Giáo trình Hình học giải tích (Giáo trình dùng cho các trường Cao đẳng Sư phạm): Phần 2 cung cấp các kiến thức về đường bậc hai và mặt bậc hai như: Đường bậc hai trong mặt phẳng, mặt bậc hai trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1
Chương II!
ĐƯỜNG.BẬC HAI - MẬT BÁC HAI
“Trong chương này, đường bậc hai và mặt bậc hai được nghiên cứu một cách hệ thống với phương trình tổng quát trong hệ toa do afin va hé toa do true chuẩn
Một số khái niệm được dé cập lần đầu, chưa có trong chương trình THỨ như: phương trình của đường trong toạ độ cực, hay phương trình của mật toạ độ trụ, toa độ cầu; khái niệm về tâm, phương tiệm cận, dường tiệm cận, tiếp tuyến, dường kính, mật kính liên hợp với một phương của đường bậc hai hoặc của mật bậc haị
Phân loại alïn và phân loại ơclit của dường bậc hai và của mặt bậc hai được trình bày kỹ, tuy chưa để cập đến các phép biến hình
Nhiều kiến thức mới của chương này dòi hỏi sinh viên nắm vững và biết vận
dụng vào các môn học khác, dặc biệt đối với các sinh viên học chương trình hai mơn
Tốn - Ly hay Todn—Tin cần chú trọng vận dụng trong học tập môn giải tích hơn là đi sâu vào các chứng minh hay các vấn để mang tính lý thuyết
§1 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG 1 Phương trình đường bậc hai trong hệ toạ độ afin
1.1 Đường bậc hai
Các dường clíp, hypebol, parabol đã biết trong chương trình THPT có phương trình là các phương trình bậc haị Ngược lại, cho phương trình bậc hai (đối với x và
y) dạng tổng quất:
Ax? 4 2Bxy + Cy’ + 2Dx + 2By +P = 0,
các hệ số A, B, C không đồng thời bang 0, ta xết xem đó là phương trình của những
đường nàọ
Trang 2Định nghĩa, Trong mặt phẳng với hệ mục tiêu afin Oxy, tập hợp (S) các điểm mà tọa độ của chúng thoả mãn phương trình bậc hai:
f(x, y) = Ax’+ 2Bxy + Cy’+2Dx + 2hy + =0,
với A, B, C Không đồng thời bằng O, được gọi là một dường bậc haị
Ta cũng nói: dường bậc hai (S) có phương trình f(x, y) = 0
Ví dụĐường bậc hai có phương trình x?+ ỷ + | = 0 là tập rỗng Đường bậc hai có
phương trình: xy = 0 gồm hai đường thẳng x =0 và y=0
Các đường clíp, ypebol và parabol dã biết ở phổ thông là những đường bậc haị Hai dường bậc hai chỉ xem là trùng nhau nếu các phương trình của chúng (trong cùng một hệ mục tiêu alin) có hệ số tương ứng tỉ lệ Ví dụ đường bậc hai (S) có phương trình x” + yˆ = 0 và đường bậc hai (S') có phương trình 2x? + ỷ = 0 déu gầm chỉ một điểm duy nhất là O(0; 0), nhưng chúng xem là khác nhau vì các hệ số tương ứng không tỉ lệ Nếu chúng ta xét trong mặt phẳng phức thì phương trình (S) có thể viết (x — iy)(x + iy) =0, đo đó (S) là tập hợp gồm hai đường thẳng x — iy =0
va x +iy = 0; trong lúc đó Ÿ là tập hợp gồm hai đường thẳng (ảo) có phương trình
v2x~iy=0và V2 x +iy =0 (ở dây ¡ là đơn vido: ? =)
1.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai
Giả sử đối với mục tiêu alin Oxy, cho dường bậc hai (S) có phương trình:
Ax'+2Bxy +Cy)+2Dx+2by+E=0, @)
trong đó À, B, C không đồng thời bằng 0 Ta tìm một mục tiêu afin mới sao cho đối
với nó phương trình của (%) được đơn giản hơn
Trude het ta chimg minh rằng có thể chọn mục tiêu mới sao cho phương trình
của (5) không có số hạng chữ nhật xỵ
Trường hợp 1 Mot trong hai số A và C khác 0, chang han A # 0, thi:
B Boy B
Ax’ + 2Bxy y= AC = Ăx’+2—xy) = Ăx A y= AC + —y) A3) — ey, A»
Trang 3Bởi vậy, đổi mục tiêu Qxy thành Óx'ý theo công thie: xX =x + Fy, y=y, + thi đối với mục tiêu Óx'ý, phương trình của S sé không có số hạng X'y”
Trường hợp 2 Cả hai số A và C đều bằng 0 Khi đó B z 0 Phương trình (1) trở nên: 2Bxy + 2Dx + 2Ey +F = 0
Qua phép đổi mục tiêu Oxy thành mục tiêu Óx' yo x = xo ty, y=x’ oy’ phương trình đó trở thành: IBx” — WBy”? + 2D(x" + y’) + 2G’ - ý) + F = 0 trong he toa do Óx'y’, phuong trình này không chứa số hạng chữ nhật x'y"
Vậy ta luôn luôn có thể chọn mục tiêu Oxy nào đó sao cho phương trình của (S) không chứa số hạng chữ nhật xỵ Do do, giả sử phương trình của (S) có dạng: Axi+Cy2+2Dx+2Ry+F=0 @) Ta xét các trường hợp sau đáy: a/ Á #0 và C# 0: (2) có thể viết dưới dạng: ) 3 ACX + 2224) + C222 y) +F=0 A Cc D DE hay: AQ + —)+Cly + ny 4-2-2 =0 ỷ A ty A CƠ Phép đổi mục tidu Oxy thinh O’x'y! vai: Ũ D X'=x+— A 1 E ¥ = / + —
dưa phương trình của (5) thành dạng: Ax"? + Cỷ =IL @®)
— Néu H¥ 0, ta chia ca hai vé cua (3) cho H: “x” + ¬ 1
Dùng phép đổi mục tiêu: X = x,Y= ,Í|—|ý ta đưa phương trình của
Trang 4(8) về một trong các dạng sau:
N+ Y= (D
X '+Y”=-l dp
X?-Ỷ= lhoặc -X°+Ỷ=l (ID Đường bậc hai (5) có phương trình () gọi là đường clip Đường bậc hai (S) có phương trình (D gọi là đường clip áọ Đường bậc hai (S) có phương trình (HT) gọi là đường hypebol
— Nếu II =0 và A, C khác đấu (có thể xem A > 0 và C < 0) Đổi mục tiêu Óx'ý thành QXY với N= VAx',Ÿ= V-Cý Trong hé muc tidu ÓXY phuong trình của (S) có dạng:
X -Ỷ=0 (IV)
Vậy đường bậc hai (S) ld cấp hai đường thdng cdt nhau X + Y =OvaX-Y =0
— Nếu II = 0 và AÀ, C cùng đấu (dương chẳng hạn) Đổi mục tiêu Óx’y! thành
OXY:X= VAN", Y= VCýta dua phuong trinh ctia (S) vé dang:
X'+V?=0 (V)
Vậy, dường bậc hai (S) là cặp đường thẳng đo cắt nhau tạt điểm thực (0, 0) Tuy nhiên, nếu xem mật phẳng có chứa những điểm có tọa độ phức thì có thể nói (S) gồm hai đường thẳng do liên hợp có phương trình: X +ïY = 0 và X —íY =0
bí Một trong hai so A va C bang 0, giả sử C =0, A #0,
