CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC

GIÁO TRÌNH TỐN Ch NG D NG TIN H C ng : C I Khái ni m m nh S Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh LOGIC chân tr Các khái ni m M nh toán h c phát bi u di n t m t ý t ng tr n v n ta có th kh ng nh m t cách khách quan úng ho c sai Tính ch t c t y u c a m t m nh úng ho c sai, không th v a úng v a sai Giá tr úng ho c sai c a m t m nh c g i chân tr c a m nh V m t ký hi u, ta th ng dùng m u t (nh p, q, r, ) ký hi u cho m nh , chúng c ng c dùng ký hi u cho bi n logic, t c bi n l y giá tr úng ho c sai Chân tr “ úng” th ng c vi t 1, chân tr “sai” c vi t M nh s c p – m nh ph c h p M nh sơ c p “nguyên t ” theo ngh a khơng th c phân tích thành m t hay nhi u (t hai tr lên) m nh thành ph n ơn gi n M nh ph c h p m nh c t o thành t m t hay nhi u m nh khác b ng cách s d ng liên k t logic nh t “không” dùng vi c ph nh m t m nh , t n i: “và”, “hay”, “ho c”, “suy ra”, v.v II Các phép toán m nh B ng chân tr Các phép toán logic c nh ngh a b ng b ng chân tr (truth table) B ng chân tr xác nh chân tr c a m nh ph c h p theo t ng tr ng h p c a chân tr c a m nh sơ c p t o thành m nh ph c h p Tác d ng c a b ng chân tr • Kê s liên h chân tr gi!a m nh ph c h p v"i chân tr c a m nh sơ c p c u thành nó, • li t kê s liên h chân tr gi!a m nh v"i m nh ơn gi n c u thành chúng Phép ph nh Cho p m t m nh m nh p “S ph nh” ng , dùng ký hi u ¬p ch# m nh c nh ngh a b i b ng chân tr sau ây: P ¬p 0 Ký hi u ¬ c c “khơng” M nh ph nh ¬ p có chân tr úng (1) m nh c l i ¬ p có chân tr sai (0) p có chân tr úng (1) ph nh c a p có chân tr sai (0), Phép h i Cho p q hai m nh Ta ký hi u m nh “p hay q” p Λ q Phép “và”, ký hi u Λ , c nh ngh a b i b ng chân tr sau ây: p q pΛq 0 0 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh 0 1 Nh n xét: B ng cách l$p b ng chân tr , ta có: • Các m nh p p Λ p ln có chân tr • M nh p%Λ¬ Λ¬ p ln có chân tr b ng (t c m t m nh sai) Phép n Cho p q hai m nh Ta ký hi u m nh “p hay q” làà p∨q Phép “hay”, ký hi u ∨ , c nh ngh a b i b ng chân tr sau ây: p q p∨q 0 0 1 1 1 Nh n xét : • Cho p m t m nh ,ta có m nh p ∨¬ p ln lnn úng • Ng i ta cịn ịn s d ng phép “tuy n lo i” vi c liên li k t m nh Cho p q hai m nh Ta ký hi u m nh “p tu n lo i q” p⊕q Phép “tuy n lo i”, ký hi u ⊕, c nh ngh a b i b ng chân tr sau ây: p q 0 0 1 1 1 p q Chân tr c a m nhh p ⊕q ph thu c vào chân tr c a m nh p, q : m nh p ⊕q úng khii tr m nh p q có m t m nh úúng, m t m nh sai Phép kéo theo Phép kéo theo, ký hi h ub i→, c a mơ hình cho ho lo i phát bi u i u ki n có d ng : “n u th ” Cho p q m nh , ta s&& vi t p→ q di n t phát bi u “n u p q” Phép Ph tốn kéo theo → c nh ngh a b i b ng chân tr sau ây: p q p→q 0 1 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh 0 1 M nh p → q, c c “n u p q”, c phát át bi u d "i d ng khác sau ây: “q n u p”; “p ch# n u q”; “p i u ki n cho q” “q i u ki n c n cho p” Phép kéo theo chi u Phép kéo theo chi hi u hay phép t ơng hình cho lo i phát bi u i u ki n hai chi u có d q m nh , ta vi t p ↔q ↔ di n t phát bi ơng c nh ngh a b i b ng chân tr sau ơng, ký hi u b i↔ ↔, c a mô ng : “ n u ch n u ” Cho p u “p n u ch## n u q” Phép toán t ơng ây: p q p↔q 0 1 0 1 M nh p ↔q, c c “p n u ch# n u q”, d ng khác sau ây: “p khii v ch# q”; “p la‘ i u ki n c n va‘ c phát bi u d "i cho c q” Ð ưu tiên c a toán án t logic T ơng t nh i v"i v" phép toán s h c, tránh ph i dùùng nhi u d u ngo c bi u th c logic,, ta a m t th t u tiên vi c tính nh tốn ' ta có tốn t logic:¬ (khơng) , ∧ (và), ∨ (hay), → (kéo theo), ↔ ( t ơng ơng) ¬ ∧,∨ →↔ ó, tốn t lii t kê dịng có u tiên III D ng m nh vvà lu t logic Trong phép tính m nh ta c ng có bi u th c logic c xây d ng t : • Các m nh hay giá tr h ng • Các bi n m nh n • Các phép tố ốn logic, c d u ngo c “( )” ch# h# rõ th t th c hi n c a phépp toán Gi s E, F bi u th c logic, y ¬ E, E ∧ F, E → F, E ↔ F c ng bi u th c logic Ví d : Bi u th c E( E(p,q,r) = (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s)) m t bii u th c logic ó p, q, r bi n m nh B ng chân tr c a m t bi u th c logic B ng chân tr c a m t bi u th c logic b ng li t kê chân tr c a bi u th c logic theo tr ng h p v châ chân tr c a t t c bi n m nh trongg bi u th c logic hay theo b giá tr c a b bi n m nh Ví d 1: B ng chân ân tr c a bi u th c logic p→ q ¬ p ∨ q theo bi n m nh p,q nh sau: GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh P q p→ →q ¬p ¬p∨q 0 1 1 1 1 0 0 1 1 S tư ng ng logic Hai bi u th c logic E F theo bi n m nh ó c g i tương ương logic E F ln ln có chân tr m i trư ng h p chân tr c a b bi n m nh Khi ó ta vi t: E ⇔ F c “E t ơng ơng v"i F” Nh v$y, theo nh ngh a ta có th ki m tra xem bi u th c logic có t ơng ơng hay không b ng cách l$p b ng chân tr c a bi u th c logic Bi u th c h ng úng, bi u th c h ng sai Bi u th c logic E c g i h ng úng n u chân tr c a E luôn b ng ( úng) m i tr ng h p v chân tr c a bi n m nh bi u th c E Nói m t cách khác, E m t h ng úng ta có: E ⇔1 Bi u th c logic E c g i h ng sai n u chân tr c a E luôn b ng (sai) m i tr ng h p v chân tr c a bi n m nh bi u th c E Nói m t cách khác, E m t h ng úng ta có: E ⇔ Ta có th ki m tra xem m t bi u th c logic có ph i h ng úng (h ng sai) hay không b ng cách l$p b ng chân tr c a bi u th c logic Lưu ý: Gi s E F bi u th c logic Khi ó, E t ơng ơng logic v"i F (t c ta có E ⇔ F) ch# bi u th c logic E ↔ F h ng úng (t c E ↔F ⇔1) N u E ⇔ F F ⇔ G E ⇔ G Các lu t logic Các lu$t logic s ta th c hi n bi n (i m t bi u th c logic c m t bi u th c logic m"i t ơng ơng logic v"i bi u th c logic có tr "c a Các lu t v phộp ph nh ã ơơ p p (lu$t ph nh c a ph ã ơ10 ã ơ01 có nh) b Lu t giao hốn • p∧q⇔q∧p • p∨q⇔q∨p c Lu t k t h p • p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r • p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r d Lu t phân b • p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) • p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e Lu t De Morgan GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C • ¬ (p ∧ q) ⇔¬ p ∨¬ q • ¬ (p ∨ q) ⇔¬ p ∧¬ q Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh f Lu t v ph n t bự ã p p ã p p g Lu t kộo theo ã p q p q h Lu t tương ương • p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) i Các lu t ơn gi n c a phép n • p ∨ p ⇔ p (tính l y ng c a phép n) • p ∨ ⇔ (lu$t c g i lu$t th ng tr ) • p ∨ ⇔ p (lu$t cịn c g i lu$t trung hịa) • p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (lu$t c g i lu$t h p th ) j Các lu t ơn gi n c a phép h i • p ∧ p ⇔ p (tính l y ng c a phép h i) • p ∧ ⇔ p (lu$t c g i lu$t trung hịa) • p ∧ ⇔ (lu$t c g i lu$t th ng tr ) • p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (lu$t c g i lu$t h p th ) Nh!ng lu$t c ch n l a làm s cho th c hi n bi n (i logic, suy lu$n ch ng minh Các qui t c thay th D "i ây qui t)c tìm bi u th c logic t ơng cho ta có th suy nh!ng bi u th c logic m"i hay ơng v"i m t bi u th c logic cho tr "c a Qui t c Trong m t bi u th c logic E, n u ta thay th m t bi u th c b i m t bi u th c logic t ơng ơng v"i bi u th c ó ta s& c m t bi u th c m"i E’ t ơng ơng v"i bi u th c E b Qui t c Gi s bi u th c logic E m t h ng úng N u ta thay th m t bi n m nh p b i m t bi u th c logic tu* ý ta s& c m t bi u th c logic m"i E’ c ng m t h ng úng c Các ví d áp d ng Ví d 1: Ch ng minh r ng (p → q) ⇔ (¬ q →¬ p) Ví d 2: Ch ng minh r ng bi u th c ((p → q) ∧ p) → q m t h ng úng Ví d 3: Ch ng minh r ng bi u th cp ∧ q → plà m t h ng úng Ví d 4: Ch ng minh r ng bi u th cp → p ∨ qlà m t m nh h ng úng ph c Nh n xét:Các ví d cho ta th y m t quan h khác gi a m nh h p hay m nh : quan h “suy ra” Khi m nh p → q h ng úng, ta ch quan h nói r ng p suy q (v m t logic) Chúng ta s dùng ký hi u “suy ra” Quan h suy n y có tính truy n (hay b c c u), khơng có tính ch t i x ng IV.Quy t c suy di n nh ngh a GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh Tuy có nhi u k+ thu$t, nhi u ph ơng pháp ch ng minh khác nhau, nh ng ch ng minh toán h c ta th ng th y nh!ng lý lu$n d n xu t có d ng: N u p1 p2 pn q D ng lý lu$n n y c xem h p lý ( c ch p nh$n úng) ta có bi u th c (p1∧ p2∧ ∧ pn) → q h ng úng Ta g i d ng lý lu$n m t lu t suy di n Ng i ta c ng th ng vi t lu$t suy di n theo cách sau ây : • Cách 1: Bi u th c h ng úng (p1∧ p2∧ ∧ pn) → q ⇔ • Cách 2: Dịng suy di n (p1∧ p2∧ ∧ pn) q • Cách 3: Mơ hình suy di n p1 pn ∴q Các bi u th c logic p1, p2, , pn lu$t suy di n c g i gi thi t (hay ti n ), bi u th c q c g i k t lu$n Ví d : Gi s p q bi n logic Xác nh xem mơ hình sau ây có ph i m t lu$t suy di n hay không? p→q p ∴q Gi i: L$p b ng chân tr ta có: ((p→ q) ∧ p)→ q P Q 0 1 1 1 0 1 1 1 p→ q (p→ q)∧ p B ng chân tr cho th y bi u th c ((p→ q) ∧ p)→ q h ng úng Do ó, mơ hình suy lu$n úng m t lu$t suy di n Ki m tra m t qui t c suy di n Ð ki m tra m t qui t)c suy di n xem có úng hay khơng ta có th s d ng m t ph ơng pháp sau ây: a Phương pháp 1: L p b ng chân tr Thi t l$p bi u th c logic t ơng ng c a qui t)c suy di n l p b ng chân tr c a bi u th c ó xem có ph i h ng úng hay không Trong tr ng h p bi u th c logic h ng úng ta k t lu$n qui t)c suy di n úng Ng c l i, ta k t lu$n qui t)c suy di n sai Ví d : Ki m tra qui t)c suy di n sau ây(p→ q) ∧ p q b Phương pháp 2: Ch ng minh b ng cách s d ng lu t logic Thi t l$p bi u th c logic t ơng ng c a qui t)c suy di n ch ng minh bi u th c h ng úng b ng cách áp d ng lu$t logic qui t)c thay th GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh Ví d : Ki m tra qui t)c suy di n sau ây: (p→ q) ∧ p q Ghi chú: Ð ki m tra m t qui t c suy di n ta cịn có th k t h p phương pháp áp d ng c nh ng lu t suy di n ã bi t trư c Các qui t c suy di n c b n a Qui t c Modus Ponens (p→ q) ∧ p →q ho c vi t d "i d ng mơ hình suy di n p→q p −−−−−−−− ∴q b Qui t c Modus Tollens (p→ q) ∧ q → ¬ p ho c vi t d "i d ng mơ hình suy di n p→q ¬q −−−−−− ∴¬ p c Tam o n lu n (p→ q) ∧ (q→ r) ∧ (p→ r) ho c vi t d "i d ng mơ hình suy di n p→q q→ r −−−−−−− ∴ p→ r d Qui t c ch ng minh b ng ph n ch ng p → q (p → ¬q) → Qui t)c n y cho phép ta ch ng minh (p → ¬q) → thay cho p → q Nói cách khác, n u ta thêm gi thi t ph vào ti n p mà ch ng minh c có s mâu thu n ta có th k t lu$n q t ti n p e Qui t c ch ng minh theo trư ng h p (p1→ q) ∧ (p2→ q) ∧ ∧ (pn→ q) (p1∨ p2∨ ∨ pn) → q ho c vi t d "i d ng mơ hình suy di n p1 → q p2 → q pn→ q −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ ∨ ∨ ∨ → f Ki m tra m t phép suy lu n c th Ð ki m tra m t suy lu$n c th úng hay không, ta c,n c vào qui t)c suy di n (lu$t suy di n) V Ð nh ngh a v t l ng t Ð nh ngh a v t : GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh M t v t m t phát bi u p(x, y, …) ph thu c theo bi n x, y, … l y giá tr mi n xác nh A, B, … ó Khi thay th bi n v t b i giá tr c th a, b, … thu c mi n xác nh ta c m t m nh p(a, b, …) có chân tr úng ho c sai G i B t p h p g!m có hai giá tr : Sai (ký hi u b i 0), Ðúng (ký hi u b i 1) M t v t p(x, y, …) có th l y giá tr c a t p B Ví d : P(n) ≡ “n m t s nguyên t ” m t v t t$p h p s t nhiên (ho c t$p h p s nguyên) Ta có th th y r ng: P(1) = 0, t c P(1) ≡ “1 m t s nguyên t ” m t m nh sai P(2) = 1, t c P(2) ≡ “2 m t s nguyên t ” m t m nh úng P(12) = 0, t c P(12) ≡ “12 m t s nguyên t ” m t m nh sai P(17) = 1, t c P(17) ≡ “17 m t s nguyên t ” m t m nh úng Các phép toán v t Cho p(x, y, …) m t v t theo bi n x, y, … Ph nh c a p, ký hi u ¬p, m t v t mà thay bi n x, y, … b i ph n t c th a, b, … t ơng ng ta c m nh ¬(p(a, b, …)) Nói m t cách khác, v t ¬p c nh ngh a b i:(¬ p) (x, y, …) = ¬(p(x, y, …)) Cho p(x, y, …) q(x, y, …) v t theo bi n x, y, … Phép h i c a p q, ký hi u p→ q, m t v t mà thay bi n x, y, … b i ph n t c th a, b, … t ơng ng ta c m nh p(a, b, …) → q(a, b, …) Nói m t cách khác, v t p∧q c nh ngh a b i:(p ∧ q) (x, y, …) = p (x, y, …) ∧ q (x, y, …) M t cách t ơng t , phép toán n, kéo theo t ơng ơng c a v t p q có th c nh ngh a nh sau: (p ∨ q) (x, y, …) = p (x, y, …) ∨ q (x, y, …) (p → q) (x, y, …) = p (x, y, …) → q (x, y, …) (p ↔ q) (x, y, …) = p (x, y, …) ↔ q (x, y, …) VI.Các l ng t m nh có l ng t Khái ni m L ng t “v i m i” “t!n t i” (hay “có nh t m t”)là t dùng di n t v t úng i v"i m i giá tr thu c mi n xác nh hay ch# úng v"i m t ph n giá tr thu c mi n xác nh Cho P(n) m t v t theo bi n s t nhiên n • Phát bi u “v"i m i n ∈N, P(n)” có ngh a P có giá tr úng toàn b mi n xác nh Ký hi u “ ∀ “ thay th cho l ng t “v i m i” • Phát bi u “Có (ít nh t) m t n ∈N, P(n)” có ngh a P có giá tr úng i v"i m t hay m t s giá tr ó thu c mi n xác nh Ký hi u “∃ “ thay th cho l ng t “có nh t m t” L ng t n y c cm t cách khác “t n t i” Trong nhi u phát bi u ng i ta dùng c m t “t n t i nh t”, ký hi u b i ∃!, nh m t s l ng t hóa c bi t Các Ví d : • Cho v t P(n) ≡ “n m t s nguyên t ” M nh “V"i m i s t nhiên n ta có n nguyên t ” có th c vi t nh sau:∀ n ∈N : P(n)và m nh n y có chân tr (sai) • M nh “V"i m i s nguyên n ta có 2n-1 m t s l-” có th c vi t d "i d ng ký hi u nh sau:∀ n ∈Z : 2n-1 l-và m nh n y có chân tr ( úng) GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh • M nh “Ta có x > 0, v"i m i s th c x khác 0” có th x ∈R - { 0} : x2> m nh n y có chân tr ( úng) c vi t ∀ Qui t c ph nh m nh có lư ng t D a vào cách xác nh chân tr c a m nh có l ng t , ta có qui t)c ph nh m nh cú l ng t sau õy: ã ( x : P(x)) x : P(x) (1) ã (∃ x : P(x)) ≡∀ x : ¬ P(x) (2) Ghi : T qui t c ta có th nói chung v qui t c ph nh m nh có lư ng t sau: N u m t m nh có lư ng t ta thay th lư ng t ∀ b i lư ng t ∃ , lư ng t ∃ b i lư ng t ∀ , bi u th c v t c thay th b i ph nh c a ta s c m nh ph nh c a m nh có lư ng t ban u Qui t c n y c"ng áp d ng c cho m nh v i nhi u lư ng t M t s qui t c dùng suy lu n a Thay #i th t$ lư ng t hóa c a bi n Cho m t v t p(x, y) theo bi n x, y N u l ng t hóa c bi n x, y ó ta l ng t hóa bi n y tr "c l ng t hóa bi n x sau s& c m nh sau ây: • x, ∀ y : p(x,y) • x, ∀ y : p(x,y) • x, ∀ y : p(x,y) • x, ∀ y : p(x,y) T ơng t ta c ng có m nh l ng t hóa t v t p(x, y) ó ta l ng t hóa bi n x tr "c l ng t hóa bi n y sau: • y, ∀ x : p(x,y) • y, ∀ x : p(x,y) • y, ∀ x : p(x,y) • y, ∀ x : p(x,y) b Ð nh lý: Gi s p(x, y) m t v t theo bi n x, y m nh • (∀ x, ∀ y : p(x,y) ) ↔ (∀ y, ∀ x : p(x,y) ) • (∃ x, ∃ y : p(x,y) ) ↔ (∃ y, ∃ x : p(x,y) ) • (∃ x, ∀ y : p(x,y) ) → (∀ y, ∃ x : p(x,y) ) sau úng c Qui t c c bi t hóa ph# d ng Gi s m t m nh có lư ng t ó bi n x v i mi n xác nh A, c lư ng t hóa b bu c b i lư ng t ph# d ng ∀ , m nh úng Khi ó n u thay úng th x b i a ∈ A ta s c m t m nh d Qui t c t#ng quát hóa ph# d ng Qui t c: N u ta thay th bi n x v t P(x) b i m t ph n t a c nh nh ng