File đầy đủ lý thuyết, bài tập và lời giải chi tiết PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Các khái niệm cơ bản Một số bài toán dẫn đến phương trình vi phân 2. Phương trình vi phân cấp 1 3. Phương trình vi phân cấp 2 Bài tập và lời giải
Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 Các khái niệm 4.1.1 Một số toán đơn giản dẫn đến phương trình vi phân Bài tốn Cho vật thể có khối lượng m rơi tự khơng khí vào lúc khơng có gió Giả sử sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc rơi v(t) vật thể thời điểm t với hệ số tỷ lệ k > Tìm v(t) Với giả thiết tốn, vật rơi F lực tổng hợp lực tác dụng lên vật thể gồm có: Lực hút trái đất mg (g gia tốc rơi tự do) lực cản khơng khí kv(t), hai lực ngược chiều Theo định luật Newton ta có mw(t) = F, w(t) gia tốc rơi vật thể F = dv ( t ) mg – kv(t) Từ đây, ta nhận phương trình mw(t) = mg – kv(t) với w ( t ) = v' ( t ) = , hay dt mv’(t) = mg – kv(t), để xác định v(t) Bài tốn Tìm phương trình y = f(x) đường cong phẳng, biết tiếp tuyến điểm đường cong cắt trục tung điểm khác có tung độ hai lần tung độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) điểm (x0,y0) (x0,f(x0)) y – y0 = f’(x0)(x – x0) hay y = y0 + f’(x0)(x – x0) Giao điểm tiếp tuyến với trục tung (x = 0) có tung độ y = y + f’(x0)(0 – x0) = y0 – f’(x0)x0 Theo giả thiết y = 2y0, suy 2y0 = y0 – f’(x0).x0 hay y0 = –f’(x0)x0 Vì y (x0,y0) điểm nên khơng tính tổng qt ta viết y = –f’(x)x = –xy’ hay y' = − x phương trình để xác định phương trình y = f(x) đường cong 4.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân nghiệm Khi nghiên cứu tượng tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, … xác định quy luật liên hệ biến độc lập với hàm số phải tìm, xác định mối liên hệ hàm số phải tìm với (các) đạo hàm nó, khơng có có biến độc lập (xem Bài toán Bài toán 2) y (n) Phương trình liên hệ biến số độc lập x, hàm số y = y(x) phải tìm đạo hàm y’, y”, …, nó, gọi phương trình vi phân Cấp cao đạo hàm hàm số y = y(x) có phương trình vi phân, gọi cấp phương trình vi phân Như vậy, trường hợp tổng quát nhất, phương trình vi phân cấp n có dạng sau đây: F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = F hàm cho có nhiều (n + 2) biến mà thơng thường phải thỏa mãn số điều kiện định tính liên tục tính khả vi Hàm số y = y(x) gọi nghiệm phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = thỏa mãn điều kiện: (1) y = y(x) có đạo hàm y’,y”, …, y(n) khoảng (a,b) đó; (2) y = y(x) vào hàm số F(x,y,y’,y”, …, y(n)) F(x,y,y’,y”, …, y(n)) với x(a,b) Đồ thị hàm số y = y(x) nghiệm phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = 0, gọi đường cong tích phân phương trình Giải phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = tìm tất nghiệm y = y(x) Q trình tìm nghiệm phương trình vi phân gọi tích phân phương trình vi phân 4.2 Phương trình vi phân cấp 4.2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 181 Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp F(x,y,y’) = Nếu giải phương trình y’ phương trình vi phân cấp viết dạng dy = f ( x , y) , (x,y)DR2, gọi phương trình vi phân cấp giải y’ = f(x,y) hay dx đạo hàm Bài tốn Cauchy Tìm nghiệm y = y(x) phương trình vi phân y’ = f(x,y) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x) x =x = y0 hay y(x0) = y0, (x0,y0)R2 Định lý (sự tồn nghiệm toán Cauchy) Giả sử hàm số f(x,y) với đạo f ( x, y) hàm riêng xác định liên tục miền D mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử (x0,y0)D y Khi đó, lân cận x0, tồn nghiệm y = y(x) phương trình y’ = f(x,y) mà y(x0) = y0 Về mặt hình học, định lý khẳng định rằng, với giả thiết điều kiện nêu, lân cận điểm (x0,y0)DR2 tồn đường cong tích phân phương trình vi phân y’ = f(x,y) qua điểm (x0,y0) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) hàm số y = (x,C), C số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau: (1) thỏa mãn phương trình vi phân y’ = f(x,y) với C; (2) với (x0,y0) giả thiết điều kiện định lý thỏa mãn, tìm giá trị C = C0 cho hàm số y = (x,C0) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x) x =x = y0 Về mặt hình học, nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) biểu diễn họ đường cong tích phân y = (x,C) phụ thuộc vào tham số C Nghiệm riêng phương trình vi phân y’ = f(x,y) hàm số y = (x,C0) nhận cách cho tham số C nghiệm tổng quát giá trị xác định C0 Lưu ý (1) Có ta khơng tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) dạng tường minh y = (x,C) mà tìm hệ thức có dạng (x,y,C) = xác định nghiệm tổng quát dạng ẩn Khi đó, hệ thức (x,y,C) = gọi tích phân tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) Trong trường hợp này, hệ thức (x,y,C0) = nhận cách cho tham số C tích phân tổng quát giá trị xác định C0, gọi tích phân riêng (2) Phương trình vi phân y’ = f(x,y) có số nghiệm khơng thuộc nghiệm tổng quát, đó, nghiệm gọi nghiệm kỳ dị Trong chương này, ta không xem xét nghiệm kỳ dị Ví dụ 4.1 Có thể dễ dàng kiểm tra phương trình vi phân y' = − y có nghiệm tổng quát y(x) = sin(x + C) với C số Tuy nhiên, hàm số y(x) = nghiệm phương trình vi phân xét, nghiệm suy từ nghiệm tổng quát với số C Như vậy, nghiệm y(x) = nghiệm kỳ dị phương trình vi phân xét 4.2.2 Phương pháp giải số phương trình vi phân cấp đơn giản Nói chung, khơng tồn phương pháp tổng qt để tìm nghiệm phương trình vi phân F(x,y,y’) = cấp 4.2.2.1 Phương trình vi phân có biến số phân ly Phương trình vi phân F(x,y,y’) = cấp gọi phương trình vi phân có biến số phân ly biến đổi dạng g(x)dx = h(y)dy 182 Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế phương trình g(x)dx = h(y)dy ta g(x)dx = h(y)dy + C hay G(x) = H(y) + C, G(x) nguyên hàm