Tích Phân: Chương 1 phần 1

CHƢƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƢD CHƢƠNG 2 : TÍCH PHÂN BỘI CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG CHƢƠNG 4: TÍCH PHÂN MẶT

Môn học : GIẢI TÍCH 2

Tài liệu tham khảo:

1 Giải tích 2 (Nhóm tác giả BM Toán – ĐHBKTpHCM)

2 Calculus – James Stewart (Bản pdf miễn phí trên Bkel)

3 Điểm BT: Làm theo lớp bài tập – 5% tổng điểm môn học

4 Điểm CHK: thi tự luận chung toàn khóa, sau tuần học thứ

15 – 50% tổng điểm môn học

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƯD CHƯƠNG 2 : TÍCH PHÂN BỘI

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN MẶT

CHƯƠNG 5: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY

THỪA

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƯD 1.1 Các khái niệm cơ bản

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

1.9 Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị

có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng

1.1 Các khái niệm cơ bản

Miền (Tập) xác định của hàm là tập tất cả các giá trị của

(x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa

Miền (Tập) giá trị của hàm là tập tất cả các giá trị mà hàm có thể nhận đƣợc

Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ

Định nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của

( , )x y f x y( , ) z

ℝ2:

f D 

Ví dụ : Một công ty du lịch cho thuê xe ô tô các loại với cách

tính tiền theo ngày và số km xe chạy Họ cho thuê xe 7 chỗ với giá 500.000 đồng mỗi ngày và 3.000 đồng mỗi km

1/ Lập hàm doanh thu R theo số ngày và số km xe chạy

2/ Tính R(2,250) và giải thích ý nghĩa của kết quả này

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ví dụ : Khi một loại thuốc đƣợc tiêm vào mô, nó sẽ khuếch

tán vào máu Nồng độ của thuốc trong máu tăng cho đến khi đạt đến mức tối đa, và sau đó giảm dần Nồng độ C (tính bằng mg/lít) của thuốc trong máu là hàm theo hai biến: x, lƣợng (mg) thuốc đƣợc tiêm vào và t, thời gian (giờ) kể từ khi tiêm đƣợc cho bởi (5 )

( , ) t x ,0 4, 0

Tính và giải thích ý nghĩa của các kết quả f 4, ;t f x,3

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ví dụ : Chiều cao của sóng biển ở đại dương h (feet) phụ thuộc vào tốc độ gió v và thời gian mà gió thổi t với tốc độ đó Giá trị của h h v t, được cho ở bảng dưới đây

 Đồ thị hàm z = f(x, y) là 1 phần mặt cong S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là 1 phần đường cong

Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D Đồ thị của hàm f là tập

tất cả các điểm , với (x,y)D, z= f(x, y)

1.1 Các khái niệm cơ bản

3

M( , , )x y z

1.1 Các khái niệm cơ bản

1/ Ta cho lần lƣợt x=0, y=0 thì đƣợc 2 giao tuyến với 2 mặt

tọa độ Oyz, Oxz là 2 đường Parabola

3/ Cho z=k: k=0, ta đƣợc gốc tọa độ O(0,0,0)

k>0 tùy ý ta đƣợc các đường Ellipse

2/ Các giao tuyến với các mặt phẳng x=k, y=k; k tùy ý cũng

là các đường Parabola

Vẽ thêm đường parabol x 2 = z trên mặt phẳng y = 0

Nếu a=b, ta được giao tuyến với mặt z=k là đường tròn; do

đó ta còn gọi tên mặt trong trường hợp đặc biệt là

Paraboloid tròn xoay (Mặt được tạo ra khi quay đường parabol quanh trục đối xứng của nó)

Ta gọi tên mặt này theo tên các giao tuyến:

