BT chuong 1 co so logic

Chương CƠ SỞ LOGIC Phần I Hướng dẫn sử dụng Maple Để thực việc tính toán toán liên quan tới sở logic sử dụng gói lệnh Logic Để gọi gói lệnh ta dùng > with(Logic); ‘&and‘, ‘&iff‘, ‘&implies‘, ‘&nand‘, ‘&nor‘, ‘¬‘, ‘&or‘, ‘&xor‘, BooleanSimplify, Canonicalize, Contradiction, Dual, Environment, Equivalent, Export, Implies, Import, Normalize, Random, Satisfy, Tautology, TruthTable 1.1 Phép toán logic Cho p q mệnh đề Khi • ¬ p: Phép phủ định p (nghĩa ¬p hay p) • p &and q: Phép nối liền p q (nghĩa p ∧ q) • p &or q: Phép nối rời p q (nghĩa p ∨ q) • p &implies q: Phép kéo theo p q (nghĩa p → q) • p &iff q: Phép kéo theo hai chiều p q (nghĩa p ↔ q) Lưu ý để in giá trị mệnh đề exp ta phải dùng hàm Export(exp) > with(Logic): > Export(¬ true); f alse > Export(true &or false); true > Export(true &and false); f alse > Export(false &implies false); true > Export(false &iff true); f alse 1.2 Dạng mệnh đề Dạng mệnh đề biểu thức xây dựng từ biến mệnh đề, phép toán logic, Cho exp, exp1, exp2 dạng mệnh đề, đó: • Random({var1, var2, }): Tạo ngẫu nhiên dạng mệnh đề theo biến var1, var2, • Export(exp): Viết exp dạng biểu thức dễ nhìn • Satisfy(exp): Đưa giá trị biến mệnh đề cho exp • TruthTable(exp,[var1, var2, ]): Bảng chân trị exp theo thứ tự biến var1, var2, • Tautology(exp): Kiểm tra exp có không • Tautology(exp, ’S’): Kiểm tra exp có không Nếu không S giá trị biến mệnh đề làm cho exp sai • Contradiction(exp): Kiểm tra exp có sai không • Contradiction(exp, ’T’): Kiểm tra exp có sai không Nếu không T giá trị biến mệnh đề làm cho exp • Equivalent(exp1, exp2): Kiểm tra exp1 exp2 có tương đương logic không • Equivalent(exp1, exp2, ’S’): Kiểm tra exp1 exp2 có tương đương logic không Nếu không S giá trị biến mệnh đề làm cho exp1 exp2 chân trị • Implies(exp1, exp2): Kiểm tra exp2 có hệ logic exp1 không • Implies(exp1, exp2, ’S’): Kiểm tra exp2 có hệ logic exp1 không Nếu không S giá trị biến mệnh đề làm cho exp1 → exp2 sai > E := Random({p, q}); #Kết ngẫu nhiên > F := (p &and (¬ q)) &implies (r &or q): > Export(F); #dạng mệnh đề (p ∧ ¬q) → (r ∨ q) #Viết F dạng dễ nhìn p and not q ⇒ r or q > Satisfy(F); #Tìm giá trị biến cho F {p = f alse, q = f alse, r = f alse} > T := TruthTable(F, [p, q, r]); #Bảng chân trị F T := table([(f alse, true, f alse) = true, (f alse, f alse, true) = true, Để in bảng chân trị T dạng bảng ta sử dụng dòng lệnh sau > S := [false, true]; for a in S for b in S for c in S print(a, b, c, T[a, b, c]); od; od; od; Ví dụ Hãy kiểm tra hai dạng mệnh đề sau hay sai? Giải thích? E = (p ∧ q) → (p ∨ q ∨ r) F = (p → q) → [(q → r) → (p → r)] > E:=(p &and q) &implies (p &or (¬ q) &or r): F:=(p &implies q ) &implies ((q &implies r) &implies(p &implies (¬ r))): > Export(E); Export(F); #Viết E F dạng dễ nhìn > Tautology(E); true > Contradiction(E); f alse > Tautology(F, ’X’); Contradiction(F, ’Y’); f alse f alse > X; {p = true, q = true, r = true} > Y; {p = f alse, q = f alse, r = f alse} Như vậy, E F không không sai • với p = 1, q = 1, r = F = 0; • với p = 0, q = 0, r = F = Tương tự cách sử dụng hàm Equivalent Implies ta làm ví dụ sau Ví dụ Trong khẳng định sau, khẳng định a) (p ∧ q) ∨ r ⇒ p ∧ (q ∨ r) b) (p → q) ∨ (p → q) ⇒ p ∧ q c) (p → q) ∨ [p → (q ∧ r)] ⇔ p → q d) p → (q ∨ r) ⇔ r¯ → (¯ q → p¯) Phần II Bài tập Bài 1.1 Gọi P, Q, R mệnh đề: P : “Bình học Toán” Q : “Bình học Tin học” R : “Bình học Anh văn” Hãy viết mệnh đề sau thành biểu thức logic a) Bình học Toán Anh văn không học Tin học b) Bình học Toán Tin học không học lúc Tin học Anh văn c) Không Bình học Anh văn mà không học Toán d) Không Bình học Anh văn hay Tin học mà không học Toán e) Bình không học Tin học lẫn Anh văn học Toán Bài 1.2 Cho P Q mệnh đề: P : “Bạn lái xe với tốc độ 65 km/h” Q: “Bạn bị phạt tốc độ cho phép” Hãy viết mệnh đề sau thành biểu thức logic a) Bạn không lái xe 65 km/h b) Bạn lái xe 65 km/h bạn không bị phạt tốc độ cho phép c) Bạn bị phạt tốc độ cho phép Nếu bạn lái xe 65 km/h d) Nếu bạn không lái xe với tốc độ 65 km/h bạn không bị phạt tốc độ cho phép e) Lái xe với tốc độ 65 km/h đủ để bị phạt tốc độ cho phép f) Bạn bị phạt tốc độ cho phép bạn không lái xe 65 km/h g) Mỗi lần bị phạt tốc độ cho phép bạn lái xe 65 km/h Bài 1.3 Cho P, Q, R mệnh đề : P : “Bạn bị cúm” Q: “Bạn thi trượt kỳ thi cuối khóa” R: “Bạn lên lớp” Hãy diễn đạt mệnh đề theo ngôn ngữ thông thường a) P → Q c) Q → R e) (P → R) ∨ (Q → R) b) Q ↔ R d) P ∨ Q ∨ R f) (P ∧ Q) ∨ (Q ∧ R) Bài 1.4 Tìm dạng mệnh đề biến q, p, r cho dạng mệnh đề a) p q r sai b) hai ba mệnh đề c) mệnh đề sai Bài 1.5 Viết mệnh đề phủ định A A có nội dung sau a) Không 2/5 dân số tốt nghiệp đại học k) Cả lớp nói chuyện ồn b) Hơn nửa số Bộ trưởng thực có lực l) Có gọi điện thoại cho Tuấn m) Các cầu thủ không thích bơi lội c) Không 1/6 số trẻ em bị thất học n) Hắn thông minh thiếu thận trọng d) Nhiều 30 ứng viên thi đạt ngoại ngữ o) Ngọc học Toán mà không học Lịch sử e) Có sinh viên đạt giải thưởng p) Dũng An thi ngoại ngữ f) Đúng 12 thí sinh dự vòng chung kết thi q) Vũ vừa giỏi Vật Lý vừa giỏi Hóa học g) Hơn vận động viên phá kỷ lục quốc gia r) Hải đạt kết thấp môn Tin học lẫn môn Toán h) Ít 16 quốc gia thi đấu môn bóng rổ s) Họ đến trường hay họ xem phim i) Nếu Sơn thắng trận anh Paris t) Chúng Vinh anh không Huế j) Không muốn làm việc vào ngày chủ nhật u) Nhóm bác sĩ hay nhóm kỹ sư làm từ thiện Bài 1.6 Hãy lấy phủ định mệnh đề sau: a) 15 chia hết cho không chia hết cho b) Hình tứ giác hình chữ nhật mà hình thoi c) Nếu An không làm ngày mai bị duổi việc d) Ngày mai trời mưa hay trời lạnh không e) Nếu trời mưa bạn không đến đón không học Bài 1.7 Cho p, q, r biến mệnh đề Lập bảng chân trị cho dạng mệnh đề sau: a) (p → q) ∨ (q → p) d) (p ∧ q) ∨ r g) (p → q) ∧ r b) (p ∨ q) → (r ∨ p) e) (p ∨ q) ∧ r h) (p → q) ∨ (q → r) c) (p ∨ q) ∧ r f) (p ∨ q) ↔ r i) (p ∧ q) → (q ∨ r) Bài 1.8 Hãy dạng mệnh đề sau: a) (p ∨ q) → (p ∧ q) c) p → (q → p) b) (p ∧ q) → (p ∨ q) d) p → (p → q) Bài 1.9 Chứng minh dạng mệnh đề sau sai: a) (p ∧ q) → (p ∨ q¯ ∨ r) c) [p → (q ∧ r)] → (p → q) b) (p → q) → [(q → r) → (p → r)] d) [(p → q) ∧ (q → r)] → [p → (q → r)] e) [(p → q) → (r → p¯)] → (q → r¯) ∨ p¯ h) [(p → q¯) → q] ∧ p → q f) [p ∧ (q ∨ r)] → [(p ∧ q) ∨ r] i) [p → (q → r)] ∧ (p → r¯) ∧ p → q¯ g) (r ∧ q) → (¯ p ∨ q) j) (p ∧ q¯) ∧ (¯ q → p¯) ∧ (q ∨ r) Bài 1.10 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng: a) q ⇒ p → q f) p → (q ∧ r) ⇒ p → q b) p → q ⇒ p g) (p ∧ q) → r ⇒ (p → r) ∧ (q → r) c) (p ∧ q) ∨ r ⇒ p ∧ (q ∨ r) h) p → (q ∨ r) ⇒ (p → q) ∨ (p → r) d) (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → (q → r) i) (p → q) ∨ (p → q) ⇒ p ∧ q e) p → (q → r) ⇒ p → r Bài 1.11 Rút gọn dạng mệnh đề sau a) [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q¯)] ∨ q d) p ∧ (q ∨ r) ∧ (¯ p ∨ q¯ ∨ r) b) p ∨ q ∨ [(¯ p ∧ q) ∨ q¯] e) (p → q) ∧ [¯ q ∨ (¯ q ∧ r)] c) p ∨ q ∨ (¯ p ∧ q¯ ∧ r) f) p¯ ∨ (p ∧ q¯) ∨ (p ∧ q ∧ r¯) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ s¯) Bài 1.12 Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh a) (p → q) → [(p → r) → q] ⇔ q → p d) p → (q ∨ r) ⇔ r¯ → (¯ q → p¯) b) (p → q) ∨ [p → (q ∧ r)] ⇔ p → q e) (p ∧ q ∨ r) → (q → r) ⇔ q → (p ∨ r) c) (p ∧ r) → (q ∧ r) ⇔ r → (p → q) f) (¯ q → p¯) ∧ p) ⇔ p → q¯ Bài 1.13 Cho P (x) câu “x học Toán rời rạc”, không gian tập hợp sinh viên Hãy diễn đạt biểu thức logic sau thành câu thông thường: a) ∀x, P (x) b) ∃x, P (x) d) ∃x, P (x) c) ∀x, P (x) Bài 1.14 Cho P (x, y) câu “x học môn y”, với không gian x tập hợp sinh viên lớp, không gian y tập hợp môn học Hãy diễn đạt mệnh đề sau thành câu thông thường a) ∃x∃y P (x, y) c) ∀x∃y P (x, y) e) ∀y∃x P (x, y) b) ∃x∀y P (x, y) d) ∃y∀x P (x, y) f) ∀x∀y P (x, y) Bài 1.15 Xét chân trị mệnh đề tạo từ lượng từ ∀, ∃ vị từ p(x), p(x)∧q(x), p(x)∨ q(x), p(x) → q(x) p(x) ↔ q(x) (theo biến thực x) a) p(x) = “x2 − 2x − ≤ 0” q(x) = “(x + 1)(x − 2) − > 0” b) p(x) = “(3 − 2x)(x + 4) − ≥ 0” q(x) = “(x2 + x − 2)(x2 − 3x + 10) > 0” Bài 1.16 Hãy lấy phủ định mệnh đề sau: a) Mọi tam giác có góc 600 b) Tất học sinh lớp Toán xem kịch có học sinh lớp Văn không xem xiếc c) Nếu An đoạt chức vô địch tất bạn lớp đến chúc mừng Bài 1.17 Cho a ∈ R Viết mệnh đề phủ định A A có nội dung sau: √ a) 2a3 + 5a = 10 c) − 5a ≤ b) (2a − 5)(3a + 1)−1 ≥ d) ln(a2 − a − 2) < Bài 1.18 Cho lượng từ γ δ (với γ, δ lượng từ ∀ ∃) Xét chân trị A viết A tùy theo dạng cụ thể γ δ : a) A = “γ x ∈ R, |x| = −x3 ” b) A = “γ x ∈ Q, x2 − 2x > −2” c) A = “γ x ∈ R, δ n ∈ N, 2n ≤ x < 2n + 1” d) A = “γ x ∈ R, δ y ∈ R, (x2 = y ) → (x = y)” e) A = “γ x ∈ Q, δ y ∈ R, (x2 + 2x − 15)y = 0” f) A = “γ x ∈ R, δ y ∈ Q, x2 + 4x ≥ y + g) A = “γ x ∈ R, δ k ∈ Z, (x − k)2 ≤ ” Bài 1.19 Viết dạng phủ định A xét chân trị A ( xét trực tiếp A hay xét gián tiếp A suy A): a) A = “∀n ∈ N, 4|n2 → 4|n” b) A = “∃x ∈ R, sin x + 2x = 1” c) A = “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, 2x + sin y > 0” d) A = “∀x ∈ R, ∃y ∈ N, (x2 ≥ y ) → (x ≥ y)” e) A = “∃x ∈ R, ∀y ∈ Q, 2y + 2−y ≥ sin x + 3” f) A = “∀x ∈ R, ∃y ∈ Q, ∀t ∈ Z, x ≤ y + 2t” g) A = “∃x ∈ Q, ∃y ∈ R, ∀t ∈ N, x3 − 3y = 5t” Bài 1.20 Cho biết suy luận suy luận quy tắc suy luận sử dụng? a) Điều kiện đủ để Bình Dương thắng trận đối thủ đừng gỡ lại vào phút cuối Mà CSG thắng trận Vậy đối thủ Bình Dương không gỡ lại vào phút cuối b) Nếu Minh giải toán thứ tư em nộp trước quy định Mà Minh không nộp trước quy định Vậy Minh không giải toán thứ tư c) Nếu lãi suất giảm số người gửi tiết kiệm giảm Mà lãi suất không giảm Vậy số người gửi tiết kiệm không giảm d) Nếu thưởng cuối năm Hà Đà Lạt Nếu Đà Lạt Hà thăm Suối vàng Do thưởng cuối năm Hà thăm suối vàng Bài 1.21 Hãy kiểm tra xem suy luận sau có không a) Nếu An lên chức làm việc nhiều An tăng lương Nếu tăng lương An mua xe Mà An không mua xe Vậy An không lên chức hay An không làm việc nhiều b) Nếu muốn dự họp sáng thứ ba Minh phải dạy sớm Nếu Minh nghe nhạc tối thứ hai Minh trễ Nếu trễ thức dậy sớm Minh phải họp mà ngủ Nhưng Minh họp ngủ Do Minh không nghe nhạc thối thứ hai Minh phải bỏ họp sáng thứ ba c) Nếu Bình làm muộn vợ giận Nếu An thường xuyên vắng nhà vợ giận Nếu vợ Bình hay vợ An giận cô Hà bạn họ nhận lời than phiền Mà Hà không nhận lời than phiền Vậy Bình làm sớm An vắng nhà Bài 1.22 Hãy kiểm tra suy luận sau p→q q r ∴p∨r p → (q → r) q→p p ∴r p∧q p → (r ∧ q) r → (s ∨ t) s ∴t p∨q q∨r r ∴q p→q r → (p ∨ s) (t → p) → r q∨s ∴t q t→p (p ∧ q) → s ∴t→s p→q (p ∧ s) ∨ t t→q ∴s→t p∨q p q∨r s→r ∴s p p→q (q ∧ r) → s t→r ∴s→t Bài 1.23 Cho biến mệnh đề p, q, r, s, t u Giải thích đắn suy luận đây: a) p ∧ (p → q) ∧ (s ∨ r) ∧ (r → q¯) ⇒ s ∨ t b) (¯ p ∨ q) ∧ (¯ p → r) ∧ (¯ r ∨ s) ⇒ q¯ → s c) s¯ ∧ [(¯ p ∨ q) → r] ∧ u¯ ∧ [r → (s ∨ t)] ∧ (u ∨ t¯) ⇒ p d) (p → q) ∧ r¯ ∧ q¯ ⇒ p ∨ r e) [p → (q → r)] ∧ (t → q) ∧ s¯ ∧ (p ∨ s) ⇒ r¯ → t¯ f) p ∧ r ∧ q¯ ⇒ (p ∧ r) ∨ q g) [p → (q → r)] ∧ (¯ q → p¯) ∧ p ⇒ r h) [(p ∧ q) → r] ∧ (r → s) ∧ s¯ ⇒ p → q¯ i) (p → q) ∧ (r → s) ∧ [(s ∧ q) → (p ∧ t)] ∧ (t → p¯) ⇒ p¯ ∨ r¯ j) p ∧ (p → q) ∧ (r ∨ q¯) ⇒ r k) (p → q) ∧ (r → s) ∧ [(s ∨ q) → t] ∧ t¯ ⇒ p¯ ∧ r¯ l) (p → q) ∧ (¯ r ∨ q¯) ∧ r ⇒ p¯ m) [p → (r ∧ q)] ∧ p ∧ q ∧ [r → (s ∨ t)] ∧ s¯ ⇒ t n) (p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ r¯ ⇒ q Bài 1.24 Cho vị từ p(x) q(x) theo biến x ∈ A Giải thích đắn suy luận đây: a) [∀x ∈ A, p(x) → (q(x) ∧ r(x))] ∧ [∀x ∈ A, p(x) ∧ s(x)] ⇒ [∀x ∈ A, r(x) ∧ s(x)] b) [∀x ∈ A, p(x) ∨ q(x)] ∧ [∃x ∈ A, p(x)] ∧ [∀x ∈ A, q(x) ∨ r(x)] ∧ [∀x ∈ A, s(x) → r(x)] ⇒ [∃x ∈ A, s(x)] Bài 1.25 Chứng minh qui nạp theo số nguyên n : a) 13 + 23 + + n3 = n2 (n + 1)2 , ∀n ≥ b) 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − 1, ∀n ≥ 1 c) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3), ∀n ≥ n d) < n!, ∀n ≥ e) n2 < 2n , ∀n ≥ ( để ý (n + 1)2 < 2n2 , ∀n ≥ ) f) n3 < 2n , ∀n ≥ 10 ( để ý (n + 1)3 < 2n3 , ∀n ≥ 4) n 1 1 + ≤ + + + + n ≤ n + 1, ∀n ≥ 2 n n h) | (3 + − 2), ∀n ≥ g) i) | (6.7n − 2.3n ), ∀n ≥ n j) 3n+1 | (23 + 1), ∀n ≥ k) Cho a số thực khác không cho a + số nguyên 1 số nguyên Chứng minh ∀n ≥ 1, an + n a a l) Cho dãy số Fibonacci ao = 0, a1 = an+2 = an+1 + an , ∀n ≥ Chứng minh ∀n ≥ 0, an = √ (αn − β n ) với α β nghiệm thực phương trình x2 − x − = thỏa α > β ... Equivalent(exp1, exp2): Kiểm tra exp1 exp2 có tương đương logic không • Equivalent(exp1, exp2, ’S’): Kiểm tra exp1 exp2 có tương đương logic không Nếu không S giá trị biến mệnh đề làm cho exp1... cho exp1 exp2 chân trị • Implies(exp1, exp2): Kiểm tra exp2 có hệ logic exp1 không • Implies(exp1, exp2, ’S’): Kiểm tra exp2 có hệ logic exp1 không Nếu không S giá trị biến mệnh đề làm cho exp1... “Bình học Toán” Q : “Bình học Tin học” R : “Bình học Anh văn” Hãy viết mệnh đề sau thành biểu thức logic a) Bình học Toán Anh văn không học Tin học b) Bình học Toán Tin học không học lúc Tin học