TÍCH PHÂN KÉP

1.1. Định nghĩa tích phân kép.............................................. 2 1.1.1. Đặt vấn đề............................................................................ 2 1.1.2. Định nghĩa............................................................................ 4 1.1.3. Tính chất của tích phân kép........................................................... 4 1.2. Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các................................. 5 1.2.1. Định lý Fubini ........................................................................ 5 1.2.2. Tích phân kép trên miền bất kỳ tổng quát............................................. 7 1.2.3. Đổi thứ tự lấy tích phân kép......................................................... 13

TÍCH PHÂN KÉP

Định nghĩa tích phân kép

Cho z=f(x, y) là hàm số xác định trênmiền đóng D={(x, y)∈R 2 :a6x6b, c6y 6d}.Ω là vật thể giới hạn bởi

Tính thể tíchV của vật thể Ω.

Chia miền D thành những hình chữ nhật nhỏ với độ dài ∆x = (b - a) / m và ∆y = (d - c) / n bằng cách chia đoạn [a, b] thành m đoạn nhỏ [xi-1, xi] và chia đoạn [c, d] thành n đoạn nhỏ [yj-1, yj] Từ đó, vẽ các đường thẳng song song với các trục tọa độ và đi qua các điểm x = xi và y = yj để tạo thành các hình chữ nhật nhỏ, giúp xác định thể tích gần đúng của vật thể Ω.

1.1 Định nghĩa tích phân kép 3 chia, chúng ta thu được hình chữ nhật nhỏ với diện tích ∆x.∆y.

Dij ={(x, y)∈R 2 :xi−1 6x6xi, yj−16y6yj}

Hình 1.2: Chia miền Dthành những hình chữ nhật nhỏ Dij

Để tính thể tích V của miền D, ta lấy một điểm tùy ý (x*ij, y*ij) thuộc Dij, sau đó tính tổng các thể tích của các hình hộp chữ nhật nhỏ có đáy là Dij với diện tích ∆A = ∆x.∆y và chiều cao là f(x*ij, y*ij) Thể tích của hình hộp chữ nhật nhỏ này được tính bằng f(x*ij, y*ij).∆A = f(x*ij, y*ij).∆x.∆y.

Như vậy, khi cộng tất cả những thể tích của những hình hộp chữ nhật nhỏ, chúng ta sẽ xấp xỉ được thể tích V cần tìm

Hình 1.3: Thể tích của hình hộp chữ nhật nhỏ

Hình 1.4: Thể tích gần đúng của vật thể Ω Khi cho m, n→ ∞chúng ta sẽ thu được

Cho hàm sốf(x, y)>0,∀(x, y)∈D. Định nghĩa 1.1 Tích phân kép của hàm sốf(x, y) trên miềnD là ¨

X j=1 f(x ∗ ij , y ∗ ij )∆x∆y nếu giới hạn này tồn tại Lúc nàyf(x, y) được gọi làhàm khả tíchtrênD.

1.1.3 Tính chất của tích phân kép

1 0 Nếu D=D1+D2 vàf(x, y) khả tích trênDthì ¨

2 0 Nếu f(x, y) và|f(x, y)|là những hàm khả tích trên D thì ¨

3 0 Nếu f(x, y) vàg(x, y) là những hàm khả tích trên Dthì ¨

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

4 0 Nếuf(x, y) là hàm khả tích trên Dthì ¨

5 0 Nếuf(x, y) và g(x, y)là những hàm khả tích trên D vàf(x, y)6g(x, y),∀(x, y)∈D thì ¨

6 0 NếuD là miền đóng, bị chặn thì

1.2 Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Giả sửf(x, y)>0,∀(x, y)∈D= [a, b]×[c, d]là hàm liên tục trên hình chữ nhậtD.Chúng ta cần tính tích phân I =˜

Chúng ta sử dụng kí hiệu ´d c f(x, y)dycó nghĩa là cho x cố định và lấy tích phân của hàm f(x, y) theo biến y từ c đến d.Như vậy, h(x) ˆd c f(x, y)dy.

Nếu chúng ta tiếp tục lấy tích phân của hàmh(x)theo biến x từ ađến b, ta được ˆb a h(x)dx ˆb a

Tương tự, chúng ta cũng có khái niệm tích phân ´d c

# dy Định lý 1.1: (Định lý Fubini).

Cho f(x, y) >0,∀(x, y)∈D ={(x, y) ∈R 2 :a6x6b, c 6y 6d} là hàm liên tục trên miền

Chứng minh.Theo định nghĩa tích phân kép thì ˜

D f(x, y)dxdy là thể tíchV của vật thểΩ giới hạn bởi

Hình 1.5: Diện tích mặt cắth(x) Ngoài ra, ta cũng có công thức khác để tính thể tích của vật thểΩ

V ˆ b a h(x)dx, trong đóh(x)là diện tích của mặt cắt của mặt phẳng vuông góc với trụcOxvới mặt congz=f(x, y). Khi cho x cố định, thì h(x) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong C:z=f(x, y), z = 0 vàc6y6d Do đó h(x) ˆd c f(x, y)dy.

Chứng minh tương tự, ta có ¨

Ví dụ 1.2.1 Tính tích phânI =˜

Cách 1 Theo định lý Fubini, đầu tiên lấy tích phân theo biếny, ta có

1.2 Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các 7

Cách 2.Theo định lý Fubini, đầu tiên lấy tích phân theo biếnx, ta có

Chú ý.Trong trường hợp đặc biệt nếu f(x, y) =f 1 (x).f 2 (y) thì ¨

Ví dụ 1.2.2 Tính tích phânI =˜

(sinxcosy)dxdy ˆπ/2 0 sinxdx. ˆπ/2 0 cosydy= [−cosx] π/2 0 [siny] π/2 0 = 1.1 = 1.

1.2.2 Tích phân kép trên miền bất kỳ tổng quát Đối với tích phân kép, miềnD không chỉ là hình chữ nhật mà có thể là một miền Dbất kỳ tổng quát Giả sử D là miền bị chặn, có nghĩa là D bị đóng bởi hình chữ nhật R Khi đó, ta định nghĩa hàm mớiF trên miềnR như sau:

NếuF(x, y) là hàm khả tích trên R thì ¨

Hình 1.7: Miền Dbất kỳ tổng quát và miền hình chữ nhậtR Định lý 1.2

Cho hàm số f(x, y) liên tục trên miền D NếuD :a6x 6b, y1(x) 6y 6y2(x), y1(x), y2(x) liên tục trên [a, b]thì ¨

Chứng minh.Theo định lý Fubini ta có ¨

Mặt khác, doF(x, y) = 0 khi y < y1(x) hoặc y > y2(x) và F(x, y) = f(x, y) khi y1(x) 6 y 6y2(x), nên ˆ d c

Lập luận tương tự, ta có định lý sau: Định lý 1.3

Cho hàm số f(x, y) liên tục trên miền D NếuD: c 6y 6 d, x1(y) 6 x 6x2(y), x1(y), x2(y) liên tục trên [c, d]thì ¨

D xdxdy,với Dlà tam giác OAB, O(0,0), A(1,1), B(0,1).

Hình 1.9: Một số hình dạng của miền D:a6x6b,y1(x)6y6y2(x)

Giải.Miền Dđược giới hạn bởi

(xy+ 2y)dxdy,vớiDlà tam giác OAB, O(0,0), A(1,1), B(2,0).

D e x y dxdy,vớiD được giới hạn bởiy 2 =x, x= 0, y= 1.

Hình 1.13: Miền Dđược giới hạn bởiy 2 =x, x= 0, y = 1.

D x x 2 +y 2 dxdy,với Dđược giới hạn bởiy= x 2

Hình 1.14: Miền D được giới hạn bởiy = x 2

Giải.MiềnD được giới hạn bởi

(y 2 −x)dxdy,vớiDđược giới hạn bởiy 2 =x, x= 3−2y 2

Hình 1.15: Miền Dđược giới hạn bởiy 2 =x, x= 3−2y 2

Miền D1 được giới hạn bởi

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

MiềnD2 được giới hạn bởi

1.2.3 Đổi thứ tự lấy tích phân kép

Trong trường hợp lấy tích phân theo trật tự đã cho là khó, thậm chí không tìm được nguyên hàm, chúng ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân nhờ tính chất bất biến của tích phân kép trên miền bất kỳ Việc này sẽ giúp chúng ta tính tích phân dễ dàng hơn.

