào đó. Tuy  nhiên, khi giải các bài tốn hình học toạ độ học sinh thường khơng chú trọng  đến bản chất hình học của bài tốn  ấy, một phần vì học sinh ngại hình học  phẳng vì cứ  nghĩ hình học phẳng là khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng  khơng chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh. Do đó, hiệu quả giải tốn  khơng cao mà sự  phân loại dạng tốn, phương pháp giải tốn cũng khơng rõ  ràng. Thực tế u cầu trong việc giảng dạy chỉ phải trang bị cho học sinh một   hệ  thống các phương pháp suy luận giải tốn hình học toạ  độ  trong mặt  phẳng. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi muốn nêu ra một  cách định hướng tìm lời giải bài tốn hình học toạ  độ  trong mặt phẳng dựa   trên bản chất hình học phẳng của bài tốn đó.  Vì vậy, với trách nhiệm của  mình, tơi thấy cần phải xây dựng thành chun đề  từ  đó rèn   luyện kĩ năng  nhận dạng, nâng cao năng lực giải tốn cho học sinh để  các em khơng cịn e  ngại hay lúng túng khi gặp các dạng tốn này. Qua q trình tích lũy tơi viết  sáng kiến kinh nghiệm: “Phát hiện tính chất đặc trưng của hình học phẳng   để áp dụng vào bài tốn hình học giải tích trong mặt phẳng lớp 10”.  1.2. Mục đich nghiên cứu           Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng tốn của phương pháp tọa   độ  trong  mặt phẳng và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài tốn về  hình học giải tích          Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính tốn. Từ đó cung cấp   cho học sinh một dạng tốn nhỏ  để  bổ  sung vào hành trang kiến thức bước   vào các kì thi, đặc biệt là kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hố Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ  thống tố  hơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học tốn Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư  liệu để  ơn tập cho học   sinh 1.3. Đối tượng nghiên cứu  Tính chất đặc trưng của hình học phẳng, bài tốn hình học giải tích trong  mặt phẳng lớp 10 Một số đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hố từ 2012 đến nay 1.4. Phương pháp nghiên cứu    ­ Nghiên cứu tài liệu Tốn lớp 10 và lớp 12    ­ Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi đại học, cao đẳng và thi  học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn của học sinh lớp 12A1, 12A2 năm học 2015­ 2016. Lớp 12A6, 12A7 năm học 2016­2017 trường THPT n Định 3    ­ Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng tốn liên quan đến bài tốn về  phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Đặc biệt là các bài tốn, dạng tốn liên  quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng trong các kì thi tuyển sinh Đại  học, cao đẳng, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây.  2. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý luận a. Một số kêt qua hình h ́ ̉ ọc phẳng thường dùng Tính chất 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm I, tiếp tuyến Cx tại   1ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ = BDC = BCx = BIC C. Khi đó  BAC  [5] Tính chất 2. Cho hình vng ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC  và CD. Khi đó  AM ⊥ BN  [4] Tính chất 3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm I. Có trực tâm  uuuur uuur H, M là trung điểm của BC. Khi đó  AH = IM  [5] Tính chất 4. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm I. Gọi H, K lần  lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC. Khi đó  IA ⊥ HK   [5]    Tính chất 5. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là giao điểm thứ  hai  của đường thẳng AH với đường trịn ngoại tiếp  ∆ABC  và M là giao điểm của  AH với BC. Khi đo M là trung đi ́ ểm của HD. [5] Tính chất 6. Cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp J . Gọi D là giao  điểm thứ  hai của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ  và I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó D là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác JBC và  ID ⊥ BC  [5] Tính chất 7. Cho  ∆ABC  có trực tâm H; E, D lần lượt là hình chiếu vng góc  của C, B lên các cạnh AB và AC. Gọi P là trung điểm của AH, M là trung   điểm của BC. Khi đo ́ PM ⊥ ED  [5] Tính chất 8. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là chân   đường cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Khi đo H là tâm đ ́ ường   trịn nội tiếp  ∆ DEF  [5] Chú ý:  1. Cần đặc biệt chú ý quan hệ vng góc, sự bằng nhau, quan hệ về  góc của hình vng, hình thoi và các tam giác đặc biệt 2. Các cơng thức diện tích, khoảng cách, cơng thức tính góc, các định lý   sin, cosin trong tam giác… b. Các ví dụ điển hình Các ví dụ  một bài tốn hình học toạ  độ  có thể  được giải theo một trong ba  hướng chính sau:  Hướng 1: Giải hồn tồn theo quan điểm hình học giải tích  Hướng 2: Giải hồn tồn theo quan điểm hình học phẳng sau đó áp dụng vào toạ  độ  Hướng 3: Khai thác các yếu tố hình học phẳng để giải tốn hình giải tích  Mỗi hướng giải tốn đều có những ưu thế riêng cho từng bài tốn nhưng nói   chung hướng 3 thường hiệu quả hơn cả.  Dạng 1. Sử dụng quan hệ vng góc trong giải tốn Bài tốn cơ bản 1. Cho hình vng ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm   của BC và CD. Chứng minh rằng  AM ⊥ BN A B A B M D N C M D N C Bài tốn cơ bản 2  . Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm I. Gọi  H, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC. Chứng   minh rằng  IA ⊥ HK    Chứng minh Kẻ tiếp tuyến Ax của đường trong ngoại tiếp tam giác  ﾷ ABC tại A  KAx = ﾷACB = sd ﾷAB             (1) ﾷ ﾷ Do  BHC = BKC = 900  nên tứ giác BKHC nội tiếp  ﾷ ﾷ suy ra  AKH ) = ﾷACB        (2)  (cùng bù với góc  BKH ﾷ Từ (1) và (2)  KAx = ﾷAKH HK / /Ax  mà   IA ⊥ Ax IA ⊥ HK  (đpcm) Bài tốn cơ bản 3. Cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp J . Gọi D là  giao điểm thứ  hai của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng  AJ và I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng D là  tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác JBC và  ID ⊥ BC Chứng minh ﾷA B ﾷ ﾷ Ta có  DJB = +    (góc ngồi tam giác)  (1) 2 ﾷB ﾷ ﾷA B ﾷ ﾷ ﾷ   mà  B ﾷ = A DBJ ﾷ DBJ = +B = +     (2) 3 2 2 ﾷ ﾷ  Từ (1) và (2) suy ra  DJB = DBJ   hay tam giác  DJB cân tại D hay DJ=DB       (3)     ﾷ mà   ﾷA1 = A DB = DC (2 góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau)    (4)    Từ (3) và (4) suy ra DB=DJ=DC hay D là tâm đường trịn  ngoại tiếp  ∆JBC  (đpcm) Ta có  DB = DC  � nêm ID là đường trung trực của BC  IB = IC = R DI ⊥ BC  (đpcm) Bây giờ ta xét một số ví dụ điển hình Ví dụ 1. Trong mặt phẳng oxy cho hình vng ABCD có đỉnh B(0;4). Gọi M  5 và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi  H ( ; )  là giao điểm của AM  và BN. Xác định toạ  độ  các đỉnh của hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc   đường thẳng (d) : x +2y +4 =0 Hướng dẫn giải +PT đường thẳng BN: 3x+y­4=0 +PT đường thẳng  AM ⊥ BN  sẽ có PT :  x − y + =   + Điểm A là giao điểm của  AM & d  nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: x − 3y + = A(−4;0) PT  (BC): x+y­4=0                x + 2y + = + Điểm M là giao điểm của  AM & CB  nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: x+ y−4=0 M (2;2) C 4;0), D(0; −4) x − 3y + = Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA. Gọi  4 5 F(1;1) là điểm trên cạnh BC sao cho  BE = BC  Điểm  H ( ; )  là giao điểm  của BD và AF. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết B  nằm trên đường thẳng (d): x+2y­6=0 Hướng dẫn giải + Viết PT đường thẳng AF qua H và F + Viết PT đường thẳng BD qua H và vng góc với AF uuur uuur +  Điểm B là giao điểm của (d) với BD. Ta có      BF = BC C  +  Viết PT đường thẳng AB qua B và vng góc với BF uuur uuur +  Điểm A là giao điểm của AF với AB;  DC = AB D Ví dụ 3. Cho hình vng ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của  AB, BC, biết CM cắt DN tại  I ( 22 11 ; )  Gọi H là trung điểm DI, biết đường  5 thẳng AH cắt CD tại  P( ;1)  Biết  xA < , tìm toạ độ các đỉnh của hình vng  Hướng dẫn giải M A B I E N H D C P Ta chứng minh tam giác AIP vuông tại I.  ∆MBC = ∆NCD CM ⊥ DN   Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra   ED = EI, mà H là trung điểm của DI  EH ⊥ DI AH ⊥ DN ,  Ta có  JD = (2 − 2)2 + (−4 − 1) =   Theo kết quả bài tốn gốc thì D là tâm đường trịn ngoại tiếp  tam giác JBC (C’). Do đó PT đường trịn (C’) :          ( x − 2)2 + ( y + 4)2 = 25   Điểm  {B} = (d ) (C ')  nên tọa độ điểm B là  nghiệm của hệ  x + y + = 0                     (1)   ( x − 2) + ( y + 4) = 25     (2) Thế (1) vào (2) ta được   ( x − 2) + (− x − 3) = 25 x + x − 12 = x = −3 x=2 Điểm B có hồnh độ âm nên B(­3 ;­4) Đường thẳng AJ qua J và D có PT : x­2=0 .Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ   x=2   x + y − 10 = x=2 y=6 A(2;6)   + Đường thẳng BC qua B và vng góc với AH :  ( BC ) : x − y − =   +Đường thẳng  ID ⊥ BC ID / / AH  và ID qua D(2 ;­4) ( ID) : x + y =   + Gọi M là trung điểm của BC  {M } = ID BC M (1; −2) C (5; 0)   Ví dụ 5. ( trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hố năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD với M, N  lần  lượt là trung điểm cua đoan  AB và BC. G ̉ ̣ ọi H là chân đường cao kẻ từ B  xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD biết  N (−1; − ), H (−1;0)   và điểm D nằm trên đường thẳng (d ) : x − y − = Hướng dẫn giải A M B H H D N C Trong tam vng BCH ta có : HN=NC (1)  Mặt khác: BH và DN song song với (Vì cùng vng góc với MC) Từ đó: H và C đối xứng qua DN  DH vng góc với HN uuur uuur Gọi D(m ; m­4) Sử dụng điều kiện  HD.HN = m = D(4;0) Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được  C (1; −4) Từ đó tìm được :  A(0;3), B(−3; −1) Ví dụ 6. (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hố năm 2016) Trong   mặt   phẳng   với   hệ   trục   tọa   độ   Oxy,   cho   hình   thang  ABCD  có  ﾷ B (2;4), BAD = ﾷADC = 900  và A, C thuộc trục hồnh. Gọi E là trung điểm của đoạn  AD, đường thẳng  EC  đi qua điểm  F (−4;1) Tìm toạ  độ  các đỉnh  A, C, D  biết  EC vng góc với BD và điểm E có tọa độ ngun Hướng dẫn giải ﾷ ﾷ DHN = DCN = 900 y=0 A B(2;4) I F(­4;1) H J C E D Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H;  gọi J là giao điểm của BD với CE. Khi đó ta có:  uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur EH EB = EA.EB = EI EB = EA và  EH EC = ED.EC = EJ EC = ED = EA2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur EH EB = EH EC EH ( EB − EC ) = EH ⊥ BC  suy ra H là trực tâm của  ∆EBC   suy ra  A, H , C  thẳng hàng. Do đó  BE ⊥ AC Đường thẳng BE qua B(2;4) vng góc với Ox nên có phương trình x =2 uuur uuur uuur uuur Gọi  A(a;0), E (2; b) D(4 − a; 2b); BA(a − 2; −4); EA(a − 2; −b); BD(2 − a; 2b − 4) FE (6; b − 1) uuur uuur BA ⊥ EA uuur uuur FE ⊥ BD (a − 2) + 4b = (1) 6(2 − a) + (b − 1)(2b − 4) = (2) Thay (2) vào (1) ta được  b − 6b + 13b + 24b + = (b + 1)(b3 − 7b + 20b + 4) = b = −1  (do b nguyên) (Ta chứng minh được phương trình  b3 − 7b + 20b + = có nghiệm duy nhất  trên khoảng  ( −1;0 ) nên khơng có nghiệm ngun ) Khi đó  A(4;0), D (0; −2) , đường thẳng CD có phương trình  x + y + =  cắt Ox  tạiC(­1;0).Vậy  A(4;0), D(0; −2) C (−1;0)  là các điểm cần tìm Dạng 2. Bài tốn liên quan đến tính chất trung điểm của đoạn thẳng Bài tốn cơ bản. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là giao điểm thứ  hai của đường thẳng AH với đường trịn ngoại tiếp  ∆ABC  và K là giao điểm  của AH với BC. Chứng minh rằng K là trung điểm của HD Chứng minh 10 ﾷ  ) Ta có  Bﾷ = ﾷA1   (góc nội tiếp cùng chắn  DC Và   Bﾷ = ﾷA1  ( cùng phụ với góc  ﾷACB  ) ﾷ =B ﾷ   ∆BHD  cân tại B nên K là trung điểm B  của HD  (đpcm)  Từ bài tốn trên ta xây dựng các ví dụ sau Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho  ∆ABC  nhọn có trực tâm H(5;5), phương  trình đường thẳng chứa cạnh BC là x+y­8=0. biết đường trịn ngoại tiếp  ∆ABC  đi qua 2 điểm M(7 ;3), N(4 ;2). Tìm tọa độ các đỉnh của  ∆ABC Hướng dẫn giải   Gọi H’ là giao điểm của AH và đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo KQ  bài tốn gốc thì H’ đối xứng với H qua BC  +Đường thẳng (HH’) vng góc với BC và qua H có PT x­y=0 + Gọi A’ là chân đường cao hạ từ A  {A '} = AH BC A '(4; 4) H '(3;3)   + Đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đi qua 3 điểm  H’(3 ;3),M(7 ;3),N(4 ;2) có PT :  x + y − 10 x − y + 36 =   + Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  x− y =0 x + y − 10 x − y + 36 = + Tọa độ điểm B,C là nghiệm của hệ  x + y −8 = x + y − 10 x − y + 36 = A(6;6)   B (6; 2), C (3;5)    hoặc B(3 ;5),C(6 ;2) 11 Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho  ∆ABC  nhọn. Đường trung tuyến kẻ từ A  và phương trình đường thẳng BC lần lượt là  3x + y − = & x − y − =  Đường  thẳng qua A và vng góc với BC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tai  điểm thứ hai là D(4;­2). Viết phương trình các cạnh AB, AC biết  xB Hướng dẫn giải + Tọa độ điểm {M}= AM BC   là nghiệm của hệ  x− y−4=0 3x + y − = M ( ;− )   2  +  AD  qua D & ⊥ BC   có PT: x+y­2=0 x+ y−2= A(1;1) 3x + y − = x+ y−2=0 K (3; −1)   +  Tọa độ điểm {K}= AD BC   là nghiệm của hệ  x− y−4=0  +Theo KQ bài tốn gốc thì D đối xứng với H qua BC H (2; 4)   Do  B BC B (t ; t − 4)  M là trung điểm của BC nên C(7­t;3­t) uuur uuur HB = (t − 2; t − 8); AC = (6 − t ; − t ) uuur uuur t =    HB AC = (t − 2)(6 − t ) + (t − 8)(2 − t ) = t=7 + Tọa độ điểm {A}= AM AD   là nghiệm của hệ  Do  xB B(2; −2), C (5;1) AB : x + y − = 0; AC : y − =   Ví dụ 3. ( Trích đề thi HSG cấp tỉnh mơn tốn tỉnh Thanh Hố năm 2013) Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ   Oxy , cho tam giác nhọn  ABC.  Đường  thẳng chứa đường trung tuyến kẻ  từ  đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có  phương trình là   3x + y − = 0, x − y − =  Đường thẳng qua  A  vng góc với  đường thẳng BC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là  D ( 4; −2 )  Viết phương trình các đường thẳng  AB, AC; biết rằng hồnh độ của  điểm B khơng lớn hơn 3 Hướng dẫn giải 12 A H B K C M D Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của  uur uur BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu  nd , ud  lần lượt là vtpt,  vtcp của đường thẳng d.  Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương  trình: x− y−4=0 3x + y − = x= y=− uuur uuur M ;− 2 AD vng góc với BC nên  nAD = uBC = ( 1;1) , mà AD đi qua điểm D suy ra phương  trình của   AD :1( x − ) + 1( y + ) = x + y − =  Do  A  là giao điểm của  AD  và  AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 3x + y − = x+ y−2=0 x =1 y =1 A ( 1;1)   Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: x− y−4=0 x+ y−2=0 x=3 y = −1 K ( 3; − 1) ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ Tứ  giác  HKCE  nội tiếp nên   BHK , mà   KCE (nội tiếp chắn cung  = KCE = BDA ﾷAB )  Suy ra  BHK ﾷ ﾷ , vậy K là trung điểm của HD nên  H ( 2; ) = BDK B ( t ; t − ) ,   kết   hợp   với  M    trung   điểm  BC  suy   ra  Do  B  thuộc  BC  C ( − t ;3 − t )   uuur uuur HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ; − t )  Do H là trực tâm của tam giác ABC nên uuur uuur HB AC = ( t − ) ( − t ) + ( t − 8) ( − t ) = ( t − ) ( 14 − 2t ) = t=2 t =7 t = B ( 2; −2 ) , C ( 5;1)  Ta có uuur uuur uuur uuur AB = ( 1; −3) , AC = ( 4;0 ) nAB = ( 3;1) , nAC = ( 0;1) Do  t Suy ra  AB : x + y − = 0; AC : y − = Dạng 3. Bài tốn liên quan đến trực tâm của tam giác 13 Bài tốn cơ bản. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường trịn ngoại  tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, E và G  lần lượt là trọng   tâm các tam giác ACD và  ABC. Chứng minh rằng  I là trực tâm tam giác DEG                                           Chứng minh Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD. Khi đó theo tính chất trọng  tâm tam giác ta có  CG CE = = CD CN GE / / DN  Hay GE//AB  mà   ID ⊥ AB ID ⊥ GE      (1) Mặt khác  ∆ABC  cân tại A nên  AI ⊥ BC  mà DM  là đường trung bình của  ∆ABC DM / / BC   do đó  AI ⊥ DM  hay GI ⊥ DM                              (2)   Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác DGE Ta xây dựng các bài tốn sau đây Ví dụ  1. Trong mặt phẳng Oxy cho  ∆ABC cân tại A; M là trung điểm đoạn  3 2 4 AB. Biết rằng   I ( ; )   là tâm đường tròn ngoại tiếp và G(0;1), K ( ; )   lần  lượt là trọng tâm tam giác ACM. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC  Hướng dẫn giải A N K D I P G(0;1) B C 14 Giả sử M(x;y) uur uuuur GI KM = Ta có  uur uuuur KI GM = uuuur x+ y −3 = 5x + y = uuuur Lại có  MC = 3MG uur 1 GI = ( ; ) 4   uur KI = ( − ; − ) 4 uuuur 3 KM = ( x − ; y − ) 2  và  uuuur GM = ( x; y − 1) M (− ; )   2 C (1; −4)   Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM  suy ra A(4;5) và M là trung điểm của AB . suy ra B(­5;2) Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho  ∆ABC cân tại A; M là trung điểm đoạn  3 2 4 AB. Biết rằng  I ( ; )  là tâm đường tròn ngoại tiếp và  K ( ; )  trọng tâm tam  giác ACM. Các đường thẳng AB, CM lần lượt đi qua các điểm E(­2;3), F(0;1).  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết hồnh độ điểm M âm Hướng dẫn giải A N K D P I G E(-2;3) F(0;1) B C + PT đường thẳng CM qua F và vng góc với KI là:  5x+y­1=0 + M thuộc CM nên M(m;1­5m) uuur uuur +    IM ME = m = 0 (L) m=−                     M (− ; ) 2 + PT đường thẳng AB qua M và E là:  x­3y+11=0 + Goi P là trung điểm của AC thì theo  uuur tính chất trọng tâm tam giác ta có :  MP = MK P( ; )   2 15 + Ta có  A AB A(2a − 11; a ); C CM C (c;1 − 5c)   + P là trung điểm của AC  a = 5, c =  ta được A(4 ;5), C(1 ;­4) Chọn một tam giác nao đó gi ̀ ả sử A(7;5), B(­1;1), C(3;­3). Khi đó ta tìm được  11 điểm D(3;3). Tâm đường trịn ngoại tiếp  I ( ; ), trọng tâm tam giác ACD là  3 13 E ( ; )   3 Dạng 4. Bài tốn liên quan đến khoảng cách Ví dụ  1  Cho hình chữ  nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD,  đường thẳng CM  có  phương trình   x − y + 10 =   Điểm B  nằm trên  đường  thẳng  d1 : x + y + = 0, yC <  Tìm toạ độ A, B, C Hướng dẫn giải A B I K M G H C D Ta có  DK = d ( D, CM ) = 26  .  65 DG = G ọi G là trọng tâm tam giác ADC DI = BD 3 BG = 2GD  .  Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D lên CM     BH BG = =2 DK GD B d1 BH = 2d ( D, CM ) =  B(b;  ­1­2b)  BH = 52   65 17b + 18 65 52 = 65 b=2 −70   b= 17 16 Vì B, D nằm khác phía đối với CM nên b = 2  B (2; −5) I (3;0)     C (8c − 10; c )  (c