Bài giảng trường điện từ chương 1 giải tích vector

Các yếu tố vi phân 3... cos S là mặt kín: : vector pháp tuyến đơn vị của mặt S  Tích phân thể tích : mật độ khối Các toán tử  Gradient  Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vector 

Chương 1 1

1 Các hệ toạ độ

2 Các yếu tố vi phân

3 Phép tính vector

4 Tích phân

5 Các toán tử

CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTOR

7:43 AM

Các hệ toạ độ

 Hệ toạ độ Descartes

z

x

y O

z

x

y

7:43 AM Chương 1 3

Các hệ toạ độ

 Hệ toạ độ trụ

r,,z



rP,P,zP

P

Các hệ toạ độ

 Hệ toạ độ cầu



7:43 AM Chương 1 5

Các hệ toạ độ

 Liên hệ giữa các hệ toạ độ

Descartes

y = rsin

z = z

x = rsincos

y = rsinsin

z = rcos

Trụ

(r,,z)

z = z

r = rsin

 = 

z = rcos

Cầu

(r,,)

 = 

Các hệ toạ độ

 Liên hệ giữa các hệ toạ độ

Descartes

(x,y,z) -< x < -< y < -< z < 1 1 1

Trụ

Cầu

7:43 AM Chương 1 7

Các yếu tố vi phân

 Hệ toạ độ Descartes

Các yếu tố vi phân

 Hệ toạ độ trụ

rdrd



7:43 AM Chương 1 9

Các yếu tố vi phân

 Hệ toạ độ cầu



rsind

Các yếu tố vi phân

Tìm khối lượng của vật thể hình cầu bán kính a, tâm tại gốc toạ độ có mật độ khối lượng

(r,,) = 0/r.

m = 2 0 a 2

Áp dụng: r: 0 – R,: 0 - 2, : 0 - /2

x = rsincos

y = rsinsin

7:43 AM Chương 1 11

Phép tính vector

 Biểu diễn vector

 Tích vô hướng

 Tích có hướng

Phép tính vector

 Đạo hàm vector

lim

∆ →

∆

7:43 AM Chương 1 13

Tích phân

 Tích phân đường

cos

C là đường cong kín:

: lưu số của theo C

 Tích phân mặt

cos

S là mặt kín:

: vector pháp tuyến đơn vị của mặt S

 Tích phân thể tích

: mật độ khối

Các toán tử

 Gradient

 Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vector

 Độ lớn bằng tốc độ tăng cực đại

 Hướng là hướng có tốc độ tăng cực đại (vuông góc với mặt V

= const đi qua điểm đang xét)

7:43 AM Chương 1 15

Các toán tử

 Gradient

 Descartes

 Trụ

1

 Cầu

Các toán tử

 Gradient

Tìm vector đơn vị vuông góc với mặt r 2 cos(2) = 1 tại điểm 2, , 0 trong hệ toạ độ trụ.

Hướng vuông góc với mặt V = const là gradV  cần tính gradV với V = r 2 cos(2)

1

Tại điểm 2, , 0

2 2 2

Vector đơn vị:

2 6 8

1

7:43 AM Chương 1 17

Các toán tử

 Divergence

 Đặc trưng cho cường độ của nguồn

 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vô hướng

1

 Descartes

Các toán tử

 Định lý Divergence (định lý Gauss – Ostrograsky)

 Divergence

S: mặt kín bất kỳ bao quanh thể tích V

7:43 AM Chương 1 19

Các toán tử

 Rotation (curl)

 Đặc trưng cho tính chất xoáy của vector

 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector

1

Các toán tử

 Rotation (curl)

 Descartes

 Định lý Stokes

C: đường cong kín bất kỳ bao quanh diện tích S

7:43 AM Chương 1 21

Các toán tử

 Laplace

 Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vô hướng

f = div(gradf) = ..f = 2f

 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector

Các biểu thức cơ bản

1 (f + g) = f + g

3

4 (fg) = gf + fg

5

8

7:43 AM Chương 1 23

2

Tính:

1 2

3

4 gradV 5

6

7 ∆

8 ∆ 9

10.gradU

2