hàm số g(x), H(y) nguyên hàm hàm số h(y), C số tùy ý Ví dụ 4.2 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân y' = ( x + 1) y x ( y − 1) Bài giải ( x + 1) y dy ( x + 1) y y' = = ( x + 1) ydx = x ( y − 1)dy Khi đó, x y 0, chia hai vế x ( y − 1) dx x ( y − 1) 1 1 phương trình cho xy ta 1 + dx = 1 − dy x y 1 1 1 + dx = 1 − dy + C x + ln x = y − ln y + C x − y + ln xy = C nghiệm tổng x y qt phải tìm, C số tùy ý Ví dụ 4.3 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân x(1 + y2) + y(1 + x2)y’ = Bài giải x(1 + y2) + y(1 + x2)y’ = x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = Chia hai vế phương trình x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = cho (1 + x2)(1 + y2) x y x y ln(1 + x ) ln(1 + y ) dx + dy = dx + dy = C + = C1 với 1+ x2 1+ y2 2 1+ x2 1+ y2 C1 số tùy ý ln C Đặt C1 = viết nghiệm tổng qt vừa tìm (1 + x2)(1 + y2) = C với C số tùy ý Ví dụ 4.4 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân exdx – (1 + ex)ydy = với điều kiện ban đầu y(0) = Bài giải Chia hai vế phương trình vi phân cho + ex ex ex y2 x dx = ydy dx = ydy + C ln( + e ) = + C với C số tùy ý 1+ ex 1+ ex x = Thay điều kiện ban đầu y(0) = vào nghiệm tổng quát vừa tìm C = ln − , y = x 1+ e y + ln − y = + ln nghiệm riêng cần tìm ln(1 + e x ) = 2 a x + b1y + c1 a b1 det = a1b − a b1 = Lưu ý Phương trình vi phân có dạng y' = f a b2 a x + b2 y + c2 biến đổi phương trình vi phân có biến số phân ly nhờ phép đổi biến t = a1x + b1y Ví dụ 4.5 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (x + y + 2)dx + (2x + 2y – 1)dy = Bài giải 1 1 x+y+2 = nên đổi biến t , det 2x + y − 2 = x + y dy = dt – dx, phương trình vi phân cho trở thành (t + 2)dx + (2t – 1)(dt – dx) = Phương trình vi phân cho tương đương với y' = − 183 (3 – t)dx + (2t – 1)dt = Khi t 3, chia hai vế phương trình cho t – ta 2t − 2t − dx + dt = dx + dt = −C dx − + dt = −C x − t − ln t − = −C với 3− t 3− t t −3 C số tùy ý Quay lại biến x, y ban đầu, ta nghiệm tổng quát x + 2y + 5lnx + y – 3 = C 4.2.2.2 Phương trình vi phân Hàm số f(x,y) gọi hàm số bậc m f(x,y) = mf(x,y) Phương trình vi phân F(x,y,y’) = cấp gọi phương trình vi phân biến đổi dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, hàm số P(x,y), Q(x,y) hàm số bậc Phương pháp giải Đặt y = tx, phương trình vi phân biến đổi phương trình vi phân có biến số phân ly Ví dụ 4.6 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (x2 + 2xy)dx + xydy = Bài giải Trong phương trình vi phân cho, hai hàm số P(x,y) = x2 + 2xy, Q(x,y) = xy hàm số bậc 2, nên đặt y = tx dy = xdt + tdx Khi đó, phương trình vi phân cho trở dx tdt dx tdt + =0 + =C thành x2(t + 1)2dx + x3tdt = x ( t + 1) x ( t + 1) dx ( t + − 1)dt dx dt dt x + (t + 1)2 = C x + t + − (t + 1)2 = C ln x + ln t + + t + = C với C số tùy ý y Thay t = vào nghiệm tổng quát vừa tìm được, ta nghiệm tổng quát phương trình vi x x = C với C số tùy ý phân cho ln x + y + x+y Ví dụ 4.7 Tìm dạng gương hội tụ tất tia sáng song song vào điểm Bài giải Gương cần phải có dạng mặt trịn xoay có trục song song với phương tia tới Lấy trục làm trục Ox tìm phương trình đường cong y = y(x) mà quay quanh trục Ox tạo thành mặt cần tìm Lấy gốc O hệ tọa độ Oxy điểm mà tia sáng hội tụ vào Ký hiệu tia tới KM, tia phản xạ MO Kẻ tiếp tuyến TT1 pháp tuyến MN điểm M đường cong y = y(x) phải tìm Khi đó, dễ thấy MOT tam giác cân có đỉnh O nên OM = OT, với OM = x 2M + y 2M ; OT xác định theo phương trình đường tiếp tuyến với đường cong y = y(x) điểm M(xM,yM), cụ thể sau: Ta có phương trình đường tiếp tuyến với đường cong y = y(x) điểm M(xM,yM) y – yM = y’(xM).(x – xM) Đường tiếp tuyến cắt trục Ox điểm T(xT,0) nên – yM = y’(xM) (xT – xM), suy yM − xM OT = x T = − x T = y' ( x M ) 184 yM − x M , M có tọa độ (xM,yM) điểm y' ( x M ) đường cong nên, không tính tổng qt, coi điểm M có tọa độ (x,y), ta có phương y trình vi phân x + y = − x để tìm y = y(x) y' Từ OM = OT x 2M + y 2M = ) ( Ta biến đổi phương trình vi phân vừa tìm dạng x + x + y dy − ydx = , để việc biến đổi biểu thức đơn giản, ta xem y biến, x = x(y) hàm số y Dễ thấy phương trình phương trình vi phân nhất, nên để tìm nghiệm ta đặt x = ty dx = tdy + ydt ( ) ta ty + t y2 + y2 dy − y(tdy + ydt ) = Nếu y phương trình trở thành dy dt dy dt t + 1dy − ydt = = = + ln C với số C Tích phân biểu y y t +1 t2 +1 ( ) thức đẳng thức ta ln y = ln t + t + + ln C y = C t + t + với số C Trở biến x y ban đầu ta x + x + y = y2 với số C Sau biến đổi đẳng C C thức ta y = 2C x + với số C 2 Như vậy, đường cong phải tìm đường parabol, cịn gương có dạng paraboloit trịn xoay Ví dụ 4.8 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân y' = y y + sin với điều kiện ban đầu y(1) x x = /2 Bài giải Đặt y = tx, dy = xdt + tdx Khi đó, phương trình vi phân cho trở thành xdt = sintdx dt dx dt dx t t = = + ln C ln tan = ln x + ln C ln tan = ln Cx t = arctan(Cx ) sin t x sin t x với số C Trở biến x y ban đầu ta nghiệm tổng quát y = 2xarctan(Cx) x = Thay điều kiện ban đầu y(1) = vào nghiệm tổng quát y = 2xarctan(Cx) ta y = 2 arctan C = arctan C = C = , nghiệm riêng phải tìm y = 2xarctanx a x + b1y + c1 a b1 det = a1b − a b1 Lưu ý Phương trình vi phân có dạng y' = f a b a x + b y + c 2 2 x = u + biến đổi phương trình vi phân nhờ phép đổi biến (,) y = v + a1x + b1 y + c1 = nghiệm hệ phương trình a x + b y + c = Ví dụ 4.9 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2x + y + 1)dx + (x + 2y – 1)dy = 185 2 1 2x + y + = nên đổi , det x + 2y − 1 2 2 x + y + = x = u − x = u + = −1 biến với nghiệm hệ phương trình Do x + y − = y = v + y = v + = dx = du phương trình vi phân cho trở thành (2u + v)du + (u + 2v)dv = dy = dv Phương trình vi phân cho tương đương với y' = − Phương trình vừa nhận phương trình vi phân nên ta đổi biến v = tu dv = udt + tdu phương trình vi phân xét đưa dạng phương trình vi phân có biến số du (2t + 1)dt du (2t + 1)dt du d( t + t + 1) + = + = C phân ly u t + t + 1 u + t + t + = C1 u t2 + t +1 ln u + ln( t + t + 1) = C1 ln u t + t + = C1 u t + t + = e C1 u ( t + t + 1) = e C1 với số C1 tùy ý ( ) Quay lại biến u, v ta u + uv + v = e 2C1 , quay lại biến x, y ban đầu, ta nghiệm tổng quát x + y + xy + x − y + = e 2C1 hay x + y + xy + x − y = C với số C = e 2C1 − 4.