CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Tích phân xác định xậy dựng từ hàm biến, có ứng dụng rộng rãi từ hình học, đến tốn học, vật lý ngành kỹ thuật khác Sự mở rộng tự nhiên hàm biến thành hàm nhiều biến kéo theo mở rộng tích phân xác định lên tích phân bội Chương cho phương pháp tính tích phân bội hai, bội ba ngun tắc mở rộng cho tích phân bội n (n lớp) Có thể ứng dụng bội để tính khối lượng vật thể hai chiều, ba chiều, từ xác định trọng tâm, mơ men qn tính vật thể, v.v 7/4/2017 (1) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.1 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 2.1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số A Định nghĩa Cho hàm số f(x,y) xác định hình chữ nhật [a,b]×[c,d] với y cố định đoạn [c,d] hàm số khả tích theo x, tích phân b I  y    f  x, y  dx a gọi tích phân phụ thuộc tham số y 7/4/2017 (2) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI B Tính chất Định lí 2.1 Nếu hàm số f(x,y) liên tục hình chữ nhật [a,b]×[c,d] I(y) hàm số liên tục đoạn [c,d] Định lí 2.2: Nếu hàm số f(x,y) thỏa mãn hai điều kiện: Liên tục theo biến x [a,b] với y cố định [c,d] Tồn đạo hàm riêng f’y(x,y) liên tục [a,b]×[c,d] Khi I(y) khả vi có đẳng thức b I /  y     x, y  dx f y/ a 7/4/2017 b dI f  y     x, y  dx dy y a (3) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Định lí 2.3: Giả sử hàm số f(x,y) liên tục hình chữ nhật [a,b]×[c,d], với  [c,d] ta có  b    b  c a f ( x, y)dx  dy a c f ( x, y)dy  dx   Đặc biệt với   d ta có d b b d c a a c  dy  f ( x, y)dx  dx  f ( x, y)dy gọi công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân 7/4/2017 (4) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Nhận xét 2.1 Xét tích phân phụ thuộc tham số dạng tổng quát I  y  b( y )  f  x, y  dx a( y) f  x, y  xác định hình chữ nhật  a, b  c, d , a  y    a, b, b  y    a, b , y  c, d  Chúng ta chứng minh kết sau Nếu hàm số f  x, y  liên tục với đạo hàm riêng f y/  x, y  hình chữ nhật  a, b   c, d  hàm a  y  , b  y  khả vi  c, d  I  y  hàm số khả vi  c, d  ta có b( y ) I /  y   f / y  x, y  dx  f  b( y ), y  b ( y )  f  a( y ), y  a ( y ) / / a( y) 7/4/2017 (5) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.1: Xét tích phân phụ thuộc tham số x I ( y )   arctan dx, y  y Sử dụng phương pháp tích phân phần ta có x 1 y2 I ( y )   arctan dx  arctan  y ln 2 y y x  y 2 1 y 1 y  I / ( y)    ln   ln y 1 1 y y   y2 Mặt khác sử dụng cơng thức tính đạo hàm qua dấu tích phân ta nhận  x xdx y I / ( y )   (arctan )dx     ln 2 y y x y 1 y 0 7/4/2017 (6) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.2 x x I  dx ; b  a  ln x Tính tích phân b a f ( x, y )  x y , ( x, y)   0,1   a, b , b  a  Xét hàm số b x x y   x dy ln x a b Ta có a b a b b b y 1 y 1 x x x (1   )dy y y  ln x dx   dx  x dy   dy  x dx   y  dy   y    a a  a a b  xb  x a (1   y 1 )dy dy b 1 I  lim  dx  lim    ln  0  0 ln x y 1 y 1 a 1  a a 7/4/2017 b b (7) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.1.2 Tích phân suy rộng phu thuộc tham số A Định nghĩa Cho hàm số f(x,y) xác định hình chữ nhật [a,)×[c,d] với y cố định đoạn [c,d] tích phân suy rộng sau hội tụ I  y    f  x, y  dx a gọi tích phân phụ thuộc tham số y 7/4/2017 (8) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI B Tính chất Định lí 2.3 Nếu hàm số f(x,y) liên tục miền [a,)×[c,d] tích phân suy rộng theo biến x hội tụ biến y I(y) hàm số liên tục đoạn [c,d] Định