Chương 16: Giải tích vectơ

Chương 16: Giải tích vectơ Ngày 29 tháng năm 2014 [Phần khung] Các mặt tham số nghiên cứu mục 16.6, chúng thường sử dụng lập trình viên để tạo phim hoạt hình Trong phân cảnh phim hoạt hình Antz bên đây, công chúa Bala cố gắng giải cứu cho Z anh bị mắc kẹt giọt sương Một mặt tham số mô tả giọt sương chuyển động giọt sương mô tả họ mặt tham số Một lập trình viên thiết kế phim hoạt hình nói rằng: “Phải chi tơi quan tâm nhiều đến mặt tham số mà tơi cịn tham gia lớp học giải tích Nó chắn hữu ích cho tơi ngày hôm ” Trong chương này, nghiên cứu tính tốn trường vectơ (Các hàm thường gán vectơ với điểm không gian) Đặc biệt, định nghĩa tích phân đường (chúng sử dụng việc tìm trường lực vật di chuyển dọc theo đường cong đó) Tiếp đó, định nghĩa tích phân mặt (có thể sử dụng để tìm tốc độ dòng chảy chất lỏng bề mặt đó) Sự liên quan loại tích phân với tích phân lớp, tích phân hai lớp ba lớp mà tìm hiểu đưa phiên nhiều chiều định lý Phép tính tích phân: Định lý Green, Định lý Stokes, Định lý Divergence Trường Vectơ Các vectơ hình vectơ vận tốc khơng khí, chúng tốc độ hướng gió điểm 10 m so với cao độ bề mặt vùng vịnh San Francisco Chúng ta thấy nháy mắt từ mũi tên lớn phần (a) tốc độ gió lớn thời điểm xảy gió lùa vào vịnh qua cầu Golden Gate Phần (b) cho thấy mô hình gió hồn tồn khác khoảng 12 trước Kết hợp với điểm khơng khí tưởng tượng đến vector mơ tả vận tốc gió Đây ví dụ trường vector vận tốc [Chú thích Hình 1:] Trường vectơ vận tốc mơ tả mơ hình gió qua vịnh San Francisco Một vài ví dụ khác trường vectơ vận tốc minh họa hình 2: dịng hải lưu luồng khơng khí qua cánh máy bay [Chú thích Hình 2:] Trường vectơ vận tốc (a) Dịng hải lưu ngồi khơi bờ biển Nova Scotia (b) Luồng khơng khí qua cánh máy bay nghiêng Một dạng khác trường vectơ, gọi trường lực, liên kết vectơ lực với điểm miền Một ví dụ trường lực hấp dẫn mà xem xét ví dụ Nói chung, trường vector hàm mà miền xác định tập hợp điểm R2 (hoặc R3 ) phạm vi tập hợp vectơ V2 (hoặc V3 ) Định nghĩa 1.1 Cho D tập R2 (một miền mặt phẳng) Một trường vectơ R2 hàm F đặt tương ứng điểm (x, y) D vectơ hai chiều F(x, y) Cách tốt để hình dung trường vectơ vẽ mũi tên biểu diễn cho vectơ F(x, y) bắt đầu điểm (x, y) Dĩ nhiên, ta làm điều cho tất điểm (x, y), hình dung hàm F cách thực cho vài điểm đại diện D hình Bởi F(x, y) vectơ hai chiều, nên ta viết dạng hàm thành phần P Q sau: F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j = P (x, y), Q(x, y) hoặc, viết gọn, F = P i + Qj Chú ý P Q hàm vô hướng hai biến chúng gọi trường vô hướng để phân biệt với trường vectơ Định nghĩa 1.2 Cho E tập R3 Một trường vectơ R3 hàm F đặt tương ứng điểm (x, y, z) E vectơ ba chiều F(x, y, z) Một trường vectơ F R3 minh họa Hình Ta biểu diễn dạng hàm thành phần P , Q R sau: F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k Như hàm vectơ mục 13.1, ta định nghĩa liên tục trường vectơ F liên tục hàm thành phần P , Q R liên tục Đôi xác định điểm (x, y, z) với vectơ vị trí x = (x, y, z) viết F(x) thay cho F(x, y, z) Khi F trở thành hàm đặt tương ứng vectơ x với vectơ F(x) Ví dụ 1.1 Một trường vectơ R2 xác định F(x, y) = −yi + xj Mô tả F cách phác thảo vài vectơ F(x, y) hình Lời giải 1.1 Vì F(1, 0) = j, ta vẽ vectơ j = 0, điểm (1, 0) hình Vì F(0, 1) = −i, ta vẽ vectơ −1, với điểm bắt đầu (0, 1) Tiếp tục theo cách này, ta tính tốn số giá trị đại diện F(x, y) bảng vẽ vectơ tương ứng biểu diễn cho trường vectơ hình (x, y) (1, 0) (2, 2) (3, 0) (0, 1) (−2, 2) (0, 3) F(x, y) 0, −2, 0, −1, −2, −2 −3, (x, y) (−1, 0) (−2, −2) (−3, 0) (0, −1) (2, −2) (0, −3) F(x, y) 0, −1 2, −2 0, −3 1, 2, 3, Mỗi mũi tên xuất hình tiếp xúc với đường trịn có tâm điểm gốc Để xác minh điều này, ta lấy tích vơ hướng vectơ vị trí x = xi + yj với vectơ F(x) = F(x, y): x · F(x) = (xi + yj) · (−yi + xj) = −xy + yx = Điều F(x, y) vng góc với vectơ vị trí x, y tiếp tuyến đường trịn có tâm điểm gốc bán kính |x| = x2 + y Ta lưu ý rằng: |F(x, y)| = (−y)2 + x2 = x2 + y = |x| nên độ lớn vectơ F(x, y) với bán kính đường trịn Một vài hệ thống máy tính có khả vẽ trường vectơ hai ba chiều Ta có hình dung tốt trường vectơ máy tính vẽ số lượng lớn vectơ đại diện Hình cho thấy máy tính vẽ trường vectơ ví dụ 1; Hình hai trường vectơ khác Ví dụ 1.2 Hãy phát họa trường vectơ R3 cho F(x, y, z) = zk Lời giải 1.2 Phác họa hình Lưu ý vectơ thẳng đứng hướng lên mặt phẳng xy hướng xuống mặt phẳng Độ lớn vectơ tăng theo khoảng cách với mặt phẳng xy Chúng ta vẽ trường vectơ ví dụ tay cơng thức đặc biệt đơn giản Tuy nhiên, ta phác họa trường vectơ ba chiều tay được, cần phải nhờ đến hệ thống đại số máy tính Các ví dụ hình 10, 11 12 Chú ý trường vectơ hình 10 11 có cơng thức tương tự nhau, tất vectơ hình 11 hướng ngược lại theo trục y thành phần y mang giá trị -2 Nếu trường vectơ hình 12 biểu diễn trường vận tốc, hạt quét lên theo đường xoắn ốc quanh trục z theo hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ cao Ví dụ 1.3 Hãy tưởng tượng chất lỏng chảy đặn dọc theo đường ống cho V(x, y, z) vectơ vận tốc điểm (x, y, z) Khi hàm V gán vectơ cho điểm (x, y, z) miền E (bên đường ống) V trường vectơ R3 gọi trường vận tốc Một trường vận tốc minh họa hình 13 Tốc độ điểm cho trước cho chiều dài mũi tên Trường vận tốc xảy lĩnh vực khác vật lý Chẳng hạn, trường vectơ ví dụ sử dụng trường vận tốc mô tả bánh xe quay ngược chiều kim đồng hồ Ta thấy ví dụ trường vận tốc hình hình Ví dụ 1.4 Định Luật Vạn Vật Hấp Dẫn Newton nói độ lớn lực hấp dẫn hai vật có khối lượng m M là: |F| = mM G r2 r khoảng cách vật thể G số hấp dẫn (Đây ví dụ định luật nghịch đảo bình phương) Giả sử vật có khối lượng M đặt điểm gốc R3 (Chẳng hạn, M khối lượng trái đất điểm gốc đặt tâm nó) Đặt vectơ vị trí vật có khối lượng m x = x, y, z Khi r = |x|, nên r2 = |x|2 Lực hấp dẫn tác động lên vật thứ hai tính từ điểm gốc, vect đơn vị theo hướng là: − x |x| Do đó, lực hấp dẫn tác động lên vật x = x, y, z là: F(x) = − mM G x |x|3 (1) [Các nhà vật lý thường dùng ký hiệu r thay cho x để nói vectơ vị trí Nên bạn thấy cơng thức (1) dưói dạng F = −(mM G/r3 )r] Hàm số cho phương trình (1) ví dụ trường vectơ, gọi trường hấp dẫn, tương ứng vectơ [lực F(x)] với điểm x không gian Công thức (1) cách viết gọn cho trường hấp dẫn, viết dạng hàm thành phần cách sử dụng công thức x = xi + yj + zk |x| = x2 + y + z : F(x, y, z) = (x2 −mM Gx −mM Gx −mM Gx i+ j+ k 2 3/2 2 3/2 +y +z ) (x + y + z ) (x + y + z )3/2 Trường hấp dẫn F phác họa hình 14 Ví dụ 1.5 Giả sử điện tích Q đặt điểm gốc Dưạ vào Định Luật Coulomb, lực điện F(x) tác động điện tích lên điện tích khác q đặt điểm (x, y, z) với vectơ x = x, y, z là: F(x) = εqQ x |x|3 (2) ε số (nó phụ thuộc vào đơn vị sử dụng) Với điện tích thoả qQ > lực lực đẩy; ngược lại với điện tích thoả qQ < lực lực hút Nhận thấy giống công thức (1) (2) Cả hai trường vectơ đề ví dụ trường lực Thay xét lực điện F, nhà vật lý thường xét lực đơn vị điện tích: εQ E(x) = F(x) = x q |x| Khi E trường vectơ R3 gọi trường điện Q Trường Gradient Nếu f hàm hai biến, theo mục 14.6 gradient ∇f (hoặc gradf ) xác định bởi: ∇f (x, y) = fx (x, y)i + fy (x, y)j Do ∇f thực trường vectơ R2 gọi trường vectơ gradient Tương tự thế, f hàm ba biến, gradient trường vectơ R3 cho bởi: ∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k Ví dụ 1.6 Hãy tìm trường vectơ gradient f (x, y) = x2 y − y Hãy vẽ trường vectơ gradient với hàm đường viền f Chúng liên hệ với nào? Lời giải 1.3 Trường vectơ gradient cho bởi: ∇f (x, y) = ∂f ∂f i+ j = 2xyi + (x2 − 3y )j ∂x ∂y Hình 15 hàm đường viền f với trường vectơ gradient Cần lưu ý vectơ gradient vng góc với đường mức, ta có mục 14.6 Cũng cần ý vectơ gradient dài đường mức gần ngắn, nơi đường cong xa Đó chiều dài vector gradient giá trị đạo hàm hướng f đường cong gần đồ thị dốc Một trường vectơ F gọi trường vectơ bảo tồn gradient hàm đó, nghĩa là, tồn hàm f thỏa mãn F = ∇f Trong trường hợp đó, f gọi hàm vị F Khơng phải trường vectơ bảo tồn, trường phát sinh thường xuyên vật lý Ví dụ, trường hấp dẫn F ví dụ bảo tồn ta định nghĩa: mM G f (x, y, z) = x2 + y + z ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z −mM Gx i+ = x2 + y + z = F(x, y, z) ∇f (x, y, z) = −mM Gy x2 + y + z j+ −mM Gz x2 + y + z k Trong mục 16.3 16.5 ta tìm hiểu làm để biết trường vectơ cho có bảo tồn hay khơng Bài tập 1.1 1-10 Phát họa trường vectơ F cách vẽ biểu đồ hình hình F(x, y) = 0.3i − 0.4j F(x, y) = 21 xi + yj F(x, y) = − 21 i + (y − x)j F(x, y) = yi + (x + y)j F(x, y) = yi + xj x2 + y 6 F(x, y) = yi − xj x2 + y F(x, y, z) = k F(x, y, z) = −yk F(x, y, z) = xk 10 F(x, y, z) = j − i 11-14 Hãy kết hợp trường vectơ F thích hợp với phác hoạ tương ứng đánh dấu từ I-IV Hãy giải thích lý bạn chọn 11 F(x, y) = x, y 12 F(x, y) = y, x − y 13 F(x, y) = y, y + 14 F(x, y) = cos(x + y), x 15-18 Hãy kết hợp trường vectơ F thích hợp với phác hoạ tương ứng đánh dấu từ I-IV Hãy giải thích lý bạn chọn 15 F (x, y, z) = i + 2j + 3k 16 F (x, y, z) = i + 2j + zk 17 F (x, y, z) = xi + yj + 3k 18 F (x, y, z) = xi + yj + zk 19 Nếu bạn có CAS vẽ trường vectơ (các lệnh dùng vẽ Maple fieldplot PlotVectorField VectorPlot Mathematica), dùng chúng để vẽ: F(x, y) = (y − 2xy)i + (3xy − 6x2 )j Hãy giải thích xuất tìm tập hợp điểm (x, y) cho F(x, y) = 20 Cho F(x, y) = (r2 − 2r)x với x = x, y r = |x| Sử dụng CAS để vẽ trường vectơ miền khác bạn thấy diễn Hãy mơ tả xuất hình ảnh giải thích cách tìm điểm thoả mãn F(x) = 21-24 Hãy tìm trường vectơ gradient f 21 f (x, y) = xexy 22 f (x, y) = tan(3x − 4y) 23 f (x, y, z) = x2 + y + z 24 f (x, y, z) = xln(y − 2z) 25-26 Hãy tìm trường vectơ gradient f phác họa 25 f (x, y) = x2 − y 26 f (x, y) = x2 + y 27-28 Hãy tìm trường vectơ gradient f hàm đường viền f Hãy giải thích chúng có liên quan với 27 f (x, y) = ln(1 + x2 + y ) 28 f (x, y) = cos x − sin y 29-32 Hãy kết hợp hàm f thích hợp với phác hoạ trường vectơ gradient chúng tương ứng đánh dấu từ I-IV Hãy giải thích lý bạn chọn 29 f (x, y) = x2 + y 30 f (x, y) = x(x + y) 31 f (x, y, z) = (x + y)2 32 f (x, y, z) = sin x2 + y 33 Một chất điểm chuyển động trường vận tốc V(x, y) = x2 , x + y Nếu có toạ độ (2, 1) thời điểm t = 3, ước tính toạ độ thời điểm t = 3.01 34 Tại thời điểm t = 1, chất điểm đặt toạ độ (1, 3) Nếu di chuyển trường vận tốc: F(x, y) = xy − 2, y − 10 Hãy tìm toạ độ xấp xỉ thời điểm t = 1.05 35 Dịng chảy (hoặc luồng khơng khí) trường vectơ đường dẫn chất điểm mà trường vận tốc cho trường vectơ Do vectơ trường vectơ tiếp xúc với dòng chảy (a) Hãy dùng phác họa trường vectơ F(x, y) = xi − yj để vẽ số dịng chảy Từ phác thảo bạn, bạn đốn phương trình dịng chảy đó? (b) Nếu phương trình tham số dịng chảy x = x(t), y = y(t), giải thích hàm thoả mãn phương trình vi phân dx/dt = x dy/dt = −y Sau đó, giải phương trình vi phân để tìm phương trình dịng chảy qua điểm (1, 1) 36 (a) Hãy phác họa trường vectơ F(x, y) = i + xj phác họa vài dòng chảy Các dịng chảy xuất có hình dạng gì? (b) Nếu phương trình tham số dịng chảy x = x(t), y = y(t), hàm thoả mãn phương trình vi phân nào? Đốn dy/dx = x (c) Nếu chất điểm khởi động điểm gốc trường vận tốc cho F, tìm phương trình mơ tả di chuyển Tích phân đường Trong mục định nghĩa tích phân tương tự tích phân thơng thường thay cho tích phân đoạn [a, b], ta lấy tích phân đường cong C Các tích phân gọi tích phân đường, thuật ngữ “tích phân đường cong” mang nghĩa ró Chúng phát minh vào đầu kỷ thứ 19 để giải toán dòng chảy chất lỏng, lực học, điện học từ trường học Ta đường cong C cho phương trình tham số: x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b (3) hoặc, tương đương, cho phương trình vectơ r(t) = x(t)i + y(t)j, ta giả sử C đường cong trơn [Điều nghĩa r liên tục r (t) = Xem mục 13.3] Nếu ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ [ti−1 , ti ] có chiều rộng ta đặt xi = x(ti ) yi = y(ti ), điểm tương ứng Pi (xi , yi ) chia C thành n cung nhỏ khác có chiều dài tương ứng s1 , s2 , , sn (Xem hình 1) Ta chọn điểm Pi∗ (x∗i , yi∗ ) cung thứ i (nó tương ứng với điểm t∗i đoạn [ti−1 , ti ]) Nếu f hàm có miền xác định chứa đường cong C, ta tính giá trị f điểm (x∗i , yi∗ ) nhân