2 parabol, 1 ellipse nên mặt được gọi tên là Paraboloid Elliptic

Các Paraboloid tròn xoay trong thực tế được sử dụng để thu và phản xạ ánh sáng, âm thanh và các tín hiệu vô tuyến

và truyền hình

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Các khái niệm cơ bản

Các giao tuyến với mặt z=k là các đường Ellipse

Ta nói thêm về các giao tuyến của mặt Paraboloid Elliptic với các mặt phẳng z=k (k>0, tùy ý)

1.1 Các khái niệm cơ bản

Chiếu các giao tuyến này xuống mp Oxy, ta được các đường ellipse đồng tâm

Ta gọi các đường ellipse này là các đường mức của mặt Paraboloid Elliptic

Đường mức của hàm 2 biến f(x,y) là đường cong f(x,y)=k (k là hằng số tùy ý thuộc tập giá trị của hàm) trong mặt phẳng Oxy

1.1 Các khái niệm cơ bản

Đường mức (x,y)=k là

hình chiếu của giao

tuyến của đồ thị của

hàm với mặt phẳng

z=k

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ví dụ:

Ví dụ: Cho bản đồ đường mức của hàm f(x,y) dưới đây

1.1 Các khái niệm cơ bản

Điểm trong : M1 gọi là điểm trong của

D nếu tồn tại ít nhất r1>0 sao cho r1-

lân cận của M1 là B(M1,r1) nằm hoàn

toàn trong D

Điểm biên : M2 gọi là điểm biên của

D nếu với mọi r2 > 0, hình cầu mở

B(M2,r2) chứa những điểm thuộc D và

những điểm không thuộc D

Cho tập D và 1 điểm M thuộc ℝ2 Ta định nghĩa 2 loại

Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của

nó Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D được gọi là tập mở nếu ℝ2\𝐷 là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất kỳ điểm biên nào

Ví dụ: Hình vẽ ở slide trước là tập không đóng, không mở

1.1 Các khái niệm cơ bản

Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong Vậy D là tập mở

Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4 nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng

O

B

A

Biên của D là 3 đoạn OA, OB,

AB Miền D không chứa đoạn

AB tức là D không chứa mọi

điểm biên nên D không là

Giới hạn hàm : Hàm f(x,y) với miền xác định D đƣợc gọi là có giới hạn bằng L khi M(x,y) dần đến M0(x0,y0), kí hiệu

lim ,

x x

y y

Định nghĩa này tương tự định nghĩa giới hạn hàm 1

biến: Khoảng cách giữa M và M0 giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần

1.1 Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

Ý nghĩa: Khi khoảng cách giữa M và M0 giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần

1.1 Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và

0 0

0 0 ( , ) lim( , ) ( , ) ( , )

x y x y f x y f x y

Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D

Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục

Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ

Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục

1.1 Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

Ta có:

0

0 0

Đặt g(x)=f(x,y 0 ), nếu hàm g(x) có đạo hàm tại x=x0 thì ta gọi

đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0)

Cho hàm 2 biến f(x,y), 1 điểm (x0,y0) thuộc miền xác định của hàm f

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Tương tự, ta có định nghĩa đhr của hàm f theo biến y

Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến theo 1 biến nào đó, ta coi các biến khác là hằng số

Các đạo hàm riêng của hàm n biến x1, x2, …, xn (nói chung) lại là các hàm n biến x1, x2, …, xn

Ví dụ: Nhiệt độ (0C) tại một điểm (x,y) trên một tấm kim loại trong mặt phẳng Oxy là:

Giả sử rằng khoảng cách được đo bằng cm Tìm tốc độ

thay đổi nhiệt độ theo khoảng cách nếu chúng ta bắt đầu tại điểm (1, 2) và di chuyển:

(a) Sang bên phải và song song với trục x

(b) Hướng lên và song song với trục y

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Ở những nơi lạnh giá, người ta sử dụng khái niệm Chỉ số gió lạnh (The Wind Chill Index) Đây là khái niệm rất quan trọng cần biết nếu bạn đang trải qua một khoảng thời gian dài ngoài trời lạnh Nó cũng có thể được gọi là "cảm giác về nhiệt độ“, nó phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế và tốc

