Giáo trình Hình học giải tích: Phần 2

Giáo trình Hình học giải tích (Giáo trình dùng cho các trường Cao đẳng Sư phạm): Phần 2 cung cấp các kiến thức về đường bậc hai và mặt bậc hai như: Đường bậc hai trong mặt phẳng, mặt bậc hai trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương II! ĐƯỜNG.BẬC HAI - MẬT BÁC HAI cứu cách hệ “Trong chương này, đường bậc hai mặt bậc hai nghiên toa true chuẩn thống với phương trình tổng quát hệ toa afin va THỨ như: Một số khái niệm dé cập lần đầu, chưa có chương trình mật toạ độ trụ, toa độ phương trình đường toạ độ cực, hay phương trình tiếp tuyến, dường kính, cầu; khái niệm tâm, phương tiệm cận, dường tiệm cận, mật bậc hai mật kính liên hợp với phương đường bậc hai mặt bậc hai Phân loại alïn phân loại ơclit dường bậc hai trình bày kỹ, chưa để cập đến phép biến hình biết vận Nhiều kiến thức chương dòi hỏi sinh viên nắm vững học chương trình hai mơn dụng vào mơn học khác, dặc biệt sinh viên giải tích Tốn - Ly hay Todn—Tin cần trọng vận dụng học tập môn sâu vào chứng minh hay vấn để mang tính lý thuyết §1 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường bậc hai hệ toạ độ afin 1.1 Đường bậc hai có phương Các dường clíp, hypebol, parabol biết chương trình THPT bậc hai (đối với x trình phương trình bậc hai Ngược lại, cho phương trình y) dạng tổng quất: Ax? 2Bxy + Cy’ + 2Dx + 2By +P = 0, g trình hệ số A, B, C khơng đồng thời bang 0, ta xết xem phươn đường 9Ị Định nghĩa, Trong mặt phẳng với hệ mục tiêu afin Oxy, tập hợp (S) điểm mà tọa độ chúng thoả mãn phương trình bậc hai: f(x, y) = Ax’+ 2Bxy + Cy’+2Dx + 2hy + =0, với A, B, C Không đồng thời O, gọi dường bậc hai Ta nói: dường bậc hai (S) có phương trình f(x, y) = Ví du.Đường bậc hai có phương trình x?+ y? + | = tập rỗng Đường bậc hai có phương trình: xy = gồm hai đường thẳng x =0 y=0 Các đường clíp, ypebol parabol dã biết phổ thông đường bậc hai Hai dường bậc hai xem trùng phương trình chúng (trong hệ mục tiêu alin) có hệ số tương ứng tỉ lệ Ví dụ đường bậc hai (S) có phương trình x” + yˆ = đường bậc hai (S') có phương trình 2x? + y? = déu gầm điểm O(0; 0), chúng xem khác hệ số tương ứng khơng tỉ lệ Nếu xét mặt phẳng phức phương trình (S) viết (x — iy)(x + iy) =0, đo (S) tập hợp gồm hai đường thẳng x — iy =0 va x +iy = 0; lúc Ÿ tập hợp gồm hai đường thẳng (ảo) có phương trình v2x~iy=0và V2x +iy =0 (ở dây ¡ đơn vido: ? =) 1.2 Phương trình tắc đường bậc hai Giả sử mục tiêu alin Oxy, cho dường bậc hai (S) có phương trình: Ax'+2Bxy +Cy)+2Dx+2by+E=0, @) À, B, C khơng đồng thời Ta tìm mục tiêu afin cho phương trình (%) đơn giản Trude het ta chimg minh chọn mục tiêu cho phương trình (5) khơng có số hạng chữ nhật xy Trường hợp Mot hai số A C khác 0, chang han A # 0, thi: B Boy B Ax’ + 2Bxy y= = AC A(x’+2—xy) A y= = A(x AC + —y)A3) — ey, A» 92 y=y, Bởi vậy, đổi mục tiêu Qxy thành O'x'y' theo công thie: xX =x + Fy, + thi mục tiêu O'x'y', phương trình S sé khơng có số hạng X'y” (1) trở nên: Trường hợp Cả hai số A C Khi B z Phương trình 2Bxy + 2Dx + 2Ey +F = Qua phép đổi mục tiêu Oxy thành mục tiêu O'x' yo x = xo ty, y=x’ oy’ he phương trình trở thành: IBx” — WBy”? + 2D(x" + y’) + 2G’ - y') + F = toa O'x'y’, phuong trình khơng chứa số hạng chữ nhật x'y" Vậy ta ln chọn mục tiêu Oxy cho phương trình (S) có dạng: (S) khơng chứa số hạng chữ nhật xy Do do, giả sử phương trình @) Axi+Cy2+2Dx+2Ry+F=0 Ta xét trường hợp sau đáy: a/ Á #0 C# 0: (2) viết dạng: ) ) + C222 ACX + 2224 A D hay: AQ + —)+Cly ỷ A ty DE + ny 4-2A Cc y) +F=0 =0 CƠ Phép đổi mục tidu Oxy thinh O’x'y! vai: D Ũ X'=x+— A ¥ = / + E — dưa phương trình (5) thành dạng: Ax"?+ Cy? =IL @®) + — Néu H¥ 0, ta chia ca hai vé cua (3) cho H: “x”¬ Dùng phép đổi mục tiêu: X = x,Y= ,Í|—|y' ta đưa phương trình 93 (8) dạng sau: N+ Y= (D X '+Y”=-l dp X?-Y?= (ID lhoặc -X°+Y?=l Đường bậc hai (5) có phương trình () gọi đường clip Đường bậc hai (S) có phương trình (D gọi đường clip áo Đường bậc hai (S) có phương trình (HT) gọi đường hypebol — Nếu II =0 A, C khác đấu (có thể xem A > C < 0) Đổi mục tiêu O'x'y' thành QXY với N= VAx',Ÿ= V-Cy' Trong muc tidu O'XY phuong trình (S) có dạng: X -Y?=0 (IV) Vậy đường bậc hai (S) ld cấp hai đường thdng cdt X + Y =OvaX-Y =0 — Nếu II = AÀ, C đấu (dương chẳng hạn) Đổi mục tiêu O'x’y! thành OXY:X= VAN", Y= VCy'ta dua phuong trinh ctia (S) vé dang: X'+V?=0 (V) Vậy, dường bậc hai (S) cặp đường thẳng đo cắt tạt điểm thực (0, 0) Tuy nhiên, xem mật phẳng có chứa điểm có tọa độ phức nói (S) gồm hai đường thẳng liên hợp có phương trình: X +ïY = X —íY =0 bí Một hai so A va C bang 0, giả sửC =0, A #0, TH cưới ¬ „ Pa viết phương trình (2) dudi dang: A(x’ I) » wD › + TT x) + 2Ey + F =0 hay: é AŒ&% +} +2ly+l— —— =0, Mor Ty #2hy Dung phép đổi mục tiêu: x' = x + : i dang: Ax?+ 2Ey'+H1=0 94 (4 A y’ = y ta dưa phương trình (S) Xét phương trình này: ~ Nếu Iš #0, ta có thé gid str A > (vi néu A < Ota đổi dấu vế trái) , : : Dùng phép đổi mục tiêu: X = VAx's : Y=Ry+ H FZ › ta dựa phương trình (S) dang: X'+2Y=0 (VD Đường bậc hai (S) đường parabol ~ Nếu lš= II 0: chia hai vế (4) cho H dùng phép đổi mục tiêu: Yey ta đưa phương trình (4) (S) dạng: Xi~1=0 (VID X '+1=0 (VID) (3) có phương trình (VID cấp đường thẳng song song: X = I X=~] (3) có phương trình (VHD cấp đường thẳng đo song song: Ä = Ì Và X = —I ~ Nếu F‡ = II = 0: đưa phương trình dạng: (IX) X =0 (S) 66 phuong trinh (IX) la cép diong thẳng trùng Dang phuong trình tác dường bác hai, lại, cách chọn mục tiêu afin thích hợp ta dựa phương trình đường bậc hai đạng phương trình trên, gọi dạng phương trình tắc đường bậc hai lĨơn chứng mính Tóm đường bậc hai (S) có dạng phương trình tắc: () x*+y°= (dường elp) UD) x”+y°=—l (đường clíp áo) (HH) x?~ y”= (đường hepebol) (IV) x°+y”= (cập đường thắng ảo cắt nhau) (V) x”~y°=0 (cập đường thẳng cắt nhau) (VD_ x”~ 2y =0 (đường parabol) (VI) x = (cập đường thẳng song song) (VIID x? = -1 (cặp dường thẳng ảo song song) (IX) 1.3 x?=0 (cap dudng thang tring nhau) Giao đường bậc hai đường thẳng Trong mật phẳng với mục tiêu aflin Oxy, cho đường bậc hai (S) có phương trình: Í&, y)= Ax?