với độ dài si , lấy tổng sau: n f (x∗i , yi∗ ) s i=1 tổng tương tự với tổng Riemann Tiếp theo ta lấy giới hạn tổng đưa định nghĩa tương tự với tích phân đơn giản thông thường Định nghĩa 2.1 Nếu f xác định đường cong trơn C cho phương trình (3), tích phân đường f C là: n f (x∗i , yi∗ ) s f (x, y)ds = lim C n→∞ i=1 giới hạn tồn Trong mục 10.2 ta có độ dài đường cong C cho bởi: b L= a dx dt + dy dt dt Một lập luận tương tự ta rằng, f hàm liên tục giới hạn định nghĩa 2.1 tồn công thức sau áp dụng để tính tích phân đường: b f (x, y)ds = C dx dt f (x(t), y(t)) a + dy dt dt (4) Giá trị tích phân đường khơng phụ thuộc vào tham số đường cong, với điều kiện đường cong qua lần t tăng từ a đến b Nếu s(t) độ dài C r(a) r(t), thì: ds = dt dx dt + dy dt Do vậy, cách để nhớ công thức (4) biểu diễn tất dạng tham số t: sử dụng phương trình tham số để biểu diễn x y theo t viết ds sau: ds = dx dt + dy dt dt Trong trường hợp đăc biệt, C đoạn thẳng nối hai điểm (a, 0) (b, 0), xem x tham số, ta viết phương trình tham số C sau: x = x, y = 0, a ≤ x ≤ b Công thức (4) thành: b f (x, y)ds = f (x, 0)dx a C tích phân đường trở thành tích phân lớp thơng thường Cũng giống tích phân lớp thơng thường, ta định nghĩa tích phân đường hàm dương diện tích hình phẳng Thật ra, f (x, y) ≥ 0, f (x, y)ds biểu diễn diện tích bên “lá chắn” “màn che” hình 2, C mà sở C chiều cao điểm (x, y) f (x, y) Ví dụ 2.1 Hãy tính x2 + y = C (2 + x2 y)ds, C nửa đường trịn đơn vị 10 Do phương trình (68) suy Rk · ndS = [R(x, y, u2 (x, y)) − R(x, y, u1 (x, y))] dA S D So sánh với phương trình (67) ta có Rk · ndS = S E ∂R dV ∂z Phương trình (64) (65) chứng minh tương tự cách biểu diễn E miền loại loại 3, theo thứ tự Ví dụ 9.1 Hãy tìm thơng lượng trường vectơ F(x, y, z) = zi + yj + xk cầu đơn vị x2 + y + z = Lời giải 9.1 Trước hết ta tính divergence F: div F = ∂ ∂ ∂ (z) + (y) + (x) = ∂x ∂y ∂z Mặt cầu đơn vị S biên cầu B cho x2 + y + z ≤ Theo định lý Divergence thơng lượng dịng F · dS = 4π 1dV = V (B) = π(1)3 = 3 B div FdV = E S Ví dụ 9.2 Hãy tính S F · dS, F(x, y, z) = xyi + (y + exz )j + sin(xy)k S mặt miền E giới hạn mặt trụ parabolic z = − x2 mwạt phẳng z = 0, y = y + z = (Xem hình 2) Lời giải 9.2 Sẽ khó khăn để tính tích phân mặt trực tiếp (Ta tính bốn tích phân mặt tương ứng với bốn phần S) Hơn nữa, divergence F phức tạp F: div F = ∂ ∂ ∂ (xy) + (y + exz ) + (sin xy) = y + 2y = 3y ∂x ∂y ∂z Do ta áp dụng định lý Divergence để biến đổi tích phân mặt cho trước thành tích phân bội ba Cách đơn giản để tính tích phân bội ba biểu diễn E thành miền loại 3: E = {(x, y, z)| − ≤ x ≤ 1, ≤ z ≤ − x2 , ≤ y ≤ − z} 95 Khi ta có F · dS = div FdV = S E 1−x2 ydydzdx = −1 1−x2 2−z =3 = 3ydV E − −1 −1 1−x2 (2 − z)3 dx = − 0 1 (x6 + 3x4 + 3x2 − 7)dx = =− (2 − z)2 dzdx [(x2 + 1)3 − 8]dx −1 184 35 Mặc dù ta vừa chứng minh định lý Divergence trường hợp miền đơn khối, ta chứng minh cho miền biểu diễn thành hợp miền đơn khối (Kỹ thuật chứng minh tương tự kỹ thuật ta áp dụng mục để mở rộng định lý Green) Ví dụ, xét miền E nằm mặt khép kín S1 S2 Khi miền giới hạn E S = S1 ∪ S2 pháp tuyến n cho n = −n1 S1 n = n2 S2 (Xem hình 3) Áp dụng định lý Divergence cho S ta được: F · dS = div FdV = E S F · ndS F · n2 dS F · (−n1 )dS + = (69) S (70) S2 S1 =− F · dS + S1 F · dS (71) S2 Ví dụ 9.3 Trong ví dụ 1.5 mục ta xét điện trường E(x) = εQ x |x|3 điện tích Q đặt điểm gốc tọa độ x = x, y, z vectơ tọa độ Hãy áp dụng định lý Divergence để dịng điện E qua mặt khép kín S2 bao quanh điểm gốc tọa độ E · dS = 4πεQ S2 Lời giải 9.3 Khó khăn khơng có phương trình tường minh cho S2 mặt khép kín quanh gốc tọa độ Mặt đơn giản chọn mặt cầu, nên ta lấy S1 cầu nhỏ có bán kính a tâm gốc toạ 96 độ Bạn kiểm chứng div E = (Xem tập 23) Do phương trình (69) cho ta E · dS = S2 E · dS + S1 E · dS = div EdV = E S1 E · ndS S1 Trong công thức ta tính tích phân mặt S1 S1 mặt cầu Vectơ pháp tuyến x x/|x| Do đó, E·n= εQ x· |x|3 x |x|3 εQ εQ εQ x·x= = |x| |x| a = phương trình S1 |x| = a Do ta có E · dS = intS1 E · ndS = S1 εQ a2 dS = S1 