Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN (FUNCTIONS AND LIMITS)
Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN (FUNCTIONS AND LIMITS) 1.1 HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ (DEFINITION OF FUNCTIONS) Để nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, người ta cần biểu diễn toán học để mơ tả đại lượng, yếu tố liên quan đến đối tượng xét Việc nhận biết mối quan hệ đại lượng giúp cho việc mô tả trở nên đơn giản xác Hàm số xuất có đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác Ví dụ 1: a Diện tích A hình trịn phụ thuộc vào bán kính r theo cơng thức A r Với số dương r cho giá trị A tương ứng, ta gọi A hàm theo r b Trong kinh tế học, xét thời gian định, lượng cầu (quantity demanded) loại hàng hóa/ dịch vụ số lượng loại hàng hóa/dịch vụ mà người mua muốn mua có khả mua ứng với mức giá (price) định (giả sử nhân tố khác không thay đổi) Với mức giá P cho tương ứng giá trị lượng cầu Qd , ta gọi Qd hàm theo P c Giá tiền C để chuyển phát nhanh thư phụ thuộc vào cân nặng w Một bưu điện quy định cước phí theo cân nặng sau: cân nặng đến ounce có cước phí 0.88 dollar, cân nặng từ ounce đến ounce có cước phí 1.05 dollar… Với giá trị w cho tương ứng giá trị C Ta gọi C hàm theo w ĐỊNH NGHĨA: Cho D E tập tập số thực (real) Hàm số (function) f quy tắc cho tương ứng phần tử x tập D với phần tử f ( x) tập E Giá P (1000 đồng/bộ) Lượng cầu Qd (1000 bộ/tuần) 40 160 80 120 120 80 160 40 200 w (ounce) C(w) (dollar) w 1 0.88 1 w 1.05 2 w3 1.22 3 w 1.39 4 w5 1.56 12 w 13 2.92 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN D gọi miền xác định (domain), E gọi miền giá trị (range), x gọi biến độc lập (independent variable), y f ( x) gọi biến phụ thuộc (dependent variable) Đồ thị (graph) hàm f tập hợp tất điểm ( x, y) thỏa y f ( x) , với x D Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số hình bên: a Tính giá trị f (1) , f (5) f (7) b Cho biết miền xác định miền giá trị f Giải: f (1) , a b f (5) 0.7 , f (7) Miền xác định: D [0, 7] Miền giá trị: E [ 2, 4] Ví dụ 3: Vẽ đồ thị, tìm miền xác định miền giá trị hàm số sau: f ( x) x a b g ( x) x Giải: a Đây phương trình đường thẳng có hệ số góc Miền xác định: D Miền giá trị: E b Đây phương trình parabol, đỉnh A(0, 0) Miền xác định: D Miền giá trị: E [0, ) 1.1 HÀM SỐ Ví dụ 4: Tìm miền xác định hàm số sau: f ( x) x a b g ( x) x x Giải: a Căn bậc hai số thực âm không định nghĩa, miền xác định f tập hợp tất giá trị x thỏa mãn x x 2 Vậy miền xác định f D [ 2, ) b Hàm g ( x) xác định mẫu số khác Miền xác định g : D x x 0, x 1 (, 0) (0, 1) (1, ) TIÊU CHUẨN ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG: Đường cong mặt phẳng Oxy đồ thị hàm f khơng có đường thẳng đứng cắt đường cong nhiều điểm Ví dụ, parabol hình vẽ (a) đồ thị hàm theo x có đường thẳng đứng cắt đồ thị hai điểm Tuy nhiên, xem x hàm theo y (a) đồ thị hàm x y Vì x y y x y x nên (b) đồ thị hàm y x , (c) đồ thị hàm y x HÀM ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA TỪNG MIỀN (PIECEWISE DEFINED FUNCTIONS) Các hàm sau định nghĩa công thức khác tập khác miền xác định Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Ví dụ 5: Hàm giá trị tuyệt đối: x, x y x x, x Ví dụ 6: Cho hàm số f xác định x, x f ( x) x x , Tính f (0) , f (1) , f (2) vẽ đồ thị hàm số cho Giải: Vì f (0) , f (1) , f (2) 22 Với hàm f cho, nhận xét: Nếu x , giá trị f ( x) x : phần đồ thị hàm f đường thẳng y x nằm phía bên trái đường thẳng x Nếu x , giá trị f ( x) x : phần lại đồ thị hàm f parabol y x nằm phía bên phải đường thẳng x Ví dụ 7: Tìm cơng thức biểu diễn hàm số f có đồ thị hình sau Giải: Bằng cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, cơng thức cần tìm đồ thị hàm f cho là: x 1 x, f ( x) 2 x, x 0, x2 Ví dụ 8: Trong Ví dụ 1c đầu mục này, chi phí phân phát C ( w) thư chuyển phát nhanh có cân nặng w hàm định nghĩa miền theo bảng giá: 0.88, w 1.05, w C ( w) 1.22, w 1.39, w Hàm có dạng gọi hàm bước nhảy (step function) 1.1 HÀM SỐ SỰ ĐỐI XỨNG (SYMMETRY) f hàm số chẵn (even function) miền D nếu: x D f ( x) f ( x), x D f hàm số lẻ (odd function) miền D nếu: x D f ( x) f ( x), x D Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ví dụ 9: Các hàm số sau chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ? a f ( x) x x c h( x ) x x b g ( x) x Giải: a f ( x) ( x)5 ( x) x5 x f ( x) Vậy f hàm lẻ b g ( x) ( x) x g ( x) Vậy g hàm chẵn h( x) 2( x) ( x) 2 x x Ta có h( x) h( x) c h( x) h( x) nên hàm h không chẵn không lẻ Đồ thị hàm trên: HÀM SỐ TĂNG, GIẢM (INCREASING AND DECREASING FUNCTIONS) Hàm số f tăng khoảng I x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ), x1 , x2 I Hàm số f giảm khoảng I x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ), x1 , x2 I Đồ thị hàm số tăng có dáng điệu lên kể từ trái sang phải Đồ thị hàm số giảm có dáng điệu xuống kể từ trái sang phải Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Hàm f hình vẽ: tăng đoạn [a, b] [c, d ] , giảm đoạn [b, c] Ví dụ 10: Hàm số y x giảm khoảng (, 0] tăng khoảng [0, ) KẾT HỢP CÁC HÀM (COMBINATIONS OF FUNCTIONS) Cho hàm f , g có miền xác định A B Khi đó: Tổng (sum) hiệu (difference) f g : ( f g )( x) f ( x) g ( x) có miền xác định: A B Tích (product) hai hàm f g : ( fg )( x) f ( x) g ( x) có miền xác định: A B Thương (quotient) hai hàm f g : f f ( x) ( x) có miền xác định: x A B g ( x) 0 g g ( x) Hàm hợp (composition) hai hàm f g : ( f g )( x) f g ( x) ( f g )( x) xác định g ( x) f g ( x) xác định Ví dụ 11: Cho f ( x) x g ( x) x tìm hàm sau miền xác định: f f g , fg , , f g , g f , f f , g g g Giải: f ( x) x có miền xác định A [0, ) , g ( x) x có miền xác định B (, 2] , : ( f g )( x) x x có miền xác định: 1.1 HÀM SỐ A B [0, ) (, 2] [0, 2] ( fg )( x) x x có miền xác định: A B [0, 2] f ( x) g ( f g )( x) f g ( x) f x 2 x có miền xác định: [ A B] \ x g ( x) 0 [0, 2) x 0 (, 2] x x có miền xác định: x x có miền xác định: x x 0 x x 0 [0, 4] ( f f )( x) f f ( x) f x x có miền xác định: ( g f )( x) g f ( x) g x x x 0 [0, ) ( g g )( x) g g ( x) g x x x có miền xác định: x 0 x x 2, 2 Ví dụ 12: Cho F ( x) cos ( x 9) Tìm hàm f , g h cho F f g h Giải: Ta viết: F ( x) cos( x 9) Đặt: h( x) x 9, g ( x) cos x, f ( x) x Khi đó: f g h( x) f g ( x 9) f cos( x 9) cos x F ( x) HÀM SỐ NGƯỢC (INVERSE FUNCTIONS) Đôi khi, ta muốn xem xét vấn đề theo quan điểm, góc nhìn khác với dự định ban đầu Chẳng hạn, quan sát thị trường vàng quận Hà Nội vào thời điểm người ta ghi nhận lượng cầu Qd ứng với mức giá vàng P , tức xem Qd hàm theo P : Qd f ( P) Ngược lại, nhà kinh doanh quan tâm đến việc P phụ thuộc vào Qd nào, người xem P hàm theo Qd : P g (Qd ) Ta gọi hàm ngược f , kí hiệu f 1 P (triệu đồng) Qd (kg) Qd (kg) P (triệu đồng) 4.5 4.3 4.0 3.9 3.7 3.5 10 20 30 50 60 10 20 30 50 60 4.5 4.3 4.0 3.9 3.7 3.5 Lượng cầu hàm giá Giá hàm lượng cầu Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ĐỊNH NGHĨA: Hàm f gọi hàm 1-1 (one to one function) khơng nhận giá trị hai lần, có nghĩa f ( x1 ) f ( x2 ), x1 x2 Ví dụ 13: f hàm 1-1, g khơng phải hàm 1-1 g nhận giá trị hai lần: g (2) g (3) TIÊU CHUẨN ĐƯỜNG NẰM NGANG: Hàm f 1-1 khơng có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều điểm Ví dụ 14: Hàm số f ( x) x3 có hàm 1-1 không? Giải: Cách 1: x1 x2 x13 x23 Theo định nghĩa, f hàm 1-1 Cách 2: Từ hình vẽ ta thấy khơng có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm f ( x) x3 nhiều điểm Theo Tiêu chuẩn đường nằm ngang, f hàm 1-1 Ví dụ 15: Hàm số g ( x) x có hàm 1-1 khơng? Giải: Hàm g ( x) x khơng phải hàm 1-1 vì: 1 g (1) g (1) ĐỊNH NGHĨA: Cho f hàm 1-1, có miền xác định A miền giá trị B Hàm ngược f f 1 có miền xác định B , miền giá trị A xác định: f 1 ( y ) x f ( x) y, y B 1.1 HÀM SỐ Ví dụ 16: Biết f hàm 1-1 f (1) 5, f (3) 7, f (8) 10 Tính f 1 (5), f 1 (7), f 1 (10) Giải: f 1 (5) f (1) 5, f 1 (7) f (3) 7, f 1 (10) f (8) 10 Lưu ý: miền xác định f 1 = miền giá trị f miền giá trị f 1 = miền xác định f Ta thường ký hiệu x biến độc lập, y biến phụ thuộc nên viết hàm số ngược là: f 1 ( x) y f ( y ) x Ví dụ, hàm ngược hàm f ( x) x y f ( x ) x 1 3 1 1 f ( y) f x x x Từ định nghĩa hàm ngược ta có kết quả: f 1 f ( x) x, x A ; f f 1 ( x) x, x B Ví dụ, hàm ngược hàm f ( x) x3 f 1 ( x) x Ta có: f 1 3 f ( x) x x, 1 f f ( x) x x 1 CÁCH TÌM HÀM NGƯỢC CỦA HÀM f 1-1 Bước 1: Viết y f ( x) Bước 2: Giải phương trình tìm x theo y (nếu có thể) Bước 3: Hoán đổi x y , kết y f 1 ( x) Ví dụ 17: Tìm hàm ngược hàm f ( x) x3 Giải: y x x y x y 10 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Hoán đổi x y : y x Hàm ngược y f 1 ( x) x Đồ thị hàm ngược f 1 có phép lấy đối xứng đồ thị hàm f qua đường thẳng y x Ví dụ 18: Vẽ đồ thị hàm số f ( x) 1 x đồ thị hàm ngược hệ trục tọa độ Giải: Trước hết vẽ đường cong y 1 x (là nửa parabol y 1 x hay x y ) lấy đối xứng qua đường thẳng y x ta có đồ thị hàm f 1 CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN (ESSENTIAL FUNCTIONS) Mơ hình tốn học (mathematical model) mơ tả