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân y’ + p(x)y = q(x) p(x), q(x) hàm số liên tục với x(a,b), gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Nếu q(x) với x(a,b) phương trình vi phân tuyến tính cấp nói trở thành y’ + p(x)y = gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất, cịn q(x) phương trình vi phân tuyến tính cấp nói gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp không Định lý Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng [y’ + p(x)y = q(x)] nghiệm tổng qt phương trình vi phân tuyến tính cấp tương ứng [y’ + p(x)y = 0], cộng với nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng [y’ + p(x)y = q(x)] Phương pháp giải Phương pháp Bernoulli Tìm nghiệm phương trình y’ + p(x)y = q(x) dạng tích hai hàm số u(x)v(x) tức y(x) = u(x)v(x) y’ = u’v + uv’ u’v + uv’ + p(x)uv = q(x) u[v’ + p(x)v] + u’v = q(x) Chọn hàm v(x) cho v’ + p(x)v = 0, phương trình phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) hàm v(x) Giả sử v(x) 0, chia hai vế phương trình v’ + p(x)v = cho dv dv = −p( x )dx = − p( x )dx ln v = − p( x )dx + ln C1 v = C1 e − p ( x ) dx (với v(x) ta v v số C1 0) hay v = Ce − p ( x ) dx với C = C1 Mặt khác, v(x) = nghiệm phương trình v’ + p(x)v = 0, nghiệm ứng với số C = biểu thức v( x ) = Ce − p ( x ) dx Do v( x ) = Ce − p ( x ) dx với số C tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình v’ + p(x)v = Chọn v( x ) = e − p ( x ) dx (ứng với C = 1) thay vào phương trình u[v’ + p(x)v] + u’v = q(x) ta p ( x ) dx q( x ) q( x ) dx du = dx u = q( x )e dx + C u.0 + u’v = q(x) u’v = q(x) du = v( x ) v( x ) 186 p ( x ) dx y( x ) = u ( x ) v( x ) = q( x )e dx + C e − p ( x ) dx với C số tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng y’ + p(x)y = q(x) Như vậy, tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng ta p ( x ) dx thay hàm số p(x), q(x) vào biểu thức y( x ) = q( x )e dx + C e− p ( x ) dx tính tích phân đó; trực tiếp tìm nghiệm y(x) = u(x)v(x) theo bước Ví dụ 4.10 Giải phương trình vi phân y’ – y = sinx p ( x ) dx Thay p(x) = -1 q(x) = sinx vào biểu thức nghiệm y( x ) = q( x )e dx + C e− p ( x ) dx ta − dx y( x ) = sin xe dx + C e dx = sin xe −x dx + C e x , tính tích phân sin xe − x dx phương pháp tích e− x (cos x + sin x ) thay vào biểu thức y(x) ta phân phần ta sin xe −x dx = − y( x ) = Ce x − (cos x + sin x ) ( ) Hoặc tìm y(x) = u(x)v(x) y = u’v + uv’ u’v + uv’ – uv = sinx u(v’ – v) + u’v = sinx dv = dx v = e x ; - Tìm nghiệm phương trình v’ – v = dv – vdx = v + Thay v(x) = ex vào phương trình u(v’ – v) + u’v = sinx ta u’ex = sinx du = e-xsinxdx e− x u = e −x sin xdx = − (cos x + sin x ) + C với C số tùy ý e− x (cos x + sin x ) + C e x = Ce x − (cos x + sin x ) + Do y( x ) = u ( x ) v( x ) = − Phương pháp Lagrange (phương pháp biến thiên số) Để giải phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng y’ + p(x)y = q(x), ta giải phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng y’ + p(x)y = Nếu y ta có dy dy = −p( x )dx = − p( x )dx ln y = − p( x )dx + ln C1 (với số phương trình tương đương y y C1 0) y = C1 e− p ( x ) dx hay y = Ce − p ( x ) dx với số C = C1 Mặt khác, y(x) = nghiệm phương trình y’ + p(x)y = 0, nghiệm ứng với số C = biểu thức y( x ) = Ce − p ( x ) dx Do y( x ) = Ce − p ( x ) dx với C số tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình y’ + p(x)y = Tiếp theo, xem C = C(x) hàm số x, ta tìm C(x) để y( x ) = C( x )e − p ( x ) dx thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng y’ + p(x)y = q(x) Muốn vậy, thay y( x ) = C( x )e − p ( x ) dx vào phương trình y’ + p(x)y = q(x) ta dC C' ( x )e − p ( x ) dx − C( x )p( x )e − p ( x ) dx + p( x )C( x )e − p ( x ) dx = q( x ) = q( x )e p ( x ) dx dx C(x) = q(x)e p( x ) dx dx + K với K số tùy ý − p ( x ) dx y( x ) = C( x )e = ( q(x)e p ( x ) dx ) − p ( x ) dx dx + K e với K số tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng y’ + p(x)y = q(x) 187 Như vậy, tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng ta p ( x ) dx thay hàm số p(x), q(x) vào biểu thức y( x ) = q( x )e dx + K e − p ( x ) dx tính tích phân đó; trực tiếp tìm nghiệm y(x) theo bước Ví dụ 4.11 Giải phương trình vi phân Ví dụ 4.10 phương pháp Lagrange Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng tương ứng y’ – y = dy dy = dx = dx + ln C1 ln y = x + ln C1 y = C1 e x (với số C1 0) hay y = Ce x với y y số C = C1 Mặt khác, y(x) = nghiệm phương trình y’ – y = 0, nghiệm ứng với số C = biểu thức y( x ) = Ce x Do y( x ) = Ce x nghiệm tổng quát phương trình y’ – y = với C số tùy ý Bây giờ, nghiệm y(x) = Cex xem C = C(x) y(x) = C(x)ex y’ = C’(x)ex + C(x)ex thay vào phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không y’ – y = sinx ta dC = e −x sin x dC = e −x sin xdx dC = e −x sin xdx C’(x)ex + C(x)ex – C(x)ex = sinx dx −x e C( x ) = − (cos x + sin x ) + K với K số tùy ý e− x (cos x + sin x ) + K e x = Ke x − (cos x + sin x ) Như y( x ) = C( x )e x = − Ví dụ 4.12 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân (x + 1)y’ + xy = với điều kiện ban đầu y(0) = x Sử dụng phương pháp Bernoulli: Phương trình cho tương đương với y'+ y= x +1 x +1 x p( x ) = q( x ) = x +1 x +1 p ( x ) dx x Thay p( x ) = q( x ) = vào biểu thức nghiệm y( x ) = q( x )e dx + C e− p ( x ) dx x +1 x +1 xdx x +1 xdx e − xdx d( x + 1) = = ln( x + 1) = ln x + nên ta y( x ) = dx + C e x +1 Ta có x + x + x + e ln x +1 x2 +1 dx y( x ) = dx + C e −ln x +1 = dx + C = + C = x +1 x2 +1 x2 +1 x +1 x + ln(x + ) x2 +1 + C x +1 = ) ( ln x + x + + C x +1 Từ điều kiện ban đầu y(0) = suy y(0) = riêng phải tìm y( x ) = ) ( ln x + x + + x2 +1 ) ( ln + 02 + + C +1 = C = Do nghiệm Sử dụng phương pháp Lagrange: Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng dy xdx dy xdx (x2 + 1)y’ + xy = =− = − + ln C1 ln y = − ln(x + 1) + ln C1 (với y x +1 y x +1 188 số C1 0) hay y = C x2 +1 với số C = C1 Mặt khác, dễ thấy y = nghiệm C phương trình (x2 + 1)y’ + xy = 0, nghiệm ứng với C = biểu thức y = y= C x2 +1 x2 +1 nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) C Bây giờ, nghiệm y = x +1 xem C = C(x) y = C( x ) x +1 y' = C' ( x ) x +1 Thay y y’ vào phương trình (x2 + 1)y’ + xy = ta C' ( x ) x + = dC = ( Do ) C( x ) = ln x + x + + K với K số tùy ý Như vậy, y( x ) = C( x ) = ( ) ln x + x + + K x2 +1 tuyến tính (cấp 1) không x2 +1 Từ điều kiện ban đầu y(0) = suy y(0) = riêng phải tìm y( x ) = ) ( − xC( x ) x2 +1 dx x2 +1 nghiệm tổng quát phương trình vi phân ) ( ln + 02 + + K 02 + = K = Do nghiệm ln x + x + + x +1 Lưu ý Phương trình vi phân y’ + p(x)y = q(x)y số thực (được gọi phương trình Bernoulli) ln ln giải Trường hợp = 0: Phương trình trở thành y’ + p(x)y = q(x) phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) khơng biết phương pháp giải Trường hợp = 1: Phương trình trở thành y’ + p(x)y = q(x)y y’ + [p(x) – q(x)]y = phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) biết phương pháp giải Trường hợp 1: Với y nhân hai vế phương trình Bernoulli với y- (tương đương với việc chia hai vế phương trình Bernoulli cho y) ta y-y’ + p(x)y1 - = q(x) Đổi biến phép z = y1 - z’ = (1 – )y-y’, phương trình trở thành z’ + (1 – )p(x)z = (1 – )q(x) phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) biết phương pháp giải y + ( x + 1)3 y = Ví dụ 4.13 Giải phương trình vi phân y'+ x +1 −1 y + ( x + 1)3 = Nếu y 0, chia hai vế phương trình cho y2 ta y −2 y'+ x +1 z = ( x + 1)3 phương trình vi phân Đặt z = y-1 z’ = -y-2y’, phương trình trở thành z'− x +1 tuyến tính (cấp 1) biến z dz 2dx z=0 = Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng z'− , x +1 dx x + ln z = ln x + + ln C với số C 0, hay z = C(x + 1)2 Bây coi C = C(x) z = C(x)(x + 1)2 thay vào phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) dC( x ) ( x + 1) K z = ( x + 1)3 ta = x + C( x ) = + với K số không z'− x +1 dx 2 189 ( x + 1) K ( x + 1) + K ( x + 1) 2 + ( x + 1) = y= tùy ý Do ta có z = với K 2 ( x + 1) + K ( x + 1) số tùy ý Ngoài ra, ta thấy y = nghiệm phương trình vi phân ban đầu, nghiệm không suy từ nghiệm tổng quát vừa tìm trên, nên y = nghiệm kỳ dị Chú ý Khi tìm nghiệm phương trình Bernoulli, khơng cần biến đổi dạng phương trình vi phân tuyến tính mà áp dụng phương pháp Bernoulli phương pháp Lagrange y Ví dụ 4.14 Giải phương trình vi phân y'+ = x y x y Phương trình y'+ = x y phương trình Bernoulli với = Ta tìm nghiệm x phương pháp Lagrange, cụ thể là: Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng y C y'+ = có nghiệm tổng quát y = với số C tùy ý x x C( x ) C' ( x ) C( x ) y' = − thay vào phương trình vi phân tuyến tính Khi coi C = C(x) y = x x x C' ( x ) C( x ) C( x ) C' ( x ) C( x ) C( x ) − + = x2 = x x x x x2 x dC( x ) dx dC( x ) dx = = − ln K − = ln x − ln K với số K 0, suy 4 x C( x ) x C( x ) 3C( x ) C( x ) = 3 ln K / x 4 (cấp 1) khơng ban đầu, ta Do đó, nghiệm tổng quát cần tìm y = C( x ) = x x 3 ln K x 4.2.2.4 Phương trình vi phân tồn phần Phương trình vi phân tồn phần (cấp 1) phương trình vi phân có dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, P(x,y), Q(x,y) hàm số liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng P( x, y) Q( x, y) = miền đơn liên D thỏa mãn điều kiện y x Theo định lý Chương biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy vi phân toàn phần (cấp 1) hàm số u(x,y) xác định miền D Do phương trình P(x,y)dx + Q(x,y)dy = trở thành du(x,y) = u(x,y) = C với C số tùy ý Để tìm hàm số u(x,y) ta thực hai cách Cách Sử x y x0 y0 dụng công thức x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt + K u ( x , y) = P( t , y)dt + Q( x , t )dt + K , x0, y0 hai số chọn tùy ý cho việc tính tốn biểu thức liên quan đơn giản nhất, K số tùy ý Cách Ta có du ( x, y) = u ( x, y) u ( x, y) u ( x, y) dx + dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P( x , y) x y x u ( x, y) = Q( x , y ) y 190 Nhận xét: Ở tập này, coi y hàm biến x, tức y = y(x) khơng đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân tuyến tính y Cịn coi x hàm biến y, tức x = x(y) đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân tuyến tính x (f) Khi x = 0.y’ – y = 02.arctan0 y = 0, đẳng thức chứng tỏ (x,y) = (0,0) nghiệm kỳ dị phương trình Khi x ≠ 0, chia hai vế phương trình xy'− y = x arctan x cho x ta p ( x ) − x y'− y = x arctan x y'+ p( x ) y = q( x ) với , nghiệm tổng quát x q( x ) x arctan x p ( x ) dx − p ( x ) dx phương trình y( x ) = q( x )e (C số tùy ý) dx + Ce 1 p ( x ) dx −ln x =e = ln x = = e dx x x sgn( x ) e = − ln x Ta có p( x )dx = − dx = − x x − p ( x ) dx ln x =e = ln x = x sgn( x ) e p ( x ) dx − p ( x ) dx y( x ) = q( x )e dx + C e = x arctan x dx + C x sgn( x ) = x sgn( x ) x arctan x − xd (arctan x ) x sgn( x ) = arctan xdx + C x sgn( x ) = + C sgn( x ) sgn( x ) x d(1 + x ) x arctan x − dx x arctan x − 2 1+ x + x + C x sgn( x ) = + C x sgn( x ) = sgn( x ) sgn( x ) ln(1 + x ) x arctan x − + C x sgn( x ) = x arctan x − x ln + x + C x nghiệm tổng quát sgn( x ) phương trình (g) Điều kiện để phương trình xác định x + ≠ x ≠ –1 2y p( x ) − y'− = ( x + 1) y'+ p( x ) y = q( x ) với x + , nghiệm tổng quát x +1 q( x ) ( x + 1)3 p ( x ) dx − p ( x ) dx phương trình y( x ) = q( x )e (C số tùy ý) dx + Ce d( x + 1) dx = −2 = −2 ln x + = − ln( x + 1) Ta có p( x )dx = − x +1 x +1 p ( x ) dx 1 = e −ln(x +1) = ln(x +1)2 = e ( x + 1) e − p ( x ) dx = e ln(x +1) = ( x + 1) e p ( x ) dx − p ( x ) dx y( x ) = q( x )e dx + C e = ( x + 1) dx + C ( x + 1) = ( x + 1) (x + 1)dx + C(x + 1) = (x + 1)d(x + 1) + C(x + 1) = C + (x + 1) 2(x + 1) 2 207 2 = C(x + 1) + Để tìm nghiệm riêng phương trình với điều kiện y(0) = , ta thay x = y = vào nghiệm tổng quát = C(0 + 1) + C = Vậy, nghiệm riêng phương trình y = (h) Chia hai vế phương trình cho + x2 > với x ta x (1 + x ) y'+ xy = y'+ y= y'+ p( x ) y = q( x ) 1+ x 1+ x2 với x p( x ) + x , q ( x ) 1+ x2 p ( x ) dx − p ( x ) dx nghiệm tổng quát phương trình y( x ) = q( x )e (C số tùy ý) dx + Ce x d(1 + x ) dx = = ln(1 + x ) = ln + x Ta có p( x )dx = 1+ x2 1+ x2 e p ( x ) dx = e ln 1+ x = + x − p ( x ) dx 1 = e −ln 1+ x = = e 1+ x2 e ln 1+ x p ( x ) dx − p ( x ) dx y( x ) = q( x )e dx + Ce = + x dx + C = 1+ x 1+ x2 ) ( dx ln x + + x + C + C = nghiệm tổng quát phương trình 2 1+ x2 1+ x 1+ x Để tìm nghiệm riêng phương trình với điều kiện y(0) = , ta thay x = y = vào nghiệm tổng quát = y= ( ln x + + x 1+ x ( ln + + + 02 ) )+ C C = Ở đây, ta dùng nguyên hàm dt t +a 2 Vậy, nghiệm riêng phương trình ) ( = ln t + t + a (a > 0) P( x, y) x + y + 4.5 (a) ( x + y + 1)dx + ( x − y + 3)dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = với Q( x, y) x − y + P( x, y) ( x + y + 1) =1 y = y P( x, y) Q( x, y) , P( x, y)dx + Q( x, y)dy = = y x Q ( x , y ) ( x − y + ) = =1 x x phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính toán xác định biểu thức liên quan y x Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = ( t + + 1)dt + ( x − t + 3)dt = 0 x y t t3 x2 y3 0 (t + 1)dt + 0 (x − t + 3)dt = + t + xt − + 3t = + x + xy − + 3y 0 Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C x y 2 208 (b) 2(3xy + 2x )dx + 3(2x y + y )dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = P( x, y) 2(3xy + 2x ) = 6xy + 4x với Q( x, y) 3(2x y + y ) = 6x y + 3y P( x, y) (6xy + 4x ) = 12xy y = P( x, y) Q( x, y) y , P( x, y)dx + Q( x, y)dy = = 2 y x Q ( x , y ) ( x y + y ) = = 12xy x x phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y x Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = (6t.0 + 4t )dt + (6x t + 3t )dt = y x y t4 t2 t3 4 t 3dt + 6x + = + 3x t + t = x + 3x y + y 3 0 0 Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C x (c) Điều kiện để phương trình xác định y x y 2 y 1 1 x ( x − y) − x dx + y − ( x − y) dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = x ( ) y2 1 ( x − y) − x y = 2xy P( x, y) = − P ( x , y ) y ( x − y) x y ( x − y) P( x, y) Q( x, y) với , = 2 y x 1 x Q( x , y) − x Q( x, y) y − ( x − y) y ( x − y) = 2xy = x x ( x − y) P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân toàn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y x 12 1 1 x2 − dt + − dt = Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = ( t − 1) t t ( x − t ) x y dt dt dt x dt d( t − 1) d( x − t ) − + − 2 (t − 1) 2 t 1 t 1 (x − t) = 2 (t − 1) − (ln t ) + (ln t )1 + x 1 (x − t) = x x x y y y x y x2 y xy − − ln x + ln + ln y − = ln + + + ln t −1 x−t1 x y−x Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C với u ( x , y) = ln Nhận xét: 209 y xy + x y−x x y x0 y0 Không phải chọn x0 = y0 = công thức u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt Ở tập (a) (b) ta chọn x0 = y0 = vì: (1) x y thỏa mãn điều điều kiện x ≠ y ≠ để phương trình xác định; (2) tính tích phân biểu thức P(x,y), Q(x,y) chọn x = y0 = việc tính tốn đơn giản chọn giá trị khác Còn tập (c) ta chọn x0 = y0 = x0 = y0 vì: (1) x y phải thỏa mãn điều kiện x ≠ 0, y ≠ x ≠ y để phương trình xác định; (2) chọn x0 = y0 = (thỏa mãn điều kiện x0 ≠ y0) việc tính tốn đơn giản hơn, chẳng hạn y0 – x0 = (ở mẫu số) lny0 = y0 = Việc chọn giá trị x0, y0 ban đầu khác làm cho biểu thức tìm u(x,y) sai khác số đấy, nhiên điều không làm thay đổi nghiệm phương trình, nghiệm phương trình loại (phương trình vi phân tồn phần) u(x,y) = C (C số tùy ý) (d) Điều kiện để phương trình xác định x + y ≠ x ≠ – y xdx + (2x + y)dy x 2x + y =0 dx + dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 2 ( x + y) ( x + y) ( x + y) x 2 x P( x, y) = ( x + y) = − 2x P ( x , y ) y ( x + y) y ( x + y) P( x, y) Q( x, y) với , = y x 2x + y Q( x, y) 2x + y Q( x, y) ( x + y) ( x + y) 2x = =− x x ( x + y) P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính toán xác định biểu thức liên quan y y x x t 2x + t dt x + (x + t ) dt + dt = + dt = Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = 2 ( t + ) ( x + t ) t ( x + t ) 1 (ln t ) x dt dt d( x + t ) d( x + t ) + x + = ln x + x + = 2 (x + t) x+t (x + t) x+t 0 0 y y y y y y x x y ln x − + (ln x + t ) = ln x − + + ln x + y − ln x = ln x + y + x+t0 x+y x+y Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C Nhận xét: Ở tập này, ta chọn x0 = y0 = 0, lý giải lựa chọn này! (e) Điều kiện để phương trình xác định x ≠ y ≠ 1 1 x y y y x x sin − cos + 1dx + cos − sin + dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = y x x x y y y y x x y y P( x, y) y sin y − x cos x + với Q( x, y) cos y − x sin x + x x y2 y y2 210 1 x y y sin − cos + 