Chương 1: Cơ sở logic pdf

Phép tính mệnh đề• Khái niệm về mệnh đề: Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa mà chỉ được mô tả.. Mệnh đề toán họcgọi tắt là mệnh đề là một khẳng định

Chương 1: Cơ sở logic

1.1 Phép tính mệnh đề

• Khái niệm về mệnh đề:

Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán học

không được định nghĩa mà chỉ được mô tả

Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định có giá trị chân lý xác định (đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai).

1.1 Phép tính mệnh đề

• Kiểm tra xem các khẳng định sau có là mệnh

đề không? Nếu có, đó là mệnh đề đúng hay sai?

– Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho ngành tin học ứng dụng và GIS

– 97 là số nguyên tố

– N là số nguyên tố

1.1 Phép tính mệnh đề

• Ký hiệu mệnh đề :

Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, …

• Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng các liên từ (và, hay, nếu… thì…) hoặc trạng từ “không”

– Ví dụ : Nếu trời tốt thì tôi đi dạo

1.1 Phép tính mệnh đề

• Mục đích của phép tính mệnh đề:

Nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp từ chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn và các phép nối những mệnh đề này biểu hiện qua liên từ hoặc trạng từ “không”

1.1 Phép tính mệnh đề

Phủ định của mệnh đề

1.1 Phép tính mệnh đề

p p

T F

F T

1.1 Phép tính mệnh đề

• Phép nối liền (phép hội; phép giao):

Mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu

bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định bởi :

P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng

1.1 Phép tính mệnh đề

• Ví dụ: Mệnh đề “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ” chỉ được xem là mệnh đề đúng khi cả hai điều kiện “cô ấy đẹp” và “cô ấy thông minh” đều xảy ra Ngược lại, chỉ 1 trong 2 điều kiện trên sai thì mệnh đề trên sẽ sai.

1.1 Phép tính mệnh đề

• Mệnh đề: “Hôm nay, An giúp ông xã lau nhà và rửa chén”

1.1 Phép tính mệnh đề

chỉ đúng khi hôm nay An giúp ông xã cả hai công việc lau nhà và rửa chén Ngược lại, nếu hôm nay

An chỉ giúp một trong hai công việc trên, hoặc

không giúp gì cả thì mệnh đề trên sai.

1.1 Phép tính mệnh đề

• Phép nối rời (phép tuyển; phép hợp)

Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu

bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định bởi :

P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai

1.1 Phép tính mệnh đề

• Ví dụ: Mệnh đề “Tôi đang chơi bóng đá hay

1.1 Phép tính mệnh đề

• Chú ý :

Cần phân biệt “hay” và “hoặc”.

Đưa ra phép toán để thể hiện trường hợp loại trừ

Ký hiệu : ,  (NOR)

P  Q sai  P và Q đồng thời cùng đúng hoặc cùng sai.

1.1 Phép tính mệnh đề

• Phép kéo theo:

Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí

hiệu bởi P  Q (đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi:

P  Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai

1.1 Phép tính mệnh đề

• Ví dụ: Xét mệnh đề sau :

“Nếu tôi đẹp trai thì tôi có nhiều bạn gái”

Ta có các trường hợp sau:

• Tôi đẹp trai và có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng đúng

• Tôi đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng sai

• Tôi không đẹp trai mà vẫn có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng

• Tôi không đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng

1.1 Phép tính mệnh đề

• Mệnh đề “Chiều nay, nếu rảnh tôi sẽ ghé

thăm bạn” chỉ sai khi nào ?

1.1 Phép tính mệnh đề

chiều nay tôi rảnh nhưng tôi không ghé

thăm bạn

1.1 Phép tính mệnh đề

• Phép kéo theo 2 chiều:

Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnhđề

P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếuQ” hay P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần

và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi:

P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị

1.1 Phép tính mệnh đề

1.1 Phép tính mệnh đề

1.1 Phép tính mệnh đề

• Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r

Ta viết E = E(p, q, r)

• Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r

• Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề

1.2 Dạng mệnh đề

1.2 Dạng mệnh đề

Ex Prove that pq  (p  q).