tốn học (thường dạng hàm hay phương trình) tượng tự nhiên xã hội như: độ tăng dân số, tuổi thọ trung bình người, tốc độ rơi vật, độ biến động giá cổ phiếu, lợi nhuận danh mục đầu tư… Mục đích việc mơ tả làm tăng thêm hiểu biết tượng đưa dự đoán chúng tương lai Tiến trình xây dựng mơ hình tốn học vịng khép kín Ban đầu từ vấn đề thực tế người ta đưa mơ hình tốn học chúng Tiếp theo, dùng cơng cụ tốn học để giải đưa kết luận toán học Những kết luận giúp làm sáng tỏ đưa dự đốn Sau đó, đối chiếu dự đoán với liệu thực tế mới, chưa phải xem xét lại mơ hình ban đầu phải xây dựng mơ hình khác Q trình tiếp diễn để xây dựng mơ hình tốt Dĩ nhiên, việc mơ hình tốn học phản ánh tuyệt đối xác tượng tự nhiên xã hội lí tưởng Thơng thường, ta phải giảm bớt nhiều điều kiện ràng buộc Một mơ hình tốt mơ hình vừa cho phép thực tính tốn tốn học vừa cung cấp kết có độ xác vừa đủ để có giá trị thực tế Có nhiều loại hàm số dùng để mơ hình hóa mối quan hệ thực tế Dưới giới thiệu số hàm số 40 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Điểm gián đoạn hình (a) (c) gọi gián đoạn bỏ (removable) ta bỏ cách xây dựng lại hàm f Gián đoạn hình (b) gọi gián đoạn vô hạn (infinite discontinuity) Gián đoạn hình (d) gọi gián đoạn có bước nhảy (jump discontinuity) hàm nhảy từ giá trị sang giá trị khác Ví dụ 3: Một bãi đậu xe tính phí dollar cho (hoặc giờ) dollar cho (hoặc tiếp theo)… tối đa 10 dollar ngày a Vẽ đồ thị biểu diễn chi phí đậu xe bãi hàm phụ thuộc thời gian đậu b Nhận xét gián đoạn hàm số tầm quan trọng người đậu xe bãi Giải: a b Hàm số gián đoạn thời điểm t 1, 2, 3, Người đậu xe bãi nên ghi nhớ chi phí đậu nhảy dội lên thời điểm đầu gửi ĐỊNH NGHĨA: Hàm f liên tục bên phải điểm a lim f ( x) f (a) , liên tục bên trái điểm a lim f ( x) f (a) xa xa ĐỊNH NGHĨA: Hàm f liên tục khoảng (interval) f liên tục điểm thuộc khoảng (Nếu f xác định phía điểm đầu/cuối khoảng, ta hiểu liên tục điểm theo nghĩa liên tục bên phải/bên trái) Ví dụ 4: Chứng minh hàm số f ( x) x liên tục khoảng (1, 1) Giải: Với a (1, 1) , ta có: lim f ( x) lim x a f (a) x a x a 1.4 LIÊN TỤC Vậy, f liên tục a, với a (1, 1) Do f liên tục (1, 1) Ví dụ 5: Chứng minh hàm số f ( x) x liên tục đoạn [1, 1] Giải: Ở Ví dụ ta biết f liên tục khoảng (1, 1) Ngoài ra, f liên tục bên phải điểm 1, bên trái điểm lim f ( x) f (1) lim f ( x) f (1) x 1 x 1 Vậy, f liên tục đoạn [1, 1] ĐỊNH LÍ: Nếu f g hàm liên tục a , c số hàm sau liên tục a : f f g cf fg g (a ) 0 g Chứng minh: Ta chứng minh kết luận 1, kết luận khác chứng minh tương tự Vì f , g liên tục a, ta có: lim f ( x) f (a), lim g ( x) g (a) x a xa lim( f g )( x) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) xa x a x a x a f (a) g (a) ( f g )(a) Vậy, f g liên tục a ĐỊNH LÍ: Các hàm sau liên tục điểm miền xác định nó: Hàm đa thức Hàm hữu tỷ Hàm thức Hàm lượng giác Hàm mũ Hàm logarit Hàm lượng giác ngược x3 x x 2 3x x3 x Giải: Xét hàm hữu tỷ f ( x) có miền xác định x x 3x Ví dụ 6: Tìm lim Vậy, f liên tục điểm 