Bài giảng Giải tích - Chương 2: Tích phân bội. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: tích phân kép - định nghĩa, cách tính trong tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học; cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Oxy; đổi biến số trong tích phân kép; ứng dụng của tích phân kép;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Giải tích Chương Tích phân bội Vũ Hữu Nhự PHENIKAA University 2.1 Tích phân kép: định nghĩa, cách tính tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học 2.1.1 Khái niệm Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội 2.1 Tích phân kép: định nghĩa, cách tính tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học 2.1.1 Khái niệm Cho hàm số z = f (x, y ) xác định miền D (D miền đóng bị chặn) Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội 2.1 Tích phân kép: định nghĩa, cách tính tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học 2.1.1 Khái niệm Cho hàm số z = f (x, y ) xác định miền D (D miền đóng bị chặn) - Chia miền D thành n mảnh nhỏ, có diện tích ∆S1 , ∆S2 , , ∆Sn Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội 2.1 Tích phân kép: định nghĩa, cách tính tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học 2.1.1 Khái niệm Cho hàm số z = f (x, y ) xác định miền D (D miền đóng bị chặn) - Chia miền D thành n mảnh nhỏ, có diện tích ∆S1 , ∆S2 , , ∆Sn - Xác định đường kính mảnh: diam(∆Si ) = max {AB | A, B ∈ ∆Si } đặt dn = max {diam(∆S1 ), diam(∆S2 ), , diam(∆Sn )} Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội - Lấy điểm Mi (xi , yi ) ∈ ∆Si (tùy ý) lập tổng tích phân n σn = f (xi , yi )∆Si i=1 Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (1) - Lấy điểm Mi (xi , yi ) ∈ ∆Si (tùy ý) lập tổng tích phân n σn = f (xi , yi )∆Si (1) i=1 - Tích phân kép hàm f (x, y ) miền D cho bởi: f (x, y )dS = lim σn dn →0 (nếu giới hạn tồn tại) D Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (2) - Lấy điểm Mi (xi , yi ) ∈ ∆Si (tùy ý) lập tổng tích phân n σn = f (xi , yi )∆Si (1) i=1 - Tích phân kép hàm f (x, y ) miền D cho bởi: (nếu giới hạn tồn tại) f (x, y )dS = lim σn dn →0 D - D : miền lấy tích phân - f (x, y ) hàm dấu tích phân - dS : yếu tố diện tích Nếu tích phân (2) tồn tại, ta nói hàm f (x, y ) khả tích D Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (2) - Lấy điểm Mi (xi , yi ) ∈ ∆Si (tùy ý) lập tổng tích phân n σn = f (xi , yi )∆Si (1) i=1 - Tích phân kép hàm f (x, y ) miền D cho bởi: (nếu giới hạn tồn tại) f (x, y )dS = lim σn dn →0 D - D : miền lấy tích phân - f (x, y ) hàm dấu tích phân - dS : yếu tố diện tích Nếu tích phân (2) tồn tại, ta nói hàm f (x, y ) khả tích D Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (2) Chú ý: Nếu f (x, y ) liên tục miền đóng bị chặn D f (x, y ) khả tích D Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội Example Tính tích phân (x + yz)dxdydz I = V với V miền giới hạn mặt phẳng tọa độ mặt phẳng x + y + z = Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội Example Tính tích phân (x + yz)dxdydz I = V với V miền giới hạn mặt phẳng tọa độ mặt phẳng x + y + z = Example Tính tích phân x dxdydz I = V với V hình cầu đơn vị Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội 2.2.4 Đổi biến số tích phân bội Xét tích phân I = f (x, y , z)dxdydz, V V miền đóng bị chặn Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (23) 2.2.4 Đổi biến số tích phân bội Xét tích phân I = f (x, y , z)dxdydz, (23) V V miền đóng bị chặn Phép đổi biến số x = x(u, v , w ) y = y (u, v , w ) z = z(u, v , w ) Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (24) Giả sử rằng: • x(u, v , w ), y (u, v , w ), z(u, v , w ) khả vi liên tục miền đóng bị chặn V1 hệ O uvw • Ánh xạ (u, v , w ) ∈ V1 → (x, y , z) ∈ V song ánh • Định thức Jacobi J= xu xv D(x, y , z) = yu yv D(u, v , w ) zu zv Vũ Hữu Nhự xw yw = zw V1 Giải tích Chương Tích phân bội Giả sử rằng: • x(u, v , w ), y (u, v , w ), z(u, v , w ) khả vi liên tục miền đóng bị chặn V1 hệ O uvw • Ánh xạ (u, v , w ) ∈ V1 → (x, y , z) ∈ V song ánh • Định thức Jacobi J= xu xv D(x, y , z) = yu yv D(u, v , w ) zu zv xw yw = zw V1 Khi đó: f (x, y , z)dxdydz V f (x(u, v , w ), y (u, v , w ), z(u, v , w ))|J|dudvdw (25) = V1 Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội • Tích phân bội hệ tọa độ trụ Công thức đổi hệ tọa độ Đề (x, y , z) hệ tọa độ trụ (r , ϕ, z) x = r cos ϕ (26) y = r sin ϕ z =z Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội • Tích phân bội hệ tọa độ trụ Công thức đổi hệ tọa độ Đề (x, y , z) hệ tọa độ trụ (r , ϕ, z) x = r cos ϕ (26) y = r sin ϕ z =z Công thức (25) suy f (x, y , z)dxdydz V = f (x(r , ϕ, z), y (r , ϕ, z), z)rdrdϕdz V1 Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (27) Example Tính (x + y )z dxdydz V với V miền hình trụ giới hạn mặt x + y = 2y , z = 0, Vũ Hữu Nhự z = a (a > 0) Giải tích Chương Tích phân bội Example Tính (x + y + z )dxdydz V với V miền hình nón cho z ≥ x + y 2, Vũ Hữu Nhự ≤ z ≤ a (a > 0) Giải tích Chương Tích phân bội • Tích phân bội hệ tọa độ cầu Công thức đổi hệ tọa độ Đề (x, y , z) hệ tọa độ cầu (r , θ, ϕ) x = r sin θ cos ϕ (28) y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ −−→ (0 ≤ r = OM < +∞, ≤ θ = OM, Oz ≤ π, ≤ ϕ = (OM , Ox) ≤ 2π, MM ⊥(Oxy ) ≡ M ) Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội • Tích phân bội hệ tọa độ cầu Công thức đổi hệ tọa độ Đề (x, y , z) hệ tọa độ cầu (r , θ, ϕ) x = r sin θ cos ϕ (28) y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ −−→ (0 ≤ r = OM < +∞, ≤ θ = OM, Oz ≤ π, ≤ ϕ = (OM , Ox) ≤ 2π, MM ⊥(Oxy ) ≡ M ) Công thức (25) suy (29) f (x, y , z)dxdydz V f (x(r , θ, ϕ), y (r , θ, ϕ), z(r , θ, ϕ))r sin θdrdθdϕ = V1 Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội Example Tính V x2 + y2 + z2 dxdydz với V miền hình trụ giới hạn ≤ x + y + z ≤ Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội 2.2.5 Ứng dụng tích phân bội ba • Tính thể tích vật thể V ba chiều: VV = dxdydz (30) V • Tính khối lượng vật thể ba chiều: ρ(x, y , z)dxdydz (ρ(x, y , z) khối lượng riêng) m= V (31) • Xác định trọng tâm G vật thể ba chiều: xG = xρ(x, y , z)dxdydz, m V yG = y ρ(x, y , z)dxdydz, m V zG = zρ(x, y , z)dxdydz, m V với m khối lượng vật thể Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội Example Tính thể tích vật thể giới hạn mặt x + y + z = 1, x + y + z = 4, z = x + y Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội ... Giải tích Chương Tích phân bội dy (7) Example Cho tích phân y2 I = dy f (x, y )dx −y • Thay đổi thứ tự lấy tích phân • Tính tích phân với √ f (x, y ) = x y Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội. .. )} Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội - Lấy điểm Mi (xi , yi ) ∈ ∆Si (tùy ý) lập tổng tích phân n σn = f (xi , yi )∆Si i=1 Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (1) - Lấy điểm Mi... Hữu Nhự Giải tích Chương Tích phân bội (10) Example Cho tích phân (x − 2y )2 (2x + y )dxdy I = D với D miền giới hạn x ≥ 0, y ≥ 0, Vũ Hữu Nhự x + y ≤ Giải tích Chương Tích phân bội Tích phân kép