độ gió

0.16

13.12 0.6215 0.3965 11.37

Công thức tính chỉ số gió lạnh chuẩn ở Canada là:

Trong đó: T là nhiệt độ tính bằng 0 C và v là tốc độ gió tính

bằng km/h

Tính và giải thích ý nghĩa của các kết quả này

20,5 , v 20,5 , T 20,5

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Hình bên cho thấy bản đồ

đường mức cho nhiệt độ H (0F) trong

phòng dưới dạng hàm theo khoảng

cách x (feet) từ lò sưởi và thời gian t

(phút) sau khi bật lò sưởi

b/ Ước tính các đhr này và giải thích kết quả

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

a/ Xác định dấu của 2 đhr tại

M(10,20): H x M H M, t

a/ Điểm M nằm trên đường mức H = 80 Khi x tăng, chúng

ta di chuyển về phía đường mức H = 75, do đó H giảm và

Hx(M) là âm Điều này có ý nghĩa là khi chúng ta di chuyển

ra xa lò sưởi, nhiệt độ giảm xuống

Tương tự, Ht(M) mang dấu dương (thời gian bật lò sưởi tăng thì nhiệt độ phòng tăng

b/ Ước tính 2 đhr tại M

0

5

0.36 /14

t

H

t

Điều này có nghĩa là sau 20 phút mở lò sưởi, tại chỗ cách

lò sưởi khoảng 10 ft nhiệt độ giảm khoảng hơn 1/3 độ F cho mỗi ft chúng ta di chuyển ra xa lò sưởi

Ví dụ: Trong những ngày nóng, ta sẽ cảm thấy nóng hơn khi

độ ẩm trong không khí thấp (khô hanh) và mát mẻ hơn khi

độ ẩm trong không khí cao hơn

,

Người ta đặt ra khái niệm chỉ số nhiệt I (The heat index) để

mô tả sự kết hợp giữa nhiệt độ thực tế (T) và độ ẩm trong không khí (H) Vậy I là hàm theo 2 biến T và H :

Dưới đây là bảng các giá trị của chỉ số nhiệt I theo nhiệt độ thực tế T (0F) và độ ẩm không khí H (%)

Lưu ý: Nhiệt độ đóng băng của nước là 0 0 C=32 0 F và quy đổi

10C=1.80F

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

Đặt : g T f T ,70

, , thì đạo hàm của g khi T=960F là tốc

độ thay đổi của I khi T=960F=35,60C

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

96 3.75

g

Tương tự, ta nhìn hàng ứng với T=960, tức là giữ cố định T,

và đặt G(H)=f(96,H)

Tính đạo hàm G’(70) bằng cách cho h = 5 và h = -5, rồi lấy

trung bình cộng như trên, ta được kết quả:

  70 0.9

Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ là 35.60C và độ ẩm là 70%

thì chỉ số nhiệt tăng khoảng cho mỗi phần

trăm độ ẩm tăng lên

0.9 F  0.5 C

Điều này có nghĩa là khi độ ẩm không khí là 70% và nhiệt độ

thực tế là thì chỉ số nhiệt tăng khoảng 960F 35.60C

3,75 F 2.1 C cho mỗi độ tăng thực tế

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

Tức là f x ’(x 0 ,y 0 ) là tốc độ biến thiên của đường cong C 1 tại thời điểm x=x 0 , ta gọi là tốc độ biến thiên (hoặc là hệ số góc) của mặt cong S theo phương Ox tại điểm P(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 ))

Xét trong mp y=y 0 : C1 là giao

tuyến của mp với mặt S thì pt

C 1 là z=f(x,y 0 ) , T 1 là tiếp tuyến

của C 1 tại P(x 0 ,y 0 ) thì đạo hàm

f x ’(x 0 ,y 0 ) là hệ số góc của tiếp

tuyến T1

Gọi S là mặt cong z=f(x,y)

