CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

CH NG 1: HÀM GI I TÍCH   §1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH D ng đ i số số phức: Ta gọi số phức biểu thức d ng (x + jy) x y số thực j đơn vị o Các số x y phần thực phần o số phức Ta thường kí hiệu: z = x + jy x = Rez = Re(x + jy) y = Imz = Im(x + jy) Tập hợp số phức kí hiệu C Vậy: C = { z = x + jy | x ∈ R , y ∈ R} R tập hợp số thực Nếu y = ta có z = x, nghĩa số thực trường hợp riêng số phức với phần o Nếu x = ta z = jy số o Số phức z = x − jy gọi số phức liên hợp z = x + jy Vậy Re(z) = Re(z) , Im(z ) = − Im(z) , z = z Số phức -z = -x - jy số phức đối z = x + jy Hai số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 gọi x1 = x2 y1 = y2 Các phép tính số phức: a Phép cộng: Cho hai số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = (x1 + x2 ) + j(y1 + jy2 ) tổng hai số phức z1 z2 Phép cộng có tính chất sau: (giao hoán) z1 + z2 = z2 + z1 (kết hợp) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 b Phép trừ: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = (x1 - x2 ) + j(y1 - jy2 ) hiệu hai số phức z1 z2 c Phép nhân: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = z1.z2 = (x1x2-y1y2) + j(x1y2 + x2y1) tích hai số phức z1 z2 Phép nhân có tính chất sau: (tính giao hốn) z1,z2 = z2.z1 (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) (tính kết hợp) z1(z2 + z3) = z1.z2 + z2.z3 (tính phân bố) (-1.z) = -z z.0 = z = j.j = -1 d Phép chia: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Nếu z2 ≠ tồn t i số phức z = x + jy cho z.z2 = z1 Số phức: z= y x − y x1 z1 x1x + y y = + j 22 2 z2 x2 + y2 x + y 22 gọi thương hai số phức z1 z2 e Phép nâng lên luỹ thừa: Ta gọi tích n số phức z luỹ thừa bậc n z kí hiệu: z n = z.z L z Đặt w = zn =(x + jy)n theo định nghĩa phép nhân ta tính Rew Imw theo x y Nếu zn = w ngược l i ta nói z bậc n w ta viết: z=n w f Các ví dụ: Ví dụ 1: j2 = -1 j3 = j2.j = -1.j = -j Ví dụ 2: (2+j3) + (3-5j) = 5-2j = −j j + j (2 + j)(1 + j) − + j =− + j = = 1− j 1− j 2 z + z = ( x + jy) + ( x − jy) = 2x = Re z Ví dụ 3: Ví dụ 4: Tìm số thực tho mãn phương trình: (3x - j)(2 + j)+ (x - jy)(1 + 2j) = + 6j Cân phần thực phần o ta có: 20 36 x= y=− 17 17 Ví dụ 5: Gi i hệ phương trình: ⎧z + jε = ⎨ ⎩2 z + ε = + j Ta gi i cách dùng phương pháp Cramer kết qu : j z= 1+ j − j (2 − j)(1 + j) + j = = = j 1− 2j 5 1 j 1+ j j − ( j − 1)(1 + j) − − j = = ε= = j 1− 2j 5 Ví dụ 6: Chứng minh đa thức P(z) đa thức biến số phức z với hệ số thực: P(z) = a0zn + a1zn-1 + ⋅⋅⋅+ an P (z ) = P ( z ) Thật ta thấy số phức liên hợp tổng tổng số phức liên hợp số h ng, số phức liên hợp tích tích số phức liên hợp thừa số Do vậy: a k z n −k = a k z n −k Do đó: P ( z ) = ∑ a k z n − k = ∑ a k z n −k = ∑ a k z n −k = P ( z ) n n n k =0 k =0 k =0 Từ kết qu suy đa thức P(z) có hệ số thực α nghiệm phức tức P(α) = α nghiệm nó, tức P( α ) = Biểu diễn hình học: Cho số phức z = x + jy Trong mặt phẳng xOy ta xác định điểm M(x,y) gọi to vị số phức z Ngược l i cho điểm M mặt phẳng, ta biết to độ (x,y) lập số phức z = x + jy Do ta gọi xOy mặt phẳng phức Ta biểu diễn số phức vec tơ tự có to độ (x,y) Mođun argumen số phức z: Số phức z có to vị M Ta gọi độ dài r vec tơ OM mođun z kí hiệu z Góc ϕ xác định sai khác 2kπ gọi argumen z kí hiệu Argz: M r = z = OM y r Argz = Ox, OM = ϕ + kπ ϕ đặc biệt, trị số Argz nằm -π π gọi giá x O trị Argz kí hiệu argz Trường hợp z = Argz khơng xác định Giữa phần thực, phần o, mođun argumen có liên hệ: x = rcosϕ y = rsinϕ r = x + y2 y tgϕ = x ( ) y ⎧ ⎪acrtg x ⎪ y ⎪ arg z = ⎨π + acrtg x ⎪ y ⎪ ⎪− π + acrtg x ⎩ x > x < 0, y ≥ x < 0, y < Với x = từ định nghĩa ta có: ⎧π ⎪⎪ arg z = ⎨ ⎪− π ⎪⎩ y > y < Hai số phức có mođun argumen z = z z.z = z Từ cách biểu diễn số phức vec tơ ta thấy số phức (z1 - z2) biểu diễn kho ng cách từ điểm M1 to vị z1 đến điểm M2 to vị z2 Từ suy | z | = r biểu thị đường trịn tâm O, bán kính r Tương tự | z - z1 | = r biểu thị đường trịn tâm z1, bán kính r; | z - z1 | > r phần mặt phức đường tròn | z - z1 | < r phần đường trịn Hơn ta có bất đẳng thức tam giác: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ; | z1 - z2 | ≥ || z1 | - | z2 || Từ định nghĩa phép nhân ta có: z1.z2 = r1.r2 [(cosϕ1cosϕ2 - sinϕ1sinϕ2) - j(sinϕ1cosϕ2 + sinϕ2cosϕ2)] = r1.r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + jsin(ϕ1 + ϕ2)] Vậy: | z1.z2 | = | z1 |.| z2 | Arg(z1.z2 ) = Argz1 + Argz2 + 2kπ Tương tự, z2 ≠ thì: z1 r1 = [cos(ϕ1 - ϕ2) + jsin(ϕ1 - ϕ2)] z r2 z z1 = z2 z2 ⎛z ⎞ Arg ⎜⎜ ⎟⎟ = Argz1 + Argz2 + 2kπ ⎝ z2 ⎠ Các ví dụ: Ví dụ 1: + j = 32 + 2 = 13 Ví dụ 2: Viết phương trình đường trịn A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = với hệ số A, B, C, D số thực mặt phẳng phức Ta đặt z = x + jy nên z = x − jy x + y =| z |2 = z.z Mặt khác 2x = z + z z−z 2y = = − j(z − z ) j Thay vào phương trình ta có: Azz + B(z + z ) − Cj(z − z ) = hay Az z + Ez + Ez + D = D ng l ợng giác số phức: Nếu biểu diễn số phức z theo r ϕ ta có: z = x + jy = r(cosϕ + jsinϕ) Đây d ng lượng giác số phức z Ví dụ: z = -2 = 2(cosπ + jsinπ ) Các phép nhân chia dùng số phức d ng lượng giác tiên lợi Ta có: z1 = r1 (cos ϕ + j sin ϕ) z = r2 (cos ψ + j sin ψ ) z = z1.z = r1r2 [cos(ϕ + ψ ) + j sin (ϕ + ψ )] z1 r1 = [cos(ϕ − ψ ) + j sin (ϕ − ψ )] z r2 Áp dụng cơng thức để tính tích n thừa số z, tức zn ta có: [r(cosϕ + jsinϕ)]n = rn(cosnϕ + jsinnϕ) Đặc biệt r = ta có cơng thức Moivre: (cosϕ + jsinϕ)n = (cosnϕ + jsinnϕ) Thay ϕ -ϕ ta có: (cosϕ - jsinϕ)n = (cosnϕ - jsinnϕ) Ví dụ: Tính tổng: s = cosϕ + cos2ϕ + ⋅⋅⋅+ cosnϕ t = sinϕ + sin2ϕ + ⋅⋅⋅ + sinnϕ Ta