tùy ý th c mi n xác nh c a bi n x mà m nh nh$n c có chân tr úng, t c P(a) = 1, m nh l ng t hóa∀ x : P(x)là m t m nh úng T qui t c ta có th ch ng minh c m t s tính ch t suy di n c phát bi u m nh sau ây: • M nh 1: Cho p(x) q(x) v t theo bi n x l y giá tr t$p h p A (mi n xác nh c a bi n x t$p h p A), a m t ph n t c nh tùy ý thu c A Khi y ta có qui t)c suy di n sau ây: ∀ x : p(x) → q(x) GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh p(a) −−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ q(a) • M nh 2: Cho p(x), q(x) r(x) v t theo bi n x l y giá tr t$p h p A (mi n xác nh c a bi n x t$p h p A) Ta có qui t)c suy di n sau ây: ∀ x : p(x) → q(x) ∀ x : q(x) → r(x) −−−−−−−−−−−−−− ∴∀ x : p(x) → r(x) D ch nh ng câu thông thư ng thành bi u th c logic: D ch m t câu c phát bi u b ng ngôn ng! t nhiên (câu h.i thông th ng) thành m t bi u th c logic có vai trò h t s c quan tr ng xây d ng ngơn ng! l$p trình, ch ơng trình d ch x lý ngôn ng! t nhiên Quá trình d ch m t câu t ngơn ng! t nhiên thành m t bi u th c s& làm m t i tính t nhiên c a ngơn ng! a s ngơn ng! u khơng rõ ràng, nh ng m t bi u th c logic l i r t rõ ràng ch t ch& t cú pháp th hi n n ng! ngh a c a câu /i u d n n ph i có m t t$p h p gi thi t h p lý d a m t hàm xác nh ng! ngh a cu câu ó M t câu ã c chuy n d ch thành bi u th c logic, có th xác nh c giá tr chân lý c a bi u th c logic, thao tác bi u th c logic, bi n (i t ơng ơng bi u th c logic Chúng ta s& minh ho vi c d ch m t câu thông th ng thành bi u th c logic thơng qua nh!ng sau a Ví d D ch câu “B n không c lái xe máy n u b n cao d "i 1.5 mét tr phi b n 18 tu(i” thành bi u th c logic Gi i : Ta g i p câu : B n c lái xe máy q câu : B n cao dư i 1.5m r câu : B n 18 tu#i Khi ó: Câu h.i c d ch là: (q ∧ ¬r) ¬p b Ví d D ch câu “T t c sinh viên h c tin h c u h c mơn tốn h c r i r c” Gi i: G i P(x) câu “x c n h c mơn tốn h c r i r c” x c xác nh không gian c a sinh viên h c tin h c Khi ó có th phát bi u: ∀ x P(x) c Ví d : D ch câu “Có m t sinh viên l"p nh t ã t t c phịng c a nh t m t nhà ký túc xá” Gi i: G i t$p sinh viên l"p không gian xác nh sinh viên x, t$p nhà ký túc xá không gian xác nh c,n nhà y, t$p phòng khơng gian xác nh phịng z Ta g i P(z,y) “z thu c y”, Q(x,z) “x ã z” Khi ó ta có th phát bi u: ∃ x ∃ y ∀ z (P(z,y) Q(x,z)); VII T p h p - Các phép toán t p h p Khái ni m t p h p 10 GIÁO TRÌNH TOÁN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh / tìm công th c a th c t i ti u c a hàm Bool v"i s bi n nh ho c b ng ta có th s d ng bi u Karnaugh VII Bi-u Karnaugh Khái ni m Cho hàm Boole f theo n bi n Bi u Karnaugh c a hàm f m t hình ch! nh$t n g0m cho: • M2i s& t ơng ng v"i m t dịng b ng c a f • M t ô s& c ánh d u n u ch# n u t i dòng t ơng ng v"i b ng chân tr , giá tr c a f b ng • Các c cho t ơng ng v"i dòng cho hai dòng t ơng ng v"ihai ô c nh sai khác v giá tr c a ch# m t bi n nh t hình v& sau ây cách t( ch c bi u Karnaugh cho m t hàm Boole theo bi n Các ô c xác nh t ơng ng v"i dòng d a vào cách ánh a ch# c a bi n nh hình v& Ch ng h n nh (1) có a ch# x, y, z , ó, s& t ơng ng v"i dòng {x=0,y=0,z=0} b ng chân tr Ho c, (2) có a ch# x, y, z t ơng ng v"i dịng {x=0,y=1,z=0} Rõ ràng (1) (2) hai c nh c ng t ơng ng v"i hai dòng b ng chân tr ch# sai khác giá tr c a bi n y Chú ý: • Có nhi u cách b trí v trí c a bi n khác nhau, mi n ph i m b o c nh!ng yêu c u c a m t bi u Karnaugh • Hai n m biên v n c coi hai ô c nh (t ng t ng r ng bi u Karnaugh c cu n l i) nh ngh a Cho bi u Karnaugh c a m t hàm Boole f theo n bi n Ta nh ngh a: • M t t bào m t hình ch! nh$t g0m 2k ( ≤k ≤n ) ô c ánh d u li n • M t t bào l"n m t t bào mà không b ph b i b t c t bào khác Ví d : Hàm Boole có bi n f(x;y;z) có b ng chân tr nh sau : bi u Karnaugh c a hàm Boole f nh hình 2, ta có Các tê bào x y.z , xyz , x y.z , xyz (t bào ô); xy, yz, xz (t bào ô) Các t bào l"n xy, yz, xz (t bào ơ) Phư ng pháp Karnaugh tìm công th c a th c t i ti u c a hàm Boole Cho hàm Boole f (d "i d ng công th c ho c b ng chân tr ), tìm cơng th c a th c t i ti u c a f , ta th c hi n theo b "c sau: Trang 37 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh • B c Xây d ng bi u Karnaugh c a f • B c Xác nh t t c t bào l"n bi u Karnaugh v a xây d ng • B c Tìm m t s l ng nh t t bào l"n ph kín ã ánh d u bi u Karnaugh, ghép chúng l i v"i b ng phép +, ta s& c công th c a th c t(i ti u c n tìm Các ví d a Ví d : Cho hàm Boole f có b ng chân tr d "i ây Hãy tìm cơng th c a th c t i ti u c a f B c Xây d ng bi u Karnaugh c a hàm f: B B c Xác nh t t c t bào l"n: xy, yz, xz c Tìm m t s l ng nh t t bào l"n ph ô ã c ánh d u T ng t ng r ng có th tách riêng t bào l"n, ó hình nh v t bào l"n nh sau: Nh v$y th c ch t vi c ch n t bào l"n ph kín c ánh d u bi u Karnaugh vi c ch n t bào l"n r0i x p ch0ng chúng lên cho hình thu c gi ng bi u Karnaugh ban u Trong ví d