H m Bessel v cĂc h m trử
ành nghắa v cĂc t‰nh chĐt cỡ bÊn cıa h m Bessel
X†t cĂc t‰nh chĐt cỡ bÊn cıa h m Bessel v cĂc h m trử V… phữỡng tr…nh (1.1) cõ i”m °c biằt x = 0, nản nghiằm h m u(x) cıa nõ cõ th” ữổc bi”u di„n ð d⁄ng chuỉi lụy thła tŒng quĂt
=0 vợi a 0 6= 0, sŁ mụ v cĂc hằ sŁ a k thọa mÂn ành nghắa Chuỉi lụy thła (1.2) cõ khÊ vi ‚n cĐp bĐt k… Thay chuỉi (1.2) v o phữỡng tr…nh (1.1) v ỗng nhĐt hằ sŁ hai v‚ cıa phữỡng tr…nh theo lụy thła cıa x, ta thu ữổc cĂc bi”u thức truy hỗi sau a 0 ( 2 2 )=0 a 1 [( + 1) 2 2 ]=0 a 2 [( + 2) 2 2 ] + a 0 = 0 (1.3)
Tł phữỡng tr…nh ƒu tiản cıa hằ (1.3), ta suy ra 2 2 = 0 hay = Chú ỵ r‹ng, khi 6= k
; k = 1; 2; ::: th… ta cõ i•u kiằn sau 2
Tł phữỡng tr…nh ƒu tiản cıa hằ (1.3), khi = , ta suy ra a 1 = 0 (1.5)
Theo i•u kiằn (1.4), tł phữỡng tr…nh cuŁi cũng cıa hằ (1.3) ta thu ữổc cổng thức truy hỗi a k = ak 2
Tł bi”u thức (1.5) v (1.6), ta thĐy r‹ng tĐt cÊ cĂc hằ sŁ vợi ch¿ sŁ dữợi lã •u b‹ng
0, cặn cĂc hằ sŁ vợi ch¿ sŁ dữợi chfin cõ th” ữổc bi”u di„n qua a 0 X†t trữớng
6 hổp = , khi õ, trong bi”u thức (1.6) cho k = 2p, ta thu ữổc a 2p a2p 2
2 2 p(p + ) p dửng cổng thức (1.7) mºt cĂch tuƒn tỹ, ta thu ữổc a2p = ( 1) p a 0
Nhữ v“y, nghiằm cıa phữỡng tr…nh Bessel (1.1) ữổc xĂc ành vợi º ch‰nh xĂc theo thła sŁ tòy þ a 0 Ta câ th” cho a 0 ð d⁄ng a 0 1
2 + 1) vợi l h m Gamma Euler Theo t‰nh chĐt cıa h m Gamma Euler [? ]
Tł cổng thức (1.8) v (1.9), ta thu ữổc
Dũng quy t›c d’Alembert, cõ th” chứng minh ữổc chuỉi (1.10) hºi tử tuyằt Łi vợi mồi x. ành nghắa: Chuỉi (1.10) ữổc gồi l h m Bessel lo⁄i mºt b“c v ữổc kỵ hiằu l J (x).
Ta thĐy r‹ng h m J (x) l mºt nghiằm riảng cıa phữỡng tr…nh Bessel (1.1).
X†t trữớng hổp khi = °t Y (x) = J (x), thỹc hiằn mºt cĂch tữỡng tỹ, ta cụng s‡ i ‚n ành nghắa sau ành nghắa: Chuỉi (1.10), ứng vợi =
H…nh 1.1 H m Bessel lo⁄i mºt J n (x) ứng vợi n = 0; 1; 2. l h m Bessel lo⁄i hai b“c
H…nh 1.2 H m Bessel lo⁄i hai Y n (x) ứng vợi n = 0; 1; 2.
Nghiệm thứ hai của phương trình Bessel Y(x) là một giải tuyến tính phụ thuộc vào hệ số Bessel bậc m J(x) Sự kết hợp tuyến tính của các hàm J(x) và Y(x) tạo thành một hệ nghiệm riêng hoàn chỉnh của phương trình Bessel bậc m.
Khi õ cĂc h m Y n (x) v J n (x) s‡ phử thuºc tuy‚n t‰nh v khổng h…nh th nh hằ nghiằm h m cỡ bÊn.
