THÔNG TIN TÀI LIỆU
TRìNG I HC Sì PH M TH NH PHă H CH MINH KHOA V T Lị KHA LU N TăT NGHI P H THăNG V H MTO N NG DệNG CếA MáT Să CBI TTRONGVI C GI IC CB ITO NBI N VÔ HO NG THANH TRANG Th nh phŁ Hỗ Ch Minh - 2020 TRìNG I HC Sì PH M TH NH PHă H CH MINH KHOA V T Lị KHA LU N TăT NGHI P H THăNG V H MTO N NG DệNG CếA MáT Să CBI TTRONGVI C GI IC CB ITO NBI N TŒ bº mæn: ToĂn lỵ Ngữới hữợng dÔn: TS Lữỡng Lả HÊi Sinh vi¶n thüc hi»n: Vơ Ho ng Thanh Trang MSSV: 42:01:102:119 Th nh ph Hỗ Ch Minh - 2020 LI M U ” khâa lu“n ⁄t k‚t qu£ nh÷ hỉm nay, qu¡ tr…nh b›t ƒu v ho n thi»n em  nhn ữổc rĐt nhiãu sỹ giúp ù t quỵ thƒy cỉ, b⁄n b– v gia …nh Em xin gßi lới cÊm ỡn chƠn th nh n: u tiản l thy Lữỡng Lả HÊi - giÊng viản nh hữợng v trỹc tip hữợng dÔn em sut quĂ trnh l m khõa lun Thy luổn ỗng h nh giúp ù, ng viản, ch dÔn tn tƠm em gp vĐn ã khõ hiu Ngo i ra, em cặn nhn ữổc tł thƒy sü tü tin, kinh nghi»m sŁng v ni•m am m¶ nghi¶n cøu khoa håc Thø hai, c¡c thƒy, cổ Khoa Vt lỵ  giÊng dy, truyãn cho em nhng kin thức chuyản mổn nãn tÊng, kắ nông, phữỡng phĂp em cõ th vng bữợc v o nghã tữỡng lai Cũng vợi õ l gia nh v bn b thƠn thit luổn cnh v giúp ï em thíi gian qua Mºt lƒn nœa em xin ch¥n th nh c£m ìn Tp.HCM, ng y 30 th¡ng 06 n«m 2020 Vơ Ho ng Thang Trang Mưc löc Möc löc Mð ƒu H» thŁng mºt sŁ h m to¡n °c bi»t 1.1 H m Bessel v c¡c h m trö 1.1.1 nh nghắa v cĂc tnh chĐt cỡ bÊn ca h m Bessel 1.1.2 C¡c h m trö kh¡c 1.2 a thøc Legendre 1.2.1 a thøc trüc giao cŒ i”n Legendre 1.2.2 a thøc Legendre li¶n hỉp 1.3 H m cƒu 1.3.1 ành nghắa v cĂc tnh chĐt cỡ bÊn ca h m cƒu 1.3.2 H m ri¶ng cıa qu£ cƒu 10 12 12 16 19 19 23 Ùng döng cıa c¡c h m to¡n °c bi»t vi»c gi£i c¡c b i toĂn biản 2.1 B i toĂn vã sỹ l m nguºi cıa h…nh trư trỈn d i vỉ h⁄n 2.2 B i to¡n kh£o s¡t sü rung ºng cıa b• m°t trŁng 2.3 B i toĂn tĂn x vổ hữợng tr¶n phäng cƒu d i 25 25 29 34 Kt lun v hữợng phĂt trin 41 T i li»u tham kh£o 42 Phư lưc 44 Cỉng bŁ khoa hồc 49 M u Lỵ chồn •ti Ng y nay, vỵi sü ph¡t tri”n m⁄nh m‡ ca vt lỵ lỵ thuyt v vt lỵ toĂn viằc sò dửng cĂc h m toĂn c biằt  tr nản rĐt cn thit [1] Tm quan trồng ca cĂc h m °c bi»t n y câ li¶n quan ‚n hai y‚u tŁ cì b£n Thø nh§t, kh£o s¡t c¡c mỉ h… nh to¡n håc cıa c¡c hi»n t÷ỉng vt lỵ xÊy tỹ nhiản, ban u cn khÊo sĂt nhng b i toĂn  ữổc ìn gi£n hâa, tøc l nhœng b i to¡n m nghi»m cıa chóng câ th” t…m ÷ỉc ð d⁄ng gi£i t‰ch (nghi»m ch‰nh x¡c) Thø hai, nhœng b i to¡n ¢ ÷ỉc ìn gi£n hâa n y câ th” ÷ỉc sò dửng nhữ l php thò (h m cỡ s) hœu hi»u cho vi»c lüa chån nhœng thu“t to¡n sŁ hồc giÊi quyt nhng b i toĂn vt lỵ phøc t⁄p hìn Trong qu¡ tr…nh kh£o s¡t nhœng b i toĂn vt lỵ lỵ thuyt hay vt lỵ toĂn thữớng sò dửng nhng h m c biằt khĂc Nghiằm ca nhiãu b i toĂn vt lỵ quan trồng cõ liản quan n cĂc vĐn ã nhữ nghiản cứu cĂc quĂ trnh truyãn nhiằt v tữỡng tĂc x vợi cĂc chĐt [2], sỹ lan truyãn ca c¡c sâng i»n tł v sâng ¥m [3], kh£o s¡t lỵ thuyt phÊn ứng ht nhƠn v cĐu trúc ca cĂc sao, dÔn n viằc tm h m riảng ca b i toĂn Sturm Liouville chứa phữỡng trnh Laplace hay Helmholts, m cõ th ữổc tm thĐy dng giÊi tch ch i vợi mt s lữổng nhọ cĂc miãn khÊo sĂt [4] Trong cĂc trữớng hổp cĂc miãn khÊo sĂt cõ dng ỡn giÊn nhĐt, nhữ l o⁄n thflng, h…nh chœ nh“t hay h…nh b…nh h nh th… c¡c nghi»m h m n y ÷ỉc bi”u di„n thỉng qua c¡c h m c§p cì b£n Łi vợi nhng miãn cõ dng hnh trặn, hnh trử, hnh cƒu hay nhœng mi•n phøc t⁄p hìn th… c¡c h m riảng ữổc biu din thổng qua cĂc h m °c bi»t [5] Trong thüc ti„n nhœng h m °c biằt thữớng õng vai trặ nhữ l nghiằm ca nhng phữỡng trnh vi phƠn khĂc ca cĂc b i toĂn vt lỵ T õ, cõ th thĐy cĂc h m °c bi»t câ øng dưng vỉ cịng to lỵn c¡c ng nh khoa håc tü nhi¶n, °c bi»t l vt lỵ lỵ thuyt v vt lỵ toĂn V v“y vi»c kh£o s¡t v nghi¶n cøu mºt sŁ h m to¡n °c bi»t vi»c øng döng gi£i c¡c b i toĂn vt lỵ l mt nhiằm vử thit yu ca ngữới nghiản cứu khoa hồc tỹ nhiản Trong • t i khâa lu“n n y chóng tỉi s‡ kh£o s¡t nhœng h m to¡n °c bi»t th÷íng ÷ỉc sß dưng, nh÷ h m Bessel, tŒng qu¡t hìn l h m trư, a thøc li¶n hỉp Legendre, l cì sð ” t⁄o h m cƒu v nhœng øng dưng cıa chóng vi»c gi£i quy‚t c¡c v§n ã vt lỵ toĂn, vt lỵ lỵ thuyt, vt lỵ lữổng tò cõ chứa b i toĂn biản i vợi phữỡng trnh Helmholts i tữổng v phữỡng phĂp nghi¶n cøu Khâa lu“n nghi¶n cøu c¡c h m to¡n c biằt, tm hiu nh nghắa v tnh chĐt ca c¡c chóng Khâa lu“n cỈn kh£o s¡t øng dưng cıa c¡c h m to¡n n y vi»c gi£i c¡c b i toĂn biản CĐu trúc khõa lun Khõa lun gỗm 49 trang, 15 hnh v bÊng ữổc th” hi»n qua hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1: H» thŁng mºt sŁ h m to¡n °c bi»t Giỵi thi»u mºt sŁ h m toĂn c biằt thữớng ữổc sò dửng vt lỵ lỵ thuyt v vt lỵ toĂn nhữ h m Bessel hay tŒng qu¡t hìn l h m trư, a thøc Legendre cŒ i”n, a thøc Legendre li¶n hỉp v h m cƒu Ch÷ìng 2: Ùng dưng cıa mºt sŁ h m to¡n °c bi»t vi»c gi£i c¡c b i to¡n bi¶n Tr…nh b y øng dưng cıa c¡c h m to¡n °c bi»t thæng qua vi»c gi£i mt s b i toĂn biản nhữ b i toĂn truy•n nhi»t mºt h…nh trư d i vỉ h⁄n, b i to¡n kh£o s¡t sü rung ºng cıa b• mt trng v b i toĂn tĂn x vổ hữợng tr¶n phäng cƒu d i CuŁi cịng l phƒn k‚t lun v hữợng phĂt trin ca ã t i Ch÷ìng H» thŁng mºt sŁ h m to¡n °c bi»t 1.1 H m Bessel v c¡c h m trư H m Bessel xu§t hi»n nghi»m cıa c¡c phữỡng trnh cõ chứa toĂn tò Laplace mt phflng tåa º Oxy X†t ph÷ìng tr…nh @u @x u(x; y) 2 @u @y = u + f(x; y): Trong h» tåa º cüc (r; ’) th… phữỡng trnh  cho cõ dng @ r r @r vỵi u~(r; ’) = u(r cos ’; r sin ’) @u~ @ u~ @r 2 r @’ = u~ + f (r; ’); ~ N‚u nghi»m h m u~(r) khỉng phư thuºc v o ’ v f = th phữỡng trnh  cho tr th nh 00 u (r) + ru (r) + u(r) = 0: Ph÷ìng tr…nh n y ÷ỉc xem nh÷ l trữớng hổp riảng ca phữỡng trnh Bessel Ta cõ ph÷ìng tr…nh Bessel ð d⁄ng tŒng qu¡t 00 x u + xu + (x )u = 0: MØi nghi»m h m kh¡c cıa ph÷ìng tr…nh Bessel ÷ỉc gåi l h m trư 1.1.1 ành nghắa v cĂc tnh chĐt cỡ bÊn ca h m Bessel X†t c¡c t‰nh ch§t cì b£n cıa h m Bessel v c¡c h m trư V… ph÷ìng tr…nh (1.1) câ i”m °c bi»t x = 0, n¶n nghi»m h m u(x) cıa nâ câ th” ÷ỉc bi”u di„n ð d⁄ng chuØi lôy thła tŒng qu¡t k Xk akx ; u(x) = x =0 vỵi a0 6= 0, sŁ mụ v cĂc hằ s ak thọa mÂn nh nghắa Chi lơy thła (1.2) câ kh£ vi ‚n c§p b§t k… Thay chi (1.2) v o ph÷ìng tr…nh (1.1) v ỗng nhĐt hằ s hai v ca phữỡng trnh theo lơy thła cıa x, ta thu ÷ỉc c¡c bi”u thøc truy hỗi sau a0( a1[( + 1) a2[( + 2) 2 2 )=0 ]=0 (1.3) ] + a0 = ::::::::::::::::::::::: ak[( + k) 2 ] + ak = 0; k = 2; 3; ::: 2 T phữỡng trnh u tiản ca hằ (1.3), ta suy = hay = Chó þ k r‹ng, 6= ; k = 1; 2; ::: th… ta câ i•u ki»n sau ( + k) 2 6= 0; k = 1; 2; 3; ::: T phữỡng trnh u tiản ca hằ (1.3), = (1.4) , ta suy (1.5) a1 = Theo iãu kiằn (1.4), t phữỡng trnh cui ca hằ (1.3) ta thu ữổc cổng thức truy hỗi ak = ak ( + k + )( + k ) ; k = 2; 3; ::: Tł bi”u thøc (1.5) v (1.6), ta th§y r‹ng t§t c£ c¡c h» s vợi ch s dữợi là ãu bng 0, cặn cĂc hằ s vợi ch s dữợi chfin cõ th ÷ỉc bi”u di„n qua a0 X†t tr÷íng hỉp = , â, bi”u thøc (1.6) cho k = 2p, ta thu ÷ỉc a 2p a2p = 2 p(p + ) (1.7) : p dưng cỉng thøc (1.7) mºt c¡ch tuƒn tü, ta thu ÷ỉc p a2p = ( 1) a0 2p p!( + 1)( + 2):::( + p) (1.8) : Nh÷ v“y, nghi»m cıa ph÷ìng trnh Bessel (1.1) ữổc xĂc nh vợi chnh xĂc theo tha s tũy ỵ a0 Ta cõ th cho a0 ð d⁄ng a0 = + 1) (1.9) ; vợi l h m Gamma Euler Theo tnh chĐt cıa h m Gamma Euler [? ] + 1)( + 1)( + 2):::( + p) = Tł cæng thøc (1.8) v (1.9), ta thu p+1+ ) ÷ỉc ( 1) a 2p = p 2p+ + 1) p + + ) : X†t chuØi x J (x) = 2k+ Xk k + 1)2 : (1.10) =0 Dòng quy t›c d’Alembert, câ th” chøng minh ÷ỉc chi (1.10) hºi tử tuyằt i vợi mồi x nh nghắa: Chuỉi (1.10) ÷æc gåi l h m Bessel lo⁄i mºt b“c v ữổc kỵ hiằu l J (x) Ta thĐy rng h m J (x) l mt nghiằm riảng ca phữỡng trnh Bessel (1.1) X†t tr÷íng hỉp = °t Y (x) = J (x), thüc hi»n mºt c¡ch t÷ìng tü, ta cơng s‡ i ‚n ành ngh¾a sau ành ngh¾a: Chi (1.10), øng vỵi = ( 1) k + 1) Y (x) = k=0 X k k + 1) x 2k (1.11)
Ngày đăng: 24/11/2023, 15:41
Xem thêm: