Tích phân đường loại 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector F = (P(x,y),Q(x,y)) xác định trên cung BC + Chia cung BC thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau bởi các điểm B = B0,B1,...,Bn = C.

Tích phân đường loại 2

TS Huỳnh Thị Hồng Diễm

Bộ Môn Toán

Trường Đại học Bách Khoa TPHCM

TPHCM, Tháng 5 năm 2020.

Nội dung

1 Định nghĩa tích phân đường 22 Cách tính tích phân đường 23 Định lý Green

Nội dung

1 Định nghĩa tích phân đường 2

2 Cách tính tích phân đường 23 Định lý Green

Nội dung

1 Định nghĩa tích phân đường 22 Cách tính tích phân đường 2

3 Định lý Green

1 Định nghĩa tích phân đường 22 Cách tính tích phân đường 23 Định lý Green

1 Định nghĩa tích phân đường 22 Cách tính tích phân đường 23 Định lý Green

1 Định nghĩa tích phân đường 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector −→F = (P(x,y),Q(x,y))

[P(xk,yk)∆xk +Q(xk,yk)∆yk].+ Nếu lim

n→∞Sn tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung BC Kí hiệu là:

P(x,y)dx +Q(x,y)dy

1 Định nghĩa tích phân đường 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector −→F = (P(x,y),Q(x,y))

[P(xk,yk)∆xk +Q(xk,yk)∆yk].+ Nếu lim

n→∞Sn tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung BC Kí hiệu là:

P(x,y)dx +Q(x,y)dy

1 Định nghĩa tích phân đường 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector −→F = (P(x,y),Q(x,y))

[P(xk,yk)∆xk +Q(xk,yk)∆yk].+ Nếu lim

n→∞Sn tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung BC Kí hiệu là:

P(x,y)dx +Q(x,y)dy

1 Định nghĩa tích phân đường 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector −→F = (P(x,y),Q(x,y))

[P(xk,yk)∆xk +Q(xk,yk)∆yk].+ Nếu lim

n→∞Sn tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung BC Kí hiệu là:

P(x,y)dx +Q(x,y)dy

1 Định nghĩa tích phân đường 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector −→F = (P(x,y),Q(x,y))

[P(xk,yk)∆xk +Q(xk,yk)∆yk].+ Nếu lim

n→∞Sn tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung BC

Kí hiệu là:

P(x,y)dx +Q(x,y)dy

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector −→F = (P(x,y),Q(x,y))

[P(xk,yk)∆xk +Q(xk,yk)∆yk].+ Nếu lim

n→∞Sn tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung BC Kí hiệu là:

P(x,y)dx +Q(x,y)dy

2 Cách tính tích phân đường 22.1 Trường hợp cung

AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)

t = a ứng với điểm đầu của

2 Cách tính tích phân đường 22.1 Trường hợp cung

AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)

t = a ứng với điểm đầu của

AB, t = b ứng với điểm cuối của cung

AB.Khi đó,Z

2 Cách tính tích phân đường 22.1 Trường hợp cung

AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)

t = a ứng với điểm đầu của

AB, t = b ứng với điểm cuối của cung

AB.Khi đó,Z

2.1 Trường hợp cung

AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)

t = a ứng với điểm đầu của

AB, t = b ứng với điểm cuối của cung

AB.Khi đó,Z

2.1 Trường hợp cung

AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)

t = a ứng với điểm đầu của

AB, t = b ứng với điểm cuối của cung

AB.Khi đó,Z

2.4 Tích phân đường loại 2 trong không gian

Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với_x = x (t), y = y (t), z = z(t) Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b I =

2.4 Tích phân đường loại 2 trong không gian

Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với_x = x (t), y = y (t), z = z(t) Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b I =

2.4 Tích phân đường loại 2 trong không gian

Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với_x = x (t), y = y (t), z = z(t) Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b I =

2.4 Tích phân đường loại 2 trong không gian

Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với_x = x (t), y = y (t), z = z(t) Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b.

2.4 Tích phân đường loại 2 trong không gian

Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với_x = x (t), y = y (t), z = z(t) Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b I =

2.3 Trường hợp cungAB có phương trình x = x (y ), với y = a_là tung độ điểm đầu, y = b là tung độ điểm cuối, khi đó

2.4 Tích phân đường loại 2 trong không gian

Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với_x = x (t), y = y (t), z = z(t) Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b I =

2 Cách tính tích phân đường loại 2

Ví dụ 1: Tính I=Z

2xydx−x2dy , C là đoạn nối từO(0,0)đến A(2,1)theo các đường cong sau.

a) Đoạn thẳng OAb) Parabol x=2y2.

[2x.x2 −x

43b) Parabol x =2y2, y :0→1

I =1

[2.2y2.y.4y − (2y2)2]dy =1

12y4dy = 125

[2x.x2 −x

43b) Parabol x =2y2, y :0→1

I =1

[2.2y2.y.4y − (2y2)2]dy =1

12y4dy = 125

[2x.x2 −x

43b) Parabol x =2y2, y :0→1

I =1

[2.2y2.y.4y − (2y2)2]dy =1

12y4dy = 125

[2x.x2 −x

b) Parabol x =2y2, y :0→1

I =1

[2.2y2.y.4y − (2y2)2]dy =1

12y4dy = 125

[2x.x2 −x

43b) Parabol x =2y2, y :0→1

I =1

[2.2y2.y.4y − (2y2)2]dy =1

12y4dy = 125

2 Cách tính tích phân đường loại 2

Giải.a) Đoạn thẳng OA:y = x

2, x :0→2

I =2

[2x.x2 −x

43b) Parabol x =2y2, y :0→1

I =1

[2.2y2.y.4y − (2y2)2]dy =1

12y4dy = 125

2 Cách tính tích phân đường 2

Chú ý:

Những bài tham số hóa theo góc, ngược chiều kim đồng hồlà tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham sốgiảm dần.

Chú ý:

Những bài tham số hóa theo góc, ngược chiều kim đồng hồlà tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham sốgiảm dần.

[2cost.2sint.(−2sint) +2.(2cost)2.2sint.2cost]dt

I =2π

(−8sin2t cost+32 cos3t sint)dt

x =2costy =2sint

t :0→2π

I =2π

[2cost.2sint.(−2sint) +2.(2cost)2.2sint.2cost]dt

I =2π

(−8sin2t cost+32 cos3t sint)dt

x =2cost

y =2sint t :0→2π

I =2π

[2cost.2sint.(−2sint) +2.(2cost)2.2sint.2cost]dt

I =2π

(−8sin2t cost+32 cos3t sint)dt

x =2cost

y =2sint t :0→2π

I =2π

[2cost.2sint.(−2sint) +2.(2cost)2.2sint.2cost]dt

I =2π

(−8sin2t cost+32 cos3t sint)dt

x =2cost

y =2sint t :0→2π

I =2π

[2cost.2sint.(−2sint) +2.(2cost)2.2sint.2cost]dt

I =2π

(−8sin2t cost +32 cos3t sint)dt

3 Định lý Green

Định nghĩa:

Nếu C là đường cong kín (chu tuyến) là biên của miềnD⊂R2 chiều dương của Clà chiều mà khi người đi dọctrên biên, miền D nằm bên tay trái Tích phân đường loại 2trên đường cong kín được kí hiệu:

Pdx+Qdy

3 Định lý Green

Định nghĩa:

Nếu C là đường cong kín (chu tuyến) là biên của miềnD⊂R2 chiều dương của Clà chiều mà khi người đi dọctrên biên, miền D nằm bên tay trái Tích phân đường loại 2trên đường cong kín được kí hiệu:

Pdx+Qdy

Định nghĩa:

Nếu C là đường cong kín (chu tuyến) là biên của miềnD⊂R2 chiều dương của Clà chiều mà khi người đi dọctrên biên, miền D nằm bên tay trái Tích phân đường loại 2trên đường cong kín được kí hiệu:

Pdx+Qdy

3 Định lý Green3 Định lý Green

Cho miền D đóng và giới nội trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y)liên tụccùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền D thì tacó.

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương.

Chú ý: C có thể bao gồmnhiều chu tuyếngiới hạn miền D

3 Định lý Green3 Định lý Green

Cho miền D đóng và giới nội trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y)liên tụccùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền D thì tacó.

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương.

Chú ý: C có thể bao gồmnhiều chu tuyếngiới hạn miền D

3 Định lý Green

Cho miền D đóng và giới nội trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y)liên tụccùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền D thì tacó.

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương.

Chú ý: C có thể bao gồmnhiều chu tuyếngiới hạn miền D

3 Định lý Green

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒Py0 =xQ(x,y) =2x2y⇒Qx0 =4xy

I Green= +

[4xy−x]dxdy , với D:x2 +y2 ≤4I=0

3 Định lý Green

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒Py0 =xQ(x,y) =2x2y⇒Qx0 =4xy

I Green= +

[4xy−x]dxdy , với D:x2 +y2 ≤4I=0

3 Định lý Green

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒Py0 =xQ(x,y) =2x2y⇒Qx0 =4xyI Green= +

Z Z

[4xy−x]dxdy , với D:x2 +y2 ≤4

I=0

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒Py0 =xQ(x,y) =2x2y⇒Qx0 =4xyI Green= +

Z Z

[4xy−x]dxdy , với D:x2 +y2 ≤4I=0

P(x,y) = x−y3 ⇒Py0 = −3y2Q(x,y) = x3+y3 ⇒Qx0 =3x2

I Green= +

Z Z

[3x2+3y2]dxdy =π/2

3r2.rdr = 3π

8

P(x,y) = x−y3 ⇒Py0 = −3y2Q(x,y) = x3+y3 ⇒Qx0 =3x2

I Green= +

Z Z

[3x2+3y2]dxdy =π/2

3r2.rdr = 3π

8

P(x,y) = x−y3 ⇒Py0 = −3y2Q(x,y) = x3+y3 ⇒Qx0 =3x2

I Green= +

Z Z

[3x2+3y2]dxdy =π/2

3r2.rdr = 3π

8

P(x,y) =y3 ⇒Py0 =3y2Q(x,y) =x2y ⇒Qx0 =2xy

I Green= +

Z Z

[2xy −y2]dxdy =2π

−3r2 sin2ϕ.rdrdϕ =−45π

4

P(x,y) =y3 ⇒Py0 =3y2Q(x,y) =x2y ⇒Qx0 =2xy

I Green= +

Z Z

[2xy −y2]dxdy =2π

−3r2 sin2ϕ.rdrdϕ =−45π

4

P(x,y) =y3 ⇒Py0 =3y2Q(x,y) =x2y ⇒Qx0 =2xyI Green= +

Z Z

[2xy −y2]dxdy =2π

−3r2 sin2ϕ.rdrdϕ =−45π

4

a) Với C đường tròn (x−2)2+ (y−1)2=1 theo chiều ngượcchiều KĐH.

b) Vơi C là đường tròn x2+y2 =1 theo chiều ngược chiều KĐH.Giải a) P(x,y) =−y

Z Z

(Qx0 −Py0)dxdyZ Z

0dxdy =0

a) Với C đường tròn (x−2)2+ (y−1)2=1 theo chiều ngượcchiều KĐH.

b) Vơi C là đường tròn x2+y2 =1 theo chiều ngược chiều KĐH.Giải a) P(x,y) =−y

Z Z

(Qx0 −Py0)dxdyZ Z

0dxdy =0

Ví dụ 6: Tính I =

xdy −ydxx2+y2

a) Với C đường tròn (x−2)2+ (y−1)2=1 theo chiều ngượcchiều KĐH.

b) Vơi C là đường tròn x2+y2 =1 theo chiều ngược chiều KĐH.Giải a) P(x,y) =−y

Z Z

(Qx0 −Py0)dxdyZ Z

0dxdy =0

Giải b)(C)là đường tròn x2 +y2 =1 theo chiều ngượcchiều KĐH

x= cost

y= sintt:0→2πI=

Giải Công của lực −→F được tính theo công thức

I =C

3r2.rdrdϕ = −12π

Giải Công của lực −→F được tính theo công thức

(3x2+3y2)dxdy với D :x2+y2≤4,y ≤0

I = −

3r2.rdrdϕ = −12π

Giải Công của lực −→F được tính theo công thức

(3x2+3y2)dxdy với D :x2+y2≤4,y ≤0

I = −

3r2.rdrdϕ = −12π

Giải Công của lực −→F được tính theo công thức

3r2.rdrdϕ = −12π

Ví dụ 7: Tính công của lực −→F = (x,x3+3xy2) di chuyển mộtchất điểm đi từ điểm bắt đầu (−2,0) dọc theo trục Ox đến

(2,0), sau đó đi theo nửa đường tròn y = −√

4−x2 về điểmxuất phát.

Giải Công của lực −→F được tính theo công thức

3r2.rdrdϕ = −12π