T F

F

F

F

F F

T T

1 Quy tắc thay thế thứ 1:

Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E

2 Quy tắc thay thế thứ 2:

Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là một hằng đúng Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r…,p’,q’,r’,…

vẫn còn là 1 hằng đúng

1.2 Dạng mệnh đề

Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh

1.2 Dạng mệnh đề

16) Luật rút gọn:

p q  p  1

p  (p q)  p q (p  q) q  p q

p  (p  q)  1

1.2 Dạng mệnh đề

• Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh

đề kia,ta có các cách sau:

- Lập bảng chân trị

- Sử dụng phép thay thế

1.2 Dạng mệnh đề

(p r) r) ) r)  r) (q r)  r) r) ) r)  r) (p r)  r) q) r)  r) r) r) (1)

1.3 Qui tắc suy diễn

• Trong các chứng minh toán học, xuất phát

từ một số khẳng định đúng p, q, r…(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy

ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận.

• Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn

để chứng minh:

( pqr… ) c ó hệ qu ả logic là h

Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng:

• QUI TẮC MODUS PONENS (Phương pháp

khẳng định)

Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:

Hoặc dưới dạng sơ đồ

• QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN (Syllogism)

Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:

Hoặc dưới dạng sơ đồ

• QUI TẮC MODUS TOLLENS

PHƯƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH

Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:

Hoặc dưới dạng sơ đồ

• Xét chứng minh • Ta suy luận

t u u

• QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI

Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:

Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng

• QUI TẮC MÂU THUẪN

CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG

Ta có tương đương logic

• Để chứng minh vế trái g là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn

• CHỨNG MINH THEO TRƯỜNG HỢP

VÍ DỤ

• Chứng minh rằng:

 n3  4 n   3

VÍ DỤ TỔNG HỢP

1 Nếu nghệ sĩ Trương Ba

không trình diễn hay số

vé bán ra ít hơn 100 thì

đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và

ông bầu sẽ rất buồn.

2 Nếu đêm diễn bị hủy bỏ

thì tiền vé phải trả lại cho

người xem.

3 Nhưng tiền vé đã không

trả lại cho người xem

Vậy nghệ sỹ TB đã

trình diễn

• p:Nghệ sĩ Trương Ba đã trình diễn.

• q:số vé bán ra ít hơn 100.

• r:đêm diễn bị hủy bỏ.

• s: ông bầu buồn.

• t:trả lại tiền vé cho người xem

p q r s

r t t

• PHẢN VÍ DỤ

Để chứng minh một phép suy luận là sai hay

không là một hằng đúng Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ

1 2 n

p  p   p  q

1.3 Qui tắc suy diễn

VÍ DỤ

• Ông Minh nói rằng nếu

không được tăng lương thì

ông ta sẽ nghỉ việc Mặt

khác, nếu ông ấy nghỉ việc

và vợ ông ấy bị mất việc thì

phải bán xe.Biết rằng nếu vợ

ông Minh hay đi làm trễ thì

trước sau gì cũng sẽ bị mất

việc và cuối cùng ông Minh

đã được tăng lương.

• Suy ra nếu ông Minh không

bán xe thì vợ ông ta đã

không đi làm trễ

• p:ông Minh được tăng lương.

• q: ông Minh nghỉ việc.

• r:vợ ông Minh mất việc.

• s:gia đình phải bán xe.

• t:vợ ông hay đi làm trể.

p q

q r s

t r p

Formal Proof Example

• Suppose we have the following premises:

“It is not sunny and it is cold.”

“Only if We will swim is it sunny.”

“If we do not swim, then we will canoe.”

“If we canoe, then we will be home early.”

• Given these premises, prove the theorem

“We will be home early” using inference rules

Proof Example cont.

• Let us adopt the following abbreviations:

– sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”;

swim = “We will swim”; canoe = “We will canoe”;

early = “We will be home early”

• Then, the premises can be written as:

(1) sunny  cold (2) swim  sunny

(3) swim  canoe (4) canoe  early

Proof Example cont.

1.3 Qui tắc suy diễn

1.3 Qui tắc suy diễn

1.3 Qui tắc suy diễn

1.3 Qui tắc suy diễn

1.3 Qui tắc suy diễn

1.3 Qui tắc suy diễn

1.3 Qui tắc suy diễn

1.4 Vị từ và lượng từ

• Định nghĩa:

Cho A là một tập hợp khác rỗng Giả sử, ứng với mỗi x = a  A ta có một mệnh đề p(a) Khi đó, ta nói p = p(x) là một vị từ theo một biến (xác định trên A)

• Định nghĩa:

Tổng quát, cho A1, A2, A3…An là n tập hợp khác trống Giả sử rằng ứng với mỗi (x1,x2,.,xn)

