TÍCH PHÂN BỘI BA

tích phân bội ba........................................... 2 1.1.1. Bài toán tính khối lượng của vật thể .................................................. 2 1.1.2. Định nghĩa............................................................................ 3 1.2. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các .............................. 3 1.2.1. Định lý Fubini ........................................................................ 3 1.2.2. Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω....................................... 4

Trang 1

Lời nói đầu i

Những kí hiệu ii

Mục lục 1

Chương 1 TÍCH PHÂN BỘI BA 2

1.1 Định nghĩa tích phân bội ba 2

1.1.1 Bài toán tính khối lượng của vật thể 2

1.1.2 Định nghĩa 3

1.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các 3

1.2.1 Định lý Fubini 3

1.2.2 Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω .4

1.3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ 8

1.3.1 Hệ tọa độ trụ 8

1.3.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ 8

1.4 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu 12

1.4.1 Hệ tọa độ cầu 12

1.4.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu 13

1.5 Công thức đổi biến tổng quát 17

1.5.1 Định thức Jacobian 17

1.5.2 Tính phân bội ba khi thực hiện đổi biến 17

1.5.5 Tích phân bội ba trên miền hình cầu (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2= R2 .19

1.5.6 Tích phân bội ba trên miền hình ellipsoid x2a2+y2b2+z2c2= 1 20

1.6 Ứng dụng hình học của tích phân bội ba tính thể tích vật thể 22

Trang 2

MỤC LỤC 1

1.8 Bài tập 28

1.8.1 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các 28

1.8.4 Ứng dụng hình học của tích phân bội ba 30

Trang 3

TÍCH PHÂN BỘI BA

1.1 Định nghĩa tích phân bội ba 2

1.6 Ứng dụng hình học của tích phân bội ba tính thể tích vật thể 22

1.7 Thực hành MatLab 23

1.8 Bài tập 28

1.1Định nghĩa tích phân bội ba

1.1.1 Bài toán tính khối lượng của vật thể

Cho vật thể Ω trong không gian có phân bố khối lượng không đồng đều theo thể tích của nó.Sự phân bố này trong hệ trục tọa độ Oxyz được mô tả bởi hàm mật độ f (x, y, z) (hay còn gọi là khối

Hình 1.1: Khối kim loại không đồng chất

Ω = {(x, y, z) ∈ R3: a 6 x 6 b, c 6 y 6 d, r 6 z 6 s}.

Trang 4

f (x∗ijk, y∗ijk, zijk∗ )∆x∆y.∆z.

1.1.2 Định nghĩa

Tương tự, như tích phân kép chúng ta sẽ định nghĩa tích phân bội ba:

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =Z Z Z

f (x∗ijk, yijk∗ , zijk∗ )∆x∆y.∆z.

nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f (x, y, z) được gọi là hàm khả tíchtrên Ω.

1.2Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các

1.2.1 Định lý Fubini

Tương tự như tích phân kép, ta có định lý Fubini để tính tích phân bội ba như sau:

Định lý 1.1 (Định lý Fubini) Cho f (x, y, z) là hàm liên tục trên miền Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6b, c 6 y 6 d, r 6 z 6 s} Khi đó

f (x, y, z)dzdy

dx.

Trang 5

Chú ý Theo định lý Fubini, khi lấy tích phân theo z theo ta xem z là biến số, còn x, y là hằngsố Sau đó lấy tích phân theo y thì ta xem y là biến số, còn x là hằng số Cuối cùng, ta sẽ lấy tíchphân theo x Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có 3! = 6 cách lấy tích phân khác nhau theo thứtự của các biến x, y, z.

1.2.2 Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω

Cho Ω là miền bị chặn bất kỳ, tương tự như trong bài tích phân kép, ta có thể lấy hình hộp chữnhật E chứa miền Ω, sau đó, chúng ta xây dựng một hàm mới

F (x, y, z) =(

F (x, y, z)dxdydz.

Như vậy, tương tự như tích phân kép, chúng ta cũng sẽ có định lý sau:

Trang 6

Hình 1.4: Miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)}.

Định lý 1.2 Cho miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)}, trong đó D là hình chiếucủa miền Ω xuống mặt phẳng 0xy Khi đó

I =Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =Z Z

f (x, y, z)dz

Chú ý.Khi tính tích phân bội ba, chúng ta phải xác định được hình chiếu D của vật thể V vàchuyển về tính tích phân kép Khi tính tích phân của f (x, y, z) theo biến z thì ta xem z là biến số,còn x, y là hằng số.

Ví dụ 1.2.2 Tính tích phân bội ba

I =Z Z Z

(x + 2y)dxdydz,

trong đó Ω được giới hạn bởi x2 6 y 6 x, 0 6 z 6 x.

Hình 1.5: Vật thể Ω : x26 y 6 x, 0 6 z 6 x.

Trang 7

Giải.Theo công thức tính tích phân bội ba, ta có

I =Z Z

(x + 2y)dz

Z Z

[xz + 2yz]z=xz=0dxdy =Z Z

x2+ 2yx dy

x3− x4+ x3− x5 dx = 215.

Vì vai trò của x, y, z như sau nên tương tự định lý trên ta có hai định lý sau:

Định lý 1.3 Cho miền Ω = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, y1(x, z) 6 y 6 y2(x, z)}, trong đó D là hình chiếucủa miền V xuống mặt phẳng 0xz Khi đó

I =Z Z Z

f (x, y, z)dy

Hình 1.6: Miền Ω = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D, y1(x, z) 6 y 6 y2(x, z)}.

Ví dụ 1.2.3 Tính tích phân bội ba

I =Z Z Z

vật thể Ω ta tìm giao tuyến của y = x2+ z2, y = 4.(

y = x2+ z2

x2+ z2= 4y = 4

Trang 8

Hình 1.7: Vật thể Ω : x2+ z2 6 y 6 4.

Vậy giao tuyến của y = x2+ z2, y = 4 cũng là giao tuyến của mặt trụ x2+ z2= 4 và y = 4 Từ đó ta

Theo công thức tính tích phân bội ba, ta có

I =Z Z

y=x2+z2dzdx =Z Z

4 − r2 r.rdr

4r2− r4 dr

dϕ = 2π. 4r3

f (x, y, z)dx

Trang 9

Hình 1.8: Miền Ω = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D, x1(y, z) 6 x 6 x2(y, z)}.

1.3Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

1.3.1 Hệ tọa độ trụ

Định nghĩa 1.2 Điểm M (x, y, z) trong hệ trục tọa độ Oxyz được xác định duy nhất bởi bộ (r, ϕ, z).Bộ (r, ϕ, z) được gọi làtọa độ trụcủa điểm M.

Hình 1.9: Hệ tọa độ trụCông thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ

⇔

Trang 10

Hình 1.10: Vật thể Ω trong hệ tọa độ trụ

Khi tính tích phân bội ba ta chia miền Ω thành những miền nhỏ (mảnh trụ nhỏ trong hệ tọa độtrụ) Vì khi chia nhỏ thì ta sẽ xem mảnh trụ nhỏ này gần bằng với hình hộp với các chiều dài, rộng,cao lần lượt là ∆r, r∆ϕ (cung của đường tròn bán kính r, có góc ở tâm là ∆ϕ) và ∆z Do đó thể tíchcủa mảnh trụ nhỏ này là

Trang 11

của miền Ω xuống mặt phẳng 0xy và D xác định trong hệ tọa độ cực

D = {(r, ϕ) : α 6 ϕ 6 β, r1(ϕ) 6 r 6 r2(ϕ)}.

Khi đó

I =Z Z Z

f (x, y, z)dz

z2(r cos ϕ,r sin ϕ)

f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)dzrdrdϕ.

Như vậy, khi tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ, ta phải xác định:

1 Mặt dưới z = z1(r, ϕ)2 Mặt trên z = z2(r, ϕ)

3 Hình chiếu D :(

α 6 ϕ 6 βr1(ϕ) 6 r 6 r2(ϕ)4 Công thức

I =Z β

dϕZ r2(ϕ)

Z z2(r,ϕ)z1(r,ϕ)

trong đó Ω = {(x, y, z) : 0 6 y 6 2; 0 6 x 6p4 − y2; 0 6 z 6 x}

Hình 1.12: Miền Ω = {(x, y, z) : 0 6 y 6 2; 0 6 x 6p4 − y2; 0 6 z 6 x}

Trang 12

Giải.Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z = x, mặt dưới z = 0 và mặt xung quanh là một phầntư hình tròn 0 6 y 6 2; 0 6 x 6p4 − y2 Theo công thức tính tích phân bội ba, ta có

I =Z Z

Z Z

[2xz]z=xz=0dxdy =Z Z

trong đó Ω là phần trong của hình trụ x2+ y2 = 1 nằm giữa 2 mặt z = x2+ y2 và z = 2x2+ y2

Hình 1.13: Miền Ω là phần trong của hình trụ x2+ y2= 1 nằm giữa 2 mặt z = x2+ y2 và z = 2x2+ y2

Giải.Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z = 2x2+ y2, mặt dưới z = x2+ y2 và mặt xung quanhlà mặt trụ x2+ y2 = 1 Theo công thức tính tích phân bội ba, ta có

I =Z Z

(2x2+ y2)2

(x2+ y2)22

2ϕ(cos2ϕ + 2)

48

Trang 13

Vậy I = 11π48 .

Ví dụ 1.3.3 Tính tích phân bội ba bằng cách đổi sang tọa độ trụI =

Z Z Z

x2+ y2dxdydz,

trong đó Ω được giới hạn bởi z = 0, z = y, x2+ y2 = 1 và y > 0.

Hình 1.14: Miền Ω được giới hạn bởi z = 0, z = y, x2+ y2 = 1 và y > 0.

Giải Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z = y, mặt dưới z = 0 và mặt xung quanh là mặt trụx2+ y2= 1, lấy phần y > 0 Theo công thức tính tích phân bội ba, ta có

I =Z Z

zx2+ y2

dxdy =Z Z

x = ρ sin θcos ϕy = ρ sin θsin ϕz = ρ cos θ

với 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π, ρ > 0.

Trang 14

Hình 1.15: Hệ tọa độ cầu

1.4.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầuTrong hệ tọa độ cầu, cho miền Ω được xác định như sau:

Ω = {(ρ, ϕ, θ) : ρ16 ρ 6 ρ2, α 6 ϕ 6 β, c 6 θ 6 d},ở đây ρ1 > 0, β − α 6 2π, d − c 6 π.

Khi tính tích phân bội ba ta chia miền Ω thành những miền nhỏ (mảnh cầu nhỏ trong hệ tọa độcầu) Vì khi chia nhỏ thì ta sẽ xem mảnh cầu nhỏ này gần bằng với hình hộp với các chiều dài, rộng,cao lần lượt là ∆ρ, ρ∆θ (cung của đường tròn bán kính ρ, có góc ở tâm là ∆θ) và ρ sin θ.∆ϕ (cungcủa đường tròn bán kính ρ sin θ, có góc ở tâm là ∆ϕ) Do đó thể tích của mảnh cầu nhỏ này là

thì tính phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz được xác định như sau:Z Z Z

f (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ).ρ2 sin θdρdϕdθ

Như vậy, để tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu, ta làm như sau:

1 Vật thể Ω trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi

θ16 θ 6 θ2, (0 6 θ 6 π)

ρ1(ϕ, θ) 6 ρ 6 ρ2(ϕ, θ), (ρ > 0)

Trang 15

Hình 1.16: Thể tích của mảnh cầu nhỏ dV = ρ2sin θdρdϕdθ.

2 Công thức tính tích phân bội ba

x2+ y2+ z2 = ρ2p

(x + z)dxdydz,

trong đó Ω là hình cầu đơn vị x2+ y2+ z26 1.

Giải.Vật thể Ω trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi

0 6 θ 6 π0 6 ϕ 6 2π0 6 ρ 6 1.

Vậy I = 0.

Trang 16

trong đó Ω là nửa trên hình cầu đơn vị x2+ y2+ z26 1.

Hình 1.18: Nửa trên hình cầu đơn vị x2+ y2+ z26 1.

Giải.Vật thể Ω trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi

20 6 ϕ 6 2π

Trang 17

Hình 1.19: Vật thể Ω nằm giữa hai mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1 và x2+ y2+ z2= 4 ở góc phần tám thứnhất.

Giải.Vật thể Ω trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi

21 6 ρ 6 2.

sin θdθ = 31π10 .

10 .

Ví dụ 1.4.4 Tính tích phân bội ba bằng cách đổi sang tọa độ cầu

I =Z Z Z

Trang 18

Hình 1.21: Ω = {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 6 4, z >px2+ y2}

Giải.Vật thể Ω trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi

40 6 ϕ 6 2π

x0u x0v x0wy0u yv0 y0wz0u zv0 z0w

1.5.2 Tính phân bội ba khi thực hiện đổi biến

Định lý 1.7 Tính phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz được xác địnhnhư sau:

Z Z Z

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).|J |dudvdw

1.5.3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụĐịnh lý 1.8 Định thức Jacobian được xác định như sau:

J =

x0r x0ϕ x0zyr0 yϕ0 y0zzr0 zϕ0 z0z

= r

Trang 19

Định lý 1.9 Cho miền Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y)}, trong đó D là hình chiếucủa miền V xuống mặt phẳng 0xy và D xác định trong hệ tọa độ cực

D = {(r, ϕ) : α 6 ϕ 6 β, r1(ϕ) 6 r 6 r2(ϕ)}.Khi đó

I =Z Z Z

f (x, y, z)dz

f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)dzrdrdϕ.

Hình 1.22: Vật thể Ω trong hệ tọa độ trụ

1.5.4 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầuĐịnh lý 1.10 Định thức Jacobian

J =

cos ϕ sin θ −ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ cos θsin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ

= cos θ

−ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ cos θρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ

− ρ sin θ

cos ϕ sin θ −ρ sin ϕ sin θsin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ

Trang 20

Tính phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz được xác định như sau:Z Z Z

f (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ).|J |dρdϕdθ =

=Z Z Z

f (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ).ρ2 sin θdρdϕdθ

1.5.5 Tích phân bội ba trên miền hình cầu (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 = R2

Công thức đổi biến trong hệ tọa độ cầu mở rộng là

x − x0 = ρ sin θcos ϕy − y0 = ρ sin θsin ϕ

Định thức Jacobian

J =