lí 2.4: Nếu hàm số f(x,y) thỏa mãn hai điều kiện: Liên tục miền [a,)×[c,d] Tích phân suy rộng theo biến x hội tụ với y[c,d] Khi có đẳng thức 7/4/2017 d  d c a c  I ( y)dy   dx  f ( x, y)dy (9) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Định lí 2.5: Nếu hàm số f(x,y) thỏa mãn điều kiện: 1.Liên tục theo biến x [a,] với y cố định [c,d] 2.Tồn đạo hàm riêng f’y(x,y) liên tục [a, ]×[c,d] 3.Tích phân suy rộng hàm f’y(x,y) lấy theo biến x hội tụ biến y[c,d] / I Khi I(y) khả vi có đẳng thức  y    f y/  x, y  dx a Nói cách khác d dy 7/4/2017   a a  f  x, y  dx    f  x, y  dx y (10) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI dxdydz Ví dụ 2.14 Tính tích phân I   (1  x  y  z ) V miền V cho giới hạn mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y – z = I   dxdy D x y dz  1  x  y  z 3 z 0    1  x  y 2  1  x  y 2 dy    x   1     dx  1  x  y   x  y  1 1  1  1 1    dx   dx  ln  ln        1 2x  0   x  2 3 1 x  1    dxdy 2D 1  x  y  z  z  x y I    dx 20 7/4/2017 1 (38) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.15 Tính tích phân I   xdxdydz x   với V miền cho hệ bất phương trình  y  2  x  y z4  z V I   dxdy D 2   dx y x2  y 4 x     D  x  x  y dy 2  x x   x(4  x )  x dx   y dx 0 x 1 2 I    (4  x ) d (4  x )   (4  30 Hoặc đổi sang tọa độ cực 7/4/2017  xdz   x  x  y dxdy x2 ) 64  15 (39) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.3.4 Cơng thức đổi biến số tích phân bội ba Cho hàm f ( x, y, z ) liên tục miền V  Oxyz đồng thời tồn  x  x(u , v, w)  hàm số:  y  y (u , v, w), (u , v, w)   thoả mãn điều kiện  z  z (u , v, w)  Là song ánh từ V lên  , Có đạo hàm riêng liên tục miền   Ouvw định thức D ( x, y , z ) Jacobi  miền  (hoặc số điểm D(u, v, w) cô lập) Khi  f ( x, y, z)dxdydz   V 7/4/2017  D ( x, y , z ) f  x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)  dudvdw D(u, v, w) (40) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.16 Tính tích phân I   ( x  y)( x  z)dxdydz V miền V cho giới hạn mặt phẳng x  y  0, x  y   0, y  z   y  z   0, x  y  z   0, x  y  z   Đổi biến số u  x  y, v  y  z, w  x  y  z  u  1,  v  2,  w  D(u, v, w) D ( x, y , z )  1   1, (x  y )( x  z )  u (u  v) D ( x, y , z ) D(u, v, w) 1 I   u (u  v) | 1| dudvdw   udu  (u  v)dv  dw =   u (3  2u )du   20 12  7/4/2017 (41) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.3.5 Cơng thức tích phân bội ba tọa độ trụ  x  r cos   y  r sin   z  z z z M(x, y, z) x  x y r  0,    2 ,    z   y cos  r D ( x, y , z )  sin  D(r , , z ) M ' (x, y,0) r sin  r cos  r  f ( x, y, z)dxdydz   f (r cos , r sin  , z)rdrddz V 7/4/2017  (42) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.17 Tính tích phân I   ( x  y )dxdydz V miền V cho giới hạn mặt có phương trình z z  0, a z  x  y , x  y  R , z  0, a  R a r  :    2 ;0  r  R;0  z  a y R R 2 I x  7/4/2017 r a 2 2 d  r dr  dz  r dr  R  a 5a 0 R R (43) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.3.6 Cơng thức tích phân bội ba tọa độ cầu z z r  x  r sin  cos   y  r sin  sin   z  r cos M ( x, y , z )  y y  r  0,     ,    2 x M ' ( x, y,0) x sin  cos  D ( x, y , z )  sin  sin  D ( r , ,  ) cos  r cos cos  r sin  sin  r cos sin  r sin  cos   r sin  r sin  f ( x, y, z )dxdydz   f (r sin  cos  , r sin  sin  , r cos )r sin  drd d V 7/4/2017  (44) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.18 Tính tích phân I   x2  y  z V dxdydz miền V cho giới hạn hai mặt cầu x  y  z  1, x  