Phan Trung Hiếu §1.. a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực. b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình.[r]
(1)9/16/2019
1 LOG
O
Chương 2: Hàm liên tục
GV Phan Trung Hiếu §1 Khái niệm
§2 Tính chất hàm liên tục
2
§1 Khái niệm
I Hàm số liên tục điểm:
3
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng chứa x0 Ta nói:
(i)f(x) liên tục bên trái x0nếu
(ii)f(x) liên tục bên phải x0
0
0
lim ( ) ( )
xx f x f x
0
0
lim ( ) ( )
xx f x f x
4 (iii)f(x) liên tục x0
0
0
lim ( ) ( )
xx f x f x
Nói cách khác, f(x) liên tục x0 thỏa điều sau:
f(x) xác định x0
tồn
lim ( )
xx f x
0
0
lim ( ) ( )
xx f x f x
5
Hàm số f(x) không liên tục x0thì gọi gián
đoạn x0nếu xảy điều sau: f(x) không xác định x0
f(x) xác định x0,
0
lim ( ) x x
f x
không tồn
hoặc
lim ( ) x x
f x
không tồn
hoặc
0
lim ( ) lim ( ) xx f x xxf x
f(x) xác định x0, tồn tại,
lim ( ) xx f x
0
0
lim ( ) ( ) xx f x f x
6
Định lý 1.2.Nếu f g liên tục x0thì
cũng liên tục x0. , , f( 0)
f g f g g g
Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục hàm số sau sin
khi
) ( )
3
x x a f x x
x
tại x 0
2
1
) ( )
khi
2
x x
b f x x
x
(2)9/16/2019
2
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
3
2
1
khi
( ) ln(1 )
1
x e
x
f x x
m x
liên tục tạix0 0
Ví dụ 1.2: Cho hàm số
tan
( ) , ( )
1 cos
x x
f x x k k
x
Tìm f(0) để hàm số liên tục tạix0 0
8
Ví dụ 1.4: Tìm m n để hàm số
2
3 3,
( ) 3,
khi
mx x
f x x n x
x x
liên tục tạix0 3
II Hàm số liên tục khoảng, đoạn:
9
Định nghĩa 2.1.Hàm số f(x) liên tục (a,b) khi f(x) liên tục điểm thuộc (a,b).
Định nghĩa 2.2:
f(x) liên tục [a,b]
f(x) liên tục (a,b)
lim ( ) ( )
xaf x f a
lim ( ) ( )
x b
f x f b
10
Chú ý 2.3:Hàm f(x) liên tục [a,b] có đồ thị đường liền nét (khơng đứt khúc) đoạn
Liên tục Không liên tục
a b a b
11
Ví dụ 1.5: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác
định
2
2
( )
3
x x
f x x
x x
12
Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số
2
( )
khi
mx x x
f x
x mx x
liên tục
Ví dụ 1.7: Tìm m n để hàm số
khi
1
( )
2
1
khi
x x
f x mx n x
x x
(3)9/16/2019
3 13
§2 Tính chất hàm số liên tục
14
Định lý 2.4:Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương hai đa thức) các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục tập xác định chúng.
Định lý 2.5:Hàm số liên tục đoạn thì đạt giá trị lớn nhỏ đoạn đó.
15
Định lý 2.6 (Định lý giá trị trung gian):
f(x) liên tục [a,b]
( ), ( )
N f a f b
( , ) : ( ) c a b f c N ( ) ( )
f a f b
16 Hệ 2.6:
f(x) liên tục [a,b]
( ) ( )
f a f b c ( , ) : ( )a b f c 0 Ví dụ 2.1: Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng (0;1)
b) Tìm khoảng với độ dài 0,01 có chứa nghiệm phương trình
(4)Bài tập Giải tích Chương
4
Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 cho trước
1)
2
arcsin( )
khi
( ) 3
2 /
x x x
f x x
x
x0 0 2)
2
ln(1 )
khi
( ) 1
2
x x x
f x e
x
x0 0
Bài 2: Cho hàm số ( ) ln ln 2,
2
x
f x x
x Tìm f(2) để hàm số liên tục x2
Bài 3: Xác định m để hàm số sau liên tục điểm x0 0
1)
ln(2 cos( ))
khi
( )
khi mx x
f x x x
m x
2)
2
3 tan sin
khi
( ) 2
khi x x x
f x x
m x
Bài 4: Tìm m n để hàm số
sin
khi 0,
( ) 0,
2 1
khi m x x x
f x x
n x
x x
liên tục điểm x0 0
Bài 5: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định 1)
sin( )
khi
( )
khi x x f x x
x
2) ( ) cos
1
x x f x x x
Bài 6: Xác định m để hàm số sau liên tục tập xác định 1) cos ( )
4
mx e x x
f x x
m x
2)
5
(1 cos( )).( )
khi
( )
3
x x
mx e e
x
f x x x
m x
Bài 7: Cho phương trình lnx 3 2x
a) Chứng minh phương trình có nghiệm thực