Tích phân Fourier huổi Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống. � Tích phân Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu không tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống Tích phân Fourier dạng chuẩn: � Từ chuổi Fourier lượng giác của một hàm tuần hoàn: 12 0 n 0 n 0 (2.1) 1 f(t) a a cos(nω t) b sin(nω t) ∞ n= = + + ∑ � Thế các công thức: ( ) ( ) T2 2 T2 T T2 0 0 1 T T2 T2 1 2 T T2 0 0 f(t)cos(nω t)dt cos(nω t) f(t) f(t)dt n f(t)sin(nω t)dt sin(nω t) ∞ − − = − = + + ∫ ∫ ∑ ∫ (2.2) Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện Điện tử ĐHBKTPHCM 4 2.1.1 Tích phân Fourier � Đặt: ω = nω0. (2.3) 2 π ∆ω = + ( 1) n n ω ω ω 0 0 0 − = = T (2.4) ( ) ( ) T2 1 π T2 T2 1 T T2 T2 1 1 π T2 f(t)cos(ωt)dt cos(ωt) f(t) f(t)dt n f(t)sin(ωt)dt sin(ωt) ω ω ∞ − − = − ∆ = + + ∆ ∫ ∫ ∑ ∫ (2.5) � Thế vào (2.2): � Khi cho chu kỳ T → ∞, số hạng đầu → 0, ta có thể biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn ở dạng:Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện Điện tử ĐHBKTPHCM 5 2.1.1 Tích phân Fourier ( ) ( ) 1 π 1 1 π f(t)cos(ωt)dt cos(ωt) f(t) n f(t)sin(ωt)dt sin(ωt) ω ω ∞ ∞ −∞ ∞ = −∞ ∆ = + ∆ ∫ ∑ ∫ (2.6) � Ta có thể thay tổng bằng tích phân từ 0 → ∞, và cho phép thiết lập công thức biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier dạng chuẩn. Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện Điện tử ĐHBKTPHCM 6 �Công thức tích phân Fourier dạng chuẩn: Nếu định nghĩa các hàm hệ số A(ω) và B(ω) bởi: (2.7) 1 A(ω) f(t) cos(ωt)dt ∞ π −∞ = ∫ 1 B(ω) f(t) sin(ωt)dt ∞ π −∞ = ∫ (2.8) 0 f(t) A(ω)cos( ) B( ωt t d ω)sin( ) ω ω ∞ = + ∫ (2.9) Thì f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier dạng chuẩn:Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện Điện tử ĐHBKTPHCM 7 2.1.2 Tích phân Fourier côsin và sin: a) Nếu f(t) chẵn , ta có : (2.10) 0 2 A(ω) f(t) cos(ωt)dt ∞ π = ∫ 0 f(t) A(ω) cos( ) ω ω t d ∞ Và f(t) bởi tích phân Fourier được biểu diễn = ∫ (2.11) côsin: � Tương tự chuổi Fourier, ta có thể đưa tín hiệu không tuần hoàn 0, L thành tín hiệu chẵn hay lẻ để có tích phân Fourier côsin và tích phân Fourier sin. � Tất nhiên , biểu diễn chỉ có nghĩa trong khoảng 0, L. Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện Điện tử ĐHBKTPHCM 8 b) Nếu f(t) là hàm lẻ: ta có 0 f(t) B(ω)sin(ωt)dω ∞ =∫ (2.13
Chương 2: Tích phân biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier 2.2 Phép biến đổi Fourier 2.3 Các tính chất phép biến đổi Fourier 2.4 Biến đổi Fourier hàm 2.5 Phương pháp tìm biến đổi Fourier 2.6 Tìm biến đổi Fourier dùng MATLAB 2.7 Ứng dụng biến đổi Fourier Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1 Tích phân Fourier � Chuổi Fourier: dùng phân tích tác động tín hiệu tuần hồn lên mạch điện hệ thống � Tích phân Fourier: dùng phân tích tác động tín hiệu khơng tuần hồn lên mạch điện hệ thống Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1.1 