TRỌN BỘ CÔNG THỨC GIẢI TÍCH 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

GIẢI TÍCH 12. Bổ túc về đại số:1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+bx+c = a(xx1)(xx2); =b24ac (’=b’2ac với b’=b2)thì nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=ca; nếu ab+c=0 thì x1=1; x2= ca;S=x1+x2= ba; P=x1.x2= ca (đl Vieet)2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c+ 0; P>0; S>0. đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet.3. Hàm nhất biến •Miền xác định D=R •Tính (>0, 0, 0;  2a b/ g(x) = ax2+bx+c  (,+)  b   ; g()0 a h(x) (hoặc m giá trị lớn h(x) (m0, b>0; m, nR ta có: an  a nm ; am anam =an+m ; a0=1; ( =am ; an a a1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; n an a    m ; b b a m n  n am Công thức logarit: logab = cac=b ( 0< a1; b>0) Với 0< a1, 00; R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga x1 = logax1logax2; x2 a loga x  x ; logax= logax; log a x  log a x ; (logaax=x);  log b x logax= ; (logab= ) log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba Phương trình mũ- lơgarít * Dạng ax= b ( a> , a  ) b  : pt vô nghiệm b>0 : a x  b  x  log a b * Đưa số: Af(x) = Bg(x)  f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x  b ( a> , a  ) Điều kiện : x > log a x  b  x  a b  logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x)  Đặt ẩn phụ; mũ hóa… Bất PT mũ – logarit: * Dạng ax > b ( a> , a  ) b  : Bpt có tập nghiệm R b>0 : a x  b  x  log a b , a>1 a x  b  x  log a b , < a < * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x  b ( a> , a  , x>0 ) log a x  b  x  a b , a >1 log a x  b  x  a b , < x <  Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm hàm số y=f(x) khoảng (a;b)  F / x   f x  , x  a; b Nguyên hàm hàm số sơ cấp  1.dx  x  c x  dx  x  c 1  1  1  dx  ln x  c x  Cosx.dx  Sinx  c  Sinx.dx  Cosx  c dx  tgx  c  Cos x dx  Cotgx  c  Sin x  e x dx  e x  c ax c  a x dx  ln a Nguyên hàm hàm số thường gặp:  1 ax  b   c  ax  b  dx  a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  c  Cosax  b .dx  a Sinax  b   c  Sinax  b .dx   a Cosax  b   c 1  Cos ax  b  dx  a tgax  b   c 1  Sin ax  b  dx   a Cotgax  b   c dx  e ax  b  c a a mx  n mx  n dx  c  a m ln a e ax  b Các phương pháp tính tích phân:Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức Phương pháp đổi biến số : b A   f x . / x .d x  a P.Pháp: Đặt : t = x   dt   / x .d x   x  b  t  b   x  a  t  a  Đổi cận:  Do đó: A  b   f t .dt  F t    b   a  a Các dạng đặc biệt bản: dx a  x a I  P.Pháp: Đặt: x  a.tgt   dx        t   2 a dt  a1  tg t .dt Cos t Đổi cận: a 2.Tính J   a  x dx P.Pháp:     t  2   dx  a.Cost.dt Đặt x  a.S int    Đổi cận Phương pháp tính tích phân phần Loại 1: Có dạng: e x  b   A=  P( x). Sinx .dx a Cosx   Trong P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x)  du = P(x).dx x  e    dv =   Sinx  dx  v =    Cosx   Áp dụng cơng thức tích phân phần b A = u.v   v.du b a a b Loại 2: B =  P( x ).Ln(ax  b).dx a Phương pháp: Đặt u = Ln(ax+b) du    v = dv = P(x).dx a dx ax  b Áp dụng: B = a -Dạng : A   Sin n x.dx Hay B   Cos n x.dx Nếu n chẵn: Áp dụng công thức Sin a   Cos2a ; x  a phương trình: f(x) =   x  b b u.v   v.du b a Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y =f(x) trục hoành: P.Pháp:  HĐGĐ (c) trục hoành nghiệm Cos a   Cos2a 2 Nếu n lẻ: b S   f ( x ) dx  a PP:Đặt tg làm thừa số 1 Thay tg  Cos x IV Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y = f(x) hai đường x = a; x = b: P.Pháp:  DTHP cần tìm là: b (c ): y = f(x) và(c ): y = g(x) hai đường x = a; x = b: P.Pháp  DTHP cần tìm là: S   f ( x )  g( x ) dx a  HĐGĐ hai đường (c1) (c2) nghiệm p.trình: f(x) – g(x) =0 Lập luận giống phần số V Thể tích vật thể: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox y = f(x) liên tục đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục ox tạo vật thể tích: b V  .  f ( x ) dx a (a < b) a  Hoành độ giao điểm (c) tục ox nghiệm phương trình: f(x) = Nếu p.trình f(x) = vơ nghiệm Hoặc có nghiệm khơng thuộc đoạn a; b thì: b Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy x = g(x) liên tục đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục oy tạo vật thể tích: b V  . g( y ) dy a VII SỐ PHỨC:  f ( x ).dx a Nếu p.trình f(x) = có nghiệm thuộc đoạn a; b Giả sử x =  , x =    b a   S   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx S a b Đặt t  Cosx (Đổi sin n1 x thành Cosx ) Dạng : A   tg m x.dx Hay B   Cotg m x.dx S  f ( x ).dx Diện tích hình phẳng giới hạn đường A   Sin n1 x.Sinx.dx S   f ( x ) dx b   b a    f ( x ).dx +  f ( x ).dx +  f ( x ).dx Số phức biểu thức có dạng a  bi , a,bR; i2 = -1 Số phức z  a  bi có a phần thực, b phần ảo Số phức z  a  bi biểu diễn r điểm M  a; b  hay u   a; b  mặt phẳng tọa độ Oxy Hai số phức : a  c a  bi  c  di   b  d Modun số phức z  a  bi uuuur độ dài OM Vậy : uuuur z  OM  a  b a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :  a  bi    c  di    a  c    b  d  i  a  bi    c  di    a  c    b  d  i  a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i Chú ý: i  i, i  1, i  i, i  Tổng quát : i n  1, i n1  i, i n2  1, i n3  i 1  i   2i ; 1  i   2i b Phép chia hai số phức : a  bi  a  bi  c  di   a  bi  c  di    c  di  c  di  c  di  c2  d z z.z  Như : z z z Chú ý: z  z  z  z PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : Định nghĩa : Số phức z bậc hai số phức nếu: z  w CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : z z  ; z z a Căn bậc hai số phức : Số phức liên hợp số phức z  a  bi số phức z  a  bi zz  z z ; z  z ; 1 i i 1 i c Các tính chất số phức liên hợp modun : z  z; z  z  z  z ;  z  z zz  z.z ;    z z Như để tìm Số phức z  x  yi  x, y  ¡  bậc hai số phức w  a  bi ta giải hệ phương trình hai  x2  y  a ẩn x, y thực sau:   xy  b Chú ý : Số có bậc hai Số thực a  có hai bậc hai :  a Số thực a  có hai bậc hai i a  i a Đặc biệt , số 1 có hai bậc hai i b Phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai az  bz  c  ( a, b, c  £ , a  ) * Nếu   , phương trình có nghiệm kép z   b 2a * Nếu   , phương trình có hai nghiệm phân biệt : z1,2  b   , 2a (  bậc hai  ) Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1.Hàm số bậc ( hàm số hữu tỷ )  Tập xác đònh  Đạo hàm y/  Hàm số tăng R ( khoảng xác đònh): y/  x  R a  Giải tìm m      Chú ý:Nếu hệ số a y/ có chứa tham số phải xét a =  Tương tự cho hàm số giảm: a  y/  x R     ax  b 2.Hàm số biến : y  cx  d  Tập xác đònh  Đạo hàm y/  Hàm số tăng (giảm) khoảng xác đònh : y/ > ( y/ < ) Giaûi tìm m  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = Dạng 2: Dùng dấu hiệu tìm cực trò  Tập xác đònh  Đạo hàm y/  Giải phương trình y/ = tìm nghiệm x0  Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > : hàm số đạt cực tiểu x0 * Nếu y//(x0) < : hàm số đạt cực đại x0 Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc có cực đại , cực tiểu  Tập xác đònh R  Đạo hàm y/  Hàm số có cực đại,cực tiểu y/ = có hai a  nghiệm phân biệt    Dạng 4: Tìm m để