Đang tải... (xem toàn văn)
GIẢI TÍCH 12. Bổ túc về đại số:1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+bx+c = a(xx1)(xx2); =b24ac (’=b’2ac với b’=b2)thì nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=ca; nếu ab+c=0 thì x1=1; x2= ca;S=x1+x2= ba; P=x1.x2= ca (đl Vieet)2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c+ 0; P>0; S>0. đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet.3. Hàm nhất biến •Miền xác định D=R •Tính (>0, 0, 0; 2a b/ g(x) = ax2+bx+c (,+) b ; g()0 a h(x) (hoặc m giá trị lớn h(x) (m0, b>0; m, nR ta có: an a nm ; am anam =an+m ; a0=1; ( =am ; an a a1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; n an a m ; b b a m n n am Công thức logarit: logab = cac=b ( 0< a1; b>0) Với 0< a1, 00; R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga x1 = logax1logax2; x2 a loga x x ; logax= logax; log a x log a x ; (logaax=x); log b x logax= ; (logab= ) log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba Phương trình mũ- lơgarít * Dạng ax= b ( a> , a ) b : pt vô nghiệm b>0 : a x b x log a b * Đưa số: Af(x) = Bg(x) f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b ( a> , a ) Điều kiện : x > log a x b x a b logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x) Đặt ẩn phụ; mũ hóa… Bất PT mũ – logarit: * Dạng ax > b ( a> , a ) b : Bpt có tập nghiệm R b>0 : a x b x log a b , a>1 a x b x log a b , < a < * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b ( a> , a , x>0 ) log a x b x a b , a >1 log a x b x a b , < x < Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm hàm số y=f(x) khoảng (a;b) F / x f x , x a; b Nguyên hàm hàm số sơ cấp 1.dx x c x dx x c 1 1 1 dx ln x c x Cosx.dx Sinx c Sinx.dx Cosx c dx tgx c Cos x dx Cotgx c Sin x e x dx e x c ax c a x dx ln a Nguyên hàm hàm số thường gặp: 1 ax b c ax b dx a 1 1 ax b dx a ln ax b c Cosax b .dx a Sinax b c Sinax b .dx a Cosax b c 1 Cos ax b dx a tgax b c 1 Sin ax b dx a Cotgax b c dx e ax b c a a mx n mx n dx c a m ln a e ax b Các phương pháp tính tích phân:Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức Phương pháp đổi biến số : b A f x . / x .d x a P.Pháp: Đặt : t = x dt / x .d x x b t b x a t a Đổi cận: Do đó: A b f t .dt F t b a a Các dạng đặc biệt bản: dx a x a I P.Pháp: Đặt: x a.tgt dx t 2 a dt a1 tg t .dt Cos t Đổi cận: a 2.Tính J a x dx P.Pháp: t 2 dx a.Cost.dt Đặt x a.S int Đổi cận Phương pháp tính tích phân phần Loại 1: Có dạng: e x b A= P( x). Sinx .dx a Cosx Trong P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x) du = P(x).dx x e dv = Sinx dx v = Cosx Áp dụng cơng thức tích phân phần b A = u.v v.du b a a b Loại 2: B = P( x ).Ln(ax b).dx a Phương pháp: Đặt u = Ln(ax+b) du v = dv = P(x).dx a dx ax b Áp dụng: B = a -Dạng : A Sin n x.dx Hay B Cos n x.dx Nếu n chẵn: Áp dụng công thức Sin a Cos2a ; x a phương trình: f(x) = x b b u.v v.du b a Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y =f(x) trục hoành: P.Pháp: HĐGĐ (c) trục hoành nghiệm Cos a Cos2a 2 Nếu n lẻ: b S f ( x ) dx a PP:Đặt tg làm thừa số 1 Thay tg Cos x IV Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y = f(x) hai đường x = a; x = b: P.Pháp: DTHP cần tìm là: b (c ): y = f(x) và(c ): y = g(x) hai đường x = a; x = b: P.Pháp DTHP cần tìm là: S f ( x ) g( x ) dx a HĐGĐ hai đường (c1) (c2) nghiệm p.trình: f(x) – g(x) =0 Lập luận giống phần số V Thể tích vật thể: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox y = f(x) liên tục đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục ox tạo vật thể tích: b V . f ( x ) dx a (a < b) a Hoành độ giao điểm (c) tục ox nghiệm phương trình: f(x) = Nếu p.trình f(x) = vơ nghiệm Hoặc có nghiệm khơng thuộc đoạn a; b thì: b Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy x = g(x) liên tục đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục oy tạo vật thể tích: b V . g( y ) dy a VII SỐ PHỨC: f ( x ).dx a Nếu p.trình f(x) = có nghiệm thuộc đoạn a; b Giả sử x = , x = b a S f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx S a b Đặt t Cosx (Đổi sin n1 x thành Cosx ) Dạng : A tg m x.dx Hay B Cotg m x.dx S f ( x ).dx Diện tích hình phẳng giới hạn đường A Sin n1 x.Sinx.dx S f ( x ) dx b b a f ( x ).dx + f ( x ).dx + f ( x ).dx Số phức biểu thức có dạng a bi , a,bR; i2 = -1 Số phức z a bi có a phần thực, b phần ảo Số phức z a bi biểu diễn r điểm M a; b hay u a; b mặt phẳng tọa độ Oxy Hai số phức : a c a bi c di b d Modun số phức z a bi uuuur độ dài OM Vậy : uuuur z OM a b a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i a bi c di ac bd ad bc i Chú ý: i i, i 1, i i, i Tổng quát : i n 1, i n1 i, i n2 1, i n3 i 1 i 2i ; 1 i 2i b Phép chia hai số phức : a bi a bi c di a bi c di c di c di c di c2 d z z.z Như : z z z Chú ý: z z z z PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : Định nghĩa : Số phức z bậc hai số phức nếu: z w CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : z z ; z z a Căn bậc hai số phức : Số phức liên hợp số phức z a bi số phức z a bi zz z z ; z z ; 1 i i 1 i c Các tính chất số phức liên hợp modun : z z; z z z z ; z z zz z.z ; z z Như để tìm Số phức z x yi x, y ¡ bậc hai số phức w a bi ta giải hệ phương trình hai x2 y a ẩn x, y thực sau: xy b Chú ý : Số có bậc hai Số thực a có hai bậc hai : a Số thực a có hai bậc hai i a i a Đặc biệt , số 1 có hai bậc hai i b Phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai az bz c ( a, b, c £ , a ) * Nếu , phương trình có nghiệm kép z b 2a * Nếu , phương trình có hai nghiệm phân biệt : z1,2 b , 2a ( bậc hai ) Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1.Hàm số bậc ( hàm số hữu tỷ ) Tập xác đònh Đạo hàm y/ Hàm số tăng R ( khoảng xác đònh): y/ x R a Giải tìm m Chú ý:Nếu hệ số a y/ có chứa tham số phải xét a = Tương tự cho hàm số giảm: a y/ x R ax b 2.Hàm số biến : y cx d Tập xác đònh Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) khoảng xác đònh : y/ > ( y/ < ) Giaûi tìm m Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = Dạng 2: Dùng dấu hiệu tìm cực trò Tập xác đònh Đạo hàm y/ Giải phương trình y/ = tìm nghiệm x0 Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > : hàm số đạt cực tiểu x0 * Nếu y//(x0) < : hàm số đạt cực đại x0 Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc có cực đại , cực tiểu Tập xác đònh R Đạo hàm y/ Hàm số có cực đại,cực tiểu y/ = có hai a nghiệm phân biệt Dạng 4: Tìm m để hàm số bậc có cực đại , cực tiểu (có cực trị) y ax bx c Tập xác đònh R Đạo hàm y 4ax3 2bx x y/ = 4ax3 2bx (1) 4ax 2b (2) Hàm số có cực đại, cực tiểu y/ = có ba nghiệm phân biệt pt(2) có nghiệm phân biệt khác Giải tìm m Dạng Tìm m để hàm số đạt cực trò x0 Tập xác đònh Đạo hàm y/ Hàm số đạt cực trò x0 : y/(x0) = giải tìm m Thử lại Chú ý: Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > : hàm số đạt cực tiểu x0 * Nếu y//(x0) < : hàm số đạt cực đại x0 Dạng 6: Hàm số đạt cực trò y0 x0 Tập xác đònh Đạo hàm y/ = f/ (x) Hàm số đạt cực trò y0 taïi x0 f / ( x0 ) f ( x0 ) y f // ( x ) 0 Dạng Tìm GTLN,GTNN đoạn [a,b] Tìm xi [a,b]: f/(xi) = f/(xi) không xác đònh Tính f(a), f(xi) , f(b) Kết luận max y max f (a); f ( xi ); f (b) D y f (a); f ( xi ); f (b) D Giải tìm m Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12http://caodangduochanoi.vn/ - A0 Dạng 8: Tiếp tuyến đường cong ( C) ( 2) g ( x ) 1.Tieáp tuyeán taïi M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0 2.Tiếp tuyến qua A(xA ,yA): ĐẠO HAØM (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x) f ( x) g ( x) u v / u / v / Điều kiện tiếp xúc: / / f ( x) g ( x) u.v / u / v u.v / 3.Tieáp tuyeán sg sg (d) y ax b f x0 a 4.Ttuyến vuông góc (d): y ax b f x0 a Dạng 9; Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) = Đưa phương trình dạng : f(x) = g(m) (*) Ptrình (*) ptrình hoành độ giao điểm (C) :y = f(x) (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm phương trình (2 đồ thị cắt điểm phương trình có nhiêu nhiệm) Dạng 10; Biện luận số giao điểm ( C) d (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) Nếu (*) phương trình bậc 2: 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm (C) và(d) 2) Xét a : + Laäp = b2 – 4ac + Xét dấu kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) hai điểm phân biệt a Nếu (*) phương trình bậc 3: 1) Đưa dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = x x0 Ax Bx C g ( x) (2) 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0 3) Tính (2), xét dấu kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (2) có no pb x1 , x2 khaùc x0) C.v / u / v v / u u v2 v C.v / / (v 0) C.v / C v2 v 0 / 6.C / 7. x / 8.x x 1 u 1 1 9. x x v/ 1 v v / u/ u u / / / / / 10 x x a a ln a.u e e u 11.a x a x ln a u / / 12.e x e x u u / / 13.log a x / x 1 u / u loga u / x ln a / / u/ u ln a u/ u / sin u u / cosu 14.ln x x / 15.sin x cos x ln u / 16.cos x sin x / 17.tan x cos2 x 1 / 18.cot x sin x cosu / / / u / sin u u/ cos2 u u/ / cot u sin u tan u / 19 y ax b cx d 20 y a1 x b1 x c1 a2 x b2 x c2 ta coù y / ad bc (cx d ) ta coù Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/ -a1 b1 a c1 b c1 x 2 x a b2 a2 c2 b2 c y/ 2 a x b2 x c Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 http://caodangduochanoi.vn/ -LŨY THỪA a 1 a n a.a a (a.b) n a n b n ( n thừa số) n a 1 an a m a n a n a mn a mn a f ( x) am n a an a n b b ( a m ) n ( a n ) m a m n m n a n am n a n a PHƯƠNG TRÌNH MŨ a 1 a 1 a g ( x) f ( x) g ( x) D f ( x ) D g ( x ) a0 a f ( x) a g ( x) (a 1). f ( x) g ( x) a 1 th ì a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) a