Trang 5Xét phương trình này: ~ Nếu Iš #0, ta có thé gid str A > 0 (vi néu A < Ota đổi dấu vế trái) : : , : H › 5 Dùng phép đổi mục tiêu: X = VAx's Y=Ry+ FZ ta dựa phương trình (S) về dang: X'+2Y=0 (VD
Đường bậc hai (S) là đường parabol
~ Nếu lš= 0 và II 0: chia cả hai vế của (4) cho H và dùng phép đổi mục tiêu: Yey ta đưa phương trình (4) của (S) về một trong các dạng: Xĩ1=0 (VID X '+1=0 (VID)
(3) có phương trình (VID là cấp đường thẳng song song: X = I và X=~] (3) có phương trình (VHD là cấp đường thẳng đo song song: Ä = Ì Và X = —Ị ~ Nếu F‡ = II = 0: đưa phương trình về dạng:
X =0 (IX)
(S) 66 phuong trinh (IX) la cép diong thẳng trùng nhaụ
Dang phuong trình chính tác của dường bác hai,
Tóm lại, bằng cách chọn một mục tiêu afin thích hợp ta có thể dựa phương trình của đường bậc hai về một trong 9 đạng phương trình trên, gọi là các dạng phương trình chính tắc của đường bậc haị lĨơn nữa có thể chứng mính được rằng mỗi đường bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc:
() x*+y°= 1 (dường elp)
Trang 6(HH) x?~ y”= 1 (đường hepebol)
(IV) x°+y”= 0 (cập đường thắng ảo cắt nhau)
(V) x”~y°=0 (cập đường thẳng cắt nhau)
(VD_ x”~ 2y =0 (đường parabol) (VI) x = 1 (cập đường thẳng song song) (VIID x? = -1 (cặp dường thẳng ảo song song) (IX) x?=0 (cap dudng thang tring nhau)
1.3 Giao của đường bậc hai và đường thẳng
Trong mật phẳng với mục tiêu aflin Oxy, cho đường bậc hai (S) có phương trình:
Í&, y)= Ax?+ 2Bxy + Cỷ + 2Dx + 2Ey +F =0, voi Ả +B’ + Œz0 () và cho đường thẳng (d) c6 phuong trinh tham s6: x =X) Fal, y= Yotbl (2)
Giao điểm của (S) và (đ) là điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của hệ gồm
phương trình (1) và các phương trình tham số (2) Thay các phương trình của (2) vào (1) ta được :
Ă + a0” + 20, + a0, + bD) + CÓ, + bÙ” + 212, + a0) + 250 + bt) + P= 0,
hay PU +2QƯR=0 @)
Trong đó: P = Aa’+ 2Bab + Cb’
Q = ăA x, + Byy +D) + b(Bx, 4Cy, +E) (*)
R = AX,’ + 2Bxoyy +Cyỷ + 2Dx, + 2y, + 1
Giải phương trình (3) đối với t, rồi thay vào (2) ta được tọa độ các giao điểm,
Bởi vậy: ,
~ Nếu P # Ú: Phương trình (3) có thể có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm trùng nhau, hoặc vô nghiệm (còn nói là có hai nghiệm phức liên hợp) tuỳ theo đấu của
A’= Q’- PR Nhu vay dutng thẳng (đ) có thể cất (S) tại hai điểm phân biệt, tại hai
điểm trùng nhau hoặc không cát (5) (còn nói là d cất (%) tại 2 điểm ảo liên hợp) ứng
Trang 7với trường hợp phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt, hoặc trùng nhau, hoặc vô nghiệm (tức là chỉ có nghiệm phức)
— Néu P = 0:
Néu Q # 0 thi phuong trình (3) có nghiệm duy nhất: (d) cất (S) tai một điểm duy nhất
Nếu Q =0, R z0 thì (3) vô nghiệm: đường thẳng (d) khong cat (S) Néu Q = R = Othi (3) có vô số nghiệm: đường thang (d) nam trén (S) Chú ý Có thể viết Œ*) cho gọn như sau:
R= Ax,?+ 2Bx,y, + Cy,” + 2Dx, + 2Eyo + F = to, Yo ) Neoai ra viz (((x, y) = 2(Ax + By + D), f(x, y) = 2(Cy + Bx + §), nén:
2Q= ao, Yo) t BL (Xp, Yo)-
(ky higu: (0%, yo) IA dao ham tai (Xo; Yo) theo biến x khi coi y là hàng số; cồn 1%, Yo) 1 dao ham tại @„; Yu) theo biến y khi coi x 1 hang sd)
1.4 Tâm của đường bậc hai
Định nghĩạ Điểm T được gọi là tâm của dường bậc hai (S) nếu đối với một mục
tiêu afin mà I là gốc, phương trình (S) có dang: Ax’ + 2Bxy + Cy’ + =0
'Từ dó suy ra nếu M(%; y) nằm trên (5) thì điểm Mf(—x; ~y) cũng nằm trên (®), như vậy thì tâm I cua dường bậc hai (S) chính là tâm đối xứng của nó
Một dường bậc hai gọi là đường bậc hai có tâm nếu nó có duy nhất một tâm Ví dụ Đối với đường bậc hai có dạng chính tắc thì theo định nghĩa ta có ngay: clÍp, clip ảo, hypebol, cập đường thẳng cất nhau (ảo hoặc thực) là những đường nhận gốc toa độ O(0; 0) lầm tâm (tâm đó là duy nhấụ
Cách tìm tạm của dường bác laị
Giá sử đối với một mục tiêu an (O,; i; J) nào đó, đường bậc hai (S) cé phương trình:
Trang 8f(x, y) = Ax?+ 2Bxy +Cỷ+21x + 2lšy+Ƒ=0, với A”+B?+C!#+0 ()
Với điểm Ï(x„; y„) ta xét mục tiêu mới (; i; Ds tức là dùng phép tịnh tiến mục tiêu:
X=x'+xX, ysý+y, Trong mục tiêu mới phương trình của (S) là :
Ắ + xu}? +2B(X' + Xu)(y! + Vụ) + CỚ + và)” + 2DÓGU + x;) + 2BÓy + yu) + F = 0
Điểm T là tâm của (S) khi và chỉ trong phương trình trên hệ số của x” và ý bằng 0, tức là:
Ax, + By, + C= 0 và Bx,+ Cya + D = 0 Như vậy toa độ tâm của (S) là nghiệm của hệ phương trình:
Ax+By+D=0 x, y)=O
Bx +Cy+H=0 I(x, y) =0
Điền kiện đẻ dường bạc hai có tám
Tam I của (S) tổn tại khí và chỉ khi hệ phương trình bậc nhất nói trên có nghiệm
AT are Th nat Ties Re Dat ak
Néu 5 # e thì hệ có nghiệm duy nhất: (S) là một đường bậc hai có tâm A BD < x : 3 = Cr thì hệ có vô số nghiệm: dường (S) có vô số tâm nam trên một dường thẳng Nếu « ’' BODỌ và ` NA tua
Nếu a e # 1 thì hệ vô nghiệm: đường (S) không có tâm
Ví dụ Nếu xét các đường bậc hai dưới dạng chính tắc thì: clíp; elíp ảo, hypebol, cập
dường tháng cát nhau là đường bậc hai có tâm Cập dường thẳng song song hoặc
trùng nhau là đường bậc hai có vô số tâm Đường parabol là đường bậc hai không
có tâm
1.5 Tiếp tuyến của đường bậc hai
Định nghĩạ Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (S) nếu hoặc nó cất (S) tại hai điểm trùng nhau, hoặc (d) năm trên (S) Khi dó điểm chung của (d) và (Š) gọi là
Trang 9tiếp diểm
Phương trinh tiep tuyen
Trong mặt phẳng với mục tiêu afin Oxy, cho đường bậc hai (S) có phương trình: `
