TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

1.Định nghĩa tp mặt loại 1 2.Tính chất tp mặt loại 1 3.Cách tính tp mặt loại 1 4. Ứng dụng tp mặt loại 1

TÍCH PHÂN MẶT

Phần 1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

NỘI DUNG

1 Định nghĩa tp mặt loại 1

2 Tính chất tp mặt loại 1

3 Cách tính tp mặt loại 1

4 Ứng dụng tp mặt loại 1

Định nghĩa tích phân mặt loại 1

1

n

k

=

S là mặt cong trong R3, f(x,y,z) xác định trên S

Tổng tích phân:

( , , ) lim n

n S

f x y z ds S

→

=

 : tp mặt loại 1 của f trên S

Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích

Sk, Mk  Sk

( )

1

n

k

=

Tính chất tp mặt loại 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

f x y z ds = f x y z ds + f x y z ds

1

S

S =  ds

1/ Diện tích của mặt cong S

2/ Tp mặt loại 1 không phụ thuộc phía của mặt cong S 3/ Nếu S = S1  S2

Tính chất tp mặt loại 1

1

( , , ) 2 ( , , )

f x y z ds = f x y z ds

4/ Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng qua mp

z = 0 (Oxy)

f chẵn theo z:

f lẻ theo z: ( , , ) 0

S

f x y z ds =



Cách tính tp mặt loại 1

( , , ) ( , , ( , ) ) 1 x y

z x

Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền D, khi đó

1 x y

ds = + z  + z  dxdy : vi phân mặt

Cách tính tp mặt loại 1

Ví dụ

S

I =  x + y ds

1/ Tính:

S là phần mặt nón nằm dưới

mp z = 1.

I =  zxds S là phần mặt x + y + z = 3 2/ Tính:

bị chắn bởi các mặt 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0

I =  zds S là phần mặt z = x2 + y2

3/ Tính:

bị chắn giữa các mặt z = 1 và z = 2

VÍ DỤ

2

4

z = − x − y

4/ Tính diện tích của

bị chắn trong mặt trụ

2

D

2 2 4

z = − x − y

2

x + y = y

2z = x

5/ Tính diện tích của phần mặt trụ:

bị chắn bởi các mặt x − 2 y = 0, y − 2 x = 0,

2 2

2 2

x =

2

2z = x

2 2

6/ Tính diện tích của phần mặt nón:

bị chắn bởi mặt cầu: x2 + y2 + z2 = 2

2 2 2

4

7/ Tính diện tích của phần mặt cầu:

bị chắn bởi các mặt: x = z z , = 3 , x x  0

Phần mặt cầu gồm 2 nửa S1 và S2:

y =  − x − z

Hình chiếu của S1 và S2 lên Oxz giống nhau và

xác định bởi:

 S = S1 + S2

:

D







2 2

:

D







z

x

4



2 2

1 ( ) ( )

2

4

D

z

D

x

dxdz

x z

=

−

 +

−







2

2 4

rdr d

r







=

−

2 3

S = S + S = 

4