+ 2Bxy + Cy? + 2Dx + 2Ey +F =0, voi A? +B’ + Œz0 cho đường thẳng (d) c6 phuong trinh tham s6: x =X) Fal, y= Yotbl () (2) Giao điểm (S) (đ) điểm mà tọa độ nghiệm hệ gồm phương trình (1) phương trình tham số (2) Thay phương trình (2) vào (1) ta : A( + a0” + 20, + a0, + bD) + CÓ, + bÙ” + 212, + a0) + 250 + bt) + P= 0, hay PU +2QU+R=0 Trong đó: @) P = Aa’+ 2Bab + Cb’ Q = a(A x, + Byy +D) + b(Bx, 4Cy, +E) (*) R = AX,’ + 2Bxoyy +Cyy? + 2Dx, + 2y, + Giải phương trình (3) t, thay vào (2) ta tọa độ giao điểm, Bởi vậy: , ~ Nếu P # Ú: Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm nhau, vơ nghiệm (cịn nói có hai nghiệm trùng phức liên hợp) tuỳ theo đấu A’= Q’- PR Nhu vay dutng thẳng (đ) cất (S) hai điểm phân biệt, hai điểm trùng khơng cát (5) (cịn nói d cất (%) điểm ảo liên hợp) ứng 96 với trường hợp phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt, trùng nhau, vơ nghiệm (tức có nghiệm phức) — Néu P = 0: Néu Q # thi phuong trình (3) có nghiệm nhất: (d) cất (S) tai điểm Nếu Q =0, R z0 (3) vơ nghiệm: đường thẳng (d) khong cat (S) Néu Q = R = Othi (3) có vơ số nghiệm: đường thang (d) nam trén (S) Chú ý Có thể viết Œ*) cho gọn sau: R= Ax,?+ 2Bx,y, + Cy,” + 2Dx, + 2Eyo+ F = to, Yo ) Neoai viz (((x, y) = 2(Ax + By + D), f(x, y) = 2(Cy + Bx + §), nén: 2Q= (ky higu: (0%, yo) IA dao ham ao, Yo) t BL (Xp, Yo)- tai (Xo; Yo) theo biến x coi y hàng số; cồn 1%, Yo) dao ham @„; Yu) theo biến y coi x hang sd) 1.4 Tâm đường bậc hai Định nghĩa Điểm T gọi tâm dường bậc hai (S) mục tiêu afin mà I gốc, phương trình (S) có dang: Ax’ + 2Bxy + Cy’ + =0 'Từ dó suy M(%; y) nằm (5) điểm Mf(—x; ~y) nằm (®), tâm I cua dường bậc hai (S) tâm đối xứng Một dường bậc hai gọi đường bậc hai có tâm có tâm Ví dụ Đối với đường bậc hai có dạng tắc theo định nghĩa ta có ngay: clÍp, clip ảo, hypebol, cập đường thẳng cất (ảo thực) đường nhận gốc toa độ O(0; 0) lầm tâm (tâm nhấu Cách tìm tạm dường bác lai Giá sử mục tiêu an (O,; i; J) đó, đường bậc hai (S) cé phương trình: 7- HHGT 97 f(x, y) = Ax?+ 2Bxy +Cy?+21x + 2lšy+Ƒ=0, với A”+B?+C!#+0 Với điểm Ï(x„; y„) ta xét mục tiêu (; () i; Ds tức dùng phép tịnh tiến mục tiêu: X=x'+xX, ysy'+y, Trong mục tiêu phương trình (S) : A(' + xu}? +2B(X' + Xu)(y! + Vụ) + CỚ + và)” + 2DÓGU + x;) + 2BÓy + yu) + F = Điểm T tâm (S) phương trình hệ số x” y' 0, tức là: Ax, + By, + C= Bx,+ Cya+ D = Như toa độ tâm (S) nghiệm hệ phương trình: Ax+By+D=0 x, y)=O Bx +Cy+H=0 Điền kiện đẻ dường Tam I(x, y) =0 bạc hai có tám I (S) tổn khí hệ phương trình bậc nói có nghiệm AT are Th nat Ties Re Dat ak Néu # e hệ có nghiệm nhất: (S) đường bậc hai có tâm Nếu A BD = Cr < x : hệ có vơ số nghiệm: dường (S) có vơ số tâm nam dường thẳng « ’' Nếu a BODO ` NA tua e # hệ vơ nghiệm: đường (S) khơng có tâm Ví du Nếu xét đường bậc hai dạng tắc thì: clíp; elíp ảo, hypebol, cập dường tháng cát đường bậc hai có tâm Cập dường thẳng song song trùng đường bậc hai có vơ số tâm Đường parabol đường bậc hai khơng có tâm 1.5 Tiếp tuyến đường bậc hai Định nghĩa Đường thẳng (d) gọi tiếp tuyến (S) cất (S) hai điểm trùng nhau, (d) năm 98 (S) Khi dó điểm chung (d) (Š) gọi tiếp diểm Phương trinh tiep tuyen Trong mặt phẳng với mục tiêu afin Oxy, cho đường bậc hai (S) có phương trình: ` {(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Cy? + 