có jt = jsinϕ + jsin2ϕ + ⋅⋅⋅ + jsinnϕ Đặt z = cosϕ + jsinϕ theo công thức Moivre ta có: s + jt = z + z2 + ⋅⋅⋅ + zn Vế ph i cấp số nhân gồm n số, số h ng z cơng bội z Do ta có: z= z n − z n+1 − z cos( n + 1)ϕ + j sin( n + 1)ϕ − cos ϕ − j sin ϕ = = s + jt = z z −1 z −1 cos ϕ + j sin ϕ − [cos( n + 1)ϕ − cos ϕ] + j[sin(n + 1)ϕ − sin ϕ] = (cos ϕ − 1) + j sin ϕ [cos( n + 1)ϕ − cos ϕ] + j[sin(n + 1)ϕ − sin ϕ] (cos ϕ − 1) − j sin ϕ = (cos ϕ − 1) − j sin ϕ (cos ϕ − 1) + j sin ϕ cos(n + 1)ϕ cos ϕ − cos ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos ϕ + sin(n + 1)ϕ sin ϕ − sin ϕ s = Re(s + jt ) = (cos ϕ − 1) + sin ϕ cos(n + 1)ϕ cos ϕ + sin(n + 1)ϕ sin ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos ϕ − = − cos ϕ cos ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos nϕ − = 2(1 − cos ϕ) Như vậy: Tương tự ta tính t = Im(s+jt) Khi biểu diễn số phức d ng lượng giác ta dễ tính bậc n Cho số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ta cần tìm bậc n z, nghĩa tìm số phức ζ cho: ζn = z n số nguyên dương cho trước Ta đặt ζ = ρ(cosα + jsinα) vấn đề ph i tìm ρ α cho: ρn(cosnα + jsinnα) = r(cosϕ + jsinϕ) Nghĩa ρn = r nα = ϕ ϕ + kπ Kết qu là: ζ = n r ; α = n Cụ thể, bậc n z số phức: ϕ ϕ⎞ ⎛ ζ o = n r ⎜ cos + j sin ⎟ n n⎠ ⎝ ϕ + 2π ϕ + 2π ⎞ ⎛ ζ1 = n r ⎜ cos + j sin ⎟ n n ⎠ ⎝ ϕ + 2(n − 1)π ϕ + 2(n − 1)π ⎤ ⎡ ζ n −1 = n r ⎢cos + j sin ⎥⎦ n n ⎣ với k số nguyên cần lấy n số nguyên liên tiếp (k = 0, 1, 2, ,n-1) k lấy hai số nguyên n ta có số phức To vị số phức tổng, hiệu, tích th ng hai số phức: a Toạ vị tổng hiệu: To vị tổng hai số phức tổng hay hiệu vec tơ biểu diễn số phức b Toạ vị tích hai số phức: Ta tìm to vị tích hai số phức phương pháp dựng hình Cho hai số phức z1 z2 hình vẽ Ta dựng c nh Oz1 tam giác Oz1z đồng d ng với tam giác O1z2 Như Oz tích hai số phức z1 z2 Thật vậy, tam giác Oz1z đồng d ng với tam giác O1z2 nên ta có: z2z1=z z2 z1 z z2 = hay z = z1.z2 z1 c Toạ vị thương hai số phức: Việc tìm thương hai số phức đưa tìm tích 1 z1 Vì ta cần tìm w = Trước hết ta gi thiết | z | < 1(hình a) z2 z Ta tìm w theo bước sau: - vẽ đường tròn đơn vị z - dựng t i z đường vuông với Oz cắt đường tròn đơn vị t i s - vẽ tiếp tuyến với đường tròn t i s cắt Oz t i t - ∆Ozs & ∆Ost đồng d ng nên ta có | t |= |z| - lấy w đối xứng với t Trường hợp | z | > ta vẽ hình b: - vẽ đường tròn đơn vị z - từ z vẽ tiếp tuyến với đường tròn t i s - dựng t i s đường vuông với Oz cắt Oz t i t - Ozs Ost đồng d ng nên ta có | t | = |z| - lấy w đối xứng với t z t s s z t O w w a b D ng mũ số phức: Nhờ công thức Euler e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ta biểu diễn số phức d ng số mũ: z = rejϕ = | z |ejArgz 3π Ví dụ z = −1 − j = 2e Biểu diễn số phức d ng mũ tiện lợi cần nhân hay chia số phức: −j z1 = r1e jϕ z = r2 