Chương 16: Giải tích vectơ
Chương 16: Giải tích vectơ Ngày 29 tháng năm 2014 [Phần khung] Các mặt tham số nghiên cứu mục 16.6, chúng thường sử dụng lập trình viên để tạo phim hoạt hình Trong phân cảnh phim hoạt hình Antz bên đây, công chúa Bala cố gắng giải cứu cho Z anh bị mắc kẹt giọt sương Một mặt tham số mô tả giọt sương chuyển động giọt sương mô tả họ mặt tham số Một lập trình viên thiết kế phim hoạt hình nói rằng: “Phải chi tơi quan tâm nhiều đến mặt tham số mà tơi cịn tham gia lớp học giải tích Nó chắn hữu ích cho tơi ngày hôm ” Trong chương này, nghiên cứu tính tốn trường vectơ (Các hàm thường gán vectơ với điểm không gian) Đặc biệt, định nghĩa tích phân đường (chúng sử dụng việc tìm trường lực vật di chuyển dọc theo đường cong đó) Tiếp đó, định nghĩa tích phân mặt (có thể sử dụng để tìm tốc độ dòng chảy chất lỏng bề mặt đó) Sự liên quan loại tích phân với tích phân lớp, tích phân hai lớp ba lớp mà tìm hiểu đưa phiên nhiều chiều định lý Phép tính tích phân: Định lý Green, Định lý Stokes, Định lý Divergence Trường Vectơ Các vectơ hình vectơ vận tốc khơng khí, chúng tốc độ hướng gió điểm 10 m so với cao độ bề mặt vùng vịnh San Francisco Chúng ta thấy nháy mắt từ mũi tên lớn phần (a) tốc độ gió lớn thời điểm xảy gió lùa vào vịnh qua cầu Golden Gate Phần (b) cho thấy mô hình gió hồn tồn khác khoảng 12 trước Kết hợp với điểm khơng khí tưởng tượng đến vector mơ tả vận tốc gió Đây ví dụ trường vector vận tốc [Chú thích Hình 1:] Trường vectơ vận tốc mơ tả mơ hình gió qua vịnh San Francisco Một vài ví dụ khác trường vectơ vận tốc minh họa hình 2: dịng hải lưu luồng khơng khí qua cánh máy bay [Chú thích Hình 2:] Trường vectơ vận tốc (a) Dịng hải lưu ngồi khơi bờ biển Nova Scotia (b) Luồng khơng khí qua cánh máy bay nghiêng Một dạng khác trường vectơ, gọi trường lực, liên kết vectơ lực với điểm miền Một ví dụ trường lực hấp dẫn mà xem xét ví dụ Nói chung, trường vector hàm mà miền xác định tập hợp điểm R2 (hoặc R3 ) phạm vi tập hợp vectơ V2 (hoặc V3 ) Định nghĩa 1.1 Cho D tập R2 (một miền mặt phẳng) Một trường vectơ R2 hàm F đặt tương ứng điểm (x, y) D vectơ hai chiều F(x, y) Cách tốt để hình dung trường vectơ vẽ mũi tên biểu diễn cho vectơ F(x, y) bắt đầu điểm (x, y) Dĩ nhiên, ta làm điều cho tất điểm (x, y), hình dung hàm F cách thực cho vài điểm đại diện D hình Bởi F(x, y) vectơ hai chiều, nên ta viết dạng hàm thành phần P Q sau: F(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j = hP (x, y), Q(x, y)i hoặc, viết gọn, F = P i + Qj Chú ý P Q hàm vô hướng hai biến chúng gọi trường vô hướng để phân biệt với trường vectơ Định nghĩa 1.2 Cho E tập R3 Một trường vectơ R3 hàm F đặt tương ứng điểm (x, y, z) E vectơ ba chiều F(x, y, z) Một trường vectơ F R3 minh họa