Tích phân Fourier dạng chuẩn: � Từ chuổi Fourier lượng giác hàm tuần hoàn: ∞ f(t) = a + ∑ [ a n cos(nω t) + b n sin(nω t) ] (2.1) n =1 � Thế công thức: ( ) T/2 f(t)cos(nω t)dt cos(nω t) 0 T/2 T ∫− T/2 f(t) = T1 ∫ f(t)dt + ∑ − T/2 T/2 n =1 + f(t)sin(nω t)dt sin(nω t) T ∫− T/2 ∞ ( ) (2.2) Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1.1 Tích phân Fourier � Đặt: ω = nω0 (2.3) ∆ ω = ( n + 1)ω − nω = ω = � Thế vào (2.2): ( 2π T ) (2.4) T/2 f(t)cos(ωt)dt cos(ωt)∆ ω ∞ π ∫ T/2 − T/2 f(t) = T1 ∫ f(t)dt + ∑ − T/2 T/2 n =1 + f(t)sin(ωt)dt sin(ωt)∆ ω π ∫− T/2 ( ) (2.5) � Khi cho chu kỳ T → ∞, số hạng đầu → 0, ta biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn dạng: Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1.1 Tích phân Fourier ( ) ∞ f(t)cos(ωt)dt cos(ωt)∆ ω ∞ π ∫−∞ f(t) = ∑ ∞ n =1 + f(t)sin(ωt)dt sin(ωt)∆ ω π ∫−∞ ( ) (2.6) � Ta thay tổng tích phân từ → ∞, cho phép thiết lập cơng thức biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier dạng chuẩn Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM �Cơng thức tích phân Fourier dạng chuẩn: Nếu định nghĩa hàm hệ số A(ω) B(ω) bởi: A(ω) = B(ω ) = π π ∞ ∫ f(t) cos(ωt )dt (2.7) −∞ ∞ ∫ f(t) sin(ω t )dt (2.8) −∞ Thì f(t) biểu diễn tích phân Fourier dạng chuẩn: ∞ f(t) = ∫ [A(ω)cos(ωt ) + B(ω)sin(ωt )]dω (2.9) Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1.2 Tích phân Fourier cơsin sin: � Tương tự chuổi Fourier, ta đưa tín hiệu khơng tuần hồn [0, L] thành tín hiệu chẵn hay lẻ để có tích phân Fourier cơsin tích phân Fourier sin � Tất nhiên , biểu diễn có nghĩa khoảng [0, L] a) Nếu f(t) chẵn , ta có : A(ω ) = Và f(t) biểu diễn tích phân Fourier cơsin: π ∞ ∫ f(t) cos(ω t )dt (2.10) ∞ f(t) = ∫ [A(ω) cos(ω t )]d ω (2.11) Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM b) Nếu f(t) hàm lẻ: ta có B(ω) = ∞ f(t)sin(ωt)dt π∫ (2.12) Và f(t) biểu diễn tích phân Fourier sin: ∞ f(t) = ∫ [B(ω)sin(ωt)]dω (2.13) Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : � Ta đề cập ứng dụng để tích tích phân suy rộng � Xét tín hiệu f(t) cho (2.14): |t| > f(t) = 1 |t| < (2.14) Vì f(t) chẵn nên hàm hệ số A(ω) cho (2.10): A(ω) = π ∫ cos(ωt )dt = sin(ω ) π ω (2.15) Và f(t) biểu diễn tích phân Fourier cơsin (2.16): ∞ sin(ω)cosωt f(t) = ∫ dω π0 ω (2.16) Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo) � Áp dụng tích chất hội tụ tích phân Fourier ta : ∞ sin ω cos ωt π∫ ω 1 |t| < dω = 1/2 |t| ≡ 0 |t| > (2.17) � Cho t = 0, ta có : ∞ ∫ sin ω ω dω = π Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM (2.18) 10 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo) � Nếu định nghĩa hàm tích phân sin, ký hiệu Si, : x Si(x) = ∫ sin ω ω dω (2.19) � Ta có : Si(∞) = π/2 (2.20) � Hay cho t = 1, ta được: ∞ ∫ sin ω cos ω ω dω = π (2.21) 11 Bài giảng Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM � VD2.1.1: Tích phân Fourier 1 (0 < t