Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa giới hạn – Một số tính chất Số e – Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Giới hạn hàm số.. Định nghĩa giới hạn.[r]
(1)Chương 1
VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
(2)Nội dung
1 Giới hạn dãy số
Định nghĩa giới hạn – Một số tính chất Số e – Các giới hạn – Tính giới hạn Giới hạn hàm số
Định nghĩa giới hạn
Tính chất – Giới hạn – Các dạng vô định Hàm số liên tục
4 Đạo hàm – Vi phân – Tính gần Ứng dụng đạo hàm
Định lý giá trị trung bình
(3)Dãy số
Tập hợp số đánh số từ (hoặc 0) đến ∞
gọi dãy số:
x1,x2, ,xn, (hoặc x0,x1, ,xn, ) Ví dụ:
Dãy tăng số nguyên dương: 1,2,3, Dãy giảm số nguyên âm chẵn:
−2,−4,−6,
Dãy xác định bởi: xn =
n
n+1, xn =
1+
n n
Dãy số ánh xạ x : N→ R, với x(n) ≡ xn
(4)Giới hạn dãy số
Giới hạn khái niệm giải tích Mỗi khái niệm giải tích giới hạn theo nghĩa
Giới hạn dãy số hiểu “phần tử cuối ” dãy số
Nói cách khác {xn} gọi có giới hạn a xn đủ gần a n đủ lớn
Ký hiệu: lim
n→∞xn = a đơn giản limxn = a
Ví dụ: Tính giá trị dãy số sau
n = 5,101,500,103,108 để dự đốn giới hạn xn =
(5)Giới hạn dãy số (tt) limlnn
n = a) b) c) −1 d) ∞ lim√n
2n+3n+ 4n = a) 2 b) 3 c) 4 d) 0
Dãy số xn gọi có giới hạn a nếu:
∀ε > 0,∃n0 ∈ N: |xn−a| < ε,∀n > n0
Dãy số xn gọi có giới hạn +∞ nếu:
∀M ∈ R,∃n0 ∈ N: xn > M,∀n > n0
Tương tự cho limxn = −∞
Nếu limxn = a ∈ R ta nói hội tụ, ngược lại gọi
(6)Một số tính chất
Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương, căn, tổng, hiệu, tích, thương, căn, giới hạn (miễn tính được) Ví dụ limxn limyn tồn thì:
lim(xn±yn) = limxn ±limyn
lim(xnyn) = (limxn) (limyn)
limxn yn
= limxn
limyn
(với yn 6= 0, limyn 6= 0) lim√xn =
√
limxn (với xn ≥ 0, limxn ≥ 0)
Tiêu chuẩn giới hạn kẹp
(7)Dãy đơn điệu - Dãy bị chận
Dãy {xn} gọi dãy tăng nếu: xn ≤xn+1,∀n ∈ N
Dãy {xn} gọi dãy giảm nếu: xn ≥ xn+1,∀n ∈ N
Nếu {xn} dãy tăng giảm ta nói {xn} đơn điệu
Ví dụ: xét tính đơn điệu dãy số sau
xn = n2, xn =
n+1
n , xn = (−1)
n√n+1
{xn} gọi bị chận nếu: ∃M ∈ R,xn ≤ M,∀n ∈ N {xn} gọi bị chận nếu: ∃N ∈ R,xn ≥ N,∀n ∈ N Nếu {xn} bị chận ta nói bị chận
(8)Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e
Tiêu chuẩn Weierstrass
Một dãy số tăng bị chận hội tụ Một dãy số giảm bị chận hội tụ
Xét dãy: xn =
1+
n n
Người ta chứng minh dãy tăng bị chận Suy hội tụ
Ta định nghĩa e = lim
n→+∞
1+ n
(9)Các giới hạn bản
1 Nếu a > lim
n→∞
1
na = 0, nlim→∞n
a = +∞.
2 Nếu |a|< thì: lim
n→∞a
n = 0.
Nếu a > lim
n→∞a
n = +∞.
3 Nếu a > α ∈ R thì: lim
n→∞
nα
an =
4 Nếu a > lim
n→∞
n
√
a =
Đồng thời lim
n→∞
n
√
n = Giới hạn liên quan số e: lim
n→+∞
1+ x n
n
(10)Tính giới hạn
Biến đổi đưa giới hạn bản, áp dụng tính chất, sử dụng giới hạn kẹp,
Ví dụ: Tính giới hạn dãy số sau
1 lim
n→∞
4n2 +1 3n2 +2
a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2 d) +∞
2 lim
n→∞
p
2n+3√n−√2n+1
a) b) 3/2 c) 3√2 d) 3/(2√2)
3 lim n→∞ n √ n n √
n2 +√n
n+1
(11)4 lim
n→∞
3·5n −2n 4n +2·5n
a) 3/4 b) -1/2 c) +∞ d) 3/2 lim
n→∞
n23n+ n n32n +n2 + 1
a) +∞ b) c) 3/2 d)
6 lim
n→∞
n−1 n +1
2n
a) b) e−2 c) e−4 d) e−
√
2
7 lim
n→∞
nsin√n n2 +n−1
(12)Giới hạn hàm số
Hàm số y = f(x) nói có giới hạn L x tiến a làm cho giá trị f gần L tùy ý cách cho x đủ gần a (nhưng khác a)
Ký hiệu: lim
x→af(x) = L
(13)(14)Các ý:
Giới hạn hàm số x → a liên quan tới giá trị f xung quanh a, không liên quan giá trị f a, chí f khơng xác định a
Ví dụ: Xét lim
x→1
(15)(16)(17)Tính giá trị xung quanh có tác dụng gợi ý giới hạn Trong số trường hợp khơng xác
Ví dụ: Dự đốn giá trị lim
x→0sin
π
x cách tính giá trị x =
2,x =
(18)Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa
Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số
Cho f hàm số xác định khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ a) Ta nói giới hạn f(x) x tiến a L nếu:
Với ε > cho trước, có số δ > để cho: < |x −a| < δ |f(x)−L| < ε Tương tự, ta có khái niệm giới hạn phía:
Giới hạn trái f x tiến a L giá trị f gần L được, miễn x đủ gần a x < a
Ký hiệu giới hạn trái: lim
(19)Một cách xác, giới hạn f(x) x tiến bên trái a L nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0: a−δ <x < a ⇒ |f(x)−L| < ε Giới hạn phải f x tiến a L giá trị f gần L được, miễn x đủ gần a x > a
Ký hiệu giới hạn phải: lim
x→a+f(x)
Một cách xác, giới hạn f(x) x tiến bên phải a L nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0: a < x < a+δ ⇒ |f(x)−L| < ε
Định lý: lim
(20)Ví dụ 1: Xác định giá trị sau:
Ví dụ 2: Tính (a) lim
x→0+
|x|
x (b) limx→0−
|x|
x (c) limx→0
|x|