giai tich 2 tich phan duong

giải tích 2,phùng trọng thực,dhbkhcm Mục lục Lời nói đầu i Những kí hiệu ii Mục lục 1 Chương 1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 2 1 1 Tích phân đường loại một 2 1 1 1 Đặt vấn đề 2 1 1 2 Định nghĩa 3 1 1 3 Tính chất của tích phân đường loại một 3 1 1 4 Trường hợp cung AB có phương trình tham số x = x(t),y = y(t),a 6 t 6 b 3 1 1 5 Trường hợp cung AB có phương trình y = y(x),a 6 x 6 b 5 1 1 6 Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y),c 6 y 6 d 5 1 1 7 Trường hợp cung AB cho trong hệ tọa độ cực x = r(ϕ) cos ϕ,y =.

Mục lục Lời nói đầu i Những kí hiệu ii Mục lục Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1.1 Tích phân đường loại 1.1.1 Đặt vấn đề 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Tính chất tích phân đường loại _ 1.1.4 Trường hợp cung AB có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), a t b _ 1.1.5 Trường hợp cung AB có phương trình y = y(x), a x b _ 1.1.6 Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y), c y d _ 1.1.7 Trường hợp cung AB cho hệ tọa độ cực x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, α ϕ β 1.1.8 Tính phân đường loại khơng gian 1.2 Tích phân đường loại hai 5 11 1.2.1 Đặt vấn đề 11 1.2.2 Định nghĩa 12 1.2.3 Mối liên hệ tích phân đường loại I tích phân đường loại II 12 _ 1.2.4 Trường hợp cung AB có phương trình tham số x = x(t), y = y(t) _ 1.2.5 Trường hợp cung AB có phương trình y = y(x) _ 1.2.6 Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y) 15 1.2.7 Tính phân đường loại hai không gian 15 1.2.8 Công thức Green 16 1.2.9 Tích phân khơng phụ thuộc vào đường 23 1.3 Thực hành MatLab 13 14 27 1.3.1 Vẽ đường cong tham số mặt phẳng 27 1.3.2 Vẽ đường cong tham số không gian 27 1.4 Bài tập 28 1.4.1 Tính tích phân đường loại I 28 1.4.2 Tính tích phân đường loại II 29 1.4.3 Tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1.1 1.1.1 1.1 Tích phân đường loại 1.2 Tích phân đường loại hai 11 1.3 Thực hành MatLab 27 1.4 Bài tập 28 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Cho hàm số z = f (x, y) > đường cong C mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy tính diện tích "hàng rào" dọc theo đường C có chiều cao điểm (x, y) f (x, y) Hình 1.1: Diện tích "hàng rào" dọc theo đường C có chiều cao điểm (x, y) f (x, y) _ _ Cho đường cong trơn C = AB xác định mặt phẳng Oxy Ta chia cung AB thành cung nhỏ Ai−1 Ai điểm A0 = A, A1 , , An = B Độ dài cung nhỏ Ai−1 Ai ký hiệu ∆`i λ = max ∆`i Ta chọn điểm tương ứng Mi (xi , yi ) cung Ai−1 Ai i CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1 Tích phân đường loại _ Hình 1.2: Chia cung AB thành cung nhỏ Ai−1 Ai Diện tích "hàng rào" cần tìm S≈ n X f (xi , yi ).∆`i i=1 Đây tổng Riemann lấy giới hạn tổng với λ → ta tích phân đường loại I 1.1.2 Định nghĩa _ Định nghĩa 1.1 Nếu f (x, y) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích phân đường loại I f dọc theo C Z n X f (x, y)d` = lim f (xi , yi ).∆`i λ→0 AB i=1 giới hạn tồn Chú ý Theo định nghĩa, tích phân đường loại I khơng phụ thuộc hướng đường cong C việc chọn hướng C không ảnh hưởng đến tổng Riemann Z Z f (x, y)d` = f (x, y)d` AB 1.1.3 10 BA Tính chất tích phân đường loại R 1d` = L AB 20 R α.f (x, y)d` = α R f (x, y)d` R R R 30 [f (x, y) + g(x, y)]d` = f (x, y)d` + g(x, y)d` AB AB AB 40 AB Nếu C = C1 ⊕ C2 R f (x, y)d` = C 1.1.4 AB R C1 f (x, y)d` + R f (x, y)d` C2 _ Trường hợp cung AB có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), a t b _ Đường cong trơn AB có phương trình tham số mặt phẳng    x = x(t) y = y(t)   a t b CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ví dụ 1.1.1 Viết phương trình tham số đoạn thẳng nối hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) Giải Phương trình tham số đoạn thẳng nối hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) ( x = xA + (xB − xA ).t, t y = yA + (yB − yA ).t Ví dụ 1.1.2 Viết phương trình tham số đường trịn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Giải Phương trình tham số đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 ( x = a + R cos t, t 2π y = b + R sin t Ví dụ 1.1.3 Viết phương trình tham số Ellipse Giải Phương trình tham số Ellipse ( x2 y + =1 a2 b x2 y + = a2 b x = a cos t, y = b sin t t 2π Theo công thức lấy vi phân cung đường cong C ta có d` = p (x0 (t))2 + (y (t))2 dt Từ đó, ta có định lý sau: _ Định lý 1.1 Cho hàm số f (x, y) liên tục cung AB Khi Zb Z f (x, y)d` = p f (x(t), y(t)) (x0 (t))2 + (y (t))2 dt a AB _ Chú ý Khi lấy tích phân theo cung AB không quan tâm đến việc điểm A hay B điểm đầu hay điểm cuối cung, mà quan tâm đến giá trị t ∈ [a, b] Khi tích phân ln tính cách lấy cận từ cận nhỏ a đến cận lớn b R Ví dụ 1.1.4 Tính I = (2 + x2 y)d`, với C nửa đường tròn x2 + y = 1, y > C Hình 1.3: Nửa đường tròn x2 + y = 1, y > CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1 Tích phân đường loại Giải Ta phải tham số hóa nửa đường trịn x2 + y = 1, y > cách đặt    ( x = cos t x0 (t) = − sin t y = sin t ⇒  y (t) = cos t  t π Khi Z Zπ (2 + x y)d` = I= π Z p 2 (2 + cos t sin t) (− sin t) + (cos t) dt = (2 + cos2 t sin t)dt = C cos3 t = 2t −  1.1.5 π = 2π + _ Trường hợp cung AB có phương trình y = y(x), a x b _ Trường hợp cung AB có phương trình y = y(x), a x b _ Định lý 1.2 Cho hàm số f (x, y) liên tục cung AB Khi Zb Z f (x, y)d` = p f (x, y(x)) + (y (x))2 dx a AB _ Thật vậy, cung AB có phương trình y = y(x), a x b tham số hóa sau:    ( x=x x0 (x) = y = y(x) ⇒  y (x) = y (x)  a x b Chú ý Trong trường hợp đặc biệt y = y(x) = Zb Z f (x, y)d` = f (x, 0)dx a AB Khi tích phân đường loại I trở thành tích phân xác định Ví dụ 1.1.5 Tính I = R y x2 d`, với C cung parabol y = nối hai điểm A(1, 1/2) B(2, 2) C x Giải Ta có d` = p p + (y (x)2 dx = + x2 dx, x Khi Z I= AB 1.1.6 y d` = x √ √  2 Z2 p Z2 p 5−2 2 3/2 2 x + x dx = + x d(1 + x ) = (1 + x ) = 6 1 _ Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y), c y d _ Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y), c y d CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN ĐƯỜNG _ Hình 1.4: AB cung parabol y = x2 nối hai điểm A(1, 1/2) B(2, 2) _ Định lý 1.3 Cho hàm số f (x, y) liên tục cung AB Khi Zd Z f (x, y)d` = f (x(y), y) p + (x0 (y))2 dy c AB _ Thật vậy, cung AB có phương trình x = x(y), c y d tham số hóa sau:    ( x = x(y) x0 (y) = x0 (y) y=y ⇒  y (y) =  c y d Ví dụ 1.1.6 Tính I = R √ xyd`, với C cung parabol x = y nối hai điểm A(0, 0) B(2, 2) C √ _ Hình 1.5: AB cung parabol x = y nối hai điểm A(0, 0) B(2, 2) Giải Ta có d` = CuuDuongThanCong.com p + (x0 (y)2 dy = p + 4y dy, 06y6 √ https://fb.com/tailieudientucntt 1.1 Tích phân đường loại Khi √ Z I= AB Đặt t = p y + 4y ⇒ tdt = 8ydy, t Z3 I= 1.1.7 Z2 p xyd` = y y + 4y dy √  3 t2 − tdt t5 t3 149 t = − = 4 16 60 _ Trường hợp cung AB cho hệ tọa độ cực x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, α ϕ β _ Trường hợp cung AB xác định hệ tọa độ cực    x = r(ϕ) cos ϕ y = r(ϕ) sin ϕ   α ϕ β Ví dụ 1.1.7 Viết phương trình tham số hóa đường trịn x2 + y = 2x hệ tọa độ cực Giải Đặt ( x = r cos ϕ y = r sin ϕ Thay x, y vào phương trình đường trịn x2 + y = 2x ta r2 = 2r cos ϕ ⇒ r = cos ϕ π π cos ϕ > ⇒ − ϕ Vậy 2     x = cos ϕ cos ϕ y = cos ϕ sin ϕ  π π   − 6ϕ6 2 ( Từ công thức đường cong C xác định hệ tọa độ cực, ta có ( x0 (ϕ) = r0 (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ (x0 (ϕ))2 = (r0 (ϕ) cos ϕ)2 − 2.r0 (ϕ) cos ϕ.r(ϕ) sin ϕ + (r(ϕ) sin ϕ)2 ⇒ y (ϕ) = r0 (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ (y (ϕ))2 = (r0 (ϕ) sin ϕ)2 + 2.r0 (ϕ) sin ϕ.r(ϕ) cos ϕ + (r(ϕ) cos ϕ)2 ⇒ (x0 (ϕ))2 + (y (ϕ))2 = (r(ϕ))2 + (r0 (ϕ))2 _ Định lý 1.4 Cho hàm số f (x, y) liên tục cung AB Khi Zβ Z f (x, y)d` = p f (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ) (r(ϕ))2 + (r0 (ϕ))2 dϕ α AB Rp Ví dụ 1.1.8 Tính x2 + y d`, với C đường cong xác định hệ tọa độ cực phương trình C r2 = cos 2ϕ, ϕ ∈ [−π/4, π/4] Giải Ta có r(ϕ) = √ sin 2ϕ sin2 2ϕ cos 2ϕ ⇒ r0 (ϕ) = − √ ⇒ (r(ϕ))2 +(r0 (ϕ))2 = cos 2ϕ+ = cos 2ϕ cos 2ϕ cos 2ϕ Khi Z p Zπ/4 Zπ/4 p Zπ/4 p π dϕ = x2 + y d` = r(ϕ) (r(ϕ))2 + (r0 (ϕ))2 = cos 2ϕ √ dϕ = cos 2ϕ C −π/4 CuuDuongThanCong.com −π/4 −π/4 https://fb.com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Hình 1.6: C đường cong xác định hệ tọa độ cực phương trình r2 = cos 2ϕ, ϕ ∈ [−π/4, π/4] 1.1.8 Tính phân đường loại không gian Khi mở rộng đường cong C xác định khơng gian tích phân đường loại I tích phân có dạng Z f (x, y, z)d` C với C đường cong lấy tích phân _ Trường hợp cung trơn AB xác định khơng gian với phương trình tham số   x = x(t)     y = y(t)  z = z(t)     a t b Ví dụ 1.1.9 Viết phương trình tham số giao tuyến mặt trụ x2 + y = mặt phẳng z = Giải Giao tuyến mặt trụ x2 + y = mặt phẳng z = thỏa  (   x = cos t 2 x +y =4 ⇒ t 2π y = sin t  z=1  z=1 Ví dụ 1.1.10 Viết phương trình tham số giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = 4z mặt phẳng z = − x Giải Giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = 4z mặt phẳng z = − x thỏa ( ( ( x2 + y + z = 4z x2 + y + (2 − x)2 = 4(2 − x) 2x2 + y = ⇒ ⇒ z =2−x z =2−x z =2−x √ x = cos t ⇒ y = sin t  √  z = − cos t    CuuDuongThanCong.com t 2π https://fb.com/tailieudientucntt 1.1 Tích phân đường loại Hình 1.7: Giao tuyến mặt trụ x2 + y = mặt phẳng z = Hình 1.8: Giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = 4z mặt phẳng z = − x _ Định lý 1.5 Cho hàm số f (x, y, z) liên tục cung AB Khi Zb Z f (x(t), y(t), z(t)) f (x, y, z)d` = p (x0 (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt a AB _ Chú ý Tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào chiều lấy tích phân cung AB Ví dụ 1.1.11 Tính I = R y sin zd`, với C : x = cos t, y = sin t, z = t, t 2π C Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x0 (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Hình 1.9: Đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t, t 2π Theo cơng thức tính tích phân đường loại I khơng gian, ta có Z2π Z I= y sin zd` = C 2π p √ Z 2 sin t sin t (− sin t) + (cos t) + dt = sin2 tdt = Ví dụ 1.1.12 Tính tích phân I = R √  2π √ = 2π t − sin 2t 2 xzd`, với C giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = mặt C nón z = x2 + y lấy phần x, z > Hình 1.10: Giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = mặt nón z = x2 + y lấy phần x, z > Giải Viết phương trình tham số hóa giao tuyến Giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = mặt nón z = x2 + y thỏa ( ( ( x2 + y + z = x2 + y + x2 + y = x2 + y = ⇒ ⇒ z = x2 + y z = x2 + y z2 = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 18 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG gọi trơn khúc C chia thành nhiều đoạn nhỏ đoạn nhỏ x0 (t), y (t) hàm liên tục Định lý 1.6 (Định lý Green.) Trong mặt phẳng xOy, cho D miền đóng có biên đường cong đơn giản, khép kín, trơn khúc C Các hàm P (x, y), Q(x, y) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục D Khi  I ZZ  ∂Q ∂P dxdy P (x, y)dx + Q(x, y)dy = ± − ∂x ∂y C D Dấu "+" chiều lấy tích phân trùng với chiều dương quy ước Ngược lại, ta lấy dấu "-" Chú ý Như vậy, theo đường cong C miền D nằm bên trái đường cong C chiều lấy tích phân chiều dương Chứng minh Ta chứng minh I ZZ P (x, y)dx = − C D I ZZ Q(x, y)dy = + C ∂P dxdy ∂y ∂Q dxdy ∂x D Giả sử miền D lồi theo y có nghĩa D : a x b, y1 (x) y y2 (x) Vậy miền D giới hạn cung M N, N P, P Q, QM Ta có Hình 1.19: Miền D : a x b, y1 (x) y y2 (x) ZZ ∂P dxdy = ∂y Zb Z dx y1 (x) a D Z =− PQ y2 (x) ∂P dy = ∂y Zb [P (x, y2 (x))−P (x, y1 (x))]dx = − a Z P (x, y)dx− Za MN CuuDuongThanCong.com PQ a b Z P (x, y)dx = − Zb P (x, y2 (x))dx− P (x, y1 (x))dx = Z P (x, y)dx− MN Z P (x, y)dx− Z P (x, y)dx− QM https://fb.com/tailieudientucntt NP I P (x, y)dx = − P (x, y)dx C 19 1.2 Tích phân đường loại hai Ở đây, ta sử dụng cơng thức tích phân đường loại hai ý Z Z P (x, y)dx = P (x, y)dx = 0; NP QM Tương tự, miền lồi theo x ta chứng minh ZZ I ∂Q Q(x, y)dy = + dxdy ∂x D C Vậy, chứng minh định lý cho miền D lồi theo x y Giả sử D miền đơn liên chia thành hữu hạn miền đơn giản (lồi theo x y) Giả sử miền D chia thành miền D1 , D2 , D3 với biên C1 , C2 , C3 : C1 = AmB + BA, C2 = BN + N A + AB, C3 = BnN + N B Ta có Hình 1.20: Miền D chia thành miền D1 , D2 , D3 ZZ ( ∂Q ∂P − )dxdy = ∂x ∂y D ZZ ( ∂Q ∂P − )dxdy + ∂x ∂y D1 ZZ ( D1 D3 C1 ∂Q ∂P − )dxdy = ( ∂x ∂y D2 ( D3 CuuDuongThanCong.com + Z P dx + Qdy = ∂Q ∂P − )dxdy = ∂x ∂y Z AmN Z C2 ZZ ( D2 Theo công thức Green cho miền D1 , D2 , D3 ta có ZZ Z Z ∂Q ∂P ( − )dxdy = P dx + Qdy = ∂x ∂y ZZ ZZ ∂Q ∂P − )dxdy + ∂x ∂y Z + NA BN Z + BnN AB Z P dx + Qdy = C3 BA Z + Z NB https://fb.com/tailieudientucntt ∂Q ∂P − )dxdy ∂x ∂y 20 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Cộng đẳng thức lại ta Z Z Z Z Z ZZ Z ∂Q ∂P + + ( + + + − )dxdy = ∂x ∂y D BA AmN NA BN AB Z + BnN + NB AmN I Z Z Z = + NA P (x, y)dx+Q(x, y)dy = BnN C Giả sử miền D miền đa liên, chia thành hữu hạn miền đơn liên Ví dụ, miền D tách thành miền D1 , D2 đoạn thẳng AB, M N Sử dụng công thức Green cho D1 , D2 lấy tổng chúng, ta thu định lý Green cho miền D miền đa liên Hình 1.21: Miền D tách thành miền D1 , D2 đoạn thẳng AB, M N Để chứng minh định lý Green cho trường hợp tổng quát, ta phải xấp xỉ miền D miền xét Ví dụ 1.2.5 Tính tích phân I = R x2 ydx − xy dy, với C đường tròn x2 + y = 9, lấy theo chiều C ngược chiều kim đồng hồ ∂P ∂Q = −y , = x2 Áp dụng công thức Green ∂x ∂y đường cong khép kín C, lấy theo chiều dương chiều ngược kim đồng hồ, ta I ZZ 2 I = x ydx − xy dy = + (−y − x2 )dxdy Giải Ta có P (x, y) = x2 y, Q = −xy ⇒ C D Đổi miền D : x2 + y sang hệ tọa độ cực, ta D = {(r, ϕ) : ϕ 2π, r 3} Khi Z2π I=− Z3 dϕ r rdr = − [ϕ]2π 0 r4  3 =− 81π R Ví dụ 1.2.6 Tính tích phân đường loại hai I = (x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy, với C phần đường C tròn x2 + y = thỏa điều kiện y > x, hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21 1.2 Tích phân đường loại hai Hình 1.22: C đường tròn x2 + y = 9, lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Hình 1.23: C phần đường tròn x2 + y = thỏa điều kiện y > x, hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Giải Bài tốn giải theo cách tham số hóa phần đường trịn x2 + y = thỏa điều kiện y > x Tuy nhiên, việc tính tích phân theo đường cong C phức tạp Do đó, việc thêm đường C1 đường thẳng AB vào đường cong C ta thu đường cong khép kín Từ đó, áp dụng công thức Green Vậy Z Z Z I = [(x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy] = [(x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy] − [(x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy] = C C+C1 C1 √ √ ZZ = [−(y + 2x)0x − (x2 + 2y)0y ]dxdy − Z2 [(x2 + 2x) − (x2 + 2x)]dx = √ − D ZZ = −4 dxdy = −4SD = −4 Z2 ZZ (−2 − 2)dxdy − D π.4 = −8π D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 0dx = √ − 22 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG R Ví dụ 1.2.7 Tính tích phân đường loại hai I = [(y ex − 5y)dx + (5y ex − 5)dy], với C phần C p đường tròn x = − y từ A(0, 1) đến B(0, −1) Hình 1.24: C phần đường tròn x = p − y từ A(0, 1) đến B(0, −1) p Giải Bài toán giải theo cách tham số hóa phần đường tròn x = − y Tuy nhiên, việc tính tích phân theo đường cong C phức tạp Do đó, việc thêm đường C1 đường thẳng BA vào đường cong C ta thu đường cong khép kín theo chiều chiều kim đồng hồ Từ đó, áp dụng công thức Green Vậy Z Z Z x x x x I = [(y e −5y)dx+(5y e −5)dy] = [(y e −5y)dx+(5y e −5)dy]− [(y ex −5y)dx+(5y ex −5)dy] = C C+C1 ZZ =− x [(5y e Z1 −5)0x −(y ex −5y)0y ]dxdy− C1 ZZ [(5y e −5)]dy = − −1 D ZZ = −5 Z1 (5y e −5y e +5)dxdy− (5y −5)dy = x x −1 D  1 5π π.1 +8=− + dxdy − y − 5y −1 = −5SD + = −5 2 D Ứng dụng công thức Green tính diện tích miền phẳng D Từ cơng thức Green cho Q(x, y) = x P (x, y) = −y ta ZZ I SD = dxdy = xdy − ydx D C Ví dụ 1.2.8 Tính diện tích miền phẳng D giới hạn x = cos3 t, y = sin3 t, t 2π Giải Từ công thức Green cho Q(x, y) = x P (x, y) = −y ta ZZ SD = dxdy = D = I C xdy − ydx = Z2π [x(t).y (t) − y(t).x0 (t)]dt = Z2π Z2π Z2π 3 3 2 [cos t.3 sin t cos t − sin t.3 cos t.(− sin t)]dt = [sin t cos t]dt = sin2 2tdt = 0   Z2π 3 sin 4t 2π 3π = (1 − cos 4t)dt = t − = 16 16 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 23 1.2 Tích phân đường loại hai Hình 1.25: Miền phẳng D giới hạn x = cos3 t, y = sin3 t, t 2π 1.2.9 Tích phân khơng phụ thuộc vào đường Định lý 1.7 Cho hàm P (x, y), Q(x, y) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở, đơn liên D chứa cung AB Khi mệnh đề sau tương đương • ∂Q ∂P = ∂x ∂y • Tích phân I = R P (x, y)dx + Q(x, y)dy không phụ thuộc đường cong trơn khúc nối cung AB AB nằm D • Tồn hàm u(x, y) vi phân toàn phần P (x, y)dx + Q(x, y)dy, tức du(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy ⇒ ∂u ∂u = P (x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y Z ⇒I= P (x, y)dx + Q(x, y)dy = u(xB , yB ) − u(xA , yA ) AB • Tích phân chu tuyến kín C, trơn tùng khúc D I I= P (x, y)dx + Q(x, y)dy = C Cách tính tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc vào đường Do tích phân I khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên ta lấy tích phân theo đường thẳng từ A đến C sau từ C đến B lấy tích phân theo đường thẳng từ A đến D sau từ D đến B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 24 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Z Z I= Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = xB Z + = AB AC CB Z Z Z yB Z P (x, yA )dx + Q(xB , y)dy, xA yA hay I= P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB Z + AD yB = xB Q(xA , y)dy + yA DB Ví dụ 1.2.9 Chứng minh rằng, tích phân đường I = Z P (x, yB )dx xA (3x2 y+y)dx+(x3 +x)dy, với A(1, −2), B(2, 3) R AB khơng phụ thuộc vào đường Tính I Giải Ta có P (x, y) = 3x2 y + y, Q(x, y) = x3 + x ⇒ liên tục R2 ∂P ∂Q ∂P ∂Q = 3x2 + 1, = 3x2 + Do đó, , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂Q ∂P = = 3x2 + ∂x ∂y Vậy tích phân I khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Cách 1: Tính I Tồn hàm u(x, y) vi phân toàn phần P (x, y)dx + Q(x, y)dy, tức du(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy ⇒ ⇒ u(x, y) = y.x3 + y.x + C(y) ⇒ ∂u = P (x, y) = 3x2 y + y ∂x ∂u = Q(x, y) = x3 + x ⇒ x3 + x + C(y) = x3 + x ⇒ C(y) = ∂y ⇒ u(x, y) = x3 y + xy Khi Z I= P (x, y)dx+Q(x, y)dy = u(xB , yB )−u(xA , yA ) = [23 3+2.3]−[13 (−2)+1.(−2)] = 30−(−4) = 34 AB Cách 2: Tính I Vì tích phân I khơng phụ thuộc vào đường nên ta lấy tích phân theo đường thẳng từ A đến C, sau từ C đến B Khi Z I= Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB CuuDuongThanCong.com + AC CB ZyB ZxB Z = P (x, yA )dx + xA Q(xB , y)dy = yA https://fb.com/tailieudientucntt 25 1.2 Tích phân đường loại hai Hình 1.26: Lấy tích phân theo đường thẳng từ A đến C sau từ C đến B Z2 Z3 (3x −2 + −2)dx + =  2 (23 + 2)dy = −2x3 − 2x + [10y]3−2 = (−20 + 4) + (30 + 20) = 34 −2 Ví dụ 1.2.10 Cho hàm P (x, y) = (1 + x + y)e−y , Q(x, y) = (1 − x − y)e−y Tìm hàm h(x) thỏa h(0) = để biểu thức h(x)P (x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy vi phân tồn phần hàm u(x, y) R Với h(x) vừa tìm, tính tích phân I = [h(x)P (x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy] C nửa đường tròn C x2 + y = nằm bên phải trục tung, chiều từ điểm A(0, −3) đến điểm B(0, 3) Giải Để biểu thức h(x)P (x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm u(x, y) [h(x)Q(x, y)]0x = [h(x)P (x, y)]0y ⇒ h0 (x)Q(x, y) + h(x).Q0x = h(x).Py0 ⇒ h0 (x).(1−x−y)e−y +h(x).(−1)e−y = h(x).[e−y −(1+x+y)e−y ] ⇒ h0 (x).(1−x−y)e−y = h(x).(1−x−y)e−y ⇒ h0 (x) = h(x) ⇒ dh dh =h⇒ = dx ⇒ ln |h(x)| = x + C ⇒ h(x) = ex+C dx h Hàm h(x) thỏa h(0) = nên h(0) = e0+C = ⇒ C = Vậy h(x) = ex R Với h(x) = ex tích phân I = [h(x)P (x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy] không phụ thuộc đường C nên ta lấy tích phân theo đường thẳng x = từ A đến B Khi ZyB Z I= [h(x)P (x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy] = h(0)Q(0, y)dy = yA AB Z3 e (1 − − y)e = −y Z3 dy = −3 (1 − y)e−y dy −3 Theo cơng thức tích phân phần, đặt ( CuuDuongThanCong.com u=1−y ⇒ dv = e−y dy ( du = −dy v = −e−y https://fb.com/tailieudientucntt ... Vậy Z Z Z I = [(x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy] = [(x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy] − [(x2 + 2y)dx − (y + 2x)dy] = C C+C1 C1 √ √ ZZ = [−(y + 2x)0x − (x2 + 2y)0y ]dxdy − Z2 [(x2 + 2x) − (x2 + 2x)]dx = √ − D ZZ... https://fb.com/tailieudientucntt 25 1 .2 Tích phân đường loại hai Hình 1 .26 : Lấy tích phân theo đường thẳng từ A đến C sau từ C đến B Z2 Z3 (3x ? ?2 + ? ?2) dx + =  2 (23 + 2) dy = −2x3 − 2x + [10y]3? ?2 = (? ?20 + 4) + (30 + 20 )... Tính I = R y x2 d`, với C cung parabol y = nối hai điểm A(1, 1 /2) B (2, 2) C x Giải Ta có d` = p p + (y (x )2 dx = + x2 dx, x Khi Z I= AB 1.1.6 y d` = x √ √  2 Z2 p Z2 p 5? ?2 2 3 /2 2 x + x dx =