2, x3 x (2)3 2(2) 1 lim f (2) x 2 3x 3(2) 11 ln x tan 1 x Ví dụ 7: Hàm số f ( x) liên tục khoảng nào? x2 x0 x Giải: f xác định x 1 x 1 Vậy, f liên tục (0, 1) (1, ) Ví dụ 8: Tính lim x sin x cos x 5 3 41 42 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Giải: Hàm số f ( x) Vậy, lim x sin x xác định với x nên liên tục cos x sin x lim f ( x) f ( ) cos x x ĐỊNH LÍ: Nếu f liên tục b lim g ( x) b xa lim f g ( x) f lim g ( x) f (b) x a x a 1 x Ví dụ 9: Tính lim arcsin x 1 x Giải: Vì arcsin hàm liên tục, đó: 1 x 1 x lim arcsin arcsin lim x 1 x 1 x 1 x arcsin lim arcsin x1 x ĐỊNH LÍ: Nếu f liên tục b lim an b n lim f an f lim an f (b) n Ví dụ 10: Tính limsin n n Giải: Vì sin hàm liên tục, đó: n limsin n sin lim sin n n n ĐỊNH LÍ: Nếu g liên tục a f liên tục g (a) hàm hợp f g liên tục a Chứng minh: g liên tục a : lim g ( x) g (a) x a f liên tục b g (a) : lim f g ( x) f g (a ) lim( f g )( x) ( f g )(a ) xa x a Vậy, hàm hợp f g liên tục a Ví dụ 11: Tìm khoảng liên tục hàm số sau: h( x) sin x a b F ( x) ln(1 cos x) Giải: a Ta có h( x) f g ( x) , g ( x) x f ( x) sin x 1.4 LIÊN TỤC Vì g ( x) f ( x) liên tục b nên h( x) liên tục ln(1 cos x) xác định cos x Suy hàm số không xác định cos x 1 x k , k Vậy, F ( x) gián đoạn x k (k ) liên tục khoảng nằm giá trị ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN (INTERMEDIATE VALUE THEOREM): Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a, b] f (a) N f (b) (hoặc f (b) N f (a) ) Khi tồn c (a, b) thỏa f (c) N Các hình minh họa Định lí giá trị trung gian Về mặt hình học, đồ thị hàm số liên tục khơng có lỗ, khơng bị đứt nên đường thẳng nằm ngang y N nằm đường y f (a) y f (b) cắt đồ thị Tính chất liên tục cần thiết định lí trên, hàm gián đoạn, Định lí giá trị trung gian nói chung khơng Ví dụ 12: Chứng minh phương trình x3 x 3x có nghiệm khoảng (1, 2) Giải: Đặt f ( x) x3 x 3x Hàm số f có miền xác định nên liên tục đoạn [1, 2] Ta có, f (1) 1 0, f (2) 12 Do đó, theo Định lí giá trị trung gian, tồn c (1, 2) để f (c) Vậy, phương trình cho có nghiệm khoảng (1, 2) 43 44 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Bài tập Chương 1.1 HÀM SỐ Cho đồ thị hàm số f g hình bên a Tính f (4) g (3) b Tìm x để f ( x) g ( x) c Ước lượng nghiệm phương trình f ( x) 1 d e f tăng khoảng nào? Tìm miền xác định miền giá trị f g Cho biết đường cong sau đồ thị hàm số theo biến x Nếu tìm miền xác định miền giá trị hàm số Đồ thị sau biểu diễn cân nặng người hàm số phụ thuộc vào độ tuổi Hãy diễn đạt lời thay đổi trọng lượng người theo thời gian Theo bạn điều xảy người 30 tuổi? Có thí sinh thi chạy 100 mét Đồ thị sau biểu diễn quãng đường chạy hàm số phụ thuộc vào thời gian người Hãy diễn đạt lời đua Theo bạn người chiến thắng? Có phải người chạy hồn thành đua? Tìm miền xác định hàm số sau: a x3 f ( x) x x6 c h(u ) log u 1 b g (t ) t t BÀI TẬP CHƯƠNG Tìm miền xác định phác họa đồ thị hàm số: G ( x) a 3x x x b x 9, x 3 f ( x ) x, x 6, x Tìm cơng thức biểu diễn hàm số có đồ thị là: a Đoạn thẳng nối điểm (1, 3) (5, 7) b Nửa phần bên parabol x ( y 1) c d Một cửa số người Norman có dạng hình chữ nhật phía nửa vịng tròn Giả sử chu vi cửa sổ 30 feet, tìm hàm biểu diễn diện tích cửa sổ theo chiều rộng x Biểu giá bán điện thực từ ngày 01/07/2012 cho bởi: STT Mức sử dụng hộ gia đình tháng Giá bán điện (đ/kWh) Cho kWh từ – 100 1284 Cho kWh từ 101 – 150 1457 Cho kWh từ 151 – 200 1843 Cho kWh từ 201 – 300 1997 Cho kWh từ 301 – 400 2137 Cho kWh từ 401 trở lên 2192 a Tìm cơng thức biểu diễn tổng số tiền phải trả E hàm theo mức sử dụng x b Phác họa đồ thị biểu diễn tổng số tiền phải trả E hàm theo mức sử dụng x c Từ ngày 01 tháng 08 năm 2013, quy định biểu giá bán lẻ điện sinh hoạt cho hộ gia đình có thay đổi (theo thơng tư số 19/2013/TT-BCT) Hãy tìm hiểu thơng tư giải lại toán cho phù hợp với quy định hành 10 Từ 01/01/2009, cách tính thuế thu nhập Việt Nam sau: người không giảm trừ gia cảnh sau trừ khoản phí phải đóng (bảo hiểm, quỹ đóng góp ) phần thu nhập từ triệu đồng 45 46 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN trở xuống khơng phải đóng thuế; phần thu nhập dơi chịu mức thuế theo hình thức lũy tiến là: Bậc Phần thu nhập tính thuế (triệu đồng/tháng) Thuế suất (%) đến 5 Trên đến 10 10 Trên 10 đến 18 15 Trên 18 đến 32 20 Trên 32 đến 52 25 Trên 52 đến 80 30 Trên 80 35 Ví dụ: Nếu thu nhập người 20 triệu đồng tháng (sau trừ hết khoản phí phải đóng) tháng phải đóng thuế thu nhập cá nhân là: (5 0) 5% (10 5) 10% (16 10) 15% 1.65 (triệu đồng) Gọi I thu nhập thật người sau trừ hết khoản phí phải đóng a Phác họa đồ thị biểu diễn phần trăm thuế phải đóng R hàm theo thu nhập I b Phác họa đồ thị biểu diễn tổng số tiền thuế T phải đóng hàm theo thu nhập I c Từ ngày 01 tháng 07 năm 2013, quy định cách tính thuế thu nhập cá nhân có thay đổi (theo nghị định số 65/2013/NĐ-CP) Hãy tìm hiểu nghị định giải lại toán cho phù hợp với quy định hành 11 Bảng sau thống kê lượng carbon dioxide trung bình khí quyển, theo đơn vị phần triệu đài thiên văn Mauna Loa đo đạc từ 1980 đến 2008 a Lập mơ hình tốn học biểu diễn mức carbon dioxide b Từ mơ hình ước đốn mức carbon dioxide trung bình năm 1987 tiên đoán mức carbon dioxide vào năm 2015 BÀI TẬP CHƯƠNG c Khi mức carbon dioxide vượt mức 420 ppm? 12 Cho đồ thị hàm số f g sau Xét tính chẵn lẻ chúng Giải thích 13 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a f ( x) cos x c f ( x) x3 x b f ( x) x x 14 Tìm hàm 1-1 (các hàm số sau mô tả đồ thị, công thức lời) a b c g ( x) x e f (t ) chiều cao người lúc t tuổi d g ( x) cos x 15 Cho f ( x) 2 x tan x , với 1 x a Tìm f 1 (2) b Tìm f f 1 16 Tìm hàm ngược hàm số sau: 4x 1 f ( x) x a b f ( x) 2x c y ln( x 3) 17 Tìm giá trị xác biểu thức sau: a sin 1 c tan 1 e 3 tan(arctan10) b cos 1 (1) d cot 1 47 48 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 18 Cho f ( x) x3 x , g ( x) 3x Tìm hàm f g , f g , fg , f miền xác định chúng g 19 Tìm hàm (a) f g , (b) g f , (c) f f (d) g g miền xác định chúng