Ví dụ 1.2.9 TínhI ´1 0 dy ´1 y e x 2 dx

Hình 1.17: Đổi thứ tự từD={(x, y) : 06y61, y6x61}thànhD={(x, y) : 06x61,06y6x} Giải.Tích phân ´1 y e x 2 dxkhông tính được Do đó, chúng ta cần thay đổi lại thứ tự lấy tích phân. Khi đó

1.3 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Giả sử chúng ta cần tính tích phân ˜

D f(x, y)dxdy, khi D có hình dạng như trong hình (1.3.1).

Việc mô tả miền Dtrong hệ trục tọa độ Đề-các khá phức tạp nhưng mô tả trong hệ tọa độ cực thì dễ dàng hơn.

Hệ tọa độ cực(r, ϕ) xác định một điểm có tọa độ(x, y)như sau: r 2 =x 2 +y 2 ;x=rcosϕ, y=rsinϕ; tanϕ= y x

Hình 1.19: Mối quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Đề-các

Chú ý.Khi miền D có dạng hình tròn thì ta sẽ sử dụng hệ tọa độ cực.

1.3.2 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Như vậy, miền Dtrong hình (1.3.1) xác định trong hệ tọa độ cực như sau:

Miền nhỏ bất kỳ trong hệ tọa độ cực xác định như sau:

Hình 1.20: Miền Dtrong hệ tọa độ cực và cách chia Dthành những miền nhỏ

Dij ={(r, ϕ) :ri−1 6r6ri, ϕj−16ϕ6ϕj} Lấy một điểm trongDij có tọa độ r ∗ i = 1

1.3 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực 15

Chúng ta sẽ tính diện tích của miền Dij như sau:

2(ri+ri−1)(ri−ri−1)∆ϕ=r i ∗ ∆r.∆ϕ Khi đó, tổng Riemann tương ứng là m

Nếu ta đặt g(r, ϕ) = rf(rcosϕ, rsinϕ) thì tổng Riemann ở trên có thể viết lại như sau: m

P j=1 g(r ∗ i , ϕ ∗ j ).∆r.∆ϕ.Đây chính là tổng Riemann của tích phân ´ β α ´ b ag(r, ϕ)drdϕ.Do đó, ta có ¨

X j=1 f(r i ∗ cosϕ ∗ j , r ∗ i sinϕ ∗ j )SD ij = lim m,n→∞ m

Hình 1.21: Miền Dđược chuyển từ hệ tọa độ Đề-các sang hệ tọa độ cực

Khi chuyển từ hệ tọa độ Đề-các sang hệ tọa độ cực bằng cách đổix=rcosϕ, y=rsinϕsử dụng tính gần đúng của giới hạn khi tính tích phân đối vớir vàϕ, ta có thể viết lạidA=rdrdϕ.

Hình 1.22: Diện tích của miền nhỏ D ij

Ví dụ 1.3.1 Tính tích phân˜

Giải.Chuyển miền Dsang hệ tọa độ cực bằng cách đặtx=rcosϕ, y=rsinϕ, ta được

Theo công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực, ta có ¨

Giải Chuyển miềnD sang hệ tọa độ cực bằng cách đặt x =rcosϕ, y =rsinϕ, ta được miền D được giới hạn bởi

1.3.3 Tích phân kép trên miền D tổng quát trong hệ tọa độ cực

Nếu miền D trong hệ tọa độ cực có hình dạng phức tạp hơn như hình (1.3.3) Áp dụng phương pháp giống như đối với miền tổng quát trong hệ tọa độ Đề-các, bằng cách đặt hàm mới

0, (x, y)∈R\D. ta cũng thu được định lý sau:

Nếuf(x, y) là hàm liên tục trên miềnD={(r, ϕ) :α6ϕ6β, r 1 (ϕ)6r 6r 2 (ϕ)} thì ¨

Chú ý Khi tâm của hệ tọa độ cực không trùng với tâm hình tròn thì lúc này r sẽ là hàm phụ thuộc vào góc ϕ.

Ví dụ 1.3.3 Tính tích phân˜

Giải.Từ bất đẳng thức 2x6x 2 +y 2 66x ta thấy

Do đó miềnD là miền nằm giữa hai đường tròn tâm(1,0)bán kính bằng1 và đường tròn tâm(3,0) bán kính bằng3 sao cho y6x. Đổi biếnx=rcosϕ, y=rsinϕ Thay vào bất đẳng thức2x6x 2 +y 2 66x ta được

Thay vào bất đẳng thứcy 6x ta đượcrsinϕ6rcosϕvới ϕ∈h

2,π 2 i Từ đó suy ra tanϕ61⇒ϕ6 π

Vậy, miền D được giới hạn bởi

1.3.4 Công thức đổi biến tổng quát khi tính tích phân kép

Trường hợp 1: Công thức đổi biến sang hệ tọa độ cực x=rcosϕ, y =rsinϕ,(r>0). Định thức Jacobiankhi chuyển sang hệ tọa độ cực là

Nếuf(x, y) là hàm liên tục trên miềnD={(r, ϕ) :α6ϕ6β, r1(ϕ)6r 6r2(ϕ)} thì ¨

Hình 1.27: MiềnDđược chuyển từ hệ tọa độ Đề-các sang hệ tọa độ cực bằng công thứcx=rcosϕ, y rsinϕ.

Trường hợp 2: MiềnDlà hình tròn (x−x 0 ) 2 + (y−y 0 ) 2 =R 2 , R >0.Ta dùng phép đổi biến x=x0+rcosϕ, y=y0+rsinϕ,tanϕ= y−y0 x−x 0 Định thức Jacobianlà

Khi lấy cận củar, ϕ ta coi gốc tọa độ cực dời về tâm đường tròn(x 0 , y 0 ). ˆβ α ˆb a f(x 0 +rcosϕ, y 0 +rsinϕ).rdrdϕ

Chú ý Khi đổi gốc của hệ tọa độ cực, chúng ta cần cân nhắc và ưu tiên cho hàm lấy tích phânvì hàm lấy tích phân dễ ta sẽ lấy được tích phân, sau đó chúng ta mới xem xét đến lợi ích của đổi cận lấy tích phân

Giải.Đổi biếnx−1 =rcosϕ, y−2 =rsinϕ.Thay vào bất đẳng thức(x−1) 2 +(y−2) 2 64⇒r62 vàx>1⇒cosϕ>0⇒ −π

2.Lúc này, tâm của hệ tọa độ cực sẽ dời về điểm (1,2).

Miền Dđược giới hạn bởi

3 sinϕ dϕ1.3 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực 21

Trường hợp 3: MiềnDlà ellipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, a, b >0.Ta dùng phép đổi biến x a =rcosϕ,y b =rsinϕ,tanϕ= y x.a b Định thức Jacobianlà

∂ϕ acosϕ −arsinϕ bsinϕ brcosϕ r. Định lý 1.8

Nếuf(x, y) là hàm liên tục trên miềnD D được xác định trong hệ tọa độ cực mở rộng:

D f(x, y)dxdy ˆβ α r 2 ˆ r 1 f(arcosϕ, brsinϕ).|J|drdϕ ˆβ α r 2 ˆ r 1 f(arcosϕ, brsinϕ).abrdrdϕ.

2 = rsinϕ Thay vào bất đẳng thức x 2

4 6 1 ⇒ r 6 1, và x>0⇒cosϕ>0;y >0⇒sinϕ>0từ đó suy ra 06ϕ6 π

√3 = rcosϕ, y = rsinϕ Thay vào bất đẳng thức x 2

3 cosϕ, từ đó suy ra 0 6 ϕ 6 π

3. Lúc này, miềnD được giới hạn bởi

Ứng dụng hình học của tích phân kép

1.4 Ứng dụng hình học của tích phân kép

1.4.1 Tính diện tích miền D Định lý 1.9

Diện tích miềnDđược tính theo công thức

Hình 1.31: Ứng dụng tích phân kép tính diện tích miền D

Ví dụ 1.4.1 Tính diện tích miền Dgiới hạn bởi y= (x+ 1) 2 , x=y−y 3 , x=−1, y=−1.

Giải.Ta cần chia miềnDthành hai miền D1 vàD2 để thực hiện tính toán

MiềnD 1 được giới hạn bởi

MiềnD 2 được giới hạn bởi

Hình 1.32: Miền D giới hạn bởiy= (x+ 1) 2 , x=y−y 3 , x=−1, y=−1.

Ví dụ 1.4.2 Tính diện tích miềnD={(r, ϕ) :−π

Giải.Diện tích miềnD là

1.4 Ứng dụng hình học của tích phân kép 25

1.4.2 Tính thể tích vật thể Định lý 1.10

Thể tích của vật thể Ω được giới hạn trên bởi mặt cong z = f(x, y), giới hạn dưới bởi miền

D,giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz,tựa trên biên của miền D được tính theo công thức

Ví dụ 1.4.3 Tính thể tích của vật thểΩ giới hạn bởiz= 0, x+ 2y+z= 2, x= 2y, x= 0.

Vật thể Ω bị giới hạn bởi mặt trên z = 2 - x - 2y và mặt dưới z = 0 Hình chiếu D của Ω xuống mặt phẳng Oxy bị giới hạn bởi các đường thẳng x = 2y, x = 0 và giao tuyến giữa mặt phẳng z = 2 - x - 2y và mặt phẳng Oxy: z = 0 Phương trình giao tuyến này tron mặt phẳng Oxy là phần quan trọng để xác định diện tích hình chiếu D.

Hình 1.35: Vật thể Ωgiới hạn bởi z= 0, x+ 2y+z= 2, x= 2y, x= 0 và hình chiếu D

Ví dụ 1.4.4 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởiy= 1 +x 2 , z = 3x, y= 5, z= 0 (phần x >0)

Hình 1.36: Vật thể Ωgiới hạn bởiy= 1 +x 2 , z= 3x, y= 5, z= 0 (phầnx >0) và hình chiếuD

Giải Vật thể Ω được giới hạn bởi mặt trên z = 3x và mặt dưới z = 0, hình chiếuD xuống mặt phẳngOxy được giới hạn bởi những đường thẳng y= 1 +x 2 , y= 5, x= 0.

Như vậy, thể tích của vật thểΩlà

Ví dụ 1.4.5 Tính thể tích của vật thểΩgiới hạn bởi z= 1−x 2 −y 2 ,vàz= 0.

Giải.Nếu thayz= 0 vào phương trình của paraboloidz= 1−x 2 −y 2 ,ta được x 2 +y 2 = 1.Điều này có nghĩa là phần giao của paraboloid vàz= 0 là đường trònx 2 +y 2 = 1 Do đó vật thểΩ được giới hạn trên bởi paraboloid và giới hạn dưới bởi hình trònx 2 +y 2 61.

Khi đổi sang hệ tọa độ cực, bằng cách đặt x=rcosϕ, y =rsinϕ, ta thu được miền D trong hệ tọa độ cực được xác định như sau:

Thể tích của vật thể Ωcần tìm là

2 −r 4 4 r=1 r=0 dϕ1.4 Ứng dụng hình học của tích phân kép 27

Hình 1.37: Vật thểΩ và hình chiếu D={(r, ϕ) : 06ϕ62π,06r61} ˆ2π

Ví dụ 1.4.6 Tính thể tích của vật thểΩgiới hạn trên bởi z=x 2 +y 2 , giới hạn dưới bởiz= 0,và nằm trong hình trụ x 2 +y 2 = 2x.

Hình 1.38: Xác định vật thể Ω

Giải.Khi đổi sang hệ tọa độ cực, bằng cách đặt x=rcosϕ, y =rsinϕvà thay vào phương trình mặt trụ x 2 +y 2 = 2x, ta được r 2 = 2rcosϕ⇒r= 2 cosϕ.

Như vậy miền Dtrong hệ tọa độ cực được xác định như sau:

Thể tích của vật thểΩ cần tìm là

−π/2 cos 4 ϕdϕHình 1.39: Vật thể Ωvà hình chiếu D={(r, ϕ) :−π

Thể tích của vật thể được giới hạn trênbởi mặt cong z=f2(x, y),giới hạn dưới bởi miền z=f 1 (x, y),giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trụcOz,tựa trên biên của miềnD được tính theo công thức

1.4 Ứng dụng hình học của tích phân kép 29

Ví dụ 1.4.7 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi y=x, y= 2x, x= 1, z=x 2 +y 2 , z=x 2 + 2y 2

Hình 1.41: Vật thể giới hạn bởiy=x, y= 2x, x= 1, z=x 2 +y 2 , z=x 2 + 2y 2

Hình 1.42: Hình chiếuD giới hạn bởiy=x, y= 2x, x= 1.

Giải.Vật thể Ωbịgiới hạn trên bởi mặtz =x 2 + 2y 2 ,giới hạn dưới bởi mặt z=x 2 +y 2 ,và giới hạn xung quanh bởi các mặt trụ y=x, y= 2x, x= 1.

Do đó, hình chiếu Dcủa vật thể Ωđược giới hạn bởiy=x, y= 2x, x= 1

Thể tích vật thểΩ cần tìm là

Ví dụ 1.4.8 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2x+z= 2 và (x−1) 2 +y 2 =z

Giải.Ta cần xác định giữa hai mặt cong z= 2−2x vàz= (x−1) 2 +y 2 mặt nào nằm trên và mặt nào nằm dưới Xét bất đẳng thức

Ta thu đượcx 2 +y 2 61 là mộtmiền đóng bị chặn nên dấu bất đẳng thức trên là đúng.

Vật thểΩ sẽ bịgiới hạn trênbởi mặt z= 2−2x,giới hạn dưới bởi mặt z= (x−1) 2 +y 2

Ta cần xác định hình chiếu của vật thể Ω.Để làm được điều này, ta tìm giao tuyến của hai mặt z= 2−2x vàz= (x−1) 2 +y 2 và chiếu giao tuyến này xuống mặt phẳng Oxy.

Như vậy giao tuyến của hai mặt z= 2−2x và z = (x−1) 2 +y 2 cũng là giao tuyến của mặt phẳng z= 2−2x và mặt trụx 2 +y 2 = 1.

Do đó, hình chiếu D của vật thểΩ là hình tròn x 2 +y 2 61

Thể tích vật thể Ωcần tìm là

Bài tập

1.5.1 Tính tích phân kép sử dụng định lý Fubini

Bài tập 1.5.1 Tính tích phân

D xcosydxdy,với Dđược giới hạn bởiy= 0, y=x 2 , x= 1.

(x+y)dxdy,vớiD được giới hạn bởiy=√ x, y=x 2

D y 3 dxdy,vớiD là tam giácABC,với A(0,2), B(1,1), C(3,2).

(2x−y)dxdy,với Dlà tam giácOAB, vớiO(0,0), A(2,4), B(6,0).

(x+y)dxdy,vớiD là tam giácOAB với O(0,0), A(1,1), B(2,0).

(x+ 2y)dxdy,vớiD được giới hạn bởiy= 2x 2 , y= 1 +x 2

(xy)dxdy,vớiDđược giới hạn bởiy=x−1, y 2 = 2x+ 6.

D sin(y 2 )dxdy,vớiD được giới hạn bởiy=x, y = 1, x= 0, x= 1.

(xy)dxdy,vớiDđược giới hạn bởiy= 2−x 2 , y =x.

|y−x 2 |dxdy,vớiD được giới hạn bởi−16x61,06y61. Bài tập 1.5.2 Tính tích phân

Bài tập 1.5.3 Đổi thứ tự lấy tích phân của tích phân kép sau:

1.5.2 Tính tích phân kép sử dụng hệ tọa độ cực

Bài tập 1.5.4 Tính tích phân

D xdxdyvới Dlà nửa hình tròn (x−1) 2 +y 2 61, x>1.

1.5.3 Ứng dụng của tích phân kép

Bài tập 1.5.5 Tính diện tích miền phẳng:

Bài tập 1.5.6 Tính thể tích vật thể:

Lời giải bài tập chương 4

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	11,81 MB