trên, rõ ràng tr ng h p này, ta ph i ch n c t bào l"n Nh v$y, công th c a th c t i ti u c a hàm f s& là:f =xy +yz +xz b Ví d : Cho hàm Boole f (x,y,z)= x y.z + x y + x y.z Hãy tìm công th c a th c t i ti u c a f B c Xây d ng bi u Karnaugh c a hàm f: Trang 38 GIÁO TRÌNH TỐN B B NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh c Xác nh t t c t bào l"n: x.z; x y; y.z c Tìm m t s l ng nh t t bào l"n ph ô ã c ánh d u M c dù có t bào l"n, nh ng tr ng h p này, ph kín ã ánh d u b n Karnaugh, ta ch# c n ch n t bào l"n: x.z; y.z Nh v$y, công th c a th c t i ti u c a hàm f s& là: x.z + y.z c Áp d ng cho hàm boole bi n / i v"i hàm Boole theo bi n, bi u Karnaugh s& bao g0m 16 ô x pnh d "i ây: c s)p Chú ý: / i v"i bi u Karnaugh c a hàm Boole bi n, hai ô d "i (c a m t c t) v n c coi c nh nhau, góc v n c coi c nh /i u b i bi u Karnaugh có th c g p l i theo c chi u ngang d c Ví d : Hãy tìm cơng th c a th c t i ti u c a f sau ây B f(x,y,,z,t)= x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t c Xây d ng bi u Karnaugh c a hàm f: x x t z t z t y y y Trang 39 GIÁO TRÌNH TỐN B NG D NG TIN H C c Xác Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh nh t t c t bào l"n: B c Tìm m t s l ng nh t t bào l"n ph ô ã ' ây, d th y ta không th b t bào l"n Nh v$y, công th c ath c t i ti u c a hàm Boole ban u là: c ánh d u f(x,y,,z,t)= x.z + y.z + x y.t d Khi áp d ng phương pháp bi u ! Karnaugh, c n lưu ý i m sau: • V& bi u Karnaugh ph i t i xác Ch# nh m l n vi c ánh d u ô s& d n t"i k t qu hoàn toàn sai l ch nh!ng b "c ti p theo • Vi c xác nh t bào l"n ph i th$n tr ng, n u xác nh khơng xác t bào l"n cơng th c thu c cu i có th khơng ph i cơng th c d ng ơn gi n nh t (Do t bào l"n có nhi u hơn, nh ng s bi n bi u di n l i hơn) • Khi ch n t bào l"n ph ô c ánh d u c n u tiên ch n nh!ng t bào l"n b)t bu c (không th không ch n) tr "c V"i nh!ng ô c ánh d u ch# thu c m t t bào l"n nh t t bào l"n b)t bu c ph i c ch n Bên c nh ó có hai t bào l"n ph qua m t ta u tiên ch n t bào l"n có nhi u ph Trang 40 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh BÀI T/P CHƯ NG 1 N u Q có chân tr T, xác th c m nh sau c ng úng nh chân tr c a bi n m nh (Q ((¬P R) ¬S)) P, R, S n u bi u (¬S (¬R Q)) Cho o n ch ơng trình sau • if n>5 then n:=n+2 ; • if ((n+2 = 8) or (n-3=6)) then n:= 2*n + ; • if ((n-3=16) and (n div 5=1)) then n:= n + ; • if ((n21) and (n-7=15)) then n:= n - ; • if ((n div = 2) or (n+1=20)) then n:=n+1 ; Ban u bi n nguyên n c gán tr Hãy xác nh giá tr n tr ng h p sau : a Sau m2i câu l nh ( ngh a qua câu l nh m"i gán l i n = 7) b Sau t t c l nh ( s d ng k t qu c a câu l nh tr "c tính tốn cho câu sau) Cho o n ch ơng trình sau : • if n-m = then n:= n-2 ; • if ((2*m=n) and (n div =1) then n:= 4*m - ; • if ((n0) and (t=3)) ; V"i m2i cách gán giá tr bi n nh sau, xác nh tr l p k t thúc a x= 7, y= 2, w= 5, t= b x= 0, y= 2, w= -3, t= c x= 0, y= -1, w= 1, t= d x= 1, y= -1, w= 1, t= Cho a b hai s nguyên d ơng Bi t r ng, m nh úng m nh sai Hãy tìm m i c p s (a, b) có th có a a+1 chia h t cho b b a = 2b + c a+b chia h t cho d a+7b s nguyên t Không l$p b ng chân tr , s d ng công th c t ơng ng h p vịng sau ây có m nh ơng logic, ch ng minh Trang 41 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh r ng bi u th c m nh sau h ng úng a (P Q)3P b P3(¬ P P) c P3((Q3 (P Q)) d ¬ (P ¬Q)3¬ P e ((P3Q) (Q3R)) (P3R) Không l$p b ng chân tr , s d ng công th c t ơng th c m nh G có h qu c a F không ? a F = P (Q R) G = (P Q) R b F = (P3Q) (Q3R) G = P3 (Q 3R) c F = P Q G = (¬P3Q) (P3 ¬Q) Khơng l$p b ng chân tr , ch ng minh t ơng ơng logic sau ây: a (P Q) ¬ (¬P Q) ⇔ P b ¬(¬((P Q) R) ¬Q) ⇔ Q R c ((P Q) (P ¬Q)) Q ⇔ P Q d ¬(P Q) ((¬P Q) ¬Q) ⇔ ¬(Q P) e (P3Q) (¬Q (R ¬Q)) ⇔ ¬ (Q P) f P (P (P Q) ⇔ P g P Q (¬P ¬Q R) ⇔ P Q R h/ ((¬P ¬Q) (P Q R ) ⇔ P Q h P ((¬Q (R R)) ¬ (Q (R S) (R ¬S))) ⇔ P i (P Q R) (P S ¬Q) (P ¬S R) ⇔ P (R (S ¬Q) Cho P(x,y) câu “x thành ph c a y” Hãy xác sau: a) P(Viên Ch,n, Lào) b) P(Hà N i, Vi t Nam) 10 ơng logic, xét xem bi u nh giá tr chân lý c a m nh c) P(Hà N i, Trung Qu c) d) P(B)c Kinh, Trung Qu c) Cho P(x, y) m nh ch a bi n: “x ã h c h c ph n y” V"i x ∈ X: t$p h p sinh viên l"p, y ∈ Y: t$p h c ph n ph i h c k* Hãy di n t m nh sau: a) ∃x ∃y P(x,y) d) ∃x ∀y P(x,y) g) ∃x∀yP ( x, y ) b) ∀x ∃y P(x,y) e) ∀x∃y P ( x, y ) h) ∀y ∃x P(x,y) c) ∃x∀y P ( x, y ) f) ∀x ∀y P(x,y) i) ∃y ∀x P(x,y) 11 Cho F(x,y) m nh ch a bi n “x có th l a g t y” t$p X t$p ng th gian Hãy di n t câu sau dùng l ng t : a M i ng i c ng có th l a g t b Tôi không th l a g t t t c m i ng i c Khơng có th l a g t t t c m i ng i d Tôi không th l a g t dù có m t ng i e Khơng có th l a g t c 12 Dùng l ng t di n t câu nói sau, ph nh chúng r0i d ch ph l i câu thông th ng: a M i ng i c ng thích mơn tốn r i r c b Có m t ng i ch a bao gi nhìn th y chi c máy tính c Có m t ng i ã h c t t c mơn tốn i nh tr Trang 42 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh d Ch a có ã nhìn th y chi c máy tính l ng t e Có m t l"p h c mà m i ng i ó u gi.i mơn tốn f Trong m i l"p h c u có m t h c sinh khơng h c gi.i mơn tốn 13 Cho A, B, C t$p h p Ch ng minh r ng: (A - B) - C = (A - C) - (B - C) 14 Cho A, B, C t$p h p Ch ng minh r ng: (B - A) ∪ (C - A)= (B ∪ A) - A 15 Ch ng minh r ng n u A, B t$p h p thì: (A ∩ B) ∪ (A ∩ % ) = A (ký hi u % ch# ph n bù c a B t c {x/ x ∉ B} 16 Cho A, B, C t$p h p Ch ng minh r ng %%%%%%%%%%%%% a (2 4) = b (A – C) ∩ (C – B) = ∅ c (A - B) – C ⊆ A - C 17 Cho t$p h p B = {a1, a2, a3, a4} G i P(B) t$p h p t t c t$p h p c a t$p h pA a Hãy li t kê t t c ph n t c a P(B) b P(B) có ph n t ? 18 B ng ph ơng pháp quy n p, ch ng minh r ng n u t$p h p A có n ph n t có c th y 2n t$p 19 B ng ph ơng pháp quy n p ch ng minh r ng 111 111 (3n ch! s 1) chia h t cho 3n v"i m i s t nhiên n 20 B ng ph ơng pháp quy n p ch ng minh công th c sau úng v"i m i s t nhiên n a 12 + 12 + + (2n-1)2 = 22 n(2n-1)(2n+1) ;< 9: Trong m t l"p h c ngo i ng!, t$p h p A h c viên n! có ph n t , t$p h p B h c viên t 20 tu(i tr lên có ph n t Có h c viên n! t 20 tu(i tr lên Tìm s ph n t c a t$p h p A ∪ B b 21 67 89: Trên m t bãi xe, có 42 xe g0m taxi xe buýt Có 14 xe màu vàng 37 xe bt ho c xe khơng có màu vàng H.i bãi xe có xe buýt vàng? 23 M t l"p h c có 40 h c sinh, ó có 15 em h c mơn Tốn, 16 em h c mơn V,n 17 em h c mơn Ti ng Anh Có em h c c hai mơn V,n Tốn, em h c c hai mơn Tốn Anh, em h c c hai môn V,n Anh, em h c c ba mơn H.i có h c sinh a Ch# h c mơn Tốn b Ch# h c môn V,n? c Ch# h c môn Anh? d Không h c môn nào? 24 Trên m t ph ng k- n ng th ng cho ba ng nà 0ng qui khơng có hai ng song song H.i m t ph ng c chia làm m y ph n ? 25 Hãy ngh thu$t tốn quy tìm s h ng th n c a dãy a0=1, a1 = an = an-1 + an-2 v"i n = 2, 3, 4, c xác nh nh sau: BÀI T/P CHƯ NG Trang 43 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh M t t$p th g0m 14 ng i g0m nam n! ó có An Bình , ng i ta mu n ch n t( cơng tác g0m ng i Tìm s cách ch n t( ccho có t( tr ng , t( viên ó An vàà Bình B khơng 0ng th i có m t Cho A m t t$p h p t$ t$p có ph n t a Có t$p $p h p c a A b Có t$p $p h p khác r2ng c a A mà có s ph n t s ch9n M t nhóm g0m 10 h c sinh, ó nam n! H.i có bao ao nhiêu cách s)p x p 10 h c sinh thành hàng d c cho h c sinh nam ph i ng li n Cho t$p E={0,1,2,3,4,5, ,5,6,7,8,9}, có s t nhiên g0m 0m ch! s khác t E mà chia h t cho 5? Có chu2i bit it ccó Xem o n ch ơng trình nh PASCAL d "i ây, ó i, j, k ác bi n nguyên dài nh ho c b ng For i := to 12 For j := to 10 For k := 15 downto to Writeln ( (i-j)*k ); L nh Writeln c thh c hi n l n? Gi s n m t h ng s cho tr "c Xác nh giá tr c a bi n ngu guyên counter sau th c hi n o n ch ơngg trình t PASCAL d "i ây (' ây i, j k l bi n nguyên) Counter := 0; For i := to N For j := i to N For k := to N Counter := Counte ter + T ch! s 1, 2, 3,, 44, 5, l$p s t nhiên g0m s cóó ch! s khác H.i nhiêu s ? a Có t t c bao nh b Có s ch9n, s l- ? c Có s bé 432000? N,m h c sinh nam h c sinh n! c s)p x p vào ch2 ng0i 0i Có cách s)p x p ch2 ng0i ch cho khơng có hai h c sinh n! ng0i vào c nh ? 10 Hãy tính s t khác ác (có th vơ ngh a) thu c a t TOANHOCT TUOITRE c b ng cách c hoán v ch! 11 Hãy tính s t khác ác (có th vơ ngh a) thu c b ng cách c hoán v ch! c a t TOANHOCT TUOITRE mà ó khơng có ba ch! ! T ng c nh 12 Ch ng minh ng th c sau: a C n0 + C n1 + + C nn−1 + C nn = n b C n0 − C n1 + + ( −1) n−1 C nn−1 + ( −1) n C nn = 13 Ch ng minh r ng C nm C mk = C nk C nm−−kk = C nm − k C nk− m + k 14 Có cách x p k bit m bit (k ≤ m)trên vòng tròn c ánh s t n Trang 44 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh m+k (v trí m+k k v"i v trí 1) cho khơng có bit k 15 Trong 45 h c sinh làm ki m tra khơng có b i m d "i 2, ch# có h c sinh c i m 10 Ch ng minh r ng nh t c ng tìm c h c sinh có i m ki m tra b ng ( i m ki m tra m t s t nhiên t n 10) 16 i tham gia gi i vơ d ch bóng ó hai i b t kì ph i g p úng l n bi t n cu i gi i khơngcó tr$n hòa Ch ng minh i ln tìm c i ABCD th.a mãn A th)ng B,C,D ; B th)ng C,D ; C th)ng D 17 Có i bóng thi u v"i (m2i i ph i u tr$n v"i i khác) CMR vào b t c lúc c ng có i ó t ng c p ã u v"i ho c ch a u v"i tr$n 18 Cho s nguyên phân bi t a1, a2, a3, a4, a5 Xét tích : P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5)(a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5) Ch ng minh r ng P chia h t cho 288 19 Bên tam giác u ABC c nh kho ng cách nh 0,5 20 Ng i a th tên Phong c phân công a th m t làng nh mang tên M i nhà Làng này, ch# có ng ph có 10 nhà, ánh s t n 10 Trong m t tu n n , Phong không a th t i hai nhà c a làng; t i nhà khác anh y a th úng ba l n M2i m t ngày làm vi c anh y a th t i úng nhà T(ng c a s nhà mà Phong a th là: • Th hai : 18 • Th ba : 12 • Th t : 23 • Th n,m : 19 • Th sáu : 32 • Th b y : 25 Ch nh$t: Phong không làm vi c H.i Hai nhà không nh$n c th tu n này? 21 cho X ={0,1, ,10} Ch ng t r ng n u S t$p g0m ph n t c a X có ph n t c a S có t(ng b ng 10 t i m Ch ng minh r ng t0n t i i m có BÀI T/P CHƯ NG Trong quan x ng, b)c c u: a Quan h b Quan h c Quan h h sau, cho bi t quan h có tính ph n x , R Z : xRy R Z : xRy R Z : xRy i x ng, ph n x + y ch9n x - y l- x2 + y2 ch9n Các quan h d "i ây t$p m i ng a {(a, b)|a, b tu(i} b {(a, b)|a, b có b m } c {(a, b)|a, b nói th ti ng} i t ơng ơng ? A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)} a Ki m tra R m t quan h t ơng ơng b Tìm l"p t ơng ơng % , % , % Trang 45 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh Xét m t t$p h p A = {1, 2, 3, 4, 6, 9}, nh ngh a m t quan h R A nh sau R = {(x, y)|x − y b i s c a 3} a Li t kê ph n t c a R b Ch ng minh R quan h t ơng ơng A c Các l"p t ơng ơng c a R ? G i R quan h hai ngơi “có s d v"i phép chia cho 4” t$p h p N a Ch ng minh r ng R m t quan h t ơng ơng t$p h p N b Quan h t ơng ơng R N chia t$p h p N thành m y l"p t ơng ơng? Hãy v& sơ Ven bi u di n l"p t ơng ơng c a quan h R Cho t$p h p X = {1, 2, 3, 4, 5} P = P(X) t$p h p t$p c a X G i R quan h hai P xác nh b i: A R B ch# N (A) = N (B) ó N X (C) s ph n t c a t p h p C a Ch ng minh r ng R m t quan h t ơng ơng P b Tìm l"p t ơng ơng c a quan h ~ P, có i di n ph n t {1, 3} c a P Ký hi u C* ch# t$p h p s ph c có ph n th c khác G i R quan h hai C* xác nh b i (a + bi) R (c + di) ch# ac > Ch ng minh r ng R m t quan h t ơng ơng C* Cho t$p X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} quan h hai R xác nh X nh sau: x,y∈X, xRy (x+y)÷2 (ký hi u ÷ di n t ý “chia h t cho”) a T$p R có nh!ng ph n t nào? b Quan h hai ngơi R có nh!ng tính ch t gì? c R có ph i quan h t ơng ơng X? N u ph i tìm l"p t ơng ơng c a ph n t 1, T$p th ơng X/R có nh!ng ph n t nào? X = { 1,2,3,4,5} x { 1,2,3,4,5} Xét quan h R X sau: (a,b) R (c,d) a+b = c+d a Ch ng minh r ng R m t quan h t ơng ơng X b Tìm l"p t ơng ơng c nh ngh a nh 10 Cho t$p h p X = {1, 3, 9, 18, 36} G i ≤ quan h “chia h t” X a Ch ng minh ≤ m t quan h th t X b Quan h• th t ≤ X có ph•i quan h th t tồn ph•n không? 11 Cho R quan h hai t$p h p C s ph c xác nh nh sau: V"i m i a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) R (c + di) ch# a ≤ c b ≤ d a Ch ng minh r ng R m t quan h th t C b R có ph i quan h th t toàn ph n khơng? 12 Tìm ph n t t i i, t i ti u, l"n nh t, nh nh t c a t$p A= {2,3,4,5,6,12,30,60} i v"i quan h chia h t N* 13 Cho t$p h p s)p th t (X, ≤) v"i X = {35, 36, 37, 38, 39} ≤ quan h “chia h t cho” X (a ≤ b a chia h t cho b) Tìm giá tr l"n nh t giá tr nh nh t c a X 14 Gi s A = P(E) v"i E = {1, 2, 3} Trong t$p h p A v"i th t bao hàm, tìm sup inf c a t$p h p B A d "i ây: a B = {{1}, {2}} b B = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}} c B = { ∅, {1}, {2}, {1, 2}} Trang 46 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh 15 Cho t$p h p X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} R quan h “chia h t” X nh sau : a R b a chia h t b a Ch ng t R quan h th t b Tìm ph n t t i i t i ti u c a X c Tìm ph n t l"n nh t nh nh t (n u có) c a X nh ngh a 16 Tìm ph n t ch n ch n d "i (n u có) c a m2i t$p A = {7, 11} B = {2, 4, 6, , 2n, } t$p h p s)p th t {N*, ≤}, ó ≤ quan h “chia h t” t$p h p N* 17 Gi s {R, ≤} t$p h p s)p th t , ó ≤ quan h “nh ho c b ng” (thông th ng) t$p h p s th c R Tìm ph n t ch n ph n t ch n d "i c a t$p h p A = [−7, 3) = {x ∈ R : −7 ≤ x < 3} R 18 Cho t$p X={a,b,c,d} a Hãy li t kê ph n t c a t$p t t c t$p h p c a X ( kí hi u P(X)) b Ch ng minh quan h bao hàm quan h th t P(X) c Tìm ph n t l"n nh t, nh nh t, t i i, t i ti u c a t$p Y={{a}; {a,b}; {a,b,c}; {a,b,d}} d T ơng t câu h.i c) i v"i t$p P(X); P(X)\X 19 Cho A = {1,2,3,4,5} Cho R S hai quan h (2 ngơi) A có ma tr$n bi u di n l n l t 0 0 1 1 1 0 1 MR = 1 1 0 MS = 0 1 0 0 0 0 1 1 1 a Ch ng minh r ng R S nh!ng quan h th t A b V& bi u Hasse cho (A,R) (A,S) 20 Cho (A, ≤) t$p h p s)p th t , ó A= {2, 4, 5, 10, 12, 20, 25} quan h “chia h t” a V& bi u Hasse cho (A, ≤) b D a vào bi u Hasse tìm ph n t c c i, c c ti u c a (A, ≤) 21 Cho (A, ≤) t$p h p s)p th t , ó A t$p chu2i nh phân có 3, ≤ quan h “nh ho c b ng” thông th ng a V& bi u Hasse cho (A, ≤) b D a vào bi u Hasse tìm ph n t c c i, c c ti u c a (A, ≤) c D a vào bi u Hasse tìm ph n t t i i, t i ti u c a (A, ≤) dài b ng BÀI T/P CHƯ NG Ki m tra tính giao hốn tính k t h p c a phép toán sau ây : a Phép toán * N cho b i : a * b = a+b+2, ∀ a,b ∈ N b Phép toán * X = { x ∈ R | x > 0} nh b i : a* b = ab/(a+b) c Phép toán * R nh b i : a* b = a+b+ab Ch ng minh r ng a (a+b).(a+b’)=a Trang 47 GIÁO TRÌNH TOÁN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh b (a.b)+(a’.c)=(a+c).(a’+b) Cho S t$p h p "c nguyên d ơng c a 70, v"i phép tốn •, + ’ c ngh a S nh sau: a • b = UCLN(a, b), a + b = BCNN(a, b), a’ = 70/a Ch ng t r ng S v"i phép tốn •, + ’ l$p thành m t i s Boole Cho hàm Boole F1, F2, F3 xác nh b i b ng sau: F2 X y z F1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 V& m ch c(ng logic th c hi n hàm Boole nh F3 1 1 1 Dùng b n Karnaugh, tìm d ng a th c t i ti u c a hàm Boole ba bi n sau: a F = x yz + x y z b F = xyz + xy z + + x yz + x y z c F = xy z + + x y z + x y z + x yz + x y z d F = xyz + x y z + x y z + x yz + x y z + x y z Dùng b n Karnaugh, tìm d ng a th c t i ti u c a hàm Boole ba bi n sau: a F = wxyz + wx yz + wx y z + w x y z + w x y z b F = wxy z + wx y z + w x yz + wx y z + w x y z + w x y z c F = wxyz + wxy z + wx y z + w x y z + w x y z + wx y z + w x y z + w x yz d F = wxyz + wxy z + wx y z + w x yz + w x y z + wxyz + w x yz + w x y z + w x y z Cho hàm Boole f(x,y)= x y + x y + x y a Tìm a th c t i ti u c a f(x,y) b V& m ch logic bi u di n hàm f(x,y) a th c t i ti u c a f(x,y) Trang 48 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh M1C L1C CHƯ NG : I C S LOGIC Khái ni m m nh chân tr 1 Các khái ni m M nh sơ c p – m nh ph c h p II Các phép toán m nh 1 B ng chân tr Phép ph nh Phép h i Phép n Phép kéo theo Phép kéo theo chi u Ð u tiên c a toán t logic III D ng m nh lu t logic B ng chân tr c a m t bi u th c logic S t ơng ơng logic 4 Các lu$t logic Các qui t)c thay th IV Quy t c suy di n / nh ngh a Ki m tra m t qui t)c suy di n Các qui t)c suy di n b n V Ð nh ngh a v t l ng t Ð nh ngh a v t : Các phép toán v t VI Các l ng t m nh có l ng t Khái ni m Qui t)c ph nh m nh có l ng t M t s qui t)c dùng suy lu$n D ch nh!ng câu thông th ng thành bi u th c logic: 10 VII T p h p - Các phép toán t p h p 10 Khái ni m t$p h p 10 Bi u di n m t t$p h p 11 T$p h p con, t$p h p b ng 11 Các phép toán t$p h p 11 VIII Khái ni m Ánh x 12 / nh ngh a 12 Ánh x b ng 12 Ánh x h p 12 7nh nh ng c 12 Phân lo i ánh x 13 IX L c l ng c a t p h p 13 / nh ngh a l c l ng c a t$p h p 13 / nh ngh a t$p h p h!u h n-vô h n 13 Trang 49 GIÁO TRÌNH TỐN X T$p h p Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh c 13 Quy n p toán h c – nh ngh a quy 14 Quy n p toán h c 14 Các nh lý v quy n p 14 Thu$t toán quy 14 CHƯ NG : I NG D NG TIN H C m PHÉP M 16 Phép m 16 / nh ngh a: 16 Tính ch t: 16 II Nguyên lý c ng 16 M nh : 16 Nguyên lý c ng : 16 Nguyên lý nhân : 17 III Nguyên lý Dirichlet t ng quát: 17 M nh : 17 Các ví d : 17 M t s ng d ng c a nguyên lý Dirichlet 17 IV CH NH H P 18 Ð nh ngh a 18 Công th c ch#nh h p 18 V T H P 19 Ð nh ngh a 19 Công th c t( h p 19 VI CÔNG TH!C NH" TH!C NEWTON: 19 Ð nh lý 19 H qu 19 H qu 19 VII M#T S$ TÍNH CH%T KHÁC C&A T H P 19 VIII HOÁN V" L'P VÀ T H P L'P 20 Hoán v l p 20 IX T h p l(p 20 Ð nh ngh a: 20 Công th c tính t( h p l p: 20 Các h qu : 20 CHƯ NG : I QUAN H) 22 Quan h hai 22 / nh ngh a 22 Cách xác nh m t quan h : 22 Bi u di n quan h d "i d ng ma tr$n 22 II Quan h t ng ng 23 Khái ni m 23 Trang 50 GIÁO TRÌNH TOÁN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh L"p t ơng ơng t$p h p th ơng 23 /0ng d 23 III Phép toán s+ h c Zn 24 T$p h p s t nhiên, t$p h p s nguyên 24 Phép chia s nguyên 24 Ư"c S Chung L"n Nh t B i S Chung Nh Nh t 25 S nguyên t nh lý c,n b n c a s h c 26 IV Quan h th, t 26 / nh ngh a quan h th t 26 / nh ngh a ph n t nh nh t, l"n nh t, t i ti u, t i i 27 / nh ngh a ch$n trên, ch$n d "i c a m t t$p h p: 27 / nh ngh a t$p có th t t t: 27 V Bi-u Hasse 27 /0 th nh h "ng (directed graph) 27 /0 th nh h "ng (directed graph) 28 CHƯ NG : I .I S$ BOOLE 30 Phép toán 30 / nh ngh a phép tốn2 ngơi 30 / nh ngh a phép tốn ngơi 30 Các ý 30 Các tính ch t i s c a phép tốn ngơi 30 / nh ngh a phân b bên trái, ph i c a phép tốn ngơi 31 / nh ngh a C u trúc i s 32 II i s+ boole 32 / nh ngh a i s Boole 32 III Hàm boole 33 / nh ngh a hàm Boole 33 Các phép toán hàm Boole: 33 IV Bi-u di n hàm Boole: 34 / nh ngh a: 34 M nh : 34 V M ng c ng 34 C(ng Logic 34 M t s c(ng logic th ng g p 35 M ch logic 35 VI Công th,c a th,c t+i ti-u 36 VII Bi-u Karnaugh 37 Khái ni m 37 Chú ý: 37 / nh ngh a 37 Ph ơng pháp Karnaugh tìm cơng th c a th c t i ti u c a hàm Boole 37 Các ví d 38 Trang 51 ... v? ?ng M t s ng d ng c a ngun lý Dirichlet Trang 17 GIÁO TRÌNH TỐN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh • Trong m t ph? ?ng h p có n ng? ? i, bao gi c "ng tìm c ng? ? i có s ng? ? i quen s nh ng. .. M2i ô s& t ? ?ng ng v"i m t d? ?ng b ng c a f • M t ô s& c ánh d u n u ch# n u t i d? ?ng t ? ?ng ng v"i b ng chân tr , giá tr c a f b ng • Các c cho t ? ?ng ng v"i d? ?ng cho hai d? ?ng t ? ?ng ng v"ihai ô... Anh? d Kh? ?ng h c môn nào? 24 Trên m t ph ng k- n ng th ng cho kh? ?ng có ba ng nà 0ng qui kh? ?ng có hai ng song song H.i m t ph ng c chia làm m y ph n ? 25 Hãy ngh thu$t tốn quy tìm s h ng th n c