hàm số bậc có cực đại , cực tiểu (có cực trị)  y  ax  bx  c  Tập xác đònh R  Đạo hàm y  4ax3  2bx x   y/ =  4ax3  2bx  (1)    4ax  2b  (2) Hàm số có cực đại, cực tiểu y/ = có ba nghiệm phân biệt  pt(2) có nghiệm phân biệt khác  Giải tìm m Dạng Tìm m để hàm số đạt cực trò x0  Tập xác đònh  Đạo hàm y/  Hàm số đạt cực trò x0 : y/(x0) = giải tìm m Thử lại Chú ý: Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > : hàm số đạt cực tiểu x0 * Nếu y//(x0) < : hàm số đạt cực đại x0 Dạng 6: Hàm số đạt cực trò y0 x0  Tập xác đònh  Đạo hàm y/ = f/ (x)  Hàm số đạt cực trò y0 taïi x0  f / ( x0 )    f ( x0 )  y  f // ( x )  0  Dạng Tìm GTLN,GTNN đoạn [a,b]  Tìm xi [a,b]: f/(xi) = f/(xi) không xác đònh  Tính f(a), f(xi) , f(b)  Kết luận max y  max  f (a); f ( xi ); f (b) D y   f (a); f ( xi ); f (b) D  Giải tìm m Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12http://caodangduochanoi.vn/ - A0 Dạng 8: Tiếp tuyến đường cong ( C)     ( 2)  g ( x )  1.Tieáp tuyeán taïi M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0  2.Tiếp tuyến qua A(xA ,yA): ĐẠO HAØM  (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)  f ( x)  g ( x) u  v /  u /  v /  Điều kiện tiếp xúc:  / /  f ( x)  g ( x) u.v /  u / v  u.v / 3.Tieáp tuyeán sg sg (d) y  ax  b f   x0   a 4.Ttuyến vuông góc (d): y  ax  b f   x0    a Dạng 9; Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) =  Đưa phương trình dạng : f(x) = g(m) (*)  Ptrình (*) ptrình hoành độ giao điểm (C) :y = f(x) (d): y = g(m) ( (d) // Ox )  Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm phương trình (2 đồ thị cắt điểm phương trình có nhiêu nhiệm) Dạng 10; Biện luận số giao điểm ( C) d  (d): y = k(x – xA) + yA = g(x)  Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)  Nếu (*) phương trình bậc 2: 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm (C) và(d) 2) Xét a  : + Laäp  = b2 – 4ac + Xét dấu  kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) hai điểm phân biệt a      Nếu (*) phương trình bậc 3: 1) Đưa dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = x  x0   Ax  Bx  C   g ( x) (2)  2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0 3) Tính  (2), xét dấu  kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (2) có no pb x1 , x2 khaùc x0) C.v / u / v  v / u u    v2 v  C.v / / (v  0)  C.v / C     v2 v 0 / 6.C  / 7. x   / 8.x     x  1 u  1 1 9.   x  x  v/ 1    v v / u/ u  u  / / / /   / 10 x    x a   a ln a.u e   e u 11.a x   a x ln a u / / 12.e x   e x u u / / 13.log a x   /   x  1 u / u loga u / x ln a  / / u/ u ln a u/ u / sin u   u / cosu 14.ln x   x / 15.sin x   cos x ln u / 16.cos x    sin x / 17.tan x   cos2 x 1 / 18.cot x   sin x cosu / / /   u / sin u u/ cos2 u  u/ / cot u   sin u tan u / 19 y ax  b cx  d 20 y a1 x  b1 x  c1 a2 x  b2 x  c2 ta coù y /   ad  bc (cx  d ) ta coù Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/ -a1 b1 a c1 b c1 x 2 x a b2 a2 c2 b2 c y/  2 a x  b2 x  c   Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/ -LŨY THỪA  a 1   a n  a.a a  (a.b) n  a n b n ( n thừa số) n  a 1 an  a m a n  a n   a mn  a mn a f ( x) am  n a an a    n b b  ( a m ) n  ( a n ) m  a m n m n  a  n am n  a n a PHƯƠNG TRÌNH MŨ a 1    a 1  a g ( x)     f ( x)  g ( x)  D f ( x )  D g ( x ) a0  a f ( x)  a g ( x)   (a  1). f ( x)  g ( x)   a 1 th ì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)   a  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) LOGARIT  loga N  M  a M  N ( a, N  , a  )  loga a N  N  loga   loga a   a loga N  N  loga N1 N  loga N1  loga N  loga N1  loga N1  loga N N2  loga N  logb N logb a  loga N  log N a  loga k N  loga N k  a 1  logb a loga N  logb N  loga N k  k loga N loga f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)    a  loga f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x)  loga f ( x)  loga g ( x)   f ( x)  ( g(x)  )  f(x)  g(x)    a 1  f ( x)  loga f ( x)  loga g ( x)   g(x)   (a - 1)[f(x) - g(x)]  SỐ PHỨC * i  1 z *  z z * z  a  b.i  a  b * z  a  b.i  z  a  b.i * z  z  a2  b2 a  c a  b.i  c  d i   b  d c  d i (c  d i )(a  b.i )  * a  b.i (a  b.i )(a  b.i ) * z1  z  z1  z * z1  z  z1  z z  z * z1 z  z1 z ;     z2  z2   a  b.i Gọi  bậc  , ta có:  a  a2  b2  a  a2  b2  i b ≥ :    2   a  a2  b2  a  a2  b2  i b < :    2   r  a  b  a z  r (cos  i sin  )  cos  r  b  sin    r z1 z  r1r2 [cos(1   )  i sin(1   )] z r  [cos(1   )  i sin(1   )] z r2 1  [cos( )  i sin( )] z r n r (cos  i sin )  r n (cosn  i sin n )         (cos  i.sin )n  (cosn  i.sin n ) TÍCH PHÂN Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 1)  dx  x  C http://caodangduochanoi.vn/  kdx  kx  C b b b / a u.v dx  u.v a  a u vdx  1  1 x (ax  b) -2)  x  dx   C  (ax  b)  dx  C  1 a  1 P( x).e ax b dx  dx 3)  dx  ln x  C   ln ax  b  C x ax  b a u  P( x) ta có u /  P / ( x) 1 dx 1 Đặt 4)  dx  C   C v /  e ax b chon v  e ax b x a (ax  b) x (ax  b) a ( ax b ) x x ( ax  b ) 5)  e dx  e  C  e dx  a e  C  P( x).cos(ax  b)dx ax a ( cx  d ) 6)  a x dx   C  a ( cx  d ) dx  C u  P( x) ta có u /  P / ( x) ln a c ln a Đặt: 1 v /  cos(ax  b) chon v  sin(ax  b) 7)  sin xdx   cos x  sin(ax  b)dx  cos(ax  b) a a 8)  cos xdx  sin x  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  P( x).sin(ax  b)dx a dx dx u  P( x) ta có u /  P / ( x) 9)   tan x  tan( ax  b )  cos2 (ax  b) a Đặt: cos2 x 1 v /  sin(ax  b) chon v  cos(ax  b) dx dx 1 a 10)    cot x   cot(ax  b) sin x sin (ax  b) a  P( x).ln u( x)dx / TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ  f (e u ( x) ).u / ( x)dx  f (ln x) x dx  f ( ax  b ).dx  f (sin x, cos x)dx n Đặt t  u (x) Đặt t  ln(x ) Đặt t  n ax  b Đặt: • Nếu f hàm lẻ cosx : đặt t = sinx • Nếu f hàm lẻ sinx : đặt t = cosx • Nếu f hàm chẵn sinx, cosx dùng công  cos x  cos x , sin x  thức hạ bậc: cos2 x  2 x • Nếu f chứa sinx cosx đặt t  tan  f(  f (  f (  f( a  x ).dx Đặt x  a sin t a  x ).dx Đặt x  a tan t x  a ).dx 2 x2  a2 ).dx u  ln x ta có u /  v /  P( x) chon v   P( x)dx Chú ý : Đặt u hàm mà đạo hàm đơn giản v/ phần lại biểu thức dấu tích phân mà nguyên hàm phần biết DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH  (C1 ) (C ) ( H )  x  a, x  b (a  b) b S   y C1  y C dx a VOx    y C2  y C2 dx Đặt Đặt t  x x a a  (C1 ) (C ) ( H )  y  c, y  d (c  d ) d S   x C1  xC dy c b a x cos t x d VOy    xC2  xC2 dy c TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ... logarit: Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: an  a nm ; am anam =an+m ; a0=1; ( =am ; an a a1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; n an a    m ; b b a m n  n am Công thức logarit:... (1)   f ' ( x)  k (2) giải pt tìm x thay vào (2) ta k vào pttt d 2/ Giao điểm đường: Cho y=f(x) y= g(x) + ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt nghiệm có giao điểm + tốn ứng dụng... dx  c  a m ln a e ax  b Các phương pháp tính tích phân :Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức Phương pháp đổi biến số : b A   f x .