1 y x x y y y x x x P( x, y) = y = sin − cos − sin − cos y y x x x x y y y y 1 y x x cos − sin + Q( x, y) x x y y y y y y x x x = = sin − cos − sin − cos x x x x x x y y y y P( x, y) Q( x, y) , P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần = y x hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y t 1 t x x 1 1 1 Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = sin − cos + 1dt + cos − sin + dt = 1 t t x x t t t 1 1 x y 1 t x x 1 1 1 sin t − t cos t + 1dt + 1 x cos x − t sin t + t dt = x x x 1 sin tdt − y x y y 1 t x x dt cos dt + dt + cos dt − sin dt + = t t x x t t t 1 y t y 1 t t x x x x − cos t + cos d + t + cos d + sin d − = t t x x t t t1 1 x x y y t x 1 − cos x + cos1 + sin + x − + sin − cos − + = t 1 x 1 t 1 y y x − cos x + cos1 + sin − sin + x + sin − sin − cos + cos x − = x x x y y y x sin − cos + x − + cos1 − sin x y y y x Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C với u ( x, y) = sin − cos + x − x y y Nhận xét: Ở tập ta chọn x0 = y0 = 1, lý giải lựa chọn này! (f) Điều kiện để phương trình xác định y > P( x, y) 3x (1 + ln y) 3x (1 + ln y)dx − (2 y − x y )dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = với Q( x, y) x y − y P( x , y) 3x (1 + ln y) 3x = y = y y P( x , y) Q( x , y) = , y x Q( x , y) = (x y − y ) = 3x x x y P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan 211 x Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = (3 t 3) + (x x 3 ln t ) − (2 t 2) y y x x3 x3 3t (1 + ln 1) dt + − 2t dt = 3t dt + dt − 2tdt = t t 1 1 y y y = x + x ln y − y + = x (1 + ln y) − y + (y > 0) Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C với u ( x, y) = x (1 + ln y) − y Nhận xét: Ở tập này, ta chọn x0 = y0 = 1, lý giải lựa chọn này! ( ) 4.6 (a) 2xy + x y + y3 dx + (x + y2 )dy = P0 (x, y)dx + Q0 (x, y)dy = P0 ( x, y) 2xy + x y + y với 2 Q ( x, y) x + y P0 ( x, y) (2xy + x y + y 3) = = 2x + x + y y y 2 Q ( x, y) = (x + y ) = 2x x x P0 ( x, y) Q ( x, y) − = (2x + x + y ) − 2x = x + y , phương trình cho y x khơng phải phương trình vi phân tồn phần Tuy nhiên, ta thấy biểu thức P0 ( x , y) Q ( x, y) − x + y2 y x = = không phụ thuộc vào y, nên ta xác định thừa số tích Q ( x , y) x + y2 P( x, y) Q( x, y) − d ln ( x ) y x phân dạng α(x) từ phương trình = = d ln ( x ) = dx dx Q( x , y ) d ln (x) = dx + C ln (x) = x + C (x) = e x+C (C số tùy ý) Để đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân tồn phần, ta nhân hai vế phương trình vi phân cho với thừa số tích phân α(x) = ex (ứng với C = 0) ( ) 2xy + x y + y 3 e x dx + ( x + y )e x dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = x P( x, y) (2xy + x y + y 3)e với 2 x Q( x, y) ( x + y )e P( x, y) (2xy + x y + y 3)e x = ( x + x + y )e x y = P( x, y) Q( x, y) y , = 2 x y x Q ( x , y ) ( x + y ) e = = 2xe x + ( x + y )e x = (2x + x + y )e x x x P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan x ( ) y y 0 Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = 2t.0 + t + 03 e t dt + ( x + t )e x dt = + e x ( x + t )dt = ( =e x t+t x ) = (x y 0 ) y+y 3e x Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C 212 Nhận xét: Ở tập ta chọn x0 = y0 = 0, lý giải lựa chọn này! (b) Khi y = 0.(1 + x.0)dx – x.0 = = 0, đẳng thức chứng tỏ y = nghiệm kỳ dị phương trình với x P0 ( x, y) y(1 + xy ) Khi y ≠ y(1 + xy)dx − xdy = P0 ( x, y)dx + Q ( x, y)dy = với Q ( x, y) − x P0 ( x, y) y(1 + xy ) = = + 2xy y P ( x, y) Q ( x, y) y − = 2(1 + xy ) , phương trình y x Q ( x, y) = (− x ) = −1 x x cho khơng phải phương trình vi phân tồn phần Tuy nhiên, ta thấy biểu thức P0 ( x , y) Q ( x , y) − 2(1 + xy ) y x = = − phụ thuộc vào y, nên ta xác định thừa số tích − P0 ( x , y) − y(1 + xy ) y phân dạng α(y) từ phương trình P0 ( x, y) Q ( x , y) − d ln ( y) 2 dy y x = = − d ln ( y) = − dy d ln ( y) + =C dy − P0 ( x , y) y y y ln ( y) + ln y = C ln ( y) + ln y = C ln y ( y) = C y 2( y) = e C ( y) = e C y (C số tùy ý) Để đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân toàn phần, ta nhân hai vế phương trình vi phân cho với thừa số tích phân ( y) = y (ứng với C = 0) y(1 + xy ) x 1 x dx − dy = x + dx − dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = y y y y P( x, y) (x + y ) = =− y y P ( x , y ) x + y P( x, y) Q( x, y) y với , = 2 y x Q( x, y) − x y Q( x, y) = − x y = − x x y2 P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) ( x y x0 y0 ) u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y y x x dt 1 x Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = t + dt + − dt = ( t + 1)dt − x = 1 t t 0 1 x t2 x x2 x + t + x = + x + − x = x + t1 y 2 2 0 Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C y 1 y Nhận xét: Ở tập này, ta chọn x0 = y0 = 1, lý giải lựa chọn này! (c) Khi y = (x2.02 + 0)dx + (02 – x).0 = = 0, đẳng thức chứng tỏ y = nghiệm kỳ dị phương trình với x Khi y ≠ (x y + y)dx + ( y2 − x)dy = P0 (x, y)dx + Q0 (x, y)dy = 213 với P0 ( x, y) ( x y + y) = = 2x y + y P0 ( x, y) x y + y P0 ( x, y) Q ( x, y) y − = 2( x y + 1) 2 y x Q ( x, y) y − x Q ( x, y) = ( y − x ) = −1 x x phương trình cho khơng phải phương trình vi phân tồn phần Tuy nhiên, ta thấy P0 ( x , y) Q ( x , y) − 2( x y + 1) 2( x y + 1) y x = =− = − phụ thuộc vào y, nên ta biểu thức 2 − P0 ( x , y) − ( x y + y) y( x y + 1) y xác định thừa số tích phân dạng α(y) từ phương trình P0 ( x, y) Q ( x , y) − d ln ( y) 2 dy y x = = − d ln ( y) = − dy d ln ( y) + =C dy − P0 ( x , y) y y y ln ( y) + ln y = C ln ( y) + ln y = C ln y ( y) = C y ( y) = e C ( y) = e C y (C số tùy ý) Để đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân toàn phần, ta nhân hai vế phương trình vi phân cho với thừa số tích phân ( y) = y (ứng với C = 0) x y2 + y y2 − x 1 x dx + dy = x + dx + 1 − dy = P( x, y)dx + Q( x , y)dy = 2 y y y y P( x, y) x + y với Q( x, y) − x y P( x , y) x + y =− y = y y P( x , y) Q( x , y) = , phương trình y x Q( x , y) = − x y = − x x y2 P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) ( ) ( ) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y y y x x x dt 1 Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = t + dt + 1 − dt = ( t + 1)dt + dt − x = 1 t t 0 1 1 x t3 x x3 x x3 x y + t + t + = + x + y −1+ − x = + + y − t1 y y 3 0 y x3 x Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C với u ( x, y) = + +y y Nhận xét: Ở tập này, ta chọn x0 = y0 = 1, lý giải lựa chọn này! (d) Khi x = (02 – y).0 + (02.y + 0)dy = = 0, đẳng thức chứng tỏ x = nghiệm kỳ dị phương trình với y Khi x ≠ (x − y)dx + (x y2 + x)dy = P0 (x, y)dx + Q0 (x, y)dy = P0 ( x, y) x − y với 2 Q ( x, y) x y + x 214 P0 ( x, y) ( x − y) = = −1 y P ( x, y) Q ( x, y) y phương − = −2( xy + 1) , 2 y x Q ( x, y) = ( x y + x ) = 2xy + x x trình vi phân cho khơng phải phương trình vi phân tồn phần Tuy nhiên, ta thấy P0 ( x , y) Q ( x , y) − 2( x y + 1) − 2( xy + 1) y x = 2 = = − phụ thuộc vào x, nên ta xác biểu thức Q ( x , y) x y +x x ( xy + 1) x định thừa số tích phân dạng α(x) từ phương trình P0 ( x, y) Q ( x, y) − d ln ( x ) 2 dx y x = = − d ln ( x ) = − dx d ln ( x ) + 2 =C dy Q ( x , y) x x x ln (x) + ln x = C ln (x) + ln x = C ln x ( x) = C x ( x) = e C (x) = e C x Để đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân tồn phần, ta nhân hai vế phương trình vi phân cho với thừa số tích phân ( x ) = x (ứng với C = 0) x2 − y x y2 + x y 1 dx + dy = 1 − dx + y + dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 2 x x x x P( x, y) (1 − y x ) = =− 2 P( x, y) Q( x, y) y x P( x, y) − y x y với , = 2 y x Q ( x , y ) = y + x ( ) Q ( x , y ) y + x = =− x x x P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y y y x x 0 1 Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = 1 − dt + t + dt = dt + t dt + dt = t x x0 1 0 t3 t1 + y y + x t y3 y = + + x − x0 x y3 y + +x Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C với u ( x, y) = x Nhận xét: Ở tập này, ta chọn x0 = y0 = 0, lý giải lựa chọn này! (e) Khi y = (2x.02 – 3.03)dx + (7 – 3x.02).0 = = 0, đẳng thức chứng tỏ y = nghiệm kỳ dị phương trình với x Khi y ≠ (2xy − 3y3 )dx + (7 − 3xy )dy = P0 (x, y)dx + Q0 (x, y)dy = P0 ( x, y) 2xy − 3y với Q ( x, y) − 3xy P0 ( x, y) (2xy − 3y ) = = 4xy − y y P ( x, y) Q ( x, y) y − = y(2x − 3y) , phương y x Q ( x, y) = (7 − 3xy ) = −3y x x trình vi phân cho khơng phải phương trình vi phân toàn phần Tuy nhiên, ta thấy 215 P0 ( x , y) Q ( x , y) − y( x − 3y) y( x − y) y x = =− = − phụ thuộc vào y, nên ta biểu thức − P0 ( x , y) − (2 xy − 3y ) y ( x − 3y) y xác định thừa số tích phân dạng α(y) từ phương trình P0 ( x, y) Q ( x , y) − d ln ( y) 2 dy y x = = − d ln ( y) = − dy d ln ( y) + =C dy − P0 ( x , y) y y y ln ( y) + ln y = C ln ( y) + ln y = C ln y ( y) = C y ( y) = e C ( y) = e C y (C số tùy ý) Để đưa phương trình vi phân cho dạng phương trình vi phân tồn phần, ta nhân hai vế phương trình vi phân cho với thừa số tích phân ( y) = y (ứng với C = 0) 2xy − 3y − 3xy dx + dy = (2x − 3y )dx + − 3x dy = P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 2 y y y P( x, y) (2x − 3y) = −3 y = P ( x , y ) x − y y P( x, y) Q( x, y) với , = 2 y x Q( x , y) y − 3x Q( x, y) = (7 y − 3x ) = −3 x x P( x, y)dx + Q( x, y)dy = phương trình vi phân tồn phần hàm số u(x,y) x y x0 y0 u ( x , y) = P( t , y )dt + Q( x , t )dt , x0 y0 hai số chọn cho dễ tính tốn xác định biểu thức liên quan y 7 Chọn x0 = y0 = u ( x, y) = (2t − 3.1)dt + x y y y y dt − 3x dt = (2t − 3)dt + − 3x dt = t t 1 1 x x ( t − 3t ) − y − 3xt = x − 3x − y + − 3xy + 3x = x − 3xy − y + 2 Nghiệm tổng quát cần tìm u(x,y) = C với u ( x, y) = x − 3xy − y Nhận xét: Ở tập này, ta chọn x0 = y0 = 1, lý giải lựa chọn này! 4.7 (a) y’ + y = 2y2 phương trình Bernoulii với p0(x) = 1, q0(x) = = + y = với x, nghiệm kỳ dị phương trình y= z + y ≠ 0: Đổi biến z = y1− = y1−2 = y z' = − 12 y' y' = − y z' y y'+ y = y − y z'+ y = y − y z' y 2y + = z'− = −2 z'−z = −2 2 −y −y −y y p( x ) = −1 z'−z = −2 z'+ p( x )z = q( x ) phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Đặt q( x ) = −2 p ( x ) dx − p ( x ) dx nghiệm tổng quát phương trình z = q( x )e (C số tùy ý) dx + Ce p ( x ) dx = e −x = x e e Ta có p( x )dx = (−1)dx = − dx = − x − p ( x ) dx = e −( − x ) = e x e 216 p ( x ) dx − p ( x ) dx z( x ) = q ( x )e dx + C e = (−2) x dx + C e x = e − x d (− x ) + C e x = e −x x x 2e + C e = + Ce 1 Trở biến cũ, ta y = = nghiệm tổng quát phương trình z + Ce x (b) y’ + xy = x3y3 phương trình Bernoulii với p0(x) = x, q0(x) = x3 = ( ) + y = với x, nghiệm kỳ dị phương trình y = z 1− 1−3 + y ≠ 0: Đổi biến z = y = y = y z ' = − y ' y ' = − y z ' y3 y3 z' y xy 2x y 2x y'+ xy = x y − z'+ xy = x y + = z'− = −2 x 3 y y y y − − − 2 z'−2xz = −2x p( x ) = −2x z'−2xz = −2x z'+ p( x )z = q( x ) phương trình vi phân tuyến tính cấp Đặt q ( x ) = − x p ( x ) dx − p ( x ) dx 1, nghiệm tổng quát phương trình z = q( x )e (C số tùy dx + Ce ý) p ( x ) dx −x 2 e = e = x2 x e = −x Ta có p( x )dx = (−2x )dx = −2 xdx = −2 2 − p ( x ) dx = e −( − x ) = e x e 2 p ( x ) dx − p ( x ) dx z = q( x )e dx + C e = (−2x ) x dx + C e x = − 2 x 3e −x dx + C e x = e − − (−x )e −x2 d(− x ) + C e x * Tính tích phân − (− x )e − x d(− x ) : Đổi biến t = − x − (− x )e − x d(− x ) = − te t dt = 2 − td(e t ) = − te t + e t dt = − te t + e t = (− t + 1)e t = ( x + 1)e − x z = (x + 1)e − x + C e x = x + + Ce x 1 Trở biến cũ, ta y = = nghiệm