Hình Ta biểu diễn dạng hàm thành phần P , Q R sau: F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k Như hàm vectơ mục 13.1, ta định nghĩa liên tục trường vectơ F liên tục hàm thành phần P , Q R liên tục Đôi xác định điểm (x, y, z) với vectơ vị trí x = (x, y, z) viết F(x) thay cho F(x, y, z) Khi F trở thành hàm đặt tương ứng vectơ x với vectơ F(x) Ví dụ 1.1 Một trường vectơ R2 xác định F(x, y) = −yi + xj Mô tả F cách phác thảo vài vectơ F(x, y) hình Lời giải 1.1 Vì F(1, 0) = j, ta vẽ vectơ j = h0, 1i điểm (1, 0) hình Vì F(0, 1) = −i, ta vẽ vectơ h−1, 0i với điểm bắt đầu (0, 1) Tiếp tục theo cách này, ta tính tốn số giá trị đại diện F(x, y) bảng vẽ vectơ tương ứng biểu diễn cho trường vectơ hình (x, y) (1, 0) (2, 2) (3, 0) (0, 1) (−2, 2) (0, 3) F(x, y) h0, 1i h−2, 2i h0, 3i h−1, 0i h−2, −2i h−3, 0i (x, y) (−1, 0) (−2, −2) (−3, 0) (0, −1) (2, −2) (0, −3) F(x, y) h0, −1i h2, −2i h0, −3i h1, 0i h2, 2i h3, 0i Mỗi mũi tên xuất hình tiếp xúc với đường trịn có tâm điểm gốc Để xác minh điều này, ta lấy tích vơ hướng vectơ vị trí x = xi + yj với vectơ F(x) = F(x, y): x · F(x) = (xi + yj) · (−yi + xj) = −xy + yx = Điều F(x, y) vng góc với vectơ vị trí hx, p yi tiếp tuyến đường trịn có tâm điểm gốc bán kính |x| = x2 + y Ta lưu ý rằng: p p |F(x, y)| = (−y)2 + x2 = x2 + y = |x| nên độ lớn vectơ F(x, y) với bán kính đường trịn Một vài hệ thống máy tính có khả vẽ trường vectơ hai ba chiều Ta có hình dung tốt trường vectơ máy tính vẽ số lượng lớn vectơ đại diện Hình cho thấy máy tính vẽ trường vectơ ví dụ 1; Hình hai trường vectơ khác Ví dụ 1.2 Hãy phát họa trường vectơ R3 cho F(x, y, z) = zk Lời giải 1.2 Phác họa hình Lưu ý vectơ thẳng đứng hướng lên mặt phẳng xy hướng xuống mặt phẳng Độ lớn vectơ tăng theo khoảng cách với mặt phẳng xy Chúng ta vẽ trường vectơ ví dụ tay công thức đặc biệt đơn giản Tuy nhiên, ta khơng thể phác họa trường vectơ ba chiều tay được, cần phải nhờ đến hệ thống đại số máy tính Các ví dụ hình 10, 11 12 Chú ý trường vectơ hình 10 11 có cơng thức tương tự nhau, tất vectơ hình 11 hướng ngược lại theo trục y thành phần y mang giá trị -2 Nếu trường vectơ hình 12 biểu diễn trường vận tốc, hạt quét lên theo đường xoắn ốc quanh trục z theo hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ cao Ví dụ 1.3 Hãy tưởng tượng chất lỏng chảy đặn dọc theo đường ống cho V(x, y, z) vectơ vận tốc điểm (x, y, z) Khi hàm V gán vectơ cho điểm (x, y, z) miền E (bên đường ống) V trường vectơ R3 gọi trường vận tốc Một trường vận tốc minh họa hình 13 Tốc độ điểm cho trước cho chiều dài mũi tên Trường vận tốc xảy lĩnh vực khác vật lý Chẳng hạn, trường vectơ ví dụ sử dụng trường vận tốc mô tả bánh xe quay ngược chiều kim đồng hồ Ta thấy ví dụ trường vận tốc hình hình Ví