a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) LOGARIT loga N M a M N ( a, N , a ) loga a N N loga loga a a loga N N loga N1 N loga N1 loga N loga N1 loga N1 loga N N2 loga N logb N logb a loga N log N a loga k N loga N k a 1 logb a loga N logb N loga N k k loga N loga f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) a loga f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) loga f ( x) loga g ( x) f ( x) ( g(x) ) f(x) g(x) a 1 f ( x) loga f ( x) loga g ( x) g(x) (a - 1)[f(x) - g(x)] SỐ PHỨC * i 1 z * z z * z a b.i a b * z a b.i z a b.i * z z a2 b2 a c a b.i c d i b d c d i (c d i )(a b.i ) * a b.i (a b.i )(a b.i ) * z1 z z1 z * z1 z z1 z z z * z1 z z1 z ; z2 z2 a b.i Gọi bậc , ta có: a a2 b2 a a2 b2 i b ≥ : 2 a a2 b2 a a2 b2 i b < : 2 r a b a z r (cos i sin ) cos r b sin r z1 z r1r2 [cos(1 ) i sin(1 )] z r [cos(1 ) i sin(1 )] z r2 1 [cos( ) i sin( )] z r n r (cos i sin ) r n (cosn i sin n ) (cos i.sin )n (cosn i.sin n ) TÍCH PHÂN Tóm tắt số dạng tốn chương I – Giải tích 12 1) dx x C http://caodangduochanoi.vn/ kdx kx C b b b / a u.v dx u.v a a u vdx 1 1 x (ax b) -2) x dx C (ax b) dx C 1 a 1 P( x).e ax b dx dx 3) dx ln x C ln ax b C x ax b a u P( x) ta có u / P / ( x) 1 dx 1 Đặt 4) dx C C v / e ax b chon v e ax b x a (ax b) x (ax b) a ( ax b ) x x ( ax b ) 5) e dx e C e dx a e C P( x).cos(ax b)dx ax a ( cx d ) 6) a x dx C a ( cx d ) dx C u P( x) ta có u / P / ( x) ln a c ln a Đặt: 1 v / cos(ax b) chon v sin(ax b) 7) sin xdx cos x sin(ax b)dx cos(ax b) a a 8) cos xdx sin x cos(ax b)dx sin(ax b) P( x).sin(ax b)dx a dx dx u P( x) ta có u / P / ( x) 9) tan x tan( ax b ) cos2 (ax b) a Đặt: cos2 x 1 v / sin(ax b) chon v cos(ax b) dx dx 1 a 10) cot x cot(ax b) sin x sin (ax b) a P( x).ln u( x)dx / TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ f (e u ( x) ).u / ( x)dx f (ln x) x dx f ( ax b ).dx f (sin x, cos x)dx n Đặt t u (x) Đặt t ln(x ) Đặt t n ax b Đặt: • Nếu f hàm lẻ cosx : đặt t = sinx • Nếu f hàm lẻ sinx : đặt t = cosx • Nếu f hàm chẵn sinx, cosx dùng công cos x cos x , sin x thức hạ bậc: cos2 x 2 x • Nếu f chứa sinx cosx đặt t tan f( f ( f ( f( a x ).dx Đặt x a sin t a x ).dx Đặt x a tan t x a ).dx 2 x2 a2 ).dx u ln x ta có u / v / P( x) chon v P( x)dx Chú ý : Đặt u hàm mà đạo hàm đơn giản v/ phần lại biểu thức dấu tích phân mà nguyên hàm phần biết DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH (C1 ) (C ) ( H ) x a, x b (a b) b S y C1 y C dx a VOx y C2 y C2 dx Đặt Đặt t x x a a (C1 ) (C ) ( H ) y c, y d (c d ) d S x C1 xC dy c b a x cos t x d VOy xC2 xC2 dy c TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ... logarit: Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: an a nm ; am anam =an+m ; a0=1; ( =am ; an a a1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; n an a m ; b b a m n n am Công thức logarit:... (1) f ' ( x) k (2) giải pt tìm x thay vào (2) ta k vào pttt d 2/ Giao điểm đường: Cho y=f(x) y= g(x) + ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt nghiệm có giao điểm + tốn ứng dụng... dx c a m ln a e ax b Các phương pháp tính tích phân :Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức Phương pháp đổi biến số : b A f x .