tổng quát phương trình x2 z Ce + x + (c) xy’ + y = y2lnx 2 Điều kiện để phương trình xác định x > 0, chia hai vế phương trình cho x ta ln x ln x y phương trình Bernoulii với p ( x ) = , q ( x ) = xy '+ y = y ln x y'+ y = x x x x = + y = với x, nghiệm phương trình y= z + y ≠ 0: Đổi biến z = y1− = y1−2 = y z' = − 12 y' y' = − y z' y 217 ln x y y ln x ln x − y z' x 11 ln x x y'+ y = y − y z'+ y = y + = z'− =− 2 x x x x −y −y −y xy x ln x z'− z = − x x p( x ) = − x ln x z'− z = − z'+ p( x )z = q ( x ) phương trình vi phân tuyến tính cấp Đặt x x q ( x ) = − ln x x p ( x ) dx − p ( x ) dx 1, nghiệm tổng quát phương trình z = q( x )e (C số tùy dx + Ce ý) 1 p ( x ) dx = e −ln x = ln x = dx e 1 e x = − ln x = − ln x x > Ta có p( x )dx = − dx = − x x − p ( x ) dx = e −( − ln x ) = e ln x = x e p ( x ) dx − p ( x ) dx ln x ln x z = q ( x )e dx + C e = − dx + C x = − dx + C x x x x x = t ln x 1 * Tính tích phân − dx : Đổi biến t = ln x = ln = ln t −1 = − ln t x x t dx = − dt t ln x − ln t − dx = − − dt = − ln tdt = − t ln t + td(ln t ) = − t ln t + t (ln t )' dt = t2 x t2 1 1 1 + ln x − t ln t + t dt = − t ln t + dt = − t ln t + t = t (1 − ln t ) = 1 − ln = (1 − ln x −1 ) = t x x x x ln x + ln x z = − dx + C x = + C x = + Cx + ln x x x 1 Trở biến cũ, ta y = = nghiệm tổng quát phương trình z + Cx + ln x 4y =x y (d) y'− x 4y = x y y'− y = xy Điều kiện để phương trình xác định x ≠ y ≥ 0, y'− x x phương trình Bernoulii với p ( x ) = − , q ( x ) = x = x + y = với x, nghiệm phương trình y =z 1 1− + y ≠ 0: Đổi biến z = y1− = y = y = y z' = y' = y' = y z' y 2y 2 218 4y y z' x y 4y 4y y'− = x y y z'− =x y − x = x x y y y x x z'− y = z'− z = x x 2 p( x ) = − x x z'− z = z'+ p( x )z = q ( x ) phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Đặt x q ( x ) = x p ( x ) dx − p ( x ) dx nghiệm tổng quát phương trình z = q( x )e (C số tùy ý) dx + Ce dx 2 = −2 ln x = − ln x = − ln x Ta có p( x )dx = − dx = −2 x x 1 p ( x ) dx = e −ln x = ln x = e x e 2 − p ( x ) dx = e −( − ln x ) = e ln x = x e p ( x ) dx − p ( x ) dx x dx z = q ( x )e dx + C e = dx + C x = + C x = x 2 x 1 2 ln x + C x = ln x + C x 2 1 Trở biến cũ, ta y = = nghiệm tổng quát y= 2 z ln x + C x ln x + C x ( ) ( ) ( ) phương trình y = 5x y (e) y'− 2x Điều kiện để phương trình xác định x ≠ 0, y'− y = 5x y y'− y = 5x y 2x 2x , q( x ) = 5x = 2x + y = với x, nghiệm phương trình y = z 1− 1−5 −4 + y ≠ 0: Đổi biến z = y = y = y = y z ' = − y ' y ' = − y z ' y5 phương trình Bernoulii với p( x ) = − y5 y z' y y y 5x y y'− = 5x y − z'− = 5x y − x5 = z'+ z = −20x y y y 2x 2x x − − − 4 p( x ) = Đặt z'+ z = −20x z'+ p( x )z = q( x ) phương trình vi phân tuyến tính x x q( x ) = −20x − p ( x ) dx − p ( x ) dx cấp 1, nghiệm tổng qt phương trình z = q( x )e (C số dx + Ce tùy ý) 219 e p ( x ) dx = e ln x = x 2 dx = ln x = ln x = ln x − p ( x ) dx Ta có p( x )dx = dx = 2 1 x x = e −ln x = ln x = e x e p ( x ) dx − p ( x ) dx z = q( x )e dx + Ce = − 20x x dx + C = x 1 x5 C C − 4x − 20 x dx + C = − 20 + C = − 4x = x x x2 x ( Trở biến cũ, ta y = (f) y'+ ) x2 nghiệm tổng quát phương trình = z C − 4x y = 2x y x Điều kiện để phương trình xác định x ≠ 0, y'+ y = x y y'+ y = x y x x , q( x ) = 2x = x + y = với x, nghiệm phương trình y = z 1− 1− −3 + y ≠ 0: Đổi biến z = y = y = y = y z' = − y' y' = − y z' y4 phương trình Bernoulii với p( x ) = y4 y z' y y y 2x y y'+ = x y − z'+ = x y + x = z'− = −6 x y y y x x x y − − − 3 3 z'− z = −6x x p( x ) = − Đặt x z'− z = −6x z'+ p( x )z = q( x ) phương trình vi phân tuyến tính cấp x q( x ) = −6x − p ( x ) dx − p ( x ) dx 1, nghiệm tổng qt phương trình z = q( x )e (C số tùy dx + Ce ý) 1 p ( x ) dx −ln x e =e = = ln x dx 3 x e = −3 ln x = − ln x Ta có p( x )dx = − dx = −3 x x 3 − p ( x ) dx −( − ln x ) ln x =e =e = x e p ( x ) dx e = x sgn( x ) x = x x = x x sgn( x ) = x sgn( x ) − p ( x ) dx = x sgn( x ) e p ( x ) dx − p ( x ) dx z = q ( x )e dx + C e = − 6x dx + C x sgn( x ) = x sgn( x ) 6x − sgn( x ) dx + C x sgn( x ) = − sgn( x ) + C x sgn( x ) = −6x + C x ( ) 220 Trở biến cũ, ta y = 1 nghiệm tổng quát phương trình = z C x − 6x x (g) y'+ y = e y Điều kiện để phương trình xác định y ≥ 0, y'+ y = e x x 2 y y'+ y = e y phương x + y = với x, nghiệm phương trình trình Bernoulii với p0(x) = 1, q ( x ) = e = 1− + y ≠ 0: Đổi biến z = y1− = y y'+ y = e p ( x ) = Đặt q ( x ) = x 2 y y z'+ y = e y =z = y = y z ' = y ' = y ' = y z ' y 2y 2 x y y z' y + y y = e x y y z'+ x x y e e = z'+ z = 2 2 x e z'+ z = z'+ p( x )z = q ( x ) phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, 2 e p ( x ) dx − p ( x ) dx nghiệm tổng quát phương trình z = q( x )e với C số tùy ý dx + Ce x p ( x ) dx = e2 1 x e Ta có p( x )dx = dx = dx = x 2 e − p ( x ) dx = e − x x x −x p ( x ) dx − p ( x ) dx − z = q( x )e dx + C e = e e dx + C e = e x dx + C e = 2 x e + C e x − x = x e C + x e2 Trở biến cũ, ta y= = z x y= e C + x e2 trình 221 e C + x e2 x 2 nghiệm tổng quát phương ... quát phương trình x + = C với C x số tùy ý 4.3 Giới thiệu phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân Như biết, phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = gọi phương trình vi phân cấp... Phương trình vi phân có biến số phân ly Phương trình vi phân F(x,y,y’) = cấp gọi phương trình vi phân có biến số phân ly biến đổi dạng g(x)dx = h(y)dy 182 Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế phương. .. gọi hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp Nếu vế phải hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp hàm số tuyến tính y1, y2, …, yn đó, hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp gọi hệ phương trình vi phân