{(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Cỷ + 2Dx + 2Ey + F=0, voi A°+ B+ C40 (1)
Cho M,,(x,3 yn) thuộc (S) Đường thẳng d qua Mụ với vecto chỉ phương 0(a;b) # 0, 6 phuong trinh tham s6 x = X)+ at, y = y,+ bt tigp xtc voi (S) tai M,
“Trở lại phương trình PỬ + 2Q1+R=0 (3) dé tim giao điểm của (đ) và (S) Vì M, nằm trên (S) nên l =0 Vậy: PỬ + 2Qt = 0
Nếu Q =0 thì phương trình có hai nghiệm trùng nhau t= 0 Do dé (d) là tiếp tuyến với (S) tại Mụ,
Ngược lại, nếu (d) là tiếp tuyến với (S) tại Mụ, thì nếu P = 0, ta cũng có Q =0 Vì nếu Q # 0 thì phương trình trên chỉ có một nghiệm duy nhất Phương trình nghiệm đúng với mọi t, tức (d) lì đường thẳng nằm trên (S) Còn nếu D z 0 thì để phương trình trên có hai nghiệm trùng nhau (là t= 0) ta phải có Q = 0
Vậy (d) là tiếp tuyến khi và chỉ khi Q = 0 hay là:
ăAx, + By, + D) + b(BX, + Cy, + Ld) = 0
Nếu hai giá trị Ax, + By, + D va Bx, + Cy, +E đểu bằng Ó (tức M, là tâm của (8) thì a và b có thể chọn tuỳ ý
Khi dé, moi đường thang di qua M(x,; y,) ¢6 vecto chi phuong u(a;b) # 0 déu
là tiếp tuyến của (S)
Néu hai gid tri Ax, + By, + D va Bx, + Cy, + E khéng déng thoi bang 0 thi ta
có thể lấy:
a = Xu + Cy, + Po va b = -(AXy + By, + D)
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) tại MỊ, là ăx — xu ) + b(y - y,) = 0, hay:
(2, + lầy, + D)(x — Xu) + 3x, + Cyu +Í))(y — vụ) = 0
cũng 6 thé viet gon: 1.0%), Vu)(X — XJ) + PM, Va)(Oy — Và) = Ó,
Trang 101.6 Phương tiệm cận và đường tiệm cận
Giả sử dối với một mục tiêu afin (O; i; j) nào đó, cho dường bậc hai (5) có phương trình:
(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Cy’+ 2Dx + 2Ey + F =0, voi Ả +B’ +C'4#0 ()
Vinh nghiạ Vecto u = (a; b) # (0; 0) goi 1d vecto chi phuong tiém cận hay đơn giản là phương tiệm cận của (S) néu P = Aa’+ 2Bab + Cb’ = 0
Hién nhién 1a néu @ 1A phuong tiệm cận của (%) thì k với mọi số thực k # 0 cũng là phương tiệm cận của (5)
Theo mục trên ta có: Nếu vectơ chỉ phương ứ_= (a; b) của đường thẳng (d) là phương tiệm cận của (S), thì (đ) không cất (S), hoặc (đ) cất (S) tại một điểm, hoặc (d) là một bộ phận của (5) Khi đó ta nói (đ) là một đường thẳng có phương tiệm cận đối
với (9)
Định nghĩa, Cho đường bậc hai (S) có tâm duy nhất, một đường thẳng (đ) có phương tiệm cận, di qua tâm Ï của (S) và d không cất (9) được gọi là đường tiệm cán của (8S)
Ví dụ 1.;Xét dường bypebol (II) có phương trình: x?— ý =l, ở đây À =l, B= 0,
C=~I1 nên ú =(a; b) z (0; Ø) là phương tiệm cận khi và chỉ khi ả - b = 0 Vậy (1) có hai phương tiệm cận là ứ, =(l; l) và ú; =(1; —I) Tâm của D là O(Ó; Ô) nên hai đường thẳng di qua Ó có phương tiệm cận là x — y =0 và x+y = 0 Dễ thấy rằng
chúng không cất (1l), nên chúng là hai đường tiệm cận của (LD
Ví dụ 2, Xét đường bậc hai (5) có phuong trinh x? — ỷ = 0 (cặp dường thắng) Nó có
tâm là O(Ø; 0) và có hai phương tiệm cận là ủ,=(l; và ủy =( —Ú) Nhưng hai
dường thẳng x = y = Ö và x + y = Ø không phải là các dường tiệm cận của (S) vì cả hai dường thẳng đó dểu năm trên (5)
1.7 Đường kính liên hợp
Đối với một mục tiêu alin (O; i; i) nào đó, cho đường bậc hai (S) có
Trang 11f(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Ấỷ+ 2Dx + 2y +EF=0, với A”+ B'+C?#0 (1)
'Fa biếu Vectơ ú(p; q) khác Ư và khơng phải là phương tiệm cận của (S) nếu
P= Ap’+ 2Bpg + Cy’# 0
"theo trên, ta biết néu P = Ap’ + 2Bpq + Cq? # 0 thì các đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương ú cắt (5) tại 2 điểm M¡,M; (1à hai điểm phân biệt, trùng nhau hoặc
2 điểm ảo liên hợp)
Định nghĩạ Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương ú cất (S) tại hai điểm MỊ, M,
dược gọi là đường kính liên hợp với phương ũ(p; q) (không phải là phương tiệm cân) của dường bậc hai (5)
Định lí Cho ủ(p; g) khác Ó và không phải là phương tiệm cận của đường bậc hai (S) dã chọ Một đường thẳng (d) thay đổi có vectơ chỉ phương ñ (p; q) cắt (5) tại
hai diém MỊ, và Mẹ Khi đó trung điểm I ca đoạn thẳng M,M; luôn nằm trên một
dường thẳng (đ) đí qua tâm (nếu có) cla (S) Chứng mình
Giả sử trong hệ toa độ afin di cho I c6 toa đ (Xo; yo) Phương trình tham số của dường thẳng (d) qua I va có phương ú (p; q) là: (2) y=y, tt ( =X) +pt Céc diém M,, M, duoc xe dinh bởi 2 nghiệm tị, t, cla phuong trình; Pe+2Q14+R=0 @)
Điểm I là trung điểm của M,, M, khi va chỉ khi tị + t, = 0 hay Q = 0 Theo hệ thức để tính Q, trong trường hợp này ta có:
Q=(Ax,+ By, + D)p + (Bx, + Cy, + Eq = 0, hay (Ap + Bg)x, + (Bp + Cg)y, + Dp + Eq = 0
N6i cdch khdc toa d6 [1A nghiém cua phuong trình: (Ap + Bg)x + (Bp + Cy)y + Dp + Eq = 0 Ta chứng mình rằng đó là phương trình của đường thẳng, tức là:
(Ap + Bqy’ + (Bp + Cqy’# 0
Trang 12Thue vay, néu Ap + Bq = 0 và Bp + Ca = 0 thì do (p; q) # (0; 0) ta gia sit p #0, có „ = =-4 do đó Ap = =Bq và Bp = -Cq, tức là:
sop
B
Ap’ + Bpq = 0 và Bpq + Cq?= 0
Từ dây, có P=0, trái với giả thiết: P z 0
Nhu vay, cho ii (p; q) # Okhong phải là phương tiệm cận của (S), tức là: P=Ap?+2Bpq + Cq’# 0 Đường kính liên hợp với phương ủ(p; q) của (S) là một dường thẳng có phương trình: (Ap + Bq)x + (Bp + Cq)y + Dp + Bq =0 (*) Hơn nữa, tâm I (nếu có) của dường bậc hai (S) có toạ độ (x; y) là nghiệm của hệ phương trình: Ax+By+D=0 và Bx + Cy + l = 0
Từ dó suy ra (x, y) là nghiệm của (®) Vậy đường kính liên hợp với phương U (p; q) cla (S) di qua tâm của (S)
Vi du 1 Cho dutng elip (3) c6 phuong trinh x’+ y= 1 O day c6: A= C= 1,B=D =f = 0, F =~ Khi dé, không có vectơ ti (p; q) # Q nao thod man digu kién P=p’+q’=0 Vay moi veeto ti (p; q)# 0 đều không phải là phương tiệm cận, do đó dường kính liên hợp với phương ủ (p; q) # 0 là dường thẳng:
px +qy =0
Ví dụ 2, Cho hypebol ŒI) có phương trình x? - y’ = 0 N6 có hai phương tiệm cận là uy =(1; 1) va u, =(1; -1) Vay moi vector u (p; q) voi p # tq va p.q# O, déu khong phai 1a phương tiệm cận Đường kính liên hợp với phương đó của hypebol là dường thẳng: px - qy=0
Ví dụ 3 Cho parabol x°~ 2y =0 Ta có: A =l,B=C=lD)=F=<0,;=—l Phương tiệm cận ú(p; g) # 0 thoả mãn diểu kiện P = ƒ= Ö, vậy có duy nhất một phương tiệm cận, đó là u = (0; l)
Trang 13Vậy mọi vectơ ú =(1; g) đều không phải là phương tiệm cận Đường kính liên hợp với nhương đó của parabol là dường thắng: x — q=0
2 Phương trình dường bậc hai trong hệ tọa độ trực chuẩn
2.1 Khử số hạng chữ nhật
Trong mục này ta chỉ xét mặt nhẳng với hệ tọa độ trực chuẩn
Giả sử dối với mục tiêu trực chuẩn (0; i; j), dường bậc hai (S) có phương trình:
Ax?+2Bxy + Cỷ +2Dx + 2Ey +F=0 Œ)
Trước hết, gid st B ¥ 0, ta sé tim mot muc tidu truc chuẩn mới sao cho phương trình của (S) không chứa số hạng chữ nhật xỵ
Dùng phép dối mục tiêu trực chuẩn:
X=X/cosŒ— y sinœ Ũ = X'sinœ + y“cosœ
sao cho phương trình của (5) trong hệ mới Óx⁄ý là phương trình bậc hai dối với x’ và ý Không có hệ số của x/y”, tite BY = 0
BU =-A sinạcosa + Beos’a — Bsin’a + C sind.cosœ =! (C — A)sin2a + Beos2a = 0
|
Do B 4 0 nén c6 cotg2a = = do d6 ta ludn chon duge a sao cho phuong
trình của (S) có dạng: Áx 2+ Cly” + 2D'x' + 2B'y +1" = 0 @)
Nhu vậy, dối với đường bậc hai (S) đã cho, luôn chọn được mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) không có số hạng chữ nhật
2.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai trong hệ trực chuẩn "Theo mục trên, giả sử đã dua phương trình của (S) về dang:
Ax'+Cỷ2+2Dx+2ly+'=0 (3)
Trang 14Tiếp tục đơn giần phương trình của (S) trong các trường hợp có thể được a/ A #0 và C+0: Đổi mục tiêu trực chuẩn theo công thức; IP X=x+ A ;Y=Y+— D Cc ta dua phuong trinh cha (S) vé dang : AX?+ CY’? =P" ot va b? = fe Cc ~ Néu F’ z 0, ta dat ả = fe A , thi tuy theo dau cla A, C va I’, phương trình (3) có một trong 3 dang (1), (ID, (IID sau day: r3 2 x + = =1(D, (S) la dwong elip (a > 0, b > 0) ¬
Nếu a = b thì (S8) là đường tròn tâm là gốc toa độ mới, bán kính lR =a: X? +Y” = R?, x + x =-L(D, (S) là đường elip áọ 2 2
Nếu a = b, thì (S) là đường tròn ảo: X) + Ỷ = -R’
x? 2 r2 2
xv Ly hoặc _x a 2 2 sl (IID, (S) 1a ding hypebol
~ Nếu I” = 01a có AX? + CỶ =0, data’ = |—
é ta dua phương trình của va b? = + B (S) vé mot trong hai dang (TV) va (V) sau day: xy 3 7 ae =“0(V), (5) là một cặp đường thẳng cát nhaụ Y ` tg X' = + tê =O0(V), (Š) là một cặp đường thẳng đọ ¥? Ty cờ dung chẩn oh a2 2
bí Một trong hai số A và C bằng 0, piả sử C = 0
~ Nếu A#0,C=0,Ez 0, (S) 66 phuong trinh Ax?+ 2Dx + 2Ky +h =0 (4)
Trang 15Ta viết lại phương trình (4) như sau;
Alx'+2Dx| +2E yet =0 A 2E yy 7? hay: A x42 +2E] y+ rẻ =0 A 2E 2AI 3) X=x+ = Đổi mục tiêu trực chuẩn: ‘ 2 1 D Y=y+—- 2E 2AE phương trình (5) trở thành:
AX? +2l:Y =0, (5) là đường parabol có phương trình là X?=2pỴ (VD — Nếu ¿\ #0 còn C =l‡ <0, (S) có phương trình: Ax? +2Dx + =0 (5), hay: A x42 ape 2 =0 Ầ A + : - D ) ery thà Đối mục tiêu: X = x + —~, Y = y thì phương trình (S) trở thành: X'-Ƒ=0 (6)
Néu 1’ > 0, ta dat F’ = ả thì (S) có phương trình:
Xx~a=0và X-a=0(VID, (5S) là cập dường thẳng song song Nếu ]”= 0 thì (5S) có phương trình:
X/=0(VII), (%) là cập dường thẳng trùng nhaụ Nếu ]” <0, ta dat [ = =a” thì (S) có phương trình:
X+ia=0và X—ia =0(1X), (5) là cập dường thẳng ảo song song
Vậy, ta chọn được hệ toa độ trực chuẩn thích hợp sao cho ta có thể đưa phương trình của đường bậc hai về một trong Ø dạng phương trình trên, gọi là các dang phương trình chính tắc của đường bậc hai trong hệ toa độ trực chuẩn Ilơn nữa có thể chứng mính được rằng mỗi đường bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc
Trang 16Tóm lại: X 2 ỷ ả + bŸ = 1(0, Œ@) là dường clíp (a >0, b> 0) Nếu a= bcó: X?+ Y“= RẺ, (S) là một đường tròn bán kính R x2 y2 + nề =~I (II), (S) là đường clíp ảọ Nếu a= bcó: X” + Ỷ =R?, (5) là một đường tròn ảo bán kính là x? Ỷ
Tyre 1 (ID, (S) la dudng hypebol
are 0V), ($) là cặp dường thẳng cất nhaụ
yt ae O(V), (S) Li cap dudng thang ảo cắt nhaụ
X}= 2pY (VD, (S)là đường parabol
X °=„?=0(VI), (S) là cập đường thẳng song song X”=0(VII), (S) là cập dường thang trùng nhau, X? ¢a’=0 (IX), (S)IA cập dường thang ảo song song
3 Ba dường cônic
3.1 Đường cônic
Các dường clip, hypebol, parabol còn có tên gọi chung là các đường cônic Nguồn gốc của chữ “cônic” là khi cắt mỘt mặt nón tròn xoay ( “nón” dịch từ chữ “cone”, đọc là “côn”) bởi một mặt phẳng không đi qua dinh của mật nón thì giao tuyến sẽ là:
~ Đường clíp nếu mặt cất khong song song với một đường sinh nào của mật nón (đặc biệt: clíp là đường tròn nếu mật cất vuông góc với trục của mặt nón) (h.52)
= Đường parabol nếu mặt cất song song với một đường sinh của mặt
nón (h.33)
Trang 17
— Đường hypebol nếu mật cất song song với hai dường sinh của mật
nón (h.54)
Nhà toán học Hy lạp Apôlôniut, làm việc tại Alecxandri đã chứng minh được điều đó (Khoảng 200 năm TƠN) theo cách lập phương trình như trong mon Tinh giải tích Tà, TT v4 X ic / Hình 52 Tinh 53 Hình 54 3.2 Đường Elíp Trong mục tiêu trực chuẩn nhương trình của Elíp Œ:) có dang: 2 2 + “ | ` 2 | =l(a>b>0 ( o Zz