dụ 1.4 Định Luật Vạn Vật Hấp Dẫn Newton nói độ lớn lực hấp dẫn hai vật có khối lượng m M là: |F| = mM G r2 r khoảng cách vật thể G số hấp dẫn (Đây ví dụ định luật nghịch đảo bình phương) Giả sử vật có khối lượng M đặt điểm gốc R3 (Chẳng hạn, M khối lượng trái đất điểm gốc đặt tâm nó) Đặt vectơ vị trí vật có khối lượng m x = hx, y, zi Khi r = |x|, nên r2 = |x|2 Lực hấp dẫn tác động lên vật thứ hai tính từ điểm gốc, vect đơn vị theo hướng là: − x |x| Do đó, lực hấp dẫn tác động lên vật x = hx, y, zi là: F(x) = − mM G x |x|3 (1) [Các nhà vật lý thường dùng ký hiệu r thay cho x để nói vectơ vị trí Nên bạn thấy cơng thức (1) dưói dạng F = −(mM G/r3 )r] Hàm số cho phương trình (1) ví dụ trường vectơ, gọi trường hấp dẫn, tương ứng vectơ [lực F(x)] với điểm x không gian Công thức (1) cách viết gọn cho trường hấp dẫn, viết dạng p hàm thành phần cách sử dụng công thức x = xi + yj + zk |x| = x2 + y + z : F(x, y, z) = (x2 −mM Gx −mM Gx −mM Gx i+ j+ k 2 3/2 2 3/2 +y +z ) (x + y + z ) (x + y + z )3/2 Trường hấp dẫn F phác họa hình 14 Ví dụ 1.5 Giả sử điện tích Q đặt điểm gốc Dưạ vào Định Luật Coulomb, lực điện F(x) tác động điện tích lên điện tích khác q đặt điểm (x, y, z) với vectơ x = hx, y, zi là: F(x) = εqQ x |x|3 (2) ε số (nó phụ thuộc vào đơn vị sử dụng) Với điện tích thoả qQ > lực lực đẩy; ngược lại với điện tích thoả qQ < lực lực hút Nhận thấy giống công thức (1) (2) Cả hai trường vectơ đề ví dụ trường lực Thay xét lực điện F, nhà vật lý thường xét lực đơn vị điện tích: εQ E(x) = F(x) = x q |x| Khi E trường vectơ R3 gọi trường điện Q Trường Gradient Nếu f hàm hai biến, theo mục 14.6 gradient ∇f (hoặc gradf ) xác định bởi: ∇f (x, y) = fx (x, y)i + fy (x, y)j Do ∇f thực trường vectơ R2 gọi trường vectơ gradient Tương tự thế, f hàm ba biến, gradient trường vectơ R3 cho bởi: ∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k Ví dụ 1.6 Hãy tìm trường vectơ gradient f (x, y) = x2 y − y Hãy vẽ trường vectơ gradient với hàm đường viền f Chúng liên hệ với nào? Lời giải 1.3 Trường vectơ gradient cho bởi: ∇f (x, y) = ∂f ∂f i+ j = 2xyi + (x2 − 3y )j ∂x ∂y Hình 15 hàm đường viền f với trường vectơ gradient Cần lưu ý vectơ gradient vng góc với đường mức, ta có mục 14.6 Cũng cần ý vectơ gradient dài đường mức gần ngắn, nơi đường cong xa Đó chiều dài vector gradient giá trị đạo hàm hướng f đường cong gần đồ thị dốc Một trường vectơ F gọi trường vectơ bảo tồn gradient hàm đó, nghĩa là, tồn hàm f thỏa mãn F = ∇f Trong trường hợp đó, f gọi hàm vị F Không phải trường vectơ bảo toàn, trường phát sinh thường xuyên vật lý Ví dụ, trường hấp dẫn F ví dụ bảo tồn ta định nghĩa: mM G f (x, y, z) = p x2 + y + z ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z −mM Gx −mM Gy −mM Gz =p i+ p j+ p k x2 + y + z x2 + y + z x2 + y + z = F(x, y, z) ∇f (x, y, z) = Trong mục 16.3 16.5 ta tìm hiểu làm để biết trường vectơ cho có bảo tồn hay khơng Bài tập 1.1 1-10 Phát họa trường vectơ F cách vẽ biểu đồ hình hình F(x, y) = 0.3i − 0.4j F(x, y) = 12 xi + yj F(x, y) = − 12 i + (y − x)j F(x, y) = yi + (x + y)j yi + xj F(x, y) = p x2 + y yi − xj F(x, y) = p x2 + y F(x, y, z) = k F(x, y, z) = −yk F(x, y, z) = xk 10 F(x, y, z) = j − i 11-14 Hãy kết hợp trường vectơ F thích hợp với phác hoạ tương ứng đánh dấu từ I-IV Hãy giải thích lý bạn chọn 11 F(x, y) = hx, yi 12 F(x, y) = hy, x − yi 13 F(x, y) = hy, y + 2i 14 F(x, y) = hcos(x + y), xi 15-18 Hãy kết hợp trường vectơ F thích hợp với phác hoạ tương ứng đánh dấu từ I-IV Hãy giải thích lý bạn chọn 15 F (x, y, z) = i + 2j + 3k 16 F (x, y, z) = i + 2j + zk 17 F (x, y, z) = xi + yj + 3k 18 F (x, y, z) = xi + yj + zk 19 Nếu bạn có CAS vẽ trường vectơ (các lệnh dùng vẽ Maple fieldplot PlotVectorField VectorPlot Mathematica), dùng chúng để vẽ: F(x, y) = (y − 2xy)i + (3xy − 6x2 )j Hãy giải thích xuất tìm tập hợp điểm (x, y) cho F(x, y) = 20 Cho F(x, y) = (r2 − 2r)x với x = hx, yi r = |x| Sử dụng CAS để vẽ trường vectơ miền khác bạn thấy diễn Hãy mơ tả xuất hình ảnh giải thích cách tìm điểm thoả mãn F(x) = 21-24 Hãy tìm trường vectơ gradient f 21 f (x, y) = xexy 22 f (x, y) = tan(3x − 4y) p 23 f (x, y, z) = x2 + y + z 24 f (x, y, z) = xln(y − 2z) 25-26 Hãy tìm trường vectơ gradient f phác họa 25 f (x, y) = x2 − y p 26 f (x, y) = x2 + y 27-28 Hãy tìm trường vectơ gradient f hàm đường viền f Hãy giải thích chúng có liên quan với 27 f (x, y) = ln(1 + x2 + y ) 28 f (x, y) = cos x − sin y 29-32 Hãy kết hợp hàm f thích hợp với phác hoạ trường vectơ gradient chúng tương ứng đánh dấu từ I-IV Hãy giải thích lý bạn chọn 29 f (x, y) = x2 + y 30 f (x, y) = x(x + y) 31 f (x, y, z) = (x + y)2 p 32 f (x, y, z) = sin x2 + y 33 Một chất điểm chuyển động trường vận tốc V(x, y) = hx2 , x + y i Nếu có toạ độ (2, 1) thời điểm t = 3, ước tính toạ độ thời điểm t = 3.01 34 Tại thời điểm t = 1, chất điểm đặt toạ độ (1, 3) Nếu di chuyển trường vận tốc: F(x, y) = hxy − 2, y − 10i Hãy tìm toạ độ xấp xỉ thời điểm t = 1.05 35 Dịng chảy (hoặc luồng khơng khí) trường vectơ đường dẫn chất điểm mà trường vận tốc cho trường vectơ Do vectơ trường vectơ tiếp xúc với dòng chảy (a) Hãy dùng phác họa trường vectơ F(x, y) = xi − yj để vẽ số dòng chảy Từ phác thảo bạn, bạn đốn phương trình dịng chảy đó? (b) Nếu phương trình tham số dịng chảy x = x(t), y = y(t), giải thích hàm thoả mãn phương trình vi phân dx/dt = x dy/dt = −y Sau đó, giải phương trình vi phân để tìm phương trình dòng chảy qua điểm (1, 1) 36 (a) Hãy phác họa trường vectơ F(x, y) = i + xj phác