= (a1,a2,.,an) A1A2 An, ta có một mệnh

đề p(a1,a2,.,an) Khi đó ta nói p = p(x1,x2,.,xn) là một vị từ theo n biến (xác định trên

A1A2 An)

1.4 Vị từ và lượng từ

• Ví dụ 1:

Xét p(n) = “n > 2” là một vị từ một biến xác định trên tập các số tự nhiên N

Ta thấy với n = 3;4 ta được các mệnh đề đúng p(3),p(4), còn với n = 0,1 ta được mệnh đề sai p(0),p(1)

1.4 Vị từ và lượng từ

• Ví dụ 2

Xét p(x,y) = “x2 + y = 1” là một vị từ theo hai biến xác định trên R2, ta thấy p(0,1) là một mệnh đề đúng, trong khi p(1,1) là một mệnh đề sai

1.4 Vị từ và lượng từ

Example :

Let Q(x,y) denote the statement “y =x + 2”.

What is the truth value of

Q(2,4,) and Q(4, 1)

“4 = 2+2” is true and “1 = 4+2” is false

Q(2,y)  Q(0,3) is not a proposition: y is not bounded Q(1,3)  Q(0,1) is a proposition which is true

Q(2,y)  Q(0,3) is a proposition???

Q(1,3)  Q(0,1) is a proposition ???

• Định nghĩa: Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x  A Khi ấy,

– Phủ định của v ị từ p(x) kí hiệu là p(x) là vị từ mà khi thay

x bởi 1 phần tử cố định của A thì ta được mệnh đề (p(a))

– Phép nối liền(tương ứng nối r ờ i, kéo theo…) của p(x) và

q(x) được ký hiệu bởi p(x)q(x) (tương ứng là p(x)q(x), p(x)q(x)) là vị từ theo biến x mà khi thay x bởi phần tử cố định a của A ta được mệnh đề p(a)q(a) ( tương ứng là p(a)

q(a), p(a)q(a))1.4 Vị từ và lượng từ

– Mệnh đề “Tồn tại (ít nhất )/ hay có ít nhất một x thuộc A, p(x))” kí hiệu bởi :“x  A, p(x)” , là mệnh đề được định bởi “x  A, p(x)” đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x = a 0 nào đó sao cho mệnh đề p(a 0 ) đúng.

• Chú ý: Các mệnh đề lượng từ hóa ở trên đều là các mệnh đề có chân trị xác định chứ không còn là các vị từ theo biến x nữa.1.4 Vị từ và lượng từ

1) Mệnh đề “x  R, x2 + 3x + 1  0” là một mệnh đề sai hay đúng ?

2) Mệnh đề “x  R, x2 + 3x + 1  0” là một mệnh đề đúng hay sai?

Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 1  R mà x02 + 3x0 + 1  0

Mệnh đề đúng vì tồn tại x0 = –1  R mà x02 + 3x0 + 1  0.

1.4 Vị từ và lượng từ

• Định nghĩa:

Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên AB

Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x, y) như sau:

“x  A,y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”

“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”

“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”

“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”

1.4 Vị từ và lượng từ

Xét vị từ p(x, y) = “x + 2y < 1” theo hai biến x, y xác định trên R 2

Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1  R mà x0 + 2y0  1.

Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

Mệnh đề đúng vì với mọi x = a  R, tồn tại ya  R như ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.

1.4 Vị từ và lượng từ

Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai

Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên AB Khi đó:

• Chứng minh 3)

Giả sử “x r)  r) A, r) y r)  r) B, r) p(x, r) y)” r) là đúng.

Khi đó, tồn tại a  r) A r) sao r) cho r) “y r)  r) B, r) p(x, r) y)”

là đúng, nghĩa là nếu thay y = b  r) B bất kỳ thì

p(a,b) đúng Như vậy, y = b  r) B r) tuỳ chọn thì ta

có thể chọn x = a để “x r)  r) A, r) p(x, r) y)” r) r) là đúng.

Do đó, “y r)  r) B, r) x r)  r) A, r) p(x, r) y)” r) là mệnh đề

đúng.

1.4 Vị từ và lượng từ

Ví dụ thể hiện chiều đảo của 3 là chưa chắc đúng:

• Gọi p(x,y) là vị từ theo 2 biến thực

p(x,y) = “x + y = 1”,

• Nếu thay y tuỳ ý thì x = 1 - y để cho x + y = 1

nên mệnh đề x r)  r) A, r) p(x, r) y) r) là đúng.

Nên mệnh đề “y r) B, r) x r)  r) A, r) p(x, r) y)” r) r) là đúng.

• Ngược lại, nếu chọn x = a tuỳ ý, ta có thể chọn

y = -a để “y r)  r) B, r) p(x, r) y)” r) là sai.

Điều này chứng tỏ, “x r)  r) A, r) y r)  r) B, r) p(x, r) y)” r) là sai.

• Do đó, phép kéo theo sau là sai:

“y r)  r) B, r) x r)  r) A, r) p(x, r) y)” r) -> “x r)  r) A, r) y r)  r) B, r) p(x, r) y)” r)

• Trong một mệnh đề lượng từ hoá từ một vị

từ theo nhiều biến độc lập, nếu ta hoán vị hai lượng từ đứng cạnh nhau thì:

1 Mệnh đề mới vẫn còn tương đương logic với

mệnh đề cũ nếu hai lượng từ này cùng loại

2 Mệnh đề mới này sẽ là một hệ quả logic của

mệnh đề cũ nếu hai lượng từ trước khi hoán vị

có dạng   1.4 Vị từ và lượng từ

Định lý:

a) Với p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A, ta có:

b) Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa từ vị từ p(x1, x2, ,

x n ) có được bằng cách thay lượng từ  bằng lượng từ 

và ngược lại, và thay vị từ p(x1, x2, , xn) bằng vị từ

Phủ định của mệnh đề “Hôm nay, mọi sinh viên lớp THUD đều có mặt” là gì ?

Phủ định của mệnh đề “Trong lớp THUD có (ít nhất

một) sinh viên có điểm rèn luyện kém” là gì?

“Hôm nay, có (ít nhất) một sinh viên lớp THUD vắng mặt”.

1.4 Vị từ và lượng từ

Qui tắc đặc biệt hoá phổ dụng:

Nếu một mệnh đề đúng có dạng lượng từ hoá trong đó một biến x  A bị buộc bởi lượng từ phổ dụng , khi ấy nếu thay thế x bởi a  A ta

sẽ được một mệnh đề đúng

1.4 Vị từ và lượng từ

• Qui tắc tổng quát hoá phổ dụng:

Nếu trong một mệnh đề lượng từ hoá, khi thay một biến buộc bởi lượng từ  bằng một phần

tử cố định nhưng tuỳ ý của tập hợp tương ứng

mà mệnh đề nhận được có chân trị 1 thì bản thân mệnh đề lượng từ hoá ban đầu cũng có chân trị 1.

1.4 Vị từ và lượng từ

•x P(x)

Every man has two legs, John Smith is a man

Therefore, John Smith has two legs

Predicates: M(x): x is a man

L(x): x has two legs

J: John Smith is a member of the universe

Chương 2 Tập hợp, ánh xạ, phép đếm

B A

và B

A B

2.2 Ánh xạ

1.Định nghĩa và ký hiệu

1.1 Định nghĩa

Cho hai tập hơp X, Y   Một ánh xạ f từ X vào Y là qui

tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với môt phần tử

duy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x

qua ánh xạ f Ta viêt:

f : X  Y

x f(x)

2.2 Ánh xạ

Ta thường ký hiệu f(X) bởi Imf và f-1({y}) bởi

f-1(y) Imf được gọi là ảnh của ánh xạ f.

Tính chất:

f(A1  A2) = f(A1)  f(A2);

f(A1  A2)  f(A1)  f(A2);

f(A1 \ A2)  f(A1) \ f(A2);

f–1(B1  B2) = f–1(B1)  f–1(B2);

f–1(B1  B2) = f–1(B1)  f–1(B2);

f–1(B1 \ B2) = f–1(B1) \ f–1(B2)

2.2 Ánh xạ

2 PHÂN LOẠI ÁNH XẠ

2.1 Đơn ánh

Ta nói f : X  Y là một đơn ánh nếu hai phần tử

khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:

x, x'  X, x  x'  f(x)  f(x' )

2.2 Ánh xạ

• f : X  Y là một đơn ánh

 (x, x'  X, f(x) = f(x')  x = x')

 (y  Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử)

 (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nhiều nhất một nghiệm x  X

2.2 Ánh xạ

2.2 Toàn ánh:

Ta nói f : X  Y là một toàn ánh nếu Imf = Y.

Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa.