HÌNH HỌC 12CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG1. sin= ABBC(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos= ACBC(KỀ chia HUYỀN)3. tan= ABAC(ĐỐI chia KỀ) 4. cot= ACAB(KỀ chia ĐỐI)II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG1. BC2= AB2+ AC2(Định lí Pitago)=>AB2= BC2 AC22. AB2= BH.BC 3. AC2= CH.BC4. AH2= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. 2 2 21 1 1AH AB ACIII. ĐỊNH LÍ CÔSIN1. a2= b2+ c2– 2bccosA 2. b2= a2+ c2– 2accosB 3. c2= a2+ b2– 2abcosCIV. ĐỊNH LÍ SINa b c2Rsin A sin B sin CV. ĐỊNH LÍ TALET MN BCa) AM AN MNAB AC BC; b) AM ANMB NCVI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG1. Tam giác thường:a) S = 1ah2b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hêrông)c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a32; b) S = 2a34c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực3. Tam giác vuông: a) S = 12ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):a) S = 12a2(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a25. Nửa tam giác đều:a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30ohoặc 60ob) BC = 2AB c) AC = a32d) S = 2a386. Tam giác cân: a) S = 1ah2(h: đường cao; a: cạnh đáy)b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đườ
HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AC AB tan = (ĐỐI chia KỀ) cot = (KỀ chia ĐỐI) AC AB sin = II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH B H C 1 2 AH AB AC2 III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA a b c 2R sin A sin B sin C IV ĐỊNH LÍ SIN V ĐỊNH LÍ TALET a) b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC A MN // BC AM AN MN ; AB AC BC b) N M AM AN MB NC B C VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a a) Đường cao: h = ; a2 b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vuông cân (nửa hình vng): a) S = a (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vng có góc 30o 60o a2 a b) BC = 2AB c) AC = d) S = B Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) A 60 o 30 o C b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S= d1.d2 (d1, d2 đường chéo) lvdoqt Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 A N M G B C P Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp( ): d a; d b d ( ) a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp( ) Tức là: a b a,b () () b) () () a d ( ) d a d () A c) Đt d vng góc với mp( ) d vng góc với đt nằm mp( ) Góc đt d mp( ): d cắt ( ) O A d O AH () d' ˆ Nếu góc d ( ) hay AOH = H H ( ) Góc mp( ) mp( ): () () AB Nếu FM AB;EM AB EM (),FM () ˆ = góc ( ) ( ) hay EMF F E B M A Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): Nếu AH ( ) d(A, ( )) = AH (với H ( )) IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Thể tích khối chóp: V= Bh (diện tích đáy đa giác) lvdoqt Tỉ số thể tích khối chóp: Diện tích xq hình nón tròn xoay: Thể tích khối nón tròn xoay: Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Thể tích khối trụ tròn xoay: Diện tích mặt cầu: Thể tích khối nón tròn xoay: VS.ABC SA SB SC VS.ABC SA SB SC Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh (diện tích đáy đường tròn) Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) S = R (R: bk mặt cầu ) V = R (R: bán kính mặt cầu) lvdoqt PHẦN: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN x A x B xC xG y A y B yC yG z A z B zC zG I CƠNG THỨC VECTƠ: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho a a1 ; a2 ; a3 b b1 ; b2 ; b3 k R Ta có: 1) a b a1 b1 ; a b2 ; a b3 2) ka ka1 ; ka ; ka 4) G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 3) a.b a1 b1 a b2 a b3 4) a a12 a 22 a 32 x A x B xC X D xG y y yC y D A B yG z A z B zC z D zG 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có: 5) Tích có hướng hai vectơ a b a, b ab ba a a a1 a ; b3 b1 b1 b2 a, b a b Sin a, b 6) ; a1 b1 7) a b a b2 a b 8) a phương b a, b 9) a a, b hay b a, b 10) a , b , c đồng phẳng a, b c 11) ab a1 b1 a b2 a b3 x A kx B x M 1 k y A ky B y M 1 k z A kz B z M k Ứng dụng vectơ: AB, AC S ABC VHoäpABCD A B C D AB, AD AA / VTứdiệnABCD / / / / 6) I trung điểm đoạn AB thì: xA xB x I y A yB y I z A z2 z I III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp có cặp VTCP : AB, AC AD a a1 ; a ; a b b1 ; b2 ; b3 II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho Ax A ; y A ; z A Nên có VTPT là: B x B ; y B ; z B x B x A y B y A z B z A 3) G trọng tâm ABC , ta có: a a a a1 a1 a ; ; n a, b b2 b3 b3 b1 b1 b2 2) Phương trình tổng quát mp có 1) AB x B x A ; y B y A ; zB z A 2) AB , k 1 dạng: Ax + By + Cz + D = Với A B C ; n A; B; C VTPT mp 3) Phương trình mặt phẳng toạ độ: lvdoqt (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C z D2 P.tr chùm mp xác định là: A1 x B1y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 với 2 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp: Tìm VTPT n A; B; C điểm qua M x0 ; y ; z dạng: Ax x By y C z z Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp: Tính AB, AC Mp (ABC) có VTPT n AB, AC qua A Kết luận Vấn Đề 3: Viết phương trình mp qua điểm A vng góc BC P.Pháp: Mp BC Nên có VTPT BC qua A Chú ý: Trục Ox chứa i 1;0;0 Trục Oz chứa k 0;0;1 Trục Oy chứa j 0;1;0 Vấn Đề 4: Viết phương tình mp mặt phẳng trung trực AB P.Pháp: Mp AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB Kết luận Vấn Đề 5: Viết phương tình mp qua điểm M x ; y ; z song song với mặt phẳng : Ax By Cz D P.pháp: // Nên phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D / = M D / Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q) P.Pháp: Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT (Q) n Q Mp (P) có VTPT n AB, nQ qua A Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu điểm M x ; y ; z trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) * Phương trình mp là: y x z 1 x0 y z0 Vấn Đề 8: Viết phương trình mp qua điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) P.Pháp: (P) có VTPT n P (Q) có VTPT n Q Mp có VTPT n P , n Q qua Mo Kết luận Vấn Đề 9:Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp * Đi qua điểm M0 P.Pháp: Mp qua giao tuyến có dạng: A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C z D M k1 k lvdoqt Kết luận *Song song với mặt phẳng : A3x + B3y + C3z +D3 = Mp có dạng: A1 A2 x B1 B2 y C1 C z D1 D Có VTPT : n A1 A2 ; B1 B2 ; C1 C Có VTPT : n3 A3 ; B3 ; C A1 A2 B1 B2 C1 C Vì // Nên A3 B3 C3 Giải tìm , * vng góc với : A3x + B3y + C3z +D3 = Ta có : n n n n Chọn Kết luận Chọn Vấn Đề 10: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp: Xác định tâm I mặt cầu (S) Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT : IA Viết phương trình tổng qt I II ĐƯỜNG THẲNG: Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát đường thẳng: A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B y C z D với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M x ; y ; z có VTCP a a1 ; a ; a là: x x a1 t y y a t z z a t t R 3) Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: a a1 ; a ; a3 x x y y z z0 a1 a2 a3 Với a12 a 22 a32 Qui ước: Nếu = x – x0 = Vấn Đề 11: Tìm VTCP đường thẳng tổng quát A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B y C z D P.Pháp: B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B C C A A B 2 2 Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng : P.Pháp: Cần biết VTCP a a1 ; a ; a điểm có VTCP : a M x ; y ; z Viết phương trình tham số theo cơng thức (2) Viết phương trình tắc theo cơng thức (3) Viết phương trình tổng quát từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng quát: x x0 y y0 a a2 x x z z0 a1 a3 Rút gọn dạng (1) Chú ý: Viết phương trình tổng qt phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm: - VTCP u a1 ; a ; a vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận Vấn Đề 13: Viết ptr đường thẳng qua điểm M x ; y ; z vng góc với mặt phẳng : Ax By Cz D lvdoqt P.Pháp: Mp có VTPT n A; B; C Đường thẳng qua điểm M0 có VTCP n Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt Vấn Đề 14: Viết phương trình hình chiếu d mp P.Pháp: Gọi d/ hình chiếu d trê mp Gọi mặt phẳng chứa d Nên có cặp VTCP VTCP d u d n VTPT mặt phẳng Mp có VTPT n u d , n Mp qua điểm M0 d Viết phương trình tổng quát Mp : : Vấn Đề 15: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x ; y ; z vng góc với hai đường P.Pháp: có VTCP u1 có VTCP u d vng góc với Nên d có VTCP u d u1 , u Vấn Đề 16: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường P.Pháp: Thay toạ độ A vào phương trình A 1 , A Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa Phương trình đường thẳng d/: P : P.tr đường thẳng d: Q : Vấn Đề 17: Viết phương trình đường thẳng d P cắt hai đường P.Pháp: Gọi A P Gọi B P Đường thẳng đường thẳng AB Vấn Đề 18: Viết phương trình đường thẳng d // d1 cắt hai đường P.Pháp Gọi (P) mặt phẳng chứa (P) // d1 Gọi (Q) mặt phẳng chứa (Q) // d1 d P Q P : Phương trình đường thẳng d Q : Vấn Đề 19: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo P.Pháp: Gọi u1 u VTCP 2 Gọi v u1 , u Gọi (P) mặt phẳng chứa có VTCP v Nên có VTPT n P u1 , v phương trình mặt phẳng (P) Gọi (Q) mặt phẳng chứa có VTCP v Nên có VTPT nQ u2 , v phương trình mặt phẳng (Q) Phương trình đường vng góc chung P : : Q : Vấn Đề 30: Viết phương trình đường thẳng d vng góc (P) cắt hai đường thẳng P.Pháp: Gọi mặt phẳng chứa có VTCP n P ( VTPT (P) ) Gọi mặt phẳng chứa có VTCP n P ( VTPT (P) ) Đường thẳng d Vấn Đề 31: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vng góc với đường thẳng cắt đường thẳng P.Pháp: Gọi mặt phẳng qua M0 vng góc Gọi mặt phẳng qua điểm M0 chứa lvdoqt Đường thẳng d Vấn Đề 32: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng mặt phẳng d , d P.Pháp: Gọi A Gọi mặt phẳng qua A vng góc với Nên có VTPT VTCP Đường thẳng d IV MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 – d>0 (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R a b c d Vấn Đề 20: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần: Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu Bán kính R Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Vấn Đề 21: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp: Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu Bán kính R AB Viết phương trình mặt cầu Vấn Đề 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với : Ax + By + Cz + D = P.Pháp: Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với Nên có bán kính Ax I By I Cz I D R d I , A2 B2 C Viết phương trình mặt cầu Vấn Đề 23: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp: Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Kết luận Vấn Đề 24: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy P.Pháp: Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I Oxy Ta có AI2 = BI2 = CI2 AI BI Ta có Hpt 2 AI CI Giải Hpt I IA = R Kết luận Vấn Đề 25: Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = P.Pháp 1: Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = a m a b n b Suy ra: 2c p c d q d Vậy (S) có tâm I(a ; b ; c) , Bán kính R a b c d P.Pháp 2: Đưa dạng (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 V KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách hai điểm AB AB x B x A y B y A z B z A 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = Ax By Cz D d M , A2 B2 C 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d Lấy M0 d Tìm VTCP đường thẳng d u M M1 , u d M , d u 2 lvdoqt 4) Khoảng cách hai đường thẳng chéo / Gọi u