họa vài dòng chảy Các dòng chảy xuất có hình dạng gì? (b) Nếu phương trình tham số dịng chảy x = x(t), y = y(t), hàm thoả mãn phương trình vi phân nào? Đốn dy/dx = x (c) Nếu chất điểm khởi động điểm gốc trường vận tốc cho F, tìm phương trình mơ tả di chuyển Tích phân đường Trong mục định nghĩa tích phân tương tự tích phân thơng thường thay cho tích phân đoạn [a, b], ta lấy tích phân đường cong C Các tích phân gọi tích phân đường, thuật ngữ “tích phân đường cong” mang nghĩa ró Chúng phát minh vào đầu kỷ thứ 19 để giải tốn dịng chảy chất lỏng, lực học, điện học từ trường học Ta đường cong C cho phương trình tham số: x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b (3) hoặc, tương đương, cho phương trình vectơ r(t) = x(t)i + y(t)j, ta giả sử C đường cong trơn [Điều nghĩa r′ liên tục r′ (t) 6= Xem mục 13.3] Nếu ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ [ti−1 , ti ] có chiều rộng ta đặt xi = x(ti ) yi = y(ti ), điểm tương ứng Pi (xi , yi ) chia C thành n cung nhỏ khác có chiều dài tương ứng △s1 , △s2 , , △sn (Xem hình 1) Ta chọn điểm Pi∗ (x∗i , yi∗ ) cung thứ i (nó tương ứng với điểm t∗i đoạn [ti−1 , ti ]) Nếu f hàm có miền xác định chứa đường cong C, ta tính giá trị f điểm (x∗i , yi∗ ) nhân với độ dài △si , lấy tổng sau: n X f (x∗i , yi∗ )△s i=1 tổng tương tự với tổng Riemann Tiếp theo ta lấy giới hạn tổng đưa định nghĩa tương tự với tích phân đơn giản thông thường Định nghĩa 2.1 Nếu f xác định đường cong trơn C cho phương trình (3), tích phân đường f C là: Z n X f (x∗i , yi∗ )△s f (x, y)ds = lim C n→∞ i=1 giới hạn tồn Trong mục 10.2 ta có độ dài đường cong C cho bởi: s Z b 2 2 dy dx + dt L= dt dt a Một lập luận tương tự ta rằng, f hàm liên tục giới hạn định nghĩa 2.1 tồn cơng thức sau áp dụng để tính tích phân đường: s 2 Z b Z dx dy f (x(t), y(t)) f (x, y)ds = + dt (4) dt dt a C Giá trị tích phân đường không phụ thuộc vào tham số đường cong, với điều kiện đường cong qua lần t tăng từ a đến b Nếu s(t) độ dài C r(a) r(t), thì: s 2 dx dy ds = + dt dt dt Do vậy, cách để nhớ công thức (4) biểu diễn tất dạng tham số t: sử dụng phương trình tham số để biểu diễn x y theo t viết ds sau: s 2 dy dx ds = + dt dt dt Trong trường hợp đăc biệt, C đoạn thẳng nối hai điểm (a, 0) (b, 0), xem x tham số, ta viết phương trình tham số C sau: x = x, y = 0, a ≤ x ≤ b Công thức (4) thành: Z Z b f (x, 0)dx f (x, y)ds = a C tích phân đường trở thành tích phân lớp thơng thường Cũng giống tích phân lớp thơng thường, ta định nghĩa tích phân đường hàm dương diện tích hình phẳng Thật ra, f (x, y) ≥ 0, R f (x, y)ds biểu diễn diện tích bên “lá chắn” “màn che” hình 2, C mà sở C chiều cao điểm (x, y) f (x, y) R Ví dụ 2.1 Hãy tính C (2 + x2 y)ds, C nửa đường tròn đơn vị x2 + y = 10