Khi a = b: Đường bậc hai (S) là dường tron có tâm tại gốc tọa do và bán kính R =a (ta luon qui ude a> Ovi b> 0) Ta biết rằng dường bậc hai (5) là đường tròn khí và chỉ khi trong một mục tiêu trực chuẩn bất kỳ phương trình của nó có dạng:
x'+y °+2Dx +2l2y+ =0,
trong d6 1’ + 1°- F > 0
Khi đó tâm của nó là điểm 1 = (-D, -Ẹ) va ban kinh 1a R = VIP 41-8
Sau day ta xét elip (E) voi a > b (Vì trong trường hợp b > a, ta chỉ cần đổi vai trò của x và y)
Trang 18~ ) là dường bậc hai có tâm, đó chính là gốc toạ độ Ö
— (1) c6 hai trục đối xứng là hai truc toa dọ True Ox cat (E) tại hai điểm A,(-a; 0) và A,(a; 0), truc Oy cat (4) tai hai diém 1,(0; -b) va B,(0; b) Bon diém dé gọi là bốn đỉnh của (Œ), độ dài A¡A; = 2a gọi là trục lớn và l3,B; = 2b gọi là trục bé
cua (E)
~ Hình chữ nhật -a< x < a, =b < y < b pọi là hình chữ nhật cơ sở của (1D, cdc dinh cua (14) là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật đó Toàn bộ (Ỉ) nằm trong hình chữ nhật cơ sở ~ Phương trình tiếp tuyến tại điểm Mu, vạ) 6 (ED 1a ~ {?) không có phương tiệm cận, đường kính liên hợp với phương ũ (p; q) # 0 px Ay =0, a’ là một đường thẳng qua gốc toạ độ O và có phương trình là
~ Hai diém F, = (~c; 0) va F, = (; 0), với c= và? — bŸ, gọi là các tiêu điển + a : ¬ 2 ` = “ ` a cua clip Hai duéng thang A, va A, lan luot c6 phuong trinh x =-—, x = —, (trong ole đó c= — = oi là tâm sai) gọi là hai đường chuẩn tương ứng với hai tiêu diém V, ¥, a Ở bậc phổ thông chúng ta đã biết;
Đường clíp với phương trình (1) là tập hợp những điểm M có tổng các khoảng cách từ nó tới hai diểm và [bằng 2a: MỸ, + ME; = 2ạ
Đường clíp với phương trình (1) là tập hợp những điểm M mà tỉ số khoảng
Trang 19
X=acos1 y=bsint “Thật vậy, khử t ta có ngày phương trình (1)
Ngược lại, nếu đặt x = acost thi tir (1) ta suy ra y = bsint
Tink 55
Y nghĩa của tham số t được thể hiện trên hình vẽ Trên hình dó ta có elfp IIDR đường tròn (O; a) và đường tròn (O; b) Với mỗi gid tri (eR ta ve tia OT sao cho góc XƠT = 1 (adlan), ta gọi P, Q là giao điểm của tỉa ỚT với các dường tròn (Õ, a)
và (O, b) Khi đó tì có:
P = (acost; asint) va Q = (beost; bsint)
Lấy M là điểm sao cho PM/OY và QM/Ox thì toa độ của M là M = (acost bsint)
Vậy M thuộc clíp (12)
Tĩnh chát quang học của dường chp,
Định lí Cho dường clíp (l2) có hai tiêu điểm F; và E„ Khi đó tiếp tuyến d ta điểm M trên (1?) tạo với các dường thắng MĨ?, vii MP, các góc bảng nhaụ
Chứng mình, Trong hệ tọa độ trực chuẩn cho clfp () có phương trình chính tac:
Trang 21Hình %6 ` C € TT 7 & Vix» 2—a nen =x, >-c>-a, hay =x, +a>0 Tird6 suy ra MI, = —X, tạ a a a Tương tự (thay ¢ boi -c) taco MP) = -—x, +ạ a A ee Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình “aS =1 te aq cs 4 XoX Yo¥ an nh” , tọ a ~ Trường hợn nếu x„ # 0, tiếp tuyến (dJ) cát rục Ox tại I, có I= (—; 9) Xo a am : a Suy ra IF? = (+e)? = (Ex, +a)? hay 1? =~ MF} Xa Xy a Xo H Fương tull, = —- MPF er ree Xp Th, MI WT:
Suy ra Te = Mn hay (d) 1a phan gide ngodi cla géc 1 MF,
~ Trường hợp nếu x„= 0, thì (d) / Ox và dịnh lý là hiển nhiên
Trang 223.3 Đường Hypebol
Cho hypebot (H) ¢6 phuong trình chính tắc:
2 3
~ (ID là dường bậc hai có tâm, đó là điểm gốc toa độ Ọ ~ đŨ có hai trục dối xứng, đó là hai trục toa độ
~ Truc Ox cit tại hai điểm ACa; 0), A,(a; 0) goi 1a hai dỉnh của (ED Truc Ox poi 1A trục thực
~ Truc Oy Không cất (1D), gọi là là true do cha (ID
~ Mai diém FP, = (-e; Ø) và Pc; 0), trong dé c = và? th, gọi là các Hiệu điển của Tlypebol, độ đài 2e gọi là tiêu cự XuụXx _ Yo¥ =| 7a 3 bỶ a ~ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x; yu) e (H) là 2 a 2 5 iểều kiện — Phương tiệm cận u=(p;q)#0 của (1) phải thoả mãn dicu Kiệ 2 2 noo =0, nên (ID cé hai phương tiệm cận là ú (a; b) và d Cá; b) » 2 b ` » ca lầm can XS XS : =‡#—X ~ Phương trình của hai đường tiệm can la: — - no 0 hay y = à be : | at n ¢ dng qua ~ Đường kính liên hợp với phương ú(p; g) z Ö với pz + q là dường thắng q - ` X y ĐỐC toa độ © và có phương trình: Lào ~ A =0, a bố , ,
Ngô 1 ime dit A sao
Ở bậc phổ thông ta đã biết: Đường 1Iypebol (11) là tập hợp những diểm M s vài
% 1t, =2e<2a,
cho: [MI - ME = 2a, trong dé F,, 1¢, 6 dinh cho trude, FE, = 2e < 2a
‹ 1 ` s số
trình Đổi với dường Ilynebol, hai dường thang (A)) va (A,) lần lượt có phương trì
Trang 23Ilypebol la qui tich cdc điểm mà tỉ số khoảng cách từ nó đến tiêu điểm và dường chuẩn tương ứng bằng số e không đổi với e> 1
Tính chát quang học của dường hypebol
Định lí Pascal Cho đường hypebol (1) có hai tiêu điểm E¡ và E„ Khi đó tiếp
tuyến (d) tại điểm M trên (1l) tạo với các đường thang FM và E,M các góc bằng nhaụ Chưng mình, Tương tự như đối vii elip 3.4 Đường Parabol “Trong hệ toa độ trực chuẩn cho parabol (P) có phương trình: y’ = 2px (p> 0)
~ Parabol không có tâm đối xứng Có trục đối xứng là Öx
— Diém F = cf; ©) gọi là rêu điển, đường thẳng (d): x= -š gọi là đường chuẩn của parabol
— Ở bậc phổ thông tà dã biết: Đường Parabol (P) la tập hợp các điểm cách déu tiéu điểm và đường chuẩn
— Phương trình tiếp tuyến tại điểm M,@¿; Yo) € (P) 18 yyy = p(X +Xy)
— Parabol có phương tiệm cận duy nhất là vectd j=Œ; 0), nhưng không có đường tiệm cận, Mọi vectơ ú (4; 1) đều có đường kính liên hợp với nó, đó là đường thẳng song song với Óx có phương trình là y = px
Định lí Pascal Cho đường parabol (Ð) có tiêu điểm F Khi đó tiếp tuyến A tại điểm M trên (P) tạo với các đường thẳng EM và MT song song với Ox các góc bằng
nhau (h.S7)
Trang 24v
Hình 57
Chứng minh
Trong hệ toa độ trực chuẩn Oxy, (P) có phương trình y°= 2nx Ta chứng minh tiếp tuyến A tai M,(x,; y,) eta (P) cat Ox tai M, thi: EMM, =FM,M,, P Ta cé re; 0), Maxis Yo)s PMy = Xo 5 Phuong trinh cla Ac 6 dang: Yuy = p(x +Xu) X=—X 0 ‘Toa do cha diém M, là nghiệm của hệ: 0 y = Vay: M, = (-x,; 0), do dé MP = M,O + OF = x, + Cr Vậy tam giác Mụ EM, can Suy ra FM,,M, = FM,M,
3.5 Phương trình của đường cônie trong toa độ cực
Theo trên các đường conic clip, hypebol, parabol déu có tiêu điểm F và đường chuẩn d tương ứng với tiêu điểm đó Tà có định nghĩa chung cho ba dường conic:
Trang 25
Định nghĩ Đường cônic là quỹ tích các điểm M sao cho tỉ số Khoảng cách từ Mi dến tiêu diểm Ï? và khoảng cách từ M đến dường chuẩn d tương ứng là một hằng số e >0 không dổị Số e gọi là tâm sai của đường cônic
Nếu c < 1 thì dường cônic là đường clíp Nếu e = I thì dường cônic là đường parabol Nếu e > I thì đường cônic là đường hypebol
Lấy hệ toa độ trực chuẩn có gốc l, có trục hồnh vng góc với dường chuẩn Ạ Đặt khoảng cách từ F tới A là FH = p, khi dé dường thắng Acó phương trình x=p, với điểm M= Œ; y), ta có: MỸ = jJx?+yˆ và khoảng cách từ Mới À là: MK = [x - P| R3 x+y v2 ———=t Nếu M thuộc dương cônic thì MẸ _ e hay = MK jx-p|
Chuyển sang toa độ cực: x = pcos9, y = psin8, phương trình trên trở thành Cạ |pcos® ~ p| “e hay p=elpeo6=p| Như vậy hoặc p=c(@eosÐ=p) hoặc
ep ep *
=ec(-pcosÐ+p) hay p=———— hoặc p=—————— )
p=c(-pcosÐ+p) hay p ecosÔ — Ï tore P ecos6+1
Đối với clíp hoặc parabol (trường hợp 0 < e <1) thì phương trình thứ nhất e
Trang 27
§2 MAT BAC HAI TRONG KHONG GIAN
1 Phương trình mặt bậc hai trong hệ toa dé afin
1.1 Phuong trinh bac hai va mat bac hat
Phương trinh bdc hai d6i v6i x, y, z là phương trình có dạng sau dây: POY y, 2) =a x? tay’ taẻ t Qa xy + 2a,yz + 2ayxz + 2ayx
+ 2a, +2a + a= 0 qd)
trong đó các hệ số cha cde sO hang bac hai ayy, Ay, das Ary Bry By không đồng thời bang 0,
Dinh nghiạ Trong khong gian với hệ tọa dé afin Oxyz, tap hop ©) g6m nhing điểm M có tọa độ (X; y; Z) thoả mãn phương trình bậc hai (1) được gọi là một /mái bậc hai, Phương trình(1) gọi là phương trình của mặt bậc hai (S) đối với hệ tọa độ Oxyz, ta cũng nói mặt bậc hai (S) có phương trình (1Ú)
1.2 Phương trình chính tắc của mặt bậc hai
Giá sử đối với hệ toa độ alin OxyZ, cho mặt bậc hai (S) có phương trình: LÁ, V, Z) =apNÌ+ 2y 2+ 72+ 2aI,XY +22, 37+ 20),2 7Ð
2a¡x + 2a, + 2a + dụ = 0 (1)
trong dé cdc hé s6 cla cdc s@ hangbde hai ayy, ay, Ace Airy Din Qs không đồng thời hang 0
Tà cố gắng tìm một mục tiêu afïn khác sao cho đối với nó phương trình cla (S) được đơn giản hơn,
Trước hết ta chứng mình rằng có thể chọn mục tiêu sao cho phương trình của (S) không chứa các số hạng chữ nhật, tức là các số hạng xy, XZ, YZ
Trang 282 ^ > ^ 4 a
Bởi vậy, khi đổi mục tiêu toa do Oxyz thành Ox'y”2 theo công thức: x' = x+y,
- , an
y’=y, # = 71a duge phuong trinh cha (S) đối với mục tiéu Ox’y’z’ mới sẽ không có sO hang x’y’ Tip tuc déi muc tiéu nhu vay, cudi cing ta sé duge mot phuong tinh không cồn chứa các số hạng chữ nhật y2, zx
Trường hợp 2 Các hệ số ay, a, a3, du bang 0 Khi dé cdc s6 hang aj), a),, a4, khong déng thoi bang 0, piả sử a,, #0
Khi dó bằng cách đổi mục tiêu Oxyz thành mục tiêu Ox'y*Z theo công thức:
X=X+VY,y=X-V,z=/,
Ta có số hạng 2a,;xy tro thanh: 2a,(x’ + y)(x' — y’) = 2a x” — 2ai¿y 2 nên
phương trình của (S) trong hé toa dé méi c6 hé sé cla x” Way,’ = 2a,, # 0 Tite là đã đưa trở về trường hợp Ị
Vậy, ta luôn luôn có thể chọn mục tiêu alin nào đó Ôxyz sao cho phương trình của (5S) không chứa các số hạng chữ nhật xy, yz va zx Do dé gia sử phương trình của
(8) có dạng:
VQ, y, 2) = ax’ tayy taẻ + 2ax+2ayt2azta,=0 2)
Trang 292 a yt 2 2 fs a a; al aX tay Ye ayẻ +a,” = 0 voi a =(a,- — - = - +) An An ayy — Néu a,’ #0, bang cach đổi mục tiêu theo công thức :
thì tuỳ theo dau ca a), , a), a, va’, ta dưa phương trình của (S) về một trong các dang sau day :
X'+Y ?+⁄2= 1), khi đó (S) gọi là mặt elipxôw thực X '+VỶ2+2= —1 (1D, khi đó (5) gọi là mật epù dọ
X?+Ỷ~⁄2= 1q), khi đó (5) gọi là mặt hypeboldit mor tầng X’- Y= 7’ = 1 CIV), Khi đó (S) gọi là mặt hypeboldit hai tang
— Nếu a“, = 0, dùng công thức đổi mục tiêu X = + fay fx Y=, la„|ỷ 12 Yule’ thì tuỳ theo diu cla ay, ay, ay ta dua phuong trinh cia (S) vé mot trong cdc dang sau:
X74 Y= 7’ = 0 (V), khi do (S) gọi là mặt nón thực X )+Y2+Z2=0(VD, khi đó (S) gọi là mặt nón dọ ban =0, a,, # Ô và au= Ö, Khi đó phương trình trở thành: dị X? +a,,y) + 28)X + 2ã y + Jat ay =O 3 a d hay ăx + Eỷ tay(y + 4) + 2a tay any dn An — đa
“Tịnh tiến mục tiêu Oxyz thành Ox'ý Z theo công thức: ra va extol yysyt— _ as, 77
ay 1>
tạ được phương trình: auX? + 8u, v + 2a tay = 0 voi ay’ = ay,
Trang 30
— Nếu a,#0, bằng cách đổi mục tiêu theo công thức:
al
ay yl Ụ
X= laa xs Y= larsly’s ⁄=u# +
thì tuỳ theo dấu của a¿¡, a„; Vd a, ta dua phương trình của (S) về một trong các dang
sau:
X?+ Ỷ +27, =: 0 (VID, khi đó (S) là mat Paraboléit eliptic
X?-Ỷ+2Z.=0(VIID, khi d6 (S) goi Ia mat Paraboloit hypebolic — Néwa,=0, phuong trinh con: ax” + ayy’ +a,’ = 0
+ Néu a’ #0 thi bang cdéch déi muc tiêu theo công thức:
