Bài tập lớn đại số tuyến tính đề tài 26 ứng dụng của đại số tuyến tính trong qui hoạch tuyến tính với bài toán vận tải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOABÀI TẬP LỚNĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHĐỀ TÀI 26 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BÀI TOÁN VẬN TẢINhóm:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 26 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BÀI TOÁN VẬN TẢI

Nhóm:

TP.HCM, Tháng 12 Năm 2022

MỤC LỤC

I GIỚI THIỆU……… ……… …………

1) Giới thiệu về qui hoạch tuyến tính………

2) Đặt vấn đề: Bài toán vận tải ……….….……….……….

II ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỀ BÀI TOÁN VẬN TẢI………

1) Nhận diện bài toán vận tải……… ……

2) Phương pháp giải bài toán vận tải……….………

III MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ KẾT QUẢ……….………

1) Ví dụ 1……… ………

2) Ví dụ 2……… ………….

3) Ví dụ 3……….

4) Ví dụ 4……….…….

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

I.GIỚI THIỆU

1) Giới thiệu về qui hoạch tuyến tính

Qui hoạch tuyến tính ( QHTT ) là thuật toán nhằm tìm ra một kế hoạch hay phương án tốt nhất từ vô số những lựa chọn khác nhau Hiểu một cách đơn giản hơn, qui hoạch tuyến tính chính là chọn ra phương án tối ưu dựa trên những ràng buộc, hạn chế, điều kiện đặt ra

Nội dung mà qui hoạch tuyến tính thực hiện là hoạt động phân bổ nguồn lực hợp lý khi

mà nguồn tài nguyên có hạn Nếu ứng dụng vào việc kinh doanh, sản xuất thì sẽ giúp tiết kiệm được chi phí, doanh thu cao, lãi cộng gộp nhiều Nhờ vậy mà hiệu quả hoạt động được nâng cao đáng kể

Mô hình QHTT gồm 2 thành phần:

+ Hàm mục tiêu: thể hiện chính xác và cụ thể mục tiêu phải đạt được

+ Các ràng buộc: Các điều kiện là hạn chế mà nguồn lực phải tuân theo

Trong qui hoạch tuyến tính, hai khái niệm này luôn song hành cùng nhau, ràng buộc với nhau và không tách rời nhau

2) Đặt vấn đề: Bài toán vận tải:

Vận tải đóng vai trò trọng yếu của quá trình phân phối và lưu thông Nếu nền kinh tế là một cơ thể sống, trong đó hệ thống giao thông là các huyết mạch thì vận tải là quá trình đưa các chất dinh dưỡng đến nuôi các tế bào của cơ thể sống đó Một số ngành liên quan đến vận tải cũng phát triển nhanh chóng như là vận tải, logictics, kho bãi,… tuy những ngành kinh doanh tuy không mới, nhưng lại có nhiều nghiệp vụ đặc thù, khiến nhiều doanh nghiệp lúng túng và dẫn đến dễ mắc sai sót đặc biệt là trong việc quản lý kho bãi hợp lý và sử dụng chi phí một cách hiệu quả nhất Hơn thế nữa, trong cuộc sống hiện đại ngày nay việc vận chuyển hàng hóa diễn ra liên tục không ngừng nghỉ cho nên yêu cầu về

độ chính xác trong việc xử lý số liệu là vô cùng cao Vì lẽ đó “ Bài toán vận tải” đã được đặt ra

*Ví dụ về bài toán vận tải:

Một công ty sản xuất cá basa đông lạnh có ba kho hàng được đặt tại trung tâm tp Cần Thơ là A1 có 50 tấn, A2 có 90 tấn, A3 có 60 tấn Theo đơn đặt hàng thì trong ngày công

ty này thì công ty cần chuyển hàng đến hệ thống siêu thị BigC tại tp Hồ Chí Minh gồm 4 siêu thị: B1 cần 40 tấn, B2 cần 30 tấn, B3 cần 80 tấn, B4 cần 50 tấn Chi phí vận chuyển ( đơn vị tính: (100.000 VNĐ/1 tấn cá ) trên các đoạn đường tương ứng như sau:

Thu

x21

2

x22

3

x23

4

x24

x31

3

x32

6

x33

8

x34

x41

2

x42

3

x43

5

x44

Tìm phương án vận chuyển để tổng chi phí vận chuyển bé nhất

Vậy làm thế nào để ta giải quyết bài toán bằng việc ứng dụng đại số tuyến tính Chúng ta hãy bước qua phần tiếp theo

II.ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỀ BÀI TOÁN VẬN TẢI

1) Nhận diện bài toán vận tải:

Giả sử có m kho hàng A1,….,Am cùng chứa một loại hàng hóa, kho Ai chứa ai tấn hàng

Cần vận chuyển số hàng trên đến n cửa hàng B1,…,Bn , cửa hàng Bi cần số hàng bi Cước

phí vận chuyển một tấn hàng từ kho Ai đến cửa hàng Bj là cij Hãy lập phương án vận

chuyển sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

Biểu diễn đồ thị của bài toán vận tải

Các kho hàng được gọi là các điểm phát, các cửa hàng được gọi là các điểm thu Ví dụ: Có

3 điểm phát và 4 điểm thu, số hàng ở các điểm phát, nhu cầu ở các điểm thu, cước phí vận chuyển cho trong bảng sau:

Bảng trên đây được gọi là bảng vận tải.

Phương án vận chuyển

Mỗi phương án vận chuyển là một ma trận X = [xij], trong đó xij là số hàng hóa chuyển

từ Ai đến Bj ( xij ≥0 )

Chi phí vận chuyển của phương án X là:

Các ràng buộc:

với mọi i=1, ,m với mọi j=1, ,n

Như vậy bài toán vận tải là bài toán QHTT dạng chính tắc với m x n biến, hàm mục

tiêu G(X) cần cực tiểu và m+n ràng buộc

2) Phương pháp giải bài toán vận tải

Ứng dụng của đại số tuyến tính vào qui hoạch tuyến tính với bài toán vận tải là đưa các phương trình tuyến tính như Hàm mục tiêu ( chi phí nhỏ nhất ) , các ràng buộc ( thu hết hàng, phát hết hàng ) về dạng ma trận Từ đó dùng các thuật toán biến đổi để giải bài toán bằng ma trận

Với bài toán vận tải, ta sử dụng thuật toán thế vị, bao gồm các bước như sau:

 Bước 1: Tìm phương án xuất phát;

 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu của một phương án, nếu:

+ Tối ưu: đi đến kết luận;

+ Chưa tối ưu: đi đến bước 3;

 Bước 3: Tìm phương án mới tốt hơn, quay lại bước 2

Gọi: xij là lượng hàng vận chuyển từ điểm phát thứ i đến điểm thu thứ j

ij

c

là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát thứ i đến điểm thu thứ j

Ta có: c xij ij

là chi phí vận chuyển từ điểm phát i đến điểm thu j

ij ij

c x

 là tổng chi phí vận chuyển (hàm mục tiêu).

Nhiệm vụ của bài toán là tối ưu hóa chi phí vận chuyển bằng cách tìm min của hàm mục tiêu

1) Bước 1: Tìm phương án xuất phát:

Việc tìm phương án xuất phát, ta thường sử dụng một trong ba qui tắc sau:

+ Qui tắc góc Tây Bắc (North – West Corner Rule);

+ Qui tắc chi phí nhỏ nhất (Least – Cost Rule);

+ Qui tắc Voghel

Ở đây, ta sẽ đề cập đến qui tắc chi phí nhỏ nhất theo quy trình sau:

+ Tìm ô có chi phí nhỏ nhất;

+ Phân phối lượng hàng hóa tối đa có thể vào ô đó;

+ Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng hóa;

+ Tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng

Sau khi kết thúc quá trình phân phối hàng hóa vào bảng, ta cần liệt kê biến tại các ô không có hàng hóa (bằng 0) là biến không cơ sở, ngược lại ở những ô có hàng hóa (lớn hơn 0) là biến cơ sở

2) Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu của một phương án:

 Tìm các hệ số u và i v sao cho: j

ij

ij 1

; i, j: 0 0

i j

x u







 



(tính theo biến cơ sở)

 Tính cijcij (u i v j); i j x, : ij 0 (tính theo biến không cơ sở)

 Tiêu chuẩn tối ưu:

0 0

ij ij

c c











ph­ ¬ng­¸n­tèi­­ u ph­ ¬ng­¸n­ch­ a­tèi­­ u

(đối với tìm min)

3) Bước 3: Tìm phương án mới tốt hơn:

+ Chọn ô có cijâm nhất đối với bài toán tìm min (dương nhất đối với bài toán tìm max)

làm ô xuất phát

+ Từ ô có cijâm nhất và các ô có x ij 0 (biến cơ sở), tạo một vòng chu trình, di chuyển

1 lượng hàng hóa trong chu trình và lập lại bảng mới Quay lại bước 2 để kiểm tra tính tối

ưu của bảng mới này

III Một số ví dụ và kết quả:

1) Ví dụ 1:

Bài toán vận chuyển nước đá

- Tổng công ty xây dựng BÌNH DƯƠNG có 3 cơ sở sản xuất đá dăm (A1, A2, A3) g và 3 công trường

Chi phí vận chuyển 1m3 đá từ các cơ sở sản xuất đá đến các công trường tiêu thụ

đá không phụ thuộc vào khối lượng đá vận chuyển như sau (đơn vị tính 10.000 đồng):

10 m3

30 m3

20 m3

20 m3

25 m3

15 m3

B1 B2 B3

Hãy xác định phương án vận chuyển đá từ cung cấp đến nơi tiêu thụ để tổng

chi phí vận chuyển là thấp nhất Phải vận chuyển hết hàng trong kho

BÂY GIỜ THIẾT LẬP TOÀN BỘ BÀI TOÁN VẬN TẢI Ở 1 BẢN DUY NHẤT.

PHÁT HỌA BÀI TOÁN TRÊN

- Gọi xij ( i = 1, 2, 3 và j 1, 2, 3 ) là LƯỢNG NƯỚC ĐÁ cần vận chuyển từ

Cơ sở sản xuất đến Các công trường xây dựng

- Tổng chi phí vân chuyển là nhỏ nhất ( tìm hàm cực tiểu ) là

F(x) = 2x11 + x12 + 5x13

3x21 + 4x22 + 3x23 min

Khả năng cung cấp giới hạn của cơ sở A1

Lượng hàng vận chuyển

từ điểm nguồn đến điểm đích tương ứng

từ (A2 sang B3) Nhu cầu tiêu thụ của công trường B2

Cước phí vận chuyển một m3 đá từ

nơi cung cấp A3 đến công trường B1

Cơ sở

nước đá B1 B2 B3 Khả năngcung cấp

Nhu cầu

tiêu thụ 10 20 30 60

4x31 + 6x32 + 6x33

- Điều kiện của các kho:

x11 + x12 + x13 = 15

x21 + x22 +x23 = 25

x31 + x32 + x33 = 20

- Điều kiện của công trường :

x11 + x12 + x13 = 10

x21 + x22 +x23 = 20

x31 + x32 + x33 = 30

xij > 0 (i = 1, 2, 3 và j = 1, 2, 3 )

GIẢI TRÊN MATLAB:

1 Đưa các chi phí vận chuyển, như cầu sản phẩm, số lượng sản phẩm cung cấp thành MA

TRẬN

2 Đặt ma trận A là ma trận biểu diễn chi phí

2 1 5

A = 3 4 3

4 6 6

B = [ 10 20 30 ]

C = [15 ; 25 ; 30]

2) Ví dụ 2:

Một xe container của công ty sản xuất gạo An Bình vận chuyển gạo từ kho Quận 8, Thủ Đức, Dĩ An đến 4 cửa hàng bán lẻ Ngọc Trâm, Thạch Thảo, Như Phương, Minh Thoa.

Kho Quận 8 cần vận chuyển đi 140kg gạo, kho Thủ Đức vận chuyển 55kg và kho Dĩ An vận chuyển 85kg gạo.

Cửa hàng bán lẻ Ngọc Trâm cần nhập về 60kg gạo, cửa hàng Thạch Thảo cần 90kg, cửa hàng Như Phương cần 70kg và Minh Thoa cần 60kg gạo để bán.

Chi phí vận chuyển (1000đ/kg) gạo từ mỗi kho đến mỗi cửa hàng cho trong bảng sau:

Cửa hàng

Công ty An Bình cần phân phối gạo từ các kho đến các cửa hàng như thể nào để tổng chi phí vận chuyển là thấp nhất và tính chi phí đó?

GIẢI TRÊN MATLAB :

Kết quả trên cho ta thấy lời giải ban đầu chưa tối ưu nên phải lặp 5 lần mới tìm được

lời giải tối ưu.

3) Ví dụ 3:

Powerco có ba nhà máy điện cung cấp cho bốn thành phố Mỗi nhà máy có thể cung cấp số kwh điện sau đây: nhà máy 1 – 35 triệu, nhà máy 2 – 50 triệu, nhà máy 3 – 40 triệu Nhu cầu sử dụng điện cao điểm tại các thành phố này xảy ra cùng lúc như sau: thành phố

1 – 45 triệu, thành phố 2 – 20 triệu, thành phố 3 – 30 triệu, thành phố 4 – 30 triệu Chi phí

để truyền tải 1 triệu kwh điện từ nhà máy đến thành phố được cho trong bảng sau đây:

Thành phố 1 Thành phố 2 Thành phố 3 Thành phố 4

Lên kế hoạch phân phối điện năng từ 3 nhà máy đến 4 thành phố để tối thiểu hóa chi phí truyền tải và tính chi phí này?

GIẢI TRÊN MATLAB:

 Nhap ma tran chi phi:

[8 6 10 9;9 12 13 7;14 9 6 5]

 Nhap ma tran cung cap (dang cot):

[35;50;40]

 Nhap ma tran nhu cau (dang dong):

[45 20 30 30]

4) Ví dụ 4:

32 tấn trong kho quận 3 , 4 tấn trong kho quận 4, 12 tấn trong kho quận 5 Muốn vận

chuyển( chục triệu / tấn hàng ):

Cửa hàng các

tỉnh

Kho chứa lúa

Bình Dương Vũng Tàu Đồng Nai Tiền Giang Bắc

Trung Bộ

GIẢI TRÊN MATLAB:

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.https://www.academia.edu/21540412/Quy_ho%E1%BA%A1ch_tuy%E1%BA%BFn_t

%C3%Adnh

%A3i

3.Allaire, Grégoire (2005) Analyse numérique et optimisation (bằng tiếng Pháp) Ellipses ISBN 9782730212557.

4

https://123docz.net/document/5861265-code-matlab-giai-bai-toan-van-tai-transportation.html