trường hợp sau: i f ( x) x , g ( x) cot x ii f ( x) x , g ( x) x 20 Biểu diễn hàm số sau dạng f g : a F ( x) cos x c h(v) sin(ln v) b u (t ) t 1 t 21 Phân loại hàm sau, đâu hàm lũy thừa, hàm thức, hàm đa thức (xác định bậc), hàm hữu tỷ, hàm đại số, hàm lượng giác, hàm mũ hàm logarit a f ( x) x c h( x ) x x e s( x) tan x g y ex i y x b x2 x 1 d f g ( x) x 2014 x2 r ( x) x x t ( x) ln10 x x h 1 g ( x) 3 j u( x) arcsin x 22 Tìm cơng thức hàm bậc ba f biết: f (1) f (1) f (0) f (2) 23 Quan hệ hai đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit (F) Celsius (C) cho hàm tuyến tính F C 32 a Vẽ đồ thị hàm số b Hệ số góc đồ thị nói lên điều gì? Đồ thị cắt trục F đâu cho ta biết điều gì? 24 Chứng minh hàm số f ( x) 1 e x x hàm số lẻ 1 e 25 Tính giá trị xác biểu thức sau: b log 10.log10 a log log 36 c e 2 ln d e 2 ln BÀI TẬP CHƯƠNG 10 e ln ln ee g sin(tan 1 x) f tan(sin 1 x) h cos(sin 1 x) 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 26 a Giải thích lời ý nghĩa đẳng thức lim f ( x) Từ đẳng x2 thức khẳng định f (2) hay không? Giải thích b Giải thích lời ý nghĩa phương trình lim f ( x) x 1 lim f ( x) Trong trường hợp này, giới hạn lim f ( x) có tồn x 1 x 1 hay khơng? Giải thích 27 Dùng đồ thị cho f để tính giới hạn sau tồn Nếu không tồn cho biết lý a c e lim f ( x) b lim f ( x) d x 1 x 3 lim f ( x) x 3 lim f ( x) x 3 f (3) 28 Cho hàm số có đồ thị sau, tìm: a c e lim f ( x) b lim f ( x) d x 7 x 0 lim f ( x) x 3 lim f ( x) x 6 lim f ( x) x 6 29 Phác họa đồ thị hàm f thỏa điều kiện đưa ra: a b lim f ( x) 1, lim f ( x) 2, x 0 lim f ( x) 1, x 0 f (2) 1, lim f ( x) 1, x 0 lim f ( x) 0, x 2 f (0) khơng xác định LUẬT TÍNH GIỚI HẠN 30 f (0) x 0 Tính giới hạn sau: lim f ( x) 1, x 2 49 50 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN a lim(cot x sin x) x c b t2 lim t 2 t 3t d lim 16 x 2 x2 lim x 2 3x 2 x 4 31 Tính giới hạn sau, tồn a c e g i lim x2 4x x 3x b t2 t 3 2t 7t lim x2 x4 d lim x4 x 1 t 1 t t ( x h)3 x lim h 0 h 1 lim t 0 t 1 t t lim t 0 32 Tính giới hạn sau sin 2014 x a lim x 0 x tan 3t c lim t 0 sin 2t 1 e lim x sin x x f h b d f lim 9t 3 t 2h lim h4 h 2 t 9 lim x x2 x2 sin x x 0 sin x sin 4t lim t 0 t cos x lim x 0 x2 lim 33 Dùng Định lí kẹp, chứng minh lim( x sin x) x 0 34 Biết x g ( x) x x với x , tìm lim g ( x) x 1 35 Hàm dấu (signum function/sign function), kí hiệu sgn, xác định sau: 1 sgn x 0 1 , x0 , x0 , x0 a Vẽ đồ thị hàm số b Tìm giới hạn sau có giải thích khơng tồn lim sgn x ii iii lim sgn x iv i x 0 x 0 lim sgn x x 0 lim sgn x x 0 BÀI TẬP CHƯƠNG x2 x 36 Cho F ( x) x2 a Tìm lim F ( x) , lim F ( x) b lim F ( x) có tồn hay khơng? c Vẽ đồ thị F x 2 x 2 x2 ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC CỦA GIỚI HẠN 37 Cho hàm f có đồ thị hình bên Dùng đồ thị cho để tìm số cho: x f ( x) 0.5 38 Dùng đồ thị cho hàm f ( x) x để tìm số cho: x x2 39 Sử dụng định nghĩa , giới hạn, chứng minh: a c e lim c c b xa lim x 2014 x 2014 d lim x x 10 x x6 lim 5 x2 x2 lim ln x x 0 40 