y  z  2 2 2 0    2  0     1  r  2 I  7/4/2017   22 d  sin  d  r dr  2 ( cos ) r  6 r (45) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2.19 2 I  ( x  y )dxdydz Tính tích phân  V miền V phần phía ngồi hình trụ hình cầu x2  y  R2 , x2  y  z  4R Trong hệ toạ độ cầu, mặt cầu mặt trụ có phương trình R r  R, r  sin  giao mặt cầu mặt trụ R  5 r  2R   sin      ,   sin  6 2 I 5 2R sin   d  sin  d R 7/4/2017 r sin  dr  2  R5 5  44 3 (32  )sin  d   R5 sin  (46) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Nhận xét 2.4 a) Khi miền V có dạng hình trụ hàm dấu tích phân chứa biểu thức x2+y2 thường tính tích phân toạ độ trụ đơn giản toạ độ Đề (xem ví dụ 2.17) b) Khi miền V có dạng hình cầu, hàm dấu tích phân chứa biểu thức x2+y2 x2+y2+z2 ta nên tính tích phân toạ độ cầu tọa độ trụ, lúc tính tích phân đơn giản (xem ví dụ 2.18-2.19) 7/4/2017 (47) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.4 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CƠ HỌC CỦA TÍCH PHÂN BỘI 2.4.1 Tính khối lượng Khối lượng vất thể đồng chất Khối lượng phẳng M  .V Giả sử phẳng D có khối lượng riêng (x,y) khối lượng M phẳng tính theo công thức M    ( x, y )dxdy D Khối lượng vật thể Giả sử vật thể V có khối lượng riêng (x,y,z) khối lượng M phẳng tính theo cơng thức M    ( x, y, z )dxdydz V 7/4/2017 (48) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.4.2 Xác định trọng tâm Cho hệ gồm n chất điểm có khối lượng tương ứng m1, m2 , , mn đặt điểm M1( x1, y1, z1), M ( x2 , y2 , z2 ), , M n ( xn , yn , zn ) Theo định nghĩa, trọng tâm G hệ có tọa độ cho công thức (m1   mn )OG  m1OM1  n xG   xk mk k n  mk k 7/4/2017 n , yG   yk mk k n  mk k  mn OM n n , zG   zk mk k n  mk k (49) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Trọng tâm phẳng  x ( x, y)dxdy xG  D   ( x, y)dxdy , yG  D  y  ( x, y)dxdy D   ( x, y)dxdy , M    ( x, y )dxdy D D Trọng tâm vật thể xG   x ( x, y, z )dxdydz V   ( x, y, z)dxdydz V , yG   y  ( x, y, z)dxdydz V   ( x, y, z)dxdydz , zG  V  z  ( x, y, z)dxdydz V   ( x, y, z)dxdydz V M    ( x, y, z )dxdydz V 7/4/2017 (50) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.4.3 Mơmen qn tính Cho chất điểm có khối lượng m đặt điểm M ( x, y, z ) Theo định nghĩa mơmen qn tính chất điểm trục Ox, Oy, Oz gốc tọa độ O tương ứng cho công thức I x  m( y  z ), I y  m( z  x ), I z  m( x  y ) 2 2 2 IO  m( x2  y  z ) 7/4/2017 (51) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Mơmen qn tính phẳng Mơmen qn tính phẳng trục Ox, Oy gốc O I x   y  ( x, y )dxdy I y   x  ( x, y )dxdy IO   ( x  y )  ( x, y )dxdy D D D Mơmen qn tính vật thể Mơmen qn tính vật thể trục Ox, Oy, Oz gốc O I x   ( y  z )  ( x, y, z )dxdydz, I y   ( z  x )  ( x, y, z )dxdydz V V I z   ( x  y )  ( x, y, z )dxdydz, I O   ( x  y  z )  ( x, y, z )dxdydz V 7/4/2017 V (52) ... cos ydy I   7/4 /20 17 2 sin  xdx    2 cos  ydy    2 2 (sin x  cos x)dx   ? ?2 (22 ) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Tính tích phân I  Ví dụ 2. 7  xydxdy D y D giới hạn đường 2x  y y  x  4,...  dy ? ?2 y4  y2 y4 x2 xydx   y dx y ? ?2 x  y4 D2 O D1 -2 4 y 1 y   y ( y  y  16  )dy  ( y  y  y  )  90 ? ?2 4 24 ? ?2 Hoặc tính theo thứ tự ngược lại cách xét D  D1  D2 7/4 /20 17 ... ydy   x dx  2? ?? x dx  x  a D 0 0 7/4 /20 17 2x a a (21 ) CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ 2. 6 Tính tích phân I   (sin x  cos y )dxdy 2 D D hình vng  x   ,0  y   2     2 2 0 0 I   sin