e jα z1z = r1r2 e j( ϕ+α ) z1 r1 j( ϕ−α ) = e z r2 Mặt cầu Rieman: Ta xét mặt cầu S tâm (0, 0, 0.5), bán kính 0.5 (tiếp xúc với mặt phẳng xOy t i O) Mặt phẳng xOy mặt phẳng phức z với Ox trục thực Oy trục o Đo n thẳng nối điểm z = x + jy có to vị N mặt phẳng phức với điểm P(0, 0, 1) mặt cầu cắt mặt cầu t i điểm M(a, b, c) Ta gọi M hình chiếu điểm z lên mặt cầu S với cực P Phép ánh x lập nên tương ứng một tất c điểm mặt phẳng z mặt cầu S thủng t i P Vì điểm P, M, N nằm đường thẳng nên ta có: OT a b PM − c = = = = P ON x y PN a b 1− c hay = = c x y M a b a + jb hay: x= ;y = ;z = 1− c 1− c 1− c 2 (a + b ) O y b Từ đó: z = a (1 − c) T 2 x : a +b +c -c=0 N c suy ra: z = 1− c z y x ;b= ;a= c= hay: 2 1+ z 1+ z 1+ z Hình chiếu có tính chất đáng lưu ý sau: đường tròn mặt phẳng z(đường thẳng coi đường trịn có bán kính ∞) chuyển thành đường trịn z+z z+z mặt cầu ngược l i Thật để ý x = ta thấy đường tròn ;y = 2j mặt phẳng z tho mãn phương trình d ng: j Azz + B( z + z ) − C( z − z ) + D = 2 Trong A, B, C, D số thực thỏa mãn A ≥ 0, B2 + C2 > 4AD, đặc biệt đối vơsi đường thẳng A = Áp dụng gái trị z, x, y ta có: (A - D)c +Ba +Cb + D = đường tròn mặt cầu S §2 HÀM MỘT BIẾN PHỨC Khái niệm miền biên miền:  a Điểm tập: Gi sử E tập hợp điểm mặt phẳng phức z zo điểm thuộc E Nếu tồn t i số ε lân cận zo nằm hồn tồn E zo gọi điểm tập E b Biên tập: Điểm ζ thuộc E hay không thuộc E gọi điểm biên tập E hình tròn tâm ζ chứa c điểm thuộc E không thuộc E Tập hợp điểm biên tập E gọi biên tập E Nếu điểm η khơng thuộc E tồn t i hình trịn tâm η khơng chứa điểm E η gọi điểm tập E Ví dụ: Xét tập E hình trịn | z | < Mọi điểm E điểm Biên E đường tròn | z | = Mọi điểm | η | > điểm E c Miền: Ta gọi miền mặt phẳng phức tập hợp G có tính chất sau: - G tập mở, nghĩa có điểm - G tập liên thơng, nghĩa qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, nói chúng đường cong liên tục nằm gọn G Tập G, thêm điểm biên gọi tập kín kí hiệu G Miền G gọi bị chặn tồn t i hình bán kính R chứa G bên a b c Trên hình a miền đơn liên, hình b miền nhị liên hình c miền tam liên Hướng dương biên L miền hướng mà L theo hướng phần miền G kề với người ln nằm bên trái π π Ví dụ 1: Vẽ miền < arg z < π π Ta vẽ tia Ou1 cho ( Ox, Ou1 ) = Sau vẽ tia Ou2 cho ( Ox , Ou ) = Mọi điểm z nằm u1Ou có argumen tho mãn điều kiện toán Ngược l i π π điểm có argumen nằm ỏ góc u 1Ou π π Vậy miền < arg z < phần mặt phẳng giới h n hai c nh Ou1 Ou2 y y u2 u1 O x -1 O x Ví dụ 2: Vẽ miền Rez > -1 Mọi điểm nằm bên ph i đường thẳng x = -1 tho mãn Rez > -1 Ngược l i điểm z có phần thực lớn -1 nằm bên ph i đường thẳng x = -1 Vậy miền Rez > -1 nửa mặt phẳng phức g ch chéo hình vẽ Định nghĩa hàm biến phức: a Định nghĩa: Gi sử E tập hợp điểm mặt phẳng phức Nếu có quy luật cho ứng với số phức z∈E số