2Dx + 2Ey + F=0, voi A°+ B+ C40 Cho M,,(x,3 yn) thuộc (S) Đường thẳng d qua Mụ với vecto phương (1) 0(a;b) # 0, phuong trinh tham s6 x = X)+ at, y = y,+ bt tigp xtc voi (S) tai M, “Trở lại phương trình PỬ+ 2Q1+R=0 M, nằm (S) nên (3) dé tim giao điểm (đ) (S) Vì l =0 Vậy: PỬ + 2Qt = Nếu Q =0 phương trình có hai nghiệm trùng t= Do dé (d) tiếp tuyến với (S) Mụ, Ngược lại, (d) tiếp tuyến với (S) Mụ, P = 0, ta có Q =0 Vì Q # phương trình có nghiệm Phương trình nghiệm với t, tức (d) lì đường thẳng nằm (S) Cịn D z để phương trình có hai nghiệm trùng (là t= 0) ta phải có Q = Vậy (d) tiếp tuyến Q = hay là: a(Ax,+ By,+ D) + b(BX,+ Cy,+ Ld) = Nếu hai giá trị Ax,+ By, + D va Bx, + Cy, +E đểu Ĩ (tức M, tâm (8) a b chọn tuỳ ý Khi dé, moi đường thang di qua M(x,; y,) ¢6 vecto chi phuong u(a;b) # déu tiếp tuyến (S) Néu hai gid tri Ax,+ By, + D va Bx, + Cy, + E khéng déng thoi bang thi ta lấy: a = Xu+ Cy, + Po va b = -(AXy+ By,+ D) Vậy phương trình tiếp tuyến (d) MỊ, a(x — xu ) + b(y - y,) = 0, hay: (2, + lầy, + D)(x — Xu) + 3x,+ Cyu +Í))(y — vụ) = thé viet gon: 1.0%), Vu)(X — XJ) + PM, Va)(Oy — Và) = Ó, 99 Phương tiệm cận đường tiệm cận 1.6 Giả sử dối với mục tiêu afin (O; i; j) đó, cho dường bậc hai (5) có phương trình: (x, y) = Ax?+ 2Bxy + Cy’+ 2Dx + 2Ey + F =0, voi A? +B’ +C'4#0 () Vinh nghia Vecto u = (a; b) # (0; 0) goi 1d vecto chi phuong tiém cận hay đơn giản phương tiệm cận (S) néu P = Aa’+ 2Bab + Cb’ = Hién nhién 1a néu @ 1A phuong tiệm cận (%) k với số thực k # phương tiệm cận (5) Theo mục ta có: Nếu vectơ phương ứ_= (a; b) đường thẳng (d) phương tiệm cận (S), (đ) không cất (S), (đ) cất (S) điểm, (d) phận (5) Khi ta nói (đ) đường thẳng có phương tiệm cận (9) Định nghĩa, Cho đường bậc hai (S) có tâm nhất, đường thẳng (đ) có phương tiệm cận, di qua tâm Ï (S) d không cất (9) gọi đường tiệm cán (8S) Ví dụ 1.;Xét dường bypebol (II) có phương trình: x?— y' =l, À =l, B= 0, C=~I1 nên ú =(a; b) z (0; Ø) phương tiệm cận a? - b = Vậy (1) có hai phương tiệm cận ứ, =(l; l) ú; =(1; —I) Tâm D O(Ĩ; Ơ) nên hai đường thẳng di qua Ĩ có phương tiệm cận x — y =0 x+y = Dễ thấy chúng không cất (1l), nên chúng hai đường tiệm cận (LD Ví dụ 2, Xét đường bậc hai (5) có phuong trinh x? — y? = (cặp dường thắng) Nó có tâm O(Ø; 0) có hai phương tiệm cận ủ,=(l; ủy =( —Ú) Nhưng hai dường thẳng x = y = Ö x + y = Ø khơng phải dường tiệm cận (S) hai dường thẳng dểu năm (5) 1.7 Đường kính liên hợp Đối với phương trình: 100 mục tiêu alin (O; i; i) đó, cho đường bậc hai (S) có ... trinh Ax?+ 2Dx + 2Ky +h =0 (4) Ta viết lại phương trình (4) sau; Alx''+2Dx| A hay: A x 42 A yy +2E] y+ 7? re? 2E Đổi mục tiêu trực chuẩn: 2AI +2E yet 2E =0 =0 X=x+ = ‘ 3) D 2E 2AE Y=y+—phương trình. .. phương trình (S) có dạng: (S) khơng chứa số hạng chữ nhật xy Do do, giả sử phương trình @) Axi+Cy2+2Dx+2Ry+F=0 Ta xét trường hợp sau đáy: a/ Á #0 C# 0: (2) viết dạng: ) ) + C 222 ACX + 22 24 A D... phương trình (1) phương trình tham số (2) Thay phương trình (2) vào (1) ta : A( + a0” + 20 , + a0, + bD) + CÓ, + bÙ” + 21 2, + a0) + 25 0 + bt) + P= 0, hay PU +2QU+R=0 Trong đó: @) P = Aa’+ 2Bab +