Đường bậc hai trong mặt phẳng Oxy có phương trình tổng quát là 2 2 0 Ax By Cxy Dx Ey F Tương tự: Mặt bậc hai trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là 2 2 2 0 Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Kz L Rút gọn pt tổng quát, ta có pt chính tắc của đường bậc 2 là:
Trang 2Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ
Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ
gọi mặt S là mặt Ellipsoid
Trang 4Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh
ellipsoid(x,y,z,a,b,c)
1.8 Mặt bậc hai
(a,0,0) (0,0,c)
(0,b,0)
Trang 5II. Mặt Paraboloid Elliptic:
tọa độ thứ 3 là 1 đường Ellipse
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt
song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol , giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic
1.8 Mặt bậc hai
Trang 7Vẽ thêm đường parabol x 2 = z trên mặt phẳng y = 0
1.8 Mặt bậc hai
Trang 8III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa):
1 Phương trình chính tắc :
2 Cách gọi tên mặt:
Cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol, cho z=c ta được giao tuyến với mặt tọa độ thứ 3 là 1 đường Hyperbol
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt
song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol , giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt S là Paraboloid Hyperbolic
Trang 9Vẽ parabol trên mp y=0
2 2
c a
Vẽ parabol trên mp x=0
2 2
c b
1.8 Mặt bậc hai
Vẽ hyperbol trên mp z=k
Trang 10III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa):
Trang 11IV. Mặt Hyperboloid Elliptic:
Khi cho z=0: có 2 trường hợp
TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse
TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì cho z=k với
ta có giao tuyến là ellipse | k | c
1.8 Mặt bậc hai
Trang 12VP là 1: 2 giao tuyến với
x=0, y=0
VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0
1.8 Mặt bậc hai
Trang 13Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt
song song với các mặt tọa độ là 2 Hyperbol , giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Hyperboloid Elliptic
Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid Elliptic trên mà
Trang 14V. Mặt Trụ bậc 2:
Định nghĩa:
Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song song với
1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong bậc 2 cố định
Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ
Trang 15Ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay
theo tên của đường chuẩn
1.8 Mặt bậc hai
Vẽ hình:
Trang 16Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh cylinder
1.8 Mặt bậc hai
Ví dụ: Mặt trụ Ellipse x 2 +4z 2 = 4
Trang 17Vẽ các đường sinh song
song với trục Oy, tựa lên
đường chuẩn là parabol
z=x 2 ở trên
đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt
phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol
1.8 Mặt bậc hai
Cách vẽ hình
Trang 181.8 Mặt bậc hai
Ví dụ: Mặt trụ Hyperbol y 2 - z 2 = 1
Trang 19đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón
Trang 21Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau z = x 2 +y 2 -2x
Giải:
Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến của mặt
đã cho với 3 mặt tọa độ
Trang 22VẼ HÌNH:
Vẽ 2 giao tuyến với 2 mặt z = 0, y = 0
-1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1
Trang 230 1 2
-2 -1.5 -1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
3hold on
Trang 240.2 0.4 0.6 0.8 1
>> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20));
>> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2)
1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)
Trang 25Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau x 2 +y 2 +z 2 -2z=0
Giải:
Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến của mặt
đã cho với 3 mặt tọa độ
Trang 26-1 -0.5 0 0.5
1 -1
0 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Trang 29Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau:
1 y 2 -z 2 +2x 2 =0
2 x 2 +2x+2z 2 -3y=0
3 xy=z 2
1 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3 là
ellipse nên ta có mặt nón ellipse
2 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic
3 2 trong 3 giao tuyến là 2 đt
Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt u2-v2=z2
Cho z=c, ta được pt của hyperbol Vậy đây là pt mặt nón hyperbol
1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)
Trang 303 2 trong 3 giao tuyến
Trang 311.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do
Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại
M 0 (x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại hình tròn mở B(M0,r) sao cho
Tức là: r 0, M d M M , , 0 r : ( , ) f x y f x y ( 0, 0)
Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại không chặt
tại M 0 (x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại hình tròn mở B(M0,r) sao cho
Trang 32Chú ý: Khái niệm cực trị chỉ mang tính địa phương, nó khác với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trong một miền (Xem hình vẽ)
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do
Trang 33Ví dụ: Hàm f(x,y) = x 2 + y 2 đạt cực tiểu bằng 0 tại (0,0) vì
(x 2 + y 2 ) ≥ 0, với mọi (x,y)
Ta còn gọi đây 0 còn là giá
Trang 34Điều kiện cần của cực trị : Nếu hàm f(x,y) có cực trị tại điểm
M0(x0,y0) thì tại M0 hàm có các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại
Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 thì gọi là điểm dừng của hàm
Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn của hàm tức là điểm nghi ngờ có cực trị
Điểm M mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 và trong 1 lân cận bất kỳ của nó tồn tại các điểm M1, M2 sao cho f(M1)<f(M)<f(M2) được gọi là điểm yên ngựa
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do
Trang 35Ví dụ: Khảo sát cực trị của hàm f(x,y) = y2 – x2
Điểm yên ngựa
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do
Trang 36Điều kiện đủ của cực trị :
Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng Mi(xi,yi)
Ta viết công thức Taylor của hàm đến bậc 2 tại Mi (lưu ý
df(Mi)=0)
2
2
1,
Trang 371.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do
Ta viết lại:
2 2
Trang 381.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do
Nếu gặp TH4, ta sẽ phải dùng định nghĩa để khảo sát cực trị
Điều kiện đủ của cực trị :
Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng Mi(xi,yi)
TH1: Hàm đạt cực đại tại Mi nếu
TH2: Hàm đạt cực tiểu tại Mi nếu D 0,A 0
TH3: Điểm Mi là điểm yên ngựa nếu D 0
TH4: Không sử dụng được đk đủ nếu D 0
Trang 39Các bước khảo sát cực trị hàm nhiều biến
Bước 2: Tại các điểm dừng thì áp dụng điều kiện đủ Tại
các điểm mà các đhr không tồn tại thì dùng định nghĩa để
xét dấu f(x,y)-f(x i ,y i )
Bước 3: Kết luận
Trang 40x y
f f
2 2
x y
x y
Trang 42Ta có : Δf(M)= f(x,y) – f(M)
Δf(M)=(x 2 +y 2 –2xy+2x–2y) – (x 0 2 +(1+x 0 ) 2 –2x 0 (x 0 +1)+2x 0 -
2(1+x 0 )) Δf(M)=(x 2 +y 2 –2xy+2x–2y) +1
Trang 43Vậy ta sẽ tính đạo hàm riêng của f tại (0,0) bằng định nghĩa:
y f
Trang 44Do vai trò x, y như nhau trong hàm f, nên tương tự ta cũng có
Vậy tại (0,0) các đhr không tồn tại hữu hạn nên(0,0) chỉ là
điểm tới hạn của hàm, tức là điểm nghi ngờ có cực trị
Mặt khác: f f x y( , ) f(0,0) 3 x2 y2 0, ( , )x y
Tức là (0,0) là điểm cực tiểu của hàm
Hơn nữa, f(0,0) = 0 nên ta có
f ct = f min = f(0,0)
1.9 Cực trị hàm nhiều biến (Tự đọc)
( ,0) 0
yf
Trang 46Tại M 3 (0,0): A = B = C = -2, Δ = 0
Ta phải xét dấu Δf = f(x,y)–f(0,0) = x 4 +y 4 –x 2 –y 2 –2xy, với mọi
(x,y) gần với (0,0) bằng cách chọn 2 điểm
Trang 47Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là khoảng cách ngắn nhất từ M đến 1 điểm N bất kỳ thuộc mp (P)
với x, y, z thỏa điều kiện : x+2y+z=4
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện
Trang 48Điểm cực
tiểu là điểm
thấp nhất
Điểm cực đại là điểm cao nhất
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện
Tuy nhiên, nếu ta cắt mặt phẳng trên bởi hình trụ tròn xoay
x 2 +y 2 = 1 ta được giao tuyến là
1 đường ellipse Tập hợp các điểm trên đường ellipse trên là những điểm thuộc tập xác định của hàm f(x,y) thỏa điều kiện x2+y2 =1
Trang 49Định nghĩa cực trị có điều kiện : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại M0(x0,y0) với điều kiện φ(x,y) = 0 nếu Δf