phức xác định w ta nói w hàm số đơn trị biến phức z xác định E ký hiệu: w = f(z), z∈E (1) Tập E gọi miền xác định hàm số Nếu ứng với giá trị z∈E ta có nhiều giá trị w ta nói w hàm đa trị Sau nói đến hàm số mà khơng nói thêm hàm đơn trị Ví dụ: Hàm w = xác định toàn mặt phẳng phức trừ điểm z = z z Hàm w = xác định toàn mặt phẳng phức trừ điểm z = ±j z2+1 z +1 = z = ±j Hàm w = z + z + xác định toàn mặt phẳng phức Đây hàm đa trị Chẳng h n, với z = ta có w = Vì = cos0 + j sin0 nên w có hai giá trị: 0 w = cos + j sin = 2 + 2π + 2π w = cos = cos π + j sin π = −1 + j sin 2 nên ứng với z = ta có hai giá trị w1 = w1 = -1 b Phần thực phần ảo hàm phức: Cho hàm w = f(z) nghĩa cho phần thực u phần o v Nói khác u v hai hàm z Nếu z= x+jy thấy u v hai hàm thực biến thực độc lập x y Tóm l i cho hàm phức w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thưc u = u(x, y) v = v(x, y) viết w = f(z) d ng: w = u(x, y) + jv(x, y) (2) Ta chuyển d ng (2) hàm phức cho d ng (1) Ví dụ 1: Tách phần thực phần o hàm phức w = z Ta có: 1 x − jy x − jy x jy = w= = = − = z x + jy ( x + jy)( x − jy) x + y x + y x + y Vậy: x y u= v=− 2 x +y x + y2 Ví dụ 2: Tách phần thực phần o hàm w = z3 Ta có: w = z = ( x + jy) = x + jx y + j2 xy + j3 y = ( x − 3xy ) + j(3x y − y ) Vậy: u = x − 3xy v = 3x y − y 10 nghiệm u*(x, y) tương ứng gọi hàm riêng tốn Tính chất giá trị riêng hàm riêng là: * Mọi giá trị riêng dương * Tập giá trị riêng tập vô hạn đếm * Nếu λi ≠ λj hàm riêng tương ứng với chúng thoả mãn hệ thức: ∫∫ u i ( x, y)u j ( x, y)dxdy = D nghĩa hàm riêng trực giao với * Một giá trị riêng ứng với nhiều hàm riêng độc lập tuyến tính khác Giá trị riêng gọi giá trị riêng bội * Đối với hàm riêng chưa hệ trực chuẩn phương pháp trực giao hố Schmidt xây dựng hệ hàm riêng trực giao chuẩn, nghĩa hệ ta có: i≠ j ⎧0 u ( x , y ) u ( x , y ) dx dy = ⎨ j ∫∫ i i= j D ⎩1 * Mọi hàm β(x, y) khả vi, liên tục lần thoả mãn điều kiện biên: ( x , y) ( x ,y )∈ = khai triển theo hệ thống hàm trực giao chuẩn thành chuỗi hội tụ tuyệt đối miền D, nghĩa biểu diến dạng: ( x , y) = ∑ a k u k ( x , y) ∞ k =1 ak tính theo cơng thức: a k = ∫∫ ( x , y)u k ( x , y)dxdy D Từ tính chất nêu hàm riêng giá trị riêng ta thấy toán (5) & (6) có giá trị riêng dương nên (6) có nghiệm tổng quát là: Tk ( t ) = b k cos λ k at + c k sin λ k at Từ suy ra: [ u ( x , y, t ) = ∑ u k ( x , y)Tk ( t ) = ∑ u k ( x, y) b k cos λ k at + c k sin λ k at ∞ ∞ k =1 k =1 ] Nếu xét đến điều kiện ban đầu ta có: b k = ∫∫ u o ( x , y) ~ u k ( x , y)dxdy ∫∫ u1 ( x, y)u k ( x, y)dxdy aλ k D Ví dụ 1: Giải phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + ⎟⎟ ∂t ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎧0 ≤ x ≤ l miền D = ⎨ t≥0 ≤ y ≤ m ⎩ với điều kiện đầu: ck = D 166 ⎧u ( x , y, t ) t =0 = xy(l − x )(m − y) = u o ( x , y) ⎪ ⎨ ∂u = = u1 ( x , y) ⎪ ∂t ⎩ t =0 điều kiện biên: u ( x, y, t ) ( x ,y )∈ = γ biên miền D Ta tìm nghiệm tốn dạng (4): u(x, y, t) = u*(x, y).T(t) u*(x, y) lại tìm dạng u*(x, y) = X(x).Y(y) phương pháp phân li biến số Khi phương trình (5) viết thành: Y′′( y) X′′( x ) +λ=− Y ( y) X( x ) Từ ta suy ra: ⎧X′′( x ) + αX( x ) = (8) ⎨ ⎩Y′′( y) + Y ( y) = Từ điều kiện biên toán ta rút ra: ⎧X(0) = X (l) = (9) ⎨ + = Y ( ) Y ( l ) ⎩ Khi giải phương trình (8) với điều kiện (9) để có nghiệm khơng tầm thường ta cần có: π2n k 2π2 αk = ; n = m l Từ ta có: n2 ⎞ 2⎛ k λ kn = π ⎜⎜ + ⎟⎟ m ⎠ ⎝l Nghiệm riêng ứng với giá trị riêng hệ hàm trực chuẩn: kπx nπy sin sin u kn = l m lm Khi nghiệm phương trình (6) có dạng: ⎛ ⎛ k n ⎞⎟ k n ⎞⎟ ⎜ ⎜ Tk ( t ) = b kn cos πat + + c kn sin πat + ⎜ ⎜ l m ⎟⎠ l m ⎟⎠ ⎝ ⎝ Tóm lại nghiệm toán là: ∞ ∞ ⎡ ⎛ ⎛ k n ⎞⎟ k n ⎞⎟⎤ kπx nπy ⎜ ⎜ u ( x , y, t ) = ∑ ∑ ⎢b kn cos πat + + c kn sin πat + ⎥ sin sin ⎜ ⎜ l m ⎟⎠ l m ⎟⎠⎥⎦ l m k =1 n =1 ⎢ ⎝ ⎝ ⎣ Trong bkn ckn tính sau: ckn = ∀k, n u1 ≡ 167 b kn = nπy kπx lm dxdy sin xy(l − x )(m − y) sin ∫ ∫ m l lm 0 nπy kπx m l = − − dy dx y ( m y ) sin x ( l x ) sin ∫ ∫ m l lm 0 ⎧ 64m l ⎪ = ⎨ π (2k ′ + 1) (2n ′ + 1) ⎪0 ⎩ k = 2k ′ + 1, n = 2n ′ + k = 2k1 (2n + 1) πy 64m 2l ∞ ∞ ⎡ cos πat kn (2k + 1) πx ⎤ sin u ( x, y, t ) = sin ∑∑ ⎥ ⎢ 3 l m π k =1 n =1 ⎣ ( 2k ′ + 1) ( 2n ′ + 1) ⎦ Như vậy: Ví dụ 2:Giải phương trình: ∂ 2u ⎞ ∂ 2u 2⎛ ∂ u = a ⎜⎜ + ⎟⎟ ∂y ⎠ ∂t ⎝ ∂x ⎧0 ≤ x ≤ l miền D = ⎨ t≥0 ≤ y ≤ m ⎩ với điều kiện đầu: πy πx ⎧ = = sin u ( x , y , t ) u ( x , y ) sin o t =0 ⎪⎪ l l ⎨ ⎪ ∂u = u1 ( x , y) = a ⎪⎩ ∂t t =0 l điều kiện biên: u ( x, y, t ) ( x ,y )∈ = γ biên miền D Tương tự ví dụ 1, sau dùng phương pháp phân li biến số ta tìm giá trị riêng là: n2 ⎞ 2⎛ k λ kn = π ⎜⎜ + ⎟⎟ l ⎠ ⎝l n πy k πx hệ hàm trực chuẩn tương ứng sin hệ số nghiệm tổng sin l l l quát tính sau: ⎧0 k, n ≠ nπy kπx πy πx ll dxdy = ⎨ sin b kn = ∫ ∫ sin sin sin k = n =1 m l l l l 00 ⎩1 nπy πa πx πy ll dxdy k + n c kn = ∫ ∫ sin sin sin l m l 00 l l 168 k , n chan ⎧0 nπy 4a l πx l πy ⎪ dy = ⎨ dx ∫ sin sin = ∫ sin 16a m l l l 0 ⎪ lπ (2k′ + 1)(2n ′ + 1) k , n le ⎩ Nghiệm toán là: ⎛ atπ 16 atπ ⎞ πx πy ⎟⎟ sin sin + sin u ( x , y, t ) = ⎜⎜ cos l l ⎠ l l π ⎝ ⎡ atπ (2k + 1) + (2n + 1) ⎤ sin ⎢ ⎥ ∞ ∞ l 16 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎛ 2k + ⎞ ⎛ n + ⎞ + ∑∑ sin πx ⎟ sin ⎜ πy ⎟ ⎜ π k =1 n =1 (2k + 1)(2n + 1) (2k + 1) + (2n + 1) ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ §6 BÀI TỐN CAUCHY- PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH VƠ HẠN VÀ NỬA VƠ HẠN Bài tốn ban đầu: Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt - phương trình loại parabolic tốn giải phương trình: ∂ 2u ∂ u (1) =a ∂x ∂t với điều kiện đầu : u ( x, t ) t =0 = u o ( x ) -∞ < x < ∞, -∞ < y