u / VTCP / qua điểm M0 , M 0/ / u, u / M M 0/ d , / u, u / VI.GÓC: Góc hai vectơ a b Gọi góc hai vectơ a b a1 b1 a b2 a b3 a.b Cos a.b a1 a 22 a 32 b12 b22 b32 Góc hai đường thẳng (a) (b) Gọi góc hai đường thẳng (a) (b) 0 90 Đường thẳng (a) (b) có VTCP : a a1 , a , a b b1 , b2 , b3 a.b a1 b1 a b2 a b3 Cos a.b a12 a 22 a 32 b12 b22 b32 Đặc biệt: ab a.b Góc hai mặt phẳng / : Ax + By + Cz + D = / : A/x + B/y + C/z + D/ = Gọi góc hai mặt phẳng / Cos AA / BB / CC / A2 B2 C A/ B/ C / Góc đường thẳng (d) mặt phẳng (d): có VTCP u = (a, b, c) : Ax + By + Cz + D = Gọi góc nhọn (d) Aa Bb Cc Sin A2 B2 C a2 b2 c2 Vấn Đề 26: Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường / có VTCP : a a1 , a , a ; M / có VTCP : a / a1/ ; a 2/ ; a 3/ ; M 0/ / a) / đồng phẳng a.a / M M 0/ a.a / M M 0/ / b) cắt / / / a1 : a : a a1 : a : a c) / a1 : a : a3 a1/ : a 2/ : a3/ x 0/ x : y 0/ y : z 0/ z d) chéo / a.a / M M 0/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Giả sử: có VTCP : a a1 , a , a qua M0(x0 ; y0 ; z0) : Ax + By + Cz + D = P.Pháp: Viết phương trình tham số Toạ d0ộ giao điểm đường thẳng mp nghiệm hệ phương trình x x a1 t _ 1 y y a t _ 2 z z a t _ 3 Ax By Cz D _ 4 Thế (1), (2), (3) vào (4) ta phương trình () theo t Nếu () vơ nghiệm // Nếu () có nghiệm tuỳ ý Nếu () có nghiệm cắt điểm vào (1), (2), (3) tìm toạ độ giao điểm Vị trí tương đối hai mặt phẳng : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C z D2 P.Pháp: // A1 B1 C1 A2 B C A1 B1 C1 A2 B C D1 D2 D1 D2 lvdoqt cắt B1 C1 A C hay B2 C A2 C A1 B1 hay A2 B Vị trí tương đối mp mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp: Tính d(I, ) Nếu d(I, ) > R => không cắt (S) Nếu d(I, ) = R => tiếp xúc (S) Nếu d(I, ) < R => cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r R d I , Gọi d/ đường thẳng qua tâm I d / Gọi H d / H tâm đường tròn giao tuyến Tọa độ giao điểm đường thẳng mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t Nếu ptr () vô nghiệm => không cắt mặt cầu (S) Nếu ptr () có nghiệm kép => cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm => cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số => Tọa độ giao điểm Vấn Đề 27: Tìm giao điểm H mp x x a1 t : y y a t z z a t : Ax + By + Cz + D = Vấn Đề 28: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) điểm đối xứng M qua Gọi d đường thẳng qua M d Nên d có VTCP n Viết phương trình tham số d Gọi H d Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương d : => Tọa độ điểm H : trình Vì H trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/ Vấn Đề 29: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đường thẳng d P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 P d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT Gọi H d P M/ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H trung điểm đoạn M0M/ x0 x / x H y y/ Ta có: y H => M/ z0 z / z H P.Pháp: Gọi H Tọa điểm H nghiệm hệ phương trình x x a1 t _ 1 y y a t _ 2 z z a t _ 3 Ax By Cz D _ 4 Thế (1), (2), (3) vào (4) ta phương trình => t Thế t = vào (1), (2), (3) ta tọa độ điểm H lvdoqt 10 lvdoqt 11 Hình học 12 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -hoctoancapba.com CÁC DẠNG TỐN TĨM TẮT LÝ THUYẾT Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác AB ( x B x A , y B y A , z B z A ) AB AB x B x A y B y A 2 z B z A a b a1 b1 , a b2 , a3 b3 k.a ka1 , ka2 , ka3 a a12 a 22 a32 A,B,C ba đỉnh tam giaùc [ AB, AC ] ≠ SABC = [AB, AC] Đường cao AH = Shbh = [AB, AC] 2.S ABC BC Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành Chứng minh A,B,C không thẳng hàng a1 b1 a b a b2 a b ABCD hbh AB DC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện: a.b a1 b1 a b2 a3 b3 a1 a a3 b1 b2 b3 a // b a k b a b 12 a, b, c không đồng phẳng a b c 13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ x kxB y A kyB z A kzB M A , , 1 k 1 k 1 k 14 M trung điểm AB x xB y A y B z A z B M A , , 2 15 G trọng tâm tam giác ABC x x B xC y A y B y C z A z B z C G A , , , 3 16 Véctơ đơn vị : e1 (1,0,0); e2 (0,1,0); e3 (0,0,1) 17 M ( x,0,0) Ox; N (0, y,0) Oy; K (0,0, z ) Oz 18 M ( x, y,0) Oxy; N (0, y, z ) Oyz; K ( x,0, z ) Oxz 1 a12 a 22 a32 19 S ABC AB AC 2 20 V ABCD ( AB AC ).AD 21 V ABCD A/ B / C / D / ( AB AD).AA / Đường cao AH tứ diện ABCD V S BCD AH AH 3V S BCD a b a.b a1 b1 a b2 a3 b3 a a3 a3 a1 a1 a 10 a b , , b b b b b b 3 1 11 a, b, c đồng phẳng a b c [ AB, AC ] AD ≠ Vtd = [AB, AC] AD Thể tích hình hộp : V ABCD A/ B / C / D / AB; AD AA / Dạng4: Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mp Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc mp : ta có a d n Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () H hình chiếu M đường thẳng (d) Viết phương trình mp qua M vuông góc với (d): ta có n a d Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () Dạng : Điểm đối xứng 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp Tìm hình chiếu H M mp (dạng 4.1) H trung điểm MM/ 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: Tìm hình chiếu H M (d) ( dạng 4.2) H trung điểm MM/ Hình học 12 MẶT PHẲNG TĨM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến mp : n ≠ véctơ pháp tuyến n Cặp véctơ phương mp : a // b cặp vtcp a , b cuøng // Quan hệ vtpt n cặp vtcp a , b : n = [ a , b ] Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm A,B,C : qua A ( hay B hay C ) ° ° Caëp vtcp: AB , AC vtpt n [ AB , AC ] Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° qua M trung điể m AB vtpt n AB Daïng 3: Mặt phẳng qua M d (hoặc AB) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = () : Ax + By + Cz + D = ta coù n = (A; B; C) 5.Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z 1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm véctơ pháp tuyến 6.Phương trình mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Chùm mặt phẳng : giả sử 1 2 = d (1): A1x + B1y + C1z + D1 = (2): A2x + B2y + C2z + D2 = Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = Vò trí tương đối hai mp (1) (2) : ° caét A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 A B C D ° // A2 B2 C2 D2 A B C D ° A2 B2 C2 D2 ª A1 A2 B1 B2 C1C2 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = d(M, ) Ax o By o Cz o D A B2 C2 10.Góc hai mặt phẳng : n1 n cos( , ) n1 n qua M ° Vì (d) nên vtpt n a (AB) d Dạng 4: Mp qua M // : Ax + By + Cz + D = ° qua M Vì // nê n vtpt n n Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/) Điểm M ( chọn điểm M (d)) a d a Mp chứa (d) nên Mp song song (d/) nên a d / b ■ Vtpt n a d , a d / Daïng Mp qua M,N vaø : ■ Mp qua M,N neân MN a ■ Mp mp neân n b qua M (hay N) ° vtpt n [ MN , n ] Daïng Mp chứa (d) qua ■ Mp chứa d nên a d a ■ Mp qua M (d ) A nên AM b qua A ° (Cách 2: sử dụng chùm mp) vtpt n [ a , AM] d Hình học 12 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN TĨM TẮT LÝ THUYẾT CÁC DẠNG TOÁN 1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) Dạng 1: : Đường thẳng (d) qua A,B (hayB) quaA (d ) ad AB Vtcp x x o a 1t (d) : y y o a t ; t R z z a t o Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A song song () qua A 2.Phương trình tắc (d) (d) : x xo a y yo a2 z-z a3 (d ) Qui ước: Mẫu = Tư û= qua A (d ) A x B1 y C1z D1 (d) : A x B y C z D B1 Véctơ phương a B2 C1 C1 , C2 C2 A1 A1 , A2 A2 B1 B2 (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d / d cheùo d’ [ a d , a d / ] MN ≠ (không đồng phẳng) d,d’ đồng phẳng [ a d , a d / ] MN = / d,d’ song song { a d // a d / vaø M ( d ) } d,d’ truøng { a d // a d / vaø M ( d / ) } Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d / Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) Kc đường thẳng : n d d (d ; d / ) Viết pt mp chứa (d) vuông góc mp quaM (d ) ( ) (d ) a a d n b n [a d ; n ] ª (d / ( ) ) ( ) Daïng 5: Đường thẳng (d) qua A vuông góc (d1),(d2) (d ) qua A vtcp a [ a d1 ,a d2 ] Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 : + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d) [a d ; AM ] d= ad Daïng 7: PT qua A d cắt d1,d2 : d = [a d ; a d / ].MN với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) Dạng 8: PT d // cắt d1,d2 : d = 1 2 với mp1 chứa d1 // ; mp2 chứa d2 // [a d ; a d / ] Vì (d) ( ) nê n vtcp a d,d’ cắt [ a d , a d / ] vaø [ a d , a d / ] MN =0 5.Khoảng cách : Dạng4: PT d’ hình chiếu d lên : d/ = 4.Vò trí tương đối đường thẳng : d a Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vuông góc mp 3.PT tổng quát (d) giao tuyến mp 1 2 Vì (d) // () nê n vtcp a 6.Góc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n a d a d / Góc đường thẳng : cos(d,d' ) ad ad / ad n Góc đường mặt : sin(d, ) ad n Daïng 9: PT d qua A d1, cắt d2 : d = AB với mp qua A, d1 ; B = d2 Daïng 10: PT d (P) caét d1, d2 : d = với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 , (P) Hình học 12 MẶT CẦU CÁC DẠNG TOÁN TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R S(I,R) : x a y b z c R 2 2 (1) S(I,R) : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d (2) ( với a b c d ) 2 2 Taâm I(a ; b ; c) vaø R a b c d 2.Vò trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho (S) : x a2 y b2 z c2 R2 vaø : Ax + By + Cz + D = Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp : d > R : (S) = d = R : tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, : tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu tâm I mp) Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vuông góc mp : ta có a d n Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () d < R : cắt (S) theo đường tròn có pt (S) : x a2 y b2 z c2 R2 : Ax By Cz D *Tìm bán kính r tâm H đường tròn: + bán kính r R2 d2 ( I , ) + Tìm tâm H ( hchiếu tâm I mp) Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vuông góc mp : ta có a d n Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () 3.Giao điểm đường thẳng mặt cầu x x o a1t d : y y o a t (1) vaø z z o a t (S) : x a y b z c R2 (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm 2 Dạng 1: Mặt cầu tâm I qua A ª S(I,R) : x a y b z c R (1) 2 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB Tâm I trung điểm AB Viết phương trình mặt cầu tâm I (1) Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp Pt mặ t cầ u tâ m I (S ) R d(I, ) A.x B y C z D I I I A2 B C Dạng 4: Mặt cầu tâm I tiếp xúc () (S ) tâ m I R d(I, ) Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Dùng (2) S(I,R) : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d A,B,C,D mc(S) hệ pt, giải tìm a, b, c, d Dạng 6:Mặt cầu qua A,B,C taâm I € (α) S(I,R) : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d (2) A,B,C mc(S): tọa tọa A,B,C vào (2) I(a,b,c) (α): a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A Tiếp diện mc(S) A : qua A, vtpt n IA Dạng 8: Mặt phẳng tiếp xúc (S) + Viết pt mp vuông góc : n a ( A, B, C ) + Mp : Ax + By + Cz + D = + Tìm D từ pt d(I , ) = R Dạng 9: Mặt phẳng tiếp xúc (S) // đt a,b : n [ a ,b ] pt : Ax By Cz D từ d(I, ) R D Dạng 10: Mp chứa tiếp xúc mc(S) : thuộ c chù m mp a R d(I, ) m, n Hình học 12 ... trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình. .. kính mặt cầu) lvdoqt PHẦN: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN x A x B xC xG y A y B yC yG z A z B zC zG I CƠNG THỨC VECTƠ: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho ... phương trình => t Thế t = vào (1), (2), (3) ta tọa độ điểm H lvdoqt 10 lvdoqt 11 Hình học 12 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -hoctoancapba.com