= f(x,y) – f(x0,y0)<0, với mọi M nằm trong hình cầu B(M0,r)
và thỏa điều kiện trên
Thay dấu “<“ bởi dấu “≤” ta được cực trị không chặt có điều kiện, và lấy dấu ngược lại ta có khái niệm cực tiểu có điều kiện
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện
Trang 50Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x 2 -9y 2 +3xy+6x-5 với điều kiện 2x – 3y = 0
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện
Tuy nhiên, hầu hết các trường hợp cực trị có điều kiện, ta không dễ dàng rút ra y theo x hoặc x theo y như trên Vì vậy,
ta sẽ xây dựng phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện 1 cách tổng quát hơn
Trang 51Bài toán: Tìm cực trị hàm z=f(x,y) với x, y thỏa điều kiện
f(x,y) và đường g(x,y)=k (hình bên)
Giá trị cực đại của hàm f(x,y) thỏa
điều kiện g(x,y)=k là giá trị lớn nhất
của c sao cho đường mức f(x,y)=c
giao với đường g(x,y)=k
Rõ ràng, c có giá trị lớn nhất khi đường mức f(x,y)=c tiếp xúc với đường cong g(x,y)=k tức là khi 2 đường cong có tiếp tuyến chung
Phương pháp nhân tử Lagrange
Trang 52Do đó, 2 đường cong có pháp tuyến tại tiếp điểm M0(x0,y0) như nhau
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện
Ta gọi λ là nhân tử Lagrange
Ta có phương pháp nhân tử Lagrange như sau:
Tìm nghiệm của hpt
(ta cũng gọi là tìm
điểm dừng):
Phương pháp nhân tử Lagrange
Suy ra, 2 vecto gradient tại tiếp điểm M0(x0,y0) tỉ lệ với nhau:
, 1,2,
i i i
y y i
Trang 53x y
Trang 54Ví dụ: Người ta làm 1 hồ nuôi cá thể tích 0.5m2 với đáy là đá
granit và 4 mặt bên bằng thủy tinh Nếu giá 1m2 đá granit cao
gấp 5 lần giá 1m2 thủy tinh thì cần làm hồ có kích thước thế
nào để chi phí làm hồ nhỏ nhất
Gọi kích cỡ 3 chiều của hồ các cần làm là x, y, z
Cách 1: Từ điều kiện, ta được thay vào hàm f ta
được hàm 2 biến, tìm cực trị hàm 2 biến
0.5
z
xy
Ta đưa yêu cầu trên thành bài toán:
Tìm cực tiểu hàm f(x,y,z)=5xy+2yz+2zx với điều kiện
xyz = 0.5
Cách 2: Tìm cực trị hàm bằng pp Lagrange
1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện
Trang 55Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) = x - 2y + 2z với điều kiện
Trang 56Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2+2y2+12xy với điều kiện 4x2+y2 = 25
3
t t
328
3
Ta thay vào pt (3), ta được 4 điểm dừng
Trang 571.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện (Tự đọc)
Ta thay vào pt (3), ta được 4 điểm dừng
4253
Trang 58Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D đóng và bị chặn Hàm f được gọi là đạt giá trị lớn nhất (GTLN) tại điểm
1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN
Trang 59Cách tìm GTLN - GTNN
1 Tìm điểm dừng trong miền D
00,
x y
f f
3 Tìm các giao điểm của các đường biên của D
4 Tính giá trị của hàm f tại các điểm dừng và các giao điểm
So sánh để tìm GTLN,GTNN
1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN
Trang 60Ví dụ: Tìm GTLN GTNN của hàm f(x,y) = x 2 +y 2 -xy trong miền
Trang 61D(0-1) C(-1,0)
Và tại 4 điểm đặc biệt: f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1
Vậy: fmax = f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1, fmin = f(M1) = 0
1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN
Trang 62Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
f(x,y) = (x-6) 2 +(y+8) 2 thỏa điều kiện x2 +y 2 ≤ 25
2 pt trên cho ta nghiệm x = 6, y = -8, không thỏa bất đẳng
thức tức là trong D không có điểm dừng
1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)
Trang 63Tìm điểm dừng trên biên D tức
là tìm điểm dừng có điều kiện
Trang 641 Tìm điểm dừng trong miền D :
A(2,0)
Ta KHÔNG nhận điểm này vì nó nằm ngoài của miền D
1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)
Trang 652 Tìm điểm dừng trên biên của D gồm 2 đường : đoạn thẳng
AB và nửa trên đường tròn ACB
Trên đoạn thẳng, ta có điều
M2(2,4)
Trang 66M1 I(1,2)
B(0,4)
A(2,0)
M2
Cuối cùng, ta tính giá trị f tại
2 điểm đặc biệt (giao của đt
và đường tròn) và tại 2 điểm
Trang 67Bài tập tham khảo
I Tìm cực trị các hàm sau
3 2 2 2 2
Trang 682 2
Bài tập tham khảo
II Tìm cực trị các hàm sau với điều kiện tương ứng