Ta chứng minh bi”u thức (1.12) V… k) = 1; k = 0; 1; :::, nản tŒng chuỉi trong cổng thức (1.11) b›t ƒu tł giĂ trà k = n, ta cõ
CĂc h m trử Bessel vợi cĂc ch¿ sŁ dữợi liản ti‚p nhau ( 1; v + 1) cũng cĂc
⁄o h m liản hằ vợi nhau b‹ng hằ thức truy hỗi
Chú ỵ r‹ng, cĂc h m trử Bessel vợi ch¿ sŁ dữợi l sŁ bĂn nguyản ữổc bi”u di„n thổng qua cĂc h m sỡ cĐp Th“t v“y, ta cõ
Tł ph÷ìng tr…nh (1.10), ta câ 2
T÷ìng tü, ta công câ
Chú ỵ r‹ng, tł cổng thức (1.13) v cĂc bi”u thức cıa cĂc h m sŁ J 1 (x) v Y 1 (x) ta
2 2 cõ cổng thức tŒng quĂt sau
2x 1 n 1 n vợi P n (v) v Q n (v) l nhœng a thức cõ b“c khổng vữổt quĂ n phử thuºc v o v, ngo i ra P n (0) = 1; Q n (0) = 0.
Khi x ! 1 th… ta cõ cổng thức tiằm c“n cıa h m Bessel
1 i”m khổng cıa h m Bessel: L nhœng i”m m t⁄i õ h m Bessel nh“n giĂ trà b‹ng 0 [7] — Ơy ta ch¿ x†t i”m khổng cıa h m Bessel lo⁄i mºt cõ ch¿ sŁ dữợi l sŁ nguyản Cử th”, x†t phữỡng tr…nh J n (x)=0 Phữỡng tr…nh n y luổn cõ mºt bº nghiằm dữỡng v cĂc nghiằm n y ữổc phƠn bŁ theo thứ tỹ tông dƒn, tức l
Thỹc hiằn t‰nh toĂn cĂc giĂ trà cıa 6 i”m khổng ƒu tiản cıa h m J 0 (x) vợi º ch
‰nh xĂc ‚n 4 chœ sŁ th“p phƠn, ta ữổc:
Chú ỵ r‹ng, ta cõ th” t…m khổng i”m cıa h m Bessel b‹ng cĂch sò dửng cổng thức tiằm c“n (1.16), cử th” cho J (x) = 0, ta suy ra
CĂc h m trử khĂc
Cũng vợi h m Bessel J (x) th… trong cĂc b i toĂn v“t lỵ thữớng sò dửng cĂc h m trử khĂc [8] Ta x†t mºt sŁ h m trử sau H m Hankel lo⁄i mºt i [J (x)e
H m Hankel lo⁄i mºt v lo⁄i hai ữổc bi”u di„n qua h m Bessel v Neumann nh÷ sau
Sò dửng cổng thức tiằm c“n cıa cĂc h m Bessel c“n cıa cĂc h m trử nhữ sau
J (x), ta cõ cĂc bi”u thức tiằm i + O x
Mºt bº ổi h m sŁ bĐt ký tł bº cĂc h m sŁ J (x); N (x); H (1) (x); H (2) (x) t⁄o th nh hằ nghiằm cỡ bÊn cıa phữỡng tr…nh Bessel vợi mồi giĂ trà cıa Tł õ ta
11 cõ cổng thức nghiằm tŒng quĂt cıa phữỡng tr…nh Bessel l u(x) = C 1 J (x) + C 2 N (x) ho°c u(x) = C1H (1) (x) + C2H (2) (x):
N‚u trong ph÷ìng tr…nh Bessel, ta thay x bði ix, th… c¡c h m Infeld v Macdonald s‡ t⁄o th nh hằ nghiằm cỡ bÊn cıa phữỡng tr…nh, tł õ ta cõ nghiằm tŒng quĂt u(x) = C 1 I (x) + C 2 K (x):
Khi x ! 0, ta cõ bi”u thức mổ tÊ tr⁄ng thĂi cıa cĂc h m trử
a thức Legendre
a thức trỹc giao cŒ i”n Legendre
Trong các bài toán vật lý theo thuyết hấp dẫn, đa thức Legendre là một hàm đa thức chỉnh về bậc giao Đa thức Legendre có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau và mỗi định nghĩa sẽ làm nổi bật các tính chất cụ thể cũng như những ứng dụng khác nhau trong việc giải các bài toán biên.
Ta s‡ t…m hi”u ành nghắa v cĂc t‰nh chĐt cıa a thức Legendre thổng qua
12 ph÷ìng tr…nh vi ph¥n cıa b i to¡n Sturm Liouville d
(1 x 2 ) dy y = 0; 1 x 1; dx dx jy( 1)j < 1; jy(1)j < 1:
Phữỡng tr…nh (1.19) ữổc gồi l phữỡng tr…nh vi phƠn Legendre Ta s‡ t…m nghiằm cıa phữỡng tr…nh (1.19) trong lƠn c“n cıa i”m x = 0 ð d⁄ng chuỉi lụy thła
Thay bi”u thức (1.21) v o phữỡng tr…nh (1.19) v thỹc hiằn mºt sŁ ph†p bi‚n Œi cỡ bÊn, ta thu ữổc
Tł õ, ta cõ cổng thức truy hỗi k 2 k
Cổng thức n y cho ph†p ta bi”u di„n cĂc hằ sŁ chfin qua hằ sŁ a 0 v cĂc hằ sŁ lã qua a 1
Khi a 0 6= 0; a 1 = 0, ta cõ nghiằm riảng ch¿ chứa lụy thła b“c chfin cıa x
Khi a 0 = 0; a 1 6= 0 nghiằm riảng ch¿ chứa lụy thła b“c lã cıa x
Ta thĐy r‹ng, cĂc chuỉi y 1 (x) v y 2 (x) hºi tử trản o⁄n [ 1; 1] N‚u th… jy( 1)j < 1; jy(1)j < 1.
Th“t v“y, tł cổng thức truy hỗi (1.22), khi = n(n + 1), ta cõ a n+2 = a n+4 = ::: = a n+2p = ::: = 0; nghắa l mºt trong cĂc chuỉi (1.23) ho°c (1.24) s‡ triằt tiảu v s‡ t⁄o th nh a thức b“c n. y(x) = P n (x); n = 0; 1: a thức trản l h m riảng cıa b i toĂn (1.19), (1.20) CĂc a thức n y ữổc gồi l a thức Legendre.
X†t mºt sŁ t‰nh chĐt cıa a thức Legendre [11]
1 CĂc a thức Legendre trỹc giao trản o⁄n [ 1; 1] vợi trồng sŁ p(x) = 1, tức l
Th“t v“y, theo phữỡng tr…nh Legendre, ta cõ cĂc ỗng nhĐt thức sau: d
NhƠn phữỡng tr…nh thứ nhĐt vợi P m (x), v phữỡng tr…nh thứ hai vợi P n (x), trł v‚ theo v‚ v sau õ lĐy t‰ch phƠn trản o⁄n [ 1; 1], ta ữổc
1P m dx (1 x 2 ) dx n P n dx (1 x 2 ) dx dx
2 a thức Legendre ho°c l a thức chfin ho°c l a thức lã.
3 a thức Legendre thọa mÂn cổng thức Rodrigues [12] d n
Th“t v“y, h m u(x) = C(x 2 1) n l nghiằm cıa phữỡng tr…nh
LĐy vi phƠn phữỡng tr…nh trản n + 1 lƒn, Ăp dửng cổng thức Leibnits Łi vợi ⁄o h m cıa t‰ch hai h m sŁ, ta ữổc d
(x 2 1) du (n) n(n + 1)u (n) = 0; dx dx tł Ơy suy ra h m u (n) (x) l nghiằm cıa phữỡng tr…nh Legendre khi q = n(n + 1), v u (n) (x) l a thức b“c n, trũng vợi a thức Legendre.
4.a thức Ledendre P n (x) cõ n khổng i”m khĂc nhau trong o⁄n [ 1; 1].
; ta ữổc a thức Legendre chu'n hõa
Sò dửng cổng thức (1.26), ta cõ th” t‰nh ữổc cĂc bi”u thức mºt sŁ a thức Legendre ƒu tiản
Sau n y khi nõi v• a thức Legendre chu'n hõa th… ta s‡ dũng k‰ hiằu P n (x), thay cho P n (x) H…nh (1.3) bi”u di„n 6 h m a thức Legendre chu'n hõa ƒu tiản.
H…nh 1.3 ỗ thà a thức Legendre P n (x) ứng vợi n = 0; 1; 2; 3; 4; 5.
a thức Legendre liản hổp
Trong toĂn hồc, a thức Legendre liản hổp l nghiằm ch‰nh t›c cıa phữỡng tr…nh Legendre tŒng qu¡t d 2 d
(1 x 2 ) dx 2 P n (m) (x) 2x dxP n (m) 1 x 2 (1.27) ho°c ta câ th” vi‚t l⁄i ð d⁄ng t÷ìng ÷ìng d d m 2
Trong õ cĂc hằ sŁ n v m l cĂc sŁ nguyản Phữỡng tr…nh (1.27) (hay (1.28)) cõ cĂc nghiằm khĂc khổng ch¿ trản o⁄n [ 1; 1] khi n v m nguyản vợi 0 m n Khi m l sŁ chfin th… h m P n (m) (x) l mºt a thức, khi m = 0 v n nguyản th… h m sŁ ch‰nh l a thức trỹc giao cŒ i”n Legendre (  ữổc khÊo sĂt ð mửc 1.2.1).
Phữỡng tr…nh vi phƠn Legendre thữớng ữổc g°p trong cĂc b i toĂn v“t lỵ toĂn v cĂc b i toĂn v“t lỵ lỵ thuy‚t Cử th”, nõ xuĐt hiằn trong viằc giÊi phữỡng tr…nh
Laplace (v phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄o h m riảng) trong hằ tồa º cƒu CĂc a thức
Legendre liản hổpõng vai trặ quan trồng trong viằcành nghắa h m cƒu. ành nghắa cĂc tham sŁ nguyản khổng Ơm n v m a thức Legendre liản hổp ữổc bi”u di„n qua a thức Legendre cŒ i”n nhữ sau
CĂc h m sŁ n y trong bi”u thức (1.29) thọa vợi cĂc giĂ trà xĂc ành cıa cĂc tham sŁ n v m tr…nh Legendre Łi vợi P n (x) [13] m¢n ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Legendre b‹ng c¡ch l§y vi ph¥n m lƒn ph÷ìng
M°t khĂc, theo cổng thức Rodrigues
Phữỡng tr…nh n y cho ph†p mð rºng giợi h⁄n cıa m th nh: n m n.
Ta cõ bi”u thức liản hằ giœa P n ( m) (x) v P n (m) (x)
GiÊ sò 0 m n, a thức Legendre liản hổp thọa mÂn i•u kiằn trỹc giao vợi giĂ trà m cŁ ành
1 trong õ k;n l kỵ hiằu Delta Kronecker.
Ngo i ra, a thức Legendre liản hổp cặn thọa mÂn i•u kiằn trỹc giao khi cŁ
Mºt sŁ h m a thức Legendre liản hổp
H…nh 1.4 a thức Legendre liản hổp vợi
Mºt sŁ h m a thức Legendre liản hổp nguyản dữỡng cıa m m = 1 (bản trĂi) vm = 2 (bản phÊi) ƒu tiản vợi cĂc giĂ trà nguyản Ơm v
2 ỗ thà cıa cĂc h m a thức Legendre liản hổp vợi cĂc giĂ trà khĂc nhau cıa m v n ữổc bi”u di„n trản h…nh (1.4).
H m cƒu
ành nghắa v cĂc t‰nh chĐt cỡ bÊn cıa h m cƒu
Định luật hàm cosin là một phần mở rộng của định lý Pythagore trong giải tích lượng giác, được biểu diễn trong một hệ tọa độ Descartes Định luật được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý trong các không gian được giới hạn bởi các phương trình trong lời giải của các bài toán vật lý có tính đối xứng cầu Định luật đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân riêng và trong vật lý lý thuyết, đặc biệt trong các bài toán tính toán quỹ đạo của electron trong nguyên tử, trọng trường của Geoid, trường của các hành tinh và cường độ bức xạ di tích.
Ph÷ìng tr…nh Laplace câ d⁄ng u = 0
Trong hằ tồa º cƒu phữỡng tr…nh trản ữổc vi‚t l⁄i nhữ sau
Nghiằm cıa phữỡng tr…nh n y ữổc t…m b‹ng phữỡng phĂp tĂch bi‚n u(r; ; ’) = R(r)Y ( ; ’):
Tł õ ta thu ữổc hai phữỡng tr…nh vi phƠn, phữỡng tr…nh cıa h m bĂn k‰nh
R dr dr v ph÷ìng tr…nh h m gâc
’ Y + Y =0; (1.34) vợi ’ phƒn gõc cıa toĂn tò Laplace trong hằ tồa º cƒu, cõ d⁄ng
Phữỡng tr…nh (1.34) l b i toĂn Sturm Liouville trản m°t cƒu ỡn và: 0 < evalf(-I^(i-
1)*sqrt((2*(i-1)+1)/2)); # T‰nh toĂn giĂ trà cıa biản º sõng tợi
*b:=matrix(1,dimb,cm[i]); # Ma tr“n h ng chứa cĂc phƒn tò l biản º sõng tợi
*rsferoid:=sqrt(1+epsilon^2*cos(theta)^2); # Ph÷ìng tr…nh cıa phọng cƒu d i trong hằ tồa º cƒu
*ccm:=matrix(1,dimb,(cm[i])^2); # Ma tr“n h ng chứa cĂc phƒn tò l b…nh phữỡng cıa biản º sõng tợi
*am[m,n]:=(m,n)->evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH1(n-
1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-
1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0 Pi));
# Bi„u di„n cĂc hằ sŁ am[m,n] *A:=transpose(matrix(dimb,dimb,am[m,n])); # Ma tr“n chứa cĂc phƒn tò l am[m,n]
*for n to dimb do eqn||n:d(A[n,m]*alpha[m],m=1 dimb)-b[1,n]; od; # L“p hằ cĂc phữỡng tr…nh ⁄i sŁ chứa cĂc 'n l alpha[m]
*s:=solve({seq(eqn||jj,jj=1 dimb)},
{seq(alpha[jj],jj=1 dimb)}); for h to dimb do alpha[h]:=eval(alpha[h],s); od; # Nghiằm cıa hằ cĂc phữỡng ⁄i sŁ
*for m to dimb do for n to dimb do ap[m,n]:=evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)*
HankelH2(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0 Pi)); od; od; # Bi„u di„n cĂc hằ sŁ ap[m,n]
*for n to dimb do cp[n]:d(ap[m,n]*alpha[m],m=1 dimb); cpp[n]:s(cp[n])^2; od; # T‰nh toĂn giĂ trà cıa biản º sõng truy•n qua v b…nh phữỡng cıa biản º sâng truy•n qua
*S[6]:=sum(cpp[i],i=1 dimb); # º tiảu hao cıa dặng sõng rới i
*for t from 1 to dimb do f[t]:=(1/2)*(cp[t]-I^(t-1)*sqrt((2*(t-1)+1)*(1/2)))*
I^(-(t-1)-1)*sqrt(2*(t-1)+1)* simplify(LegendreP(t-1,cos(theta)))/k; od;
*expand(evalc(abs(mysum)^2)*sin(theta)):
*sigma:d(int(op(j0,v),theta=0 Pi),j0=1 nops(v)); # Gi¡ trà cıa ti‚t diằn tĂn x⁄ to n phƒn
*plot(abs(mysum)^2/sigma,theta=0 Pi,thickness=3,labels=[theta,
T[omega](theta)]); # ỗ thà cıa h m sŁ tĂn x⁄ chu'n hõa
*Psii:d((cp[n]*sqrt((1/2)*Pi/k/r)*HankelH1(n-1+1/2,k*r)- b[1,n]*sqrt((1/2)*Pi*k*r)*HankelH2(n-1+1/2,k*r))*sqrt(1/2)* sqrt(2*(n-1)+1)*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta))),n=1 dimb);
*RePsii:=Re(Psii);ImPsii:=Im(Psii); # Phƒn thüc v phƒn £o cıa h m sâng
*awf:=(collect(evalf(evalc(abs(Psii)^2)),[sin,cos],expand))* piecewise(r