X= Sux Y= Say! Lear
a, ay
ta dưa phương trình (S) về một trong ba dang:
X ”+Y*= I (X), khi đó (S) gọi là mật /rụ clip X ?+Y”=-~1 @), khi dó (5) gọi là mặt trụ clip áọ
X?~Ỷ*=#I (XD, khi đó (3) gọi là mặt rự hypebôl + Nếu a„' = 0 thì phương trình còn: a,;x'?+ ayy” = 0
Đằng cách dối mục tiêu theo công thức:
X= lay, {x's =địa,,|y Z=7, ta dua phuong trinh (S) vé một trong hai dang:
X?- Y*=0 (XI), khi đó (S) là cập mật phẳng cắt nhan
X?+Y”= 0 (XI), khi dó (S) gọi là cập mặt phẳng dọ
cf ay, = 0, a,,4 Ova ay = 0, Phương trình (2) còn:
Trang 31a tô ta duve phuong trinh av? + 2a)x! + 2a! + ay! = 0 vei a,” = a) — dạ»; ~ Nếu a, và a, không đồng thời bằng 0, chang han a, # 0 thi ta viet phương trình trên ta dược phương trình:
Ý+ 2X =0(AXIV), Khi dó (S) gọi là mật trụ parabot,
~ Nếu a¡=a, =0, và an # 0 thì đổi mục tiêu theo công thức :
ta dưa phương trình (S) về một trong hai dạng:
Y”—1 =0(XV), khi đó (§) là cập mật pháng song song,
Y”+1=0(XVJ), khi đó (8) là cập mật pháng do song song —Néua, =a,= a) = 0 thì đối mục tiệu theo công thức
1a được:
Y”=0(XVII), khi đó (§) tà cáp mật pháng trùng nhaụ
Dang phuong trink chink tac cia mat bac hat
Trang 32đạng phương trình chính tắc của mật bậc haị Hơn nữa có thể chứng minh được rằng
mỗi mặt bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc () M4 V4 21 mạt clfpxôH thực cl) N44 =-1 mat clipxdit do (HD X'+ỶT-⁄2=1 hypcbolợt một tầng (IV) N'~V?~Z2=] hypeboloit hai ving (V) X+Y°-Z⁄2=0 mạt nón thực
(VD N'+Y!+Z2=0 mat nén ảo
(VID X'+VỶ+2⁄=0 Paraboloit elfptic
(XID N'-Ỷ+2⁄=0 Paraboldit hypebolic
(IX) X74 Y= mat (ru elfptic thye
(X) N+ Y2s-1 mat tru cliptic do
(XD N-Ya mat tru hypebolic
(XID N'-V`=0 cap mat phang thie cát nhau
(XI) N44 750 cap mat phang ao
(XIV) V'4ON =0 mat tru parabol
(XV) Yi-P=0 cạp mặt phảng thực song song
VD Y+1=0 cap mat phang do song song
(XVIh Ỵ=0 cap mat phang tring nhau
1.3 Giao của mặt bậc hai và đường thẳng
Trong không gian có mục tiêu afin Oxy2, cho mặt bậc hai (Š) có phương trình:
PO, y, 2) Say x’ Fay’ + ay2? + 2ayxy + ayyz + 2a Xz
+ 2ajX + 2ay+2azta,=0 (1)
trong đó các hệ số của các số hạng bậc hai ai, gà, duu ty, a2 a¿, không đồng thời
bang 0 ya cho dường thang (d) di qua diém M(X„; v„; Z4) và có vectơ chỉ phương
Trang 33Ee ene
U (a; bj c) # 0 Giao điểm cita (S) va (d) LA điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của hệ
gồm phương trình (1) và các phương trình tham số của (d):
X=Nu,+aL V=VưDL,Z= + CẾ (2)
‘Yhay cdc phuong trình của (2) vao (1) ta được:
Fox, y, 7) Say x’ + ayy’ tage’ + la xy + aysys + 2x7 + 2ax + ayy + 2a +a, = 8/0 + at)’ + ayy, t+ bÙ + 2a,,(x,, + ADC, + bỤ + 2a, 0à + BỘ, + CŨ
+ 2a, + €ÖŒ + a0 + 2áiŒ,+ a0 + 24,9, + BÚ) + 2á + cŨ + Aj= 0
Viết gọn lại:
ID + 2QL+ R=0 (3) trong dé: P= aya’ +ayb’ + a,c’ + 2a,,ab + 2a),be + 2a,.cạ
2Q = al, (Xiig Vụ Z4) + BỮT (Xu, Yụy Z4) + CŨ (Xu Yo, Z6}: (*) R= PO, Yn 4)
(ký hiệu I,là dạo hàm của I4, y, 2) theo biến x khi coi y, z là hằng số, tương tự l”y,
Ilan lượt là các dạo hàm theo y và đạo hầm theo z khỉ coi các biến kia 1a hằng số) Giải phương trình (3) đối với t, rồi thay vào (2) tà được tọa độ các giao điểm Boi vay:
~ Nếu Ð # 0: Phương trình (3) có thể có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm trùng nhau, hoặc vô nghiệm (còn nói là có hai nghiệm phức liên hợp) tuy theo dấu của Á=Q —DPR
“Tức là dường thắng (d) có thể cất (5) tại hai điểm phân biệt, tại hai điểm trùng nhau hoặc không cất (S) (còn nói (d) cát ($) tại 2 điểm ảo liên hợp)
~ Nếu P = 0: phương trình (3) có thể có một nghiệm duy nhất (nếu Q # 0), võ
nghiệm (nếu Q = 0, l # 0) hoặc vô số nghiệm (nếu Q = R = 0) Vậy (d) có thể cất
(S) tai một điểm duy nhất, không cất (S) hoặc là hộ phận của (S)
Định ghiạ Vecto U (a; by ¢) £O gọi là phương tiệm cận của mặt bạc hai (S)
+ 2
néuP saya’ +a, tac? + 2aab + 2a,be + 2a jac = 0
Trang 341.4 Tâm của mặt bậc hai
Định nghĩa, Điểm T được gọi là râm của mặt bậc hai (S) nếu trong mục tiêu afin mà Ilà gốc toạ độ, phương trình (8) có dạng:
Ix, y, 2) sax’ tayy’ tac + 2apxy + 2aye+ 2a xzta, = 0
Từ định nghĩa ta suy ra nếu diểm M thude (S) thi diém M' déi xứng với nó qua T cũng thuộc (S), vậy tâm của mặt bậc hai chính là tâm đối xứng của nó
Mot mat bậc hai gọi là mặt bậc hai có tâm nếu nó có duy nhất một tâm,
Cach tuna tam ea mat bac haị
Giả sử đối với một mực tiêu afin (O; i: j; K) nào đó, mat bac hai (S ) có phương trình:
TÍN, V, 2) = Ai0X + duy + A22 + 204 XY + 28, V2 + 2a 2 +2u,x+2a,y+21⁄+au=0 (1)
vot a, (i, =1, 2, 3) không đồng thời bằng 0
Ta hãy dùng phép tịnh tiến mục tiêu từ (0; í; ] ; K) thành (ls i: j : K) với
Ï= (Xu; Z2), tức là theo công thức đổi mục tiêu: , X =XT Xu; VY! =VT Y7 E274 Phương trình của (Š) trở thành:
ay (x! +X) + ayy + Vu) + (2+ #2)” + 2á,,CC + XI)(ý + Vu) + 2a, (Y! + VD! + Z2 + 2Á,GC + XJ)€K” + 4) + 2X + Xu) + aly’ + Vụ) + 2A G22 4) tay =0, Điểm T là tâm của (S) thì trong phương trình trên Không có các số hạng bậc nhất đối với Xx”, vˆ và Z tức là :
8u +új¿V„ +¿Z4 tay =O hay P(x yur 4) = 0
ayjXi Fay tat +a, = Ô hay EU Yoh 4) = 0,
dey Xe FayV tat +a, = 0 hay POX v3 4) = 0
(tronp cách viết tren day, ta quy woe a, = aj, vot, j = t, 2, 3)
Như vậy tầm của mật bậc hai (3) cho bởi phuong trinh (1) 1a diém Ted toa do là nghiệm của hệ phương trình nói trên
Trang 35Điển kien dé mat (S) la mat bde hai cé tam
Mặt (9) là mật bậc hai có tâm khi và chỉ khi hệ phương trình bậc nhất nói trên có nghiệm duy nhất Xét ma trận cấp 3:
(ai) =
gồm các hệ số của nhương trình mật bậc hai với quy ước a; =a, VOL, j= 1, 2, 3 Ta thừa nhận: Nếu det(a,) # 0 thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất và (S) la một mặt bậc hai có tâm
1.5 Giao của mặt bậc hai và mặt phằng
Định lí Giao của một mật bậc hai và một mặt nhẳng là một dường bậc hai, hoặc
một dường thẳng, hoặc một mặt phẳng
Ching mink, Gia sit cho mat bac hai (S) va mat phang (P) Ta hãy chọn một hệ toa độ Oxyz sao cho mặt phẳng Oxy là mặt phẳng (P) Khi đó phương trình cla (P) đối với hệ tọa độ đó là z = 0 Giá sử đối với hệ tọa độ đó, phương trình của S có dạng (Ú) thì giao của (S) và (P) gồm những điểm có tọa độ thoả mãn hệ phương trình sau:
ay Xx’ +a,ỷ +2a,,xyv+2a,x+2a,yta, =0
z=0 :
Xét các trường hợp:
đạp 8y aj; Không đồng thời bằng Ó: giao của (S) va (P) là một dường bậc hai trong mat phang Oxỵ
Trang 36T(x, ¥, 2) = ayx?t ayỷ + ayẻ t 2a xy + 2a yz + 2a, Xz
+ 2a)xX + Jay + 2ạz7 +4, = 0
với au(, j= 1, 2, 3) không đồng thời bằng không
'Ta đã biết: Nếu ú (p; q; r) Không phải là phương tiệm cận của mật bậc hai (S), tức là D = ay p? + ay q? + agar? + 2aypq + 2a,.qr + 2a, rp # 0 thi đường thẳng đ có vectơ
chi phuong ii (p; g; r) cất mật bậc hai (S) tai 2 diém M, vi M, phan biét, trùng nhau
hoặc là 2 điểm ảo liên hợp
Định lí và định nghĩa, Cho ủ (p; q; r) không phải là phương tiệm cận của mặt bậc hai (S) đã cho, tức là P = airp” + ag? + aye’ + 2ai,pq + 2a,;qr + 2a, rp #0
Tập hợp các trung diém I của các doạn thang M, M, voi M,, M, IA hai giao điểm của mặt (S) và các dường thẳng (đ) có vectơ chỉ phương ú (p; q; r) nằm trên một mặt phẳng, được gọi là mặt kính liên hợp với phương ủ (p; q; r) của mật bậc
hai (5)
Giả sử trong hệ toa dé afin da cho I c6 toa dé (X, Y, Z)
Phương trình tham số của đường thẳng d qua Ï và có phương ủ (p; q; r) là: x=X+pt y=Y+qt (2) Z=⁄=t Các điểm M¡, Mạ được xác dịnh bởi 2 nghiệm tị, ty của phương trình: PỨ+2Qt+lR=0 @)
Điểm Ï là trung điểm của M, M; khi và chỉ khi t, + ty = 0 tức Q =0 Theo trên ta c6: Q = pl',(X, Y,Z) + qh CX, Y, Z) + PK, Y, 2 Œ9)
Do đó:
Q= up + ajq +a,g)X + (iạp + aạg + a;)Y + (up + auq + a,) + (pa, + qa,+ra,) = 0Ô
Ta chứng mình rằng phương trình đó là phương trình của một mật phẳng, tức fa chang minh cdc hé s6 (ap + a).q +a,r), (@,p tang + ayer), ap + ag + age)
khong déng thoi bang 0
Trang 37"Thực vậy, nếu a¡¡p + aịạq + a¡¿r =0, ap t+apg tar =0, agp tag tayr=0
thì sau khi nhân lần lượt các dẳng thức trên với p, q, r (do p, q, r không dồng thời
bằng 0) rồi cong lại ta có D = ap’ +a,,q° + aur? + 2a,pq + 2a,.qr + 2a, rp = 0, trái
với giả thiết: P 4 0
Vậy: cho ú(p; gq; 1) # O không phải là phương tiệm cận của (S) Mặt kính liên hợp với phương d (p; q; r) của mặt bạc hai (S) là một mãi phẳng có phương trình:
Q= (i¡p + ai, +ai )X + Giáp + a,¿g + ayry + Gap +anq + ary
+ (pa, + qa, + ra,) = 0
Nhan xét Néu (S) là mặt bậc hai có tâm thì mặt kính phải di qua tim vì tam I cting
xác định bởi Q = 0 đối với mọi đường thẳng qua Ị
2 Phương trình mặt bậc hai trong hệ tọa độ trực chuẩn
2.4 Khử số hạng chữ nhật
"Trong mục này ta chỉ xét các hệ tọa độ trực chuẩn
Giả sử đối với hệ toa độ trực chuẩn Oxyz, mật bậc hai (S) có phương trình:
F(x, y, 2) = ay x?t ayy’ tags? + 2a xy + 2a,;y2 + 2a 4X7
+ 24/X + 2a¿V +21, + dạ =0 với aụ (, j= l, 2, 3) không đồng thời bằng không
“Trước hết, ta sẽ tìm một mục tiêu trực chuẩn mới sao cho phương trình của (S) không có số hạng chữ nhật
Gia sta, #0
Đổi mục tiêu trực chuẩn: phép quay các trục Ox và Oy của hệ toạ độ trực
chuẩn quanh trục 2 một góc a@ (4.60), theo công thức:
X=X'cosŒ — Vsind y=x'sina + ýcosạ
Trang 38Ta chứng minh rang tìm được góc quay œ sao cho phương trình của (S) trong hệ mới Oƒx/v'2 là phương trình bậc hai không chứa số hạng chữ nhật dối với x' và y’, tức là có hệ số của x/v' bằng 0: á,; = 0
Thực vậy, ta viết:
Hình o0
ay Xx’ +a,’ + Qa, xy = a,,(x’cosa — y’sina)? + a,(x/sina + y’cosct)”
+ 2a,,(x’cosa ~ y’sina)(x’sina + y‘cosa)
SUY Tả:
Trang 39
'Tiếp tục như vậy, dùng cách đổi hệ toa độ trực chuẩn để lần lượt làm mất số hạng chứa ýZ, rồi Zx', cuối cùng chọn được mục tiêu trực chuẩn sao cho phương
trình của (5) không có số hạng chữ nhật nàọ
Do dé, có thể giả sử trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz ta có phương trình của (S) không chứa số hạng chữ nhật:
FO, y, 2) say x? + ayỷ + a2? + 2a,x + 2ay + 2az+a,=0 (2) với a, G =I, 2, 3) khéng déng théi bang khong
2.2 Phuong trình chính tắc của mặt bậc hai trong hệ trực chuẩn
"Theo trên, piá sử trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz ta có phương trình của (S): VO, y, 2) Say x? tayy’ tayz? + 2ax+2ayt2azta,=0 (2)
voi a, (i= 1, 2, 3) khong déng thoi bằng không 'Ta tiến tục đơn piẩn phương trình của (S)
a/ a, # 0 (= 1,2, 3) Đổi mục tiêu trực chuẩn theo công thức: a , a X=x+_-L,Y=y+ ,Z2=z+—E ay Ay) ay a2
tạ dựa phương trình của (S) về dạng:
aX! +ayY’ tayZ? +a = 0
, , '
a a a ¬ oọ `
Trang 40> 8 b N hỗ ~ + + =1 (1D), (S) là mặt /ypebolôif một tầng, a bo c x? ỷ Z2 v bv Ta dat a’ = |—|, b’= | ss , thi tuy theo dau cla a), a),, ay, fa dua ay ay phương trình về một trong hai dạng sau : x’ Ỳ Z ¬ ys te a =0(V), () là mặt nón thực am bˆ we ry #7 oo, > + —+ †~ =0(VỊ), (S) là mặt nón áọ am hˆ CC
b/ai #0, a,,# Ö và a= 0, Phương trình (9):