εQ εQ A(S ) = 4πa2 = 4πεQ 2 a a Điều dòng điện E 4πεQ qua mặt S2 kỳ chứa điểm gốc tọa độ [Đây trường hợp đặc biệt Định Luật Gauss (phương trình (55)) Liên hệ ε ε0 ε = 1/(4πε0 )] Một ứng dụng khác định lý Divergence khoa học chất lỏng Cho v(x, y, z) trường vận tốc chất lỏng có mật độ ρ Khi F = ρv tốc độ dịng chảy đơn vị diện tích Nếu P0 (x0 , y0 , z0 ) điểm Ba cầu tâm P0 bán kính bé a, div F(P ) ≈ div F (P0 ) với điểm Ba ÷F liên tục Ta xấp xỉ thông lượng biên hình cầu Sa sau: div FdV ≈ F · dS = Sa div F(P0 )dV = div F(P0 )V (Ba ) Ba Ba Công thức xấp xỉ a → div F(P0 ) = lim a → V (Ba ) F · dS (72) Sa Phương trình (72) nói div F(P0 ) tốc độ thơng lượng dịng bên ngồi đơn vị thể tích P0 (Đây nguyên nhân có tên divergence) Nếu div F(P ) > dịng chảy lưu lượng hướng ngồi gần P P gọi điểm nguồn Nếu div F(P ) < dịng chảy lưu lượng hướng vào gần P P gọi điểm lún Với trường vectơ hình 4, xuất vectơ kết thúc gần điểm P1 , div F(P1 ) > P1 điểm nguồn Gần P2 , mặt khác, mũi tên đến dài mũi tên Ở đây, thơng lượng dịng hướng vào trong, nên div F(P2 ) < P2 điểm lún Ta áp dụng công thức F để xác nhận điều Bởi vì, F = x2 i + y j ta có div F = 2x + 2y, dương y > −x Do vậy, điểm đường thẳng y = −x điểm nguồn điểm lại điểm lún 97 Bài tập 9.1 1-4 Hãy kiểm chứng lại định lý Divergence cho trường vectơ F miền E F(x, y, z) = 3xi + xyj + 2xzk, E hình ống giới hạn mặt phẳng x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = z = F(x, y, z) = x2 i+xyj+zk, E hình khối giới hạn paraboloid z = 4−x2 −y mặt phẳng xy F(x, y, z) = z, y, x , E khối cầu x2 + y + z ≤ 16 F(x, y, z) = x2 , −y, z , E khối trụ y + z ≤ 9, ≤ x ≤ 5-15 Hãy áp dụng định lý Divergence để tính tích phân mặt là, tính thơng lượng dịng F qua S S F · dS, nghĩa F(x, y, z) = xyez i + xy z j − yez k, S mặt hình hộp giới hạn mặt phẳng tọa độ mặt phẳng x = 2, y = z = F(x, y, z) = x2 yzi + xy zj + xyz k, S mặt hình hộp giới hạn mặt phẳng x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = z = c, a, b c số dương F(x, y, z) = 3xy i + xez j + z k, S khối giới hạn mặt trụ y + z = mặt phẳng x = −1 x = F(x, y, z) = (x2 + y )i + (y + z )j + (z + x3 )k, S mặt cầu có tâm gốc tọa độ bán kính F(x, y, z) = x2 sin yi+x cos yj−xz sin yk, S mặt “cầu phẳng” x8 +y +z = 10 F(x, y, z) = zi + yj + zxk, S mặt tứ diện cho mặt phẳng tọa độ mặt x y z + + =1 a b c 11 F(x, y, z) = (cos z + xy )i + xe−z j + (sin y + x2 z)k, S mặt khối giới hạn paraboloid z = x2 + y mặt phẳng z = 12 F(x, y, z) = x4 i−x3 z j+4xy zk, S mặt khối giới hạn mặt trụ x2 +y = mặt phẳng z = x + z = 13 F(x, y, z) = |r|r, r = xi + yj + zk, S chứa hình bán cầu z = − x2 − y đĩa x2 + y ≤ mặt phẳng xy 14 F = |r|2 r, r = xi + yj + zk, S mặt cầu có bán kính R tâm gốc tọa độ 98 √ 15 F(x, y, z) = ey tan zi + y − x2 j + x sin yk, S khối nằm mặt phẳng xy mặt z = − x4 − y , −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 16 Hãy sử dụng hệ thống máy tính đề vẽ trường vectơ F(x, y, z) = sin x cos2 yi+ sin3 y cos4 zj + sin5 z cos6 xk hình ống cắt từ phần tám đường tròn mặt phẳng x = π/2, y = π/2 z = π/2 Sau tính thơng lượng dịng qua mặt ống 17 Hãy áp dụng định lý Devergence để tính S F · dS, F(x, y, z) = z xi+( 13 y +tan z)j+(x2 z +y )k S nửa mặt cầu x2 +y +z = [Gợi ý: Chú ý S khơng mặt khép kín Trước tiên tính tích phân S1 S2 , S1 đĩa x2 +y ≤ 1, hướng xuống S2 = S ∪S1 ] 18 Cho F(x, y, z) = z tan−1 (y )i + z ln(x2 + 1)j + zk Hãy tìm thơng lượng dòng F qua phần paraboloid x2 + y + z = nằm mặt phẳng z = hướng lên 19 Một trường vectơ F hình Hãy sử dụng giải thích devergence mục để xác định xem div F dương hay âm P1 P2 20 (a) Các điểm P1 P2 điểm nguồn hay điểm lún với trường vectơ cho hình vẽ? Hãy cho lời giải thích hình (b) Cho F(x, y) = x, y , sử dụng định nghĩa divergence để kiểm chứng lại câu trả lời câu (a) 21-22 Hãy vẽ trường vectơ dự đoán đâu div F > div F < Sau tính div F để kiểm tra dự đoán bạn 21 F(x, y) = xy, x + y 22 F(x, y) = x2 , y 23 Hãy kiểm chứng div E = với điện trường E(x) = εQ x |x|3 24 Hãy áp dụng định lý Divergence để tính (2x + 2y + z )dS S S mặt cầu x2 + y + z = 25-30 Hãy chứng minh mệnh đề sau đây, giả sử S E thỏa mãn điều kiện định lý Divergence hàm vô hướng thành phầncủa trường vectơcó đạo hàm riêng cấp hai liên tục 25 S a · ndS = 0, a vectơ 99 26 V (E) = S F · dS, F(x, y, z) = xi + yj + zk 27 S curl F · dS = 28 S Dn f dS = 29 S (f ∇g) · ndS = 30 S (f ∇g − g∇f ) · ndS = E ∇2 f dV E (f ∇2 g + ∇f · ∇g)dV E (f ∇2 g − g∇2 f )dV 31 Giả sử S E thỏa mãn điều kiện định lý Divergence f hàm vô hướng với đạo hàm riêng liên tục Chứng minh ∇f dV f ndS = S E Các tích phân mặt tích phân bội ba cáchàm vectơ vectơ xác định tích phân thành phần [Gợi ý: Hãy áp dụng định lý Divergence cho F = f c, c vectơ bất kỳ.] 32 Một khối rắn có miền xác định E có mặt S nhúng vào chất lỏng có mật độ ρ Ta lập hệ trục tọa độ cho mặt phẳng xy trùng với bề mặt chất lỏng , giá trị dương z đo độ sâu vật nhúng xuống chất lỏng Khi áp suất độ sâu z p = ρgz, g gia tốc trọng lực (xem mục 8.3) Tổng số lực đẩy lên chất rắn phụ thuộc vào phân phối áp suất cho tích phân mặt F=− pndS S n vectơ pháp tuyến đơn vị Hãy áp dụng kết tập 31 để F = −W k, W khối lượng chất lỏng bị chất rắn chiếm chỗ (Chú ý F hướng lên z hướng xuống dưới) Kết Quy tắc Archimedes: Tổng lực đẩy tác động lên vật thể với trọng lượng chất lỏng bị chiếm chỗ 10 Tóm tắt Các kết chương kết nhiều chiều Định Lý Cơ Bản Giải Tích Để giúp cho đọc giả ghi nhớ chúng, tổng hợp lại mục (khơng có giả thiết) đề đọc giả hiểu tương tự chúng cách dễ dàng Lưu ý trường hợp chúng tơi có tích phân “đạo hàm” miền bên trái, bên phải chó giá trị hàm ban đầu biên miền xác định Ôn tập 100 b a Định Lý Cơ Bản Giải Tích Định Lý Cơ Bản Tích Phân Đường Định Lý Green C D Định Lý Stokes F (x)dx = F (b) − F (a) hình ∇f · dr = f (r(b)) − f (r(a)) hình ∂Q ∂x hình S Định Lý Divergence − ∂P ∂y dA = C P dx + Qdy curl F · dS = C F · dr hình div FdV = S F · dS hình E Kiểm tra định nghĩa Trường vectơ gì? Hãy cho ba ví dụ vật lý trường vectơ (a) Thế trường vectơ bảo toàn? (b) Hàm gì? (a) Hãy viết định nghĩa tích phân đường hàm vô hướng f đường cong C ứng với độ dài cung (b) Làm để tính tích phân đó? (c) Hãy viết biểu thức tính khối lượng xác định tâm khối củamột sợi dây mỏng có hình dạng đường cong C sợi dây có hàm mật độ ρ(x, y) (d) Hãy viết định nghĩa tích phân đường C hàm vô hướng f theo biến x, y z (e) Làm để tính tích phân này? (a) Hãy định nghĩa tích phân đường trường vectơ F đường cong trơn C cho hàm vectơ r(t) (b) Nếu F trường lực, tích phân đường biểu diễn cho đại lượng nào? (c) Nếu F = P, Q, R , điều liên quan tích phân đường F tích phân đường hàm thành phần P, Q R Hãy phát biểu định lý tích phân đường 101 (a) Có ý nghĩa nói (b) Nếu bạn biết thể nói F? C C F · dr độc lập với đường lấy tích phân? F · dr độc lập với đường lấy tích phân, bạn có Hãy phát biểu định lý Green Hãy viết biểu thức tính diện tích giới hạn đường cong C theo tích phân đường C Giả sử F trường vectơ R3 (a) Hãy xác định curl F (b) Hãy xác định div F (c) Nếu F trường vận tốc dòng lỏng, đưa giải thích vật lý cho đại lượng curl F div F 10 Nếu F = P i + Qj, làm để kiểm tra xác định xem F có bảo tồn hay khơng? Điều xảy F trường vectơ R3 11 (a) Mặt tham số gì? Các đường cong lưới chúng gì? (b) Hãy viết biểu thức tính diện tích mặt tham số (c) Diện tích mặt cho phương trình z = g(x, y) gì? 12 (a) Hãy viết định nghĩa tích phân mặt cho hàm vô hướng f mặt S (b) Làm để tính tích phân S mặt tham số cho hàm vectơ r(t) (c) Tính tương tự với S cho z = g(x, y) (d) Nếu miếng kim loại mỏng có hình dạng mặt S, mật độ (x, y, z) ρ(x, y, z), viết biểu thức tính khối lượng tâm khối miếng kim loại 13 (a) Thế mặt có hướng? Hãy cho ví dụ mặt khơng có hướng (b) Hãy định nghĩa tích phân măt (thơng luợng dịng) trường vectơ F mặt có hướng S có vectơ pháp tuyến n (c) Làm để tính tích phân S mặt tham số cho phương trình vectơ r(u, v) (d) Tính tương tự S cho phương trình z = g(x, y) 14 Hãy phát biểu định lý Stokes 15 Hãy phát biểu định lý Divergence 102 16 Các định lý sau tương tự nào: Định lý giải