Giải thích ý nghĩa mệnh đề sau: a lim f ( x) b c lim f ( x) d x 3 x lim f ( x) x 2 lim f ( x) x 1 lim x 1 x x 1 x 42 Tìm giới hạn: 41 Tìm lim a c e lim x x 2014 x2 x4 lim x x x x lim x x x x b d f 3x x lim x 2x2 x 1 lim x x x lim e tan x x 51 52 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 43 Tính giới hạn dãy số sau cho biết dãy số cho hội tụ hay phân kỳ a c n2 n n n 1 1 2 b n2 n 4n d 3n n 5 (1) n 1 n (1) n e f 2 n n n 44 Dựa vào cơng thức tìm Ví dụ 3, tính tổng sau: a b 10 30 90 270 10.3100 1000 1000 1000 1000 r (1 r ) (1 r ) (1 r ) (r 0) 1.4 LIÊN TỤC 45 Viết phương trình biểu diễn hàm số f liên tục 46 Nếu f liên tục (, ) kết luận đồ thị nó? 47 a Dựa đồ thị f cho biết f gián đoạn điểm Giải thích b Với điểm tìm câu a, cho biết f có liên tục bên trái, bên phải khơng? 48 Tìm khoảng liên tục g dựa vào đồ thị sau: 49 Chứng minh hàm số sau liên tục khoảng 2x a , ( 2, ) f ( x) x2 BÀI TẬP CHƯƠNG b f ( x) x , ( , 2) 50 Giải thích hàm số liên tục điểm thuộc miền xác định Từ xác định khoảng liên tục hàm số x2 a b G ( x) x (2 x 1) F ( x) 2x x 1 c R( x) sin cos(sin x) d H (t ) ln t 1 51 Giải thích hàm số gián đoạn điểm a cho Vẽ đồ thị 1 x , x , a 1 b f ( x) a f ( x) ln x , a , x x cos x, x c f ( x) 0, x0 , a0 1 x , x 52 Dựa vào tính liên tục để tính giới hạn sau: a limsin( x sin x) b c sin 0 tan x2 lim arctan x 2 x 12 x lim d lim x cos x tan x x sin x cos x f e x lim x lim x x 1 3 x 2 53 Tính giới hạn dãy số sau cho biết dãy số cho hội tụ hay phân kỳ? a 2n tan 8n b c ln(n 1) ln n d 1n e (2n 1)! sin (2n 1)! 54 Tìm điểm gián đoạn f Tại điểm đó, f liên tục bên trái, bên phải hay không liên tục hai bên? Vẽ đồ thị f x 2, x f ( x) 2 x , x a x, x b x 1, x 1 1 f ( x) , 1 x x x 3, x3 53 54 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN cx x, x 55 Với giá trị số c f ( x) liên tục x cx, x (, ) ? 56 Tìm a b để f liên tục điểm biết: x2 , x2 x2 f ( x) ax bx 3, x x3 x a b, 57 Cho f ( x) x 10sin x Chứng tỏ tồn c cho f (c) 1000 58 Chứng minh phương trình ln x x có nghiệm thực 59 Chứng minh phương trình arctan x x có nghiệm khoảng (0, 1) 60 Cho a b hai số dương, chứng minh phương trình a b 0 x 2x 1 x x có nghiệm khoảng (1, 1) 61 Một nhà sư Tây Tạng rời khỏi tu viện lúc sáng bắt đầu leo lên đỉnh núi Ông ta đến đỉnh núi lúc tối Sáng hôm sau, ông ta bắt đầu leo xuống núi lúc sáng theo đường ngược lại đến tu viện lúc tối Chứng tỏ có điểm quãng đường nhà sư qua thời điểm ngày ... cos2 x tan x cos x Các hàm cosec, sec, cotang nghịch đảo hàm sin, cosin tang 1 cos x csc x , sec x , cot x sin x cos x sin x Dưới đồ thị hàm trên: HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC (INVERSE TRIGONOMETRIC... có: sin ? ?1 x y sin y x, y , 2 sin ? ?1 sin x x, sin sin ? ?1 x x, x 2 x , 1? ?? ? ?1? ?? Ví dụ 21: Tính sin ? ?1 tan arcsin 3 2 ? ?1? ?? ... arccos x có miền xác định [? ?1, 1] miền giá trị [0, ] cos ? ?1 x y cos y x, y , cos ? ?1 cos x x, x , cos cos ? ?1 x x, x 1. 1 HÀM S? ?? Hàm ngược hàm tan x hàm arctan