tích, định lý Green, định lý Stokes, định lý Divergence? Câu hỏi Đúng-Sai Hãy kiểm tra xem phát biểu hay sai, giải thích Nếu sai, giải thích cho ví dụ phản chứng Nếu F trường vectơ, div F trường vectơ Nếu F trường vectơ, curl F trường vectơ Nếu f có đạo hàm riêng liên tục cấp R3 , div (curl ∇f ) = Nếu f có đạo hàm riêng liên tục cấp R3 C đường trịn bất kỳ, C ∇f · dr = Nếu F = P i + Qj Py = Qx miền mở D, F bảo toàn −C f (x, y)ds = − C f (x, y)ds Nếu F G trường vectơ div F = div G F = G Công thực trường lực bảo toàn chất điểm di chuyển quanh đường cong kín khơng Nếu F G trường vectơ, curl (F + G) = curl F + curl G 10 Nếu F G trường vectơ, curl (F · G) = curl F · curl G 11 Nếu S mặt cầu F trường vectơ hằng, S F · dS = 12 Có trường vectơ F thỏa mãn curl F = xi + yj + zk Bài tập 10.1 Một trường vectơ F, đường cong C điểm P hình (a) Đại lượng C F · dr dương, âm hay khơng? Hãy giải thích (b) Đại lượng div F(P ) dương, âm hay khơng? Hãy giải thích 2-9 Hãy tính tích phân đường 103 S xds, C cung parabola y = x2 từ điểm (0, 0) đến (1, 1) C yz cos xds, C : x = t, y = cos t, z = sin t, ≤ t ≤ π ydx + (x + y )dy, C ellipse 4x2 + 9y = 36 có chiều ngược chiều kim đồng hồ C y dx + x2 dy, C cung parabola x = − y từ điểm (0, −1) đến (0, 1) √ C xydx + ey dy + xzdz, C cho r(t) = t4 i + t2 j + t3 k, ≤ t ≤ C C xydx + y dy + yzdz, C đoạn thẳng nối từ điểm (1, 0, −1) đến (3, 4, 2) F · dr, F(x, y) = xyi + x2 j C cho r(t) = sin ti + (1 + t)j, ≤ t ≤ π F · dr, F(x, y, z) = ez i + xzj + (x + y)k C cho r(t) = t i + t3 j − tk, ≤ t ≤ C C 10 Hãy tính cơng thực trường lực F(x, y, z) = zi + xj + yk chất điểm di chuyển từ điểm (3, 0, 0) đến (0, π/2, 3) (a) đường thẳng (b) đường đinh ốc x = cos t, y = t, z = sin t 11-12 Hãy F trường vectơ bảo tồn Sau tìm hàm f thỏa mãn F = ∇f 11 F(x, y) = (1 + xy)exy i + (ey + x2 exy )j 12 F(x, y, z) = sin yi + x cos yj − sin zk 13-14 Hãy F trường vectơ bảo toàn áp dụng giả thiết để tính C F · dr đường cong cho trước 13 F(x, y) = (4x3 y − 2xy )i + (2x4 y − 3x2 y + 4y )j, C : r(t) = (t + sin πt)i + (2t + cos πt)j, ≤ t ≤ 14 F(x, y, z) = ey i + (xey + ez )j + yez k, C đoạn thẳng nối từ điểm (0, 2, 0) đến (4, 0, 3) 15 Hãy chứng tỏ định lý Green với tích phân đường C xy dx − x2 ydy, C chứa parabola y = x2 từ điểm (−1, 1) đến (1, 1) đoạn thẳng nối từ điểm (1, 1) đến (−1, 1) 104 16 Hãy áp dụng định lý Green để tính √ + x3 dx + 2xydy C C miền tam giác có đỉnh (0, 0), (1, 0) (1, 3) 17 Hãy áp dụng định lý Green để tính C x2 ydx − xy dy, C đường trịn x2 + y = có chiều ngược chiều kim đồng hồ 18 Hãy tính curl F div F F(x, y, z) = e−x sin yi + e−y sin zj + e−z sin xk 19 Hãy khơng có trường vectơ G thỏa mãn curl G = 2xi + 3yzj − xz k 20 Hãy rằng, với điều kiệns trường vectơ F G curl (F × G) = Fdiv G − Gdiv F + (G · ∇)F − (F · ∇)G 21 Nếu C đường cong đơn trơn khéo kín f g hàm khả vi, C f (x)dx + g(y)dy = 22 Nêú f g hai hàm khả vi, ∇2 (f g) = f ∇2 g + g∇2 f + 2∇f · ∇g 23 Nếu f hàm điều hoà, nghĩa là, ∇2 f = 0, chi tích phân đường intfy dx − fx dy độc lập với miền đơn liên D 24 (a) Hãy phác họa đường cong C với phương trình tham số x = cos t (b) Hãy tính C y = sin t z = sin t ≤ t ≤ 2π 2xe2y dx + (2x2 e2y + 2y cot z)dy − y csc2 zdz 25 Hãy tính diện tích phần mặt z = x2 + 2y miền tam giác có đỉnh (0, 0), (1, 0) (1, 2) 26 (a) Hãy tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến điểm (4, −2, 1) với mặt tham số S cho r(u, v) = v i − uvj + u2 k ≤ u ≤ 3, −3 ≤ v ≤ 105 (b) Hãy sử dụng máy tính để vẽ mặt S mặt phẳng tiếp tuyến tìm câu (a) (c) Thiết lập, khơng tính, tích phân để tính diện tích mặt S (d) Nếu F(x, y, z) = tính S x2 y2 z2 i + j + k + x2 + y2 + z2 F · dS xác đến bốn chữ số thập phân 27-30 Hãy tính tích phân mặt 27 zdS S phần paraboloid z = x2 + y nằm mặt phẳng z = 28 (x2 z + y z)dS, S phần mặt phẳng z = + x + y nằm bên mặt trụ x2 + y = 29 F · dS, F(x, y, z) = xzi2yj + 3xk S mặt cầu x2 + y + z = hướng ngồi 30 F · dS, F(x, y, z) = x2 i+xyj+zk S phần paraboloid z = x2 + y bên mặt phẳng z = hướng lên S S S S 31 Hãy chứng tỏ định lý Stokes với trường vectơ F(x, y, z) = x2 i + y j + z k, S phần paraboloid z = − x2 − y nằm mặt phẳng xy S hướng lên 32 Hãy áp dụng định lý Stokes để tính S curl F · dS, F(x, y, z) = x2 yzi + yz j + z exy k, S phần mặt cầu x2 + y + z = nằm mặt phẳng z = S hướng lên 33 Hãy áp dụng định lý Stokes để tính C F · dr, F(x, y, z) = xyi + yzj + zxk, C tam giác có đỉnh (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1) hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ bên 34 Hãy áp dụng định lý Divergence để tính tích phân mặt S F · dS, F(x, y, z) = x3 i + y j + z k S mặt hình khối giới hạn mặt trụ x2 + y = mặt phẳng z = z = 35 Hãy chứng tỏ định lý Divergence với trường vectơ F(x, y, z) = xi + yj + zk, E cầu đơn vị x2 + y + z ≤ 36 Hãy tính thơng lượng dịng bên ngồi F(x, y, z) = xi + yj + zk (x2 + y + z )3/2 qua ellipsoid 4x2 + 9y + 6z = 36 106 37 Cho F(x, y, z) = (3x2 yz − 3y)i + (x3 z − 3x)j + (x2 y + 2z)k Hãy tính C F · dr, C đường cong với điểm đầu (0, 0, 2) điểm cuối (0, 3, 0) hình 38 Cho F(x, y) = Hãy tính C (2x3 + 2xy − 2y)i + (2y + 2xy y + 2x)j x2 + y F · dr, C cho hình vẽ 39 Hãy tính S F · dS, F(x, y, z) = xi + yj + zk S mặt có hướng ngồi hình (mặt biên hình ống với góc bị khuyết đi) 40 Nếu thành phần F có đạo hàm riêng cấp hai liên tục S mặt phẳng biên miền đơn liên, S curl F · dS = 41 Nếu a vectơ hằng, r = xi + yj + zk S mặt có hướng, trơn với đường biên C đơn, đóng trơn hướng theo chiều dương, 2a · dS = S (a × r) · dr C Bài toán mở rộng Cho S mặt tham số trơn cho P điểm cho đường P giao với S lúc Góc khối Ω(S) đối diện S P tập hợp đường thẳng P qua S Cho S(a) giao tuyến Ω(S) với bề mặt mặt cầu tâm P bán kính a Khi số đo góc khối (đơn vị steradian) xác định |Ω(S)| = diện tích S(a) a2 Hãy áp dụng định lý Divergence cho phần Ω(S) S(a) S để r·n |Ω(S)| = dS S r r bán kính vectơ từ điểm P đến điểm S, r = |r|, vectơ pháp tuyến đơn vị n lấy từ điểm P 107 Điều định nghĩa số đo góc khối khơng phụ thuộc bán kính a mặt cầu Do số đo góc khối diện tích lấy mặt cầu đơn vị (Chú ý tương tự với định nghĩa số đo radian) Tổng góc khối cho hình cầu tâm 4π steradian Hãy tìm đường cong C đóng, đơn, có chiều dương có tích phân đường (y − y)dx − 2x3 dy C đạt giá trị cực đại Cho C đường cong không gian đơn, đóng, trơn khúc nằm mặt phẳng có vectơ pháp tuyến đơn vị n = a, b, c có chiều dương ứng với n Hãy diện tích hình phẳng giới hạn C (bz − cy)dx + (cx − az)dy + (ay − bx)dz C Xem xét hình dạng mặt có phương trình tham số x = sin u, y = sin v, z = sin(u + v) Trước hết vẽ đồ thị mặt theo nhiều hướng nhìn khác Hãy giải thích xuất đồ thị cách xác định vết mặt nằm ngang z = 0, z = ±1 z = ± 21 Hãy chứng minh mệnh đề sau ∇(F · G) = (F · ∇)G + (G · ∇)F + F × curl G + G × curl F Hình ảnh mô tả chuỗi kiện xy lanh bốn xy lanh động Tất piston di chuyển lên xuống kết nối cánh tay xoay để xoay trục khuỷu Cho P (t) V (t) áp suất thể tích bên xy lanh thời điểm t, a ≤ t ≤ b cho chu lỳ đầy đủ Đồ thị cho thấy cách thay đổi P V thông qua chu lỳ động bốn Trong kỳ nạp (từ đến 2) hỗn hợp không khí xăng áp suất khí bị kéo vào xi lanh qua van nạp di chuyển piston xuống sau piston nhanh chóng nén kết hợp với van đóng cửa hành trình nén (từ đến 3) tăng áp lực khối lượng giảm đốt cháy sparkplug nhiên liệu, tăng nhiệt độ áp suất khối lượng gần liên tục đến Sau đó, với van đóng, mở rộng nhanh chóng buộc piston xuống thời gian đột quỵ điện (từ đến 5) Van xả mở ra, nhiệt độ giảm áp lực, lượng học lưu trữ bánh đà quay đẩy piston lên, buộc sản phẩm thải khỏi nhà van xả kỳ xả Van xả đóng van hút mở Chúng ta quay trở lại chu kỳ bắt đầu lần 108 (a) Hãy công thực lên piston chu lỳ động bốn W = C P dV , C đường cong mặt phẳng P V hình [Gợi ý: Lấy x(t) khoảng cách từ piston đến đỉnh xy lanh lưu ý lực tác động lên poston F = AP (t)i, A diện tích đỉnh piston Sau W = C1 F · dr, C1 cho r(t) = x(t)i, a ≤ t ≤ b Một phương pháp khác tính tổng Riemann trực tiếp] (b) Hãy áp dụng công thức (39) để công thực chênh lệch diện tích hình phẳng giới hạn hai vòng lặp C 109