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

của tiếp tuyến T2

Tương tự cho dhr theo y:

Tức là f y ’(x 0 ,y 0 ) là tốc độ biến thiên của đường cong C 2 tại thời điểm y=y 0 , ta gọi là tốc độ biến thiên (hoặc là hệ số góc) của mặt cong S theo phương Oy tại điểm P(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 ))

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Tiếp diện của mặt cong:

Vậy pt tiếp diện là: z z0 f x x x0 f y y y0

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Tìm pt tiếp diện với mặt cong z=2x2+y2 tại điểm (1,1,3)

Định lý: Nếu hàm f(x,y) có các đhr theo x, y trong lân cận của (x0,y0) và liên tục tại đó thì hàm khả vi tại (x0,y0)

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Nhắc lại: Với hàm 1 biến y=f(x) khả

vi tại x0, ta coi dx nhƣ biến độc lập

Ta còn gọi đó là vi phân toàn phần của hàm 2 biến z=f(x,y)

pt tiếp tuyến: y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)

Nhƣ vậy: ∆f xấp xỉ với df nhƣng tính df dễ dàng hơn tính ∆f

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Đạo hàm cấp 2: Hàm f(x,y) có các đhr (nói chung) cũng lại là các hàm 2 biến Ta định nghĩa đh cấp 2 là đh của đhr cấp 1 Đạo hàm cấp 2 theo x:

Định lý Schwarz : Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx trong miền mở chứa (x0,y0) và liên tục tại (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)

Tương tự, ta có các đạo hàm riêng cấp (n+1) là đạo hàm

Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ

tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đhr đến cấp 2

Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1

3 3

Tổng quát cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3

Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y)

1.3 Đạo hàm cấp cao (Tự đọc)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz 2 + e x+y+z Tính df, d2f

Giải: Sử dụng công thức vi phân:

Ví dụ: Chiều cao h, chiều dài l và chiều ngang w của 1 cái hộp biến thiên theo thời gian Tại thời điểm t=t0, các chiều

là l=1m, h=w=2m; h giảm với tốc độ 3m/s, w và l tăng với tốc độ 2m/s Tại thời điểm t0, tìm tốc độ biến thiên của:

Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp

Khi đó, z là hàm hợp z = z(x(t),y(t)) (là hàm theo 1 biến z=z(t))

cũng khả vi trong khoảng (t 1 ,t 2 ) và đạo hàm của hàm z(t) đƣợc tính bởi công thức:

x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1 ,t 2 )

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Định lý :

Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; 2 biến x, y không là biến độc lập mà là 2 hàm theo 1 biến t:

Vậy:

1 2

00

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Ví dụ : Sử dụng công thức vừa chứng minh để tính lại câu c

dl dt

dw dt

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Ví dụ: Cho mạch điện có 2 điện trở R1 và R2 được mắc song song Giả sử rằng cường độ dòng điện là 3A và đang tăng ở mức 10-2 A/s, R1 là 2Ω và đang tăng ở mức 0,4 Ω/s,

R2 là 5Ω và đang giảm ở mức 0,7Ω/s Tính tốc độ thay đổi điện áp trong mạch

Tổng quát hơn:

Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của

2 biến u, v Ta có công thức tương tự:

x u

x v

y u

y v

Cần tính đạo hàm của z theo

biến nào ta đi theo đường

đến biến đó

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Ví dụ : Cho hàm z = xe y , trong đó x=cosu+sinv, y=u 2 +v 2

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y) Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Lấy đhr theo u thì nhân

với đhr của u theo x

Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z

là hàm hợp của 2 biến u, v Ta tính vi phân của hàm z theo

vi phân của 2 biến độc lập u, v bằng cách dùng công thức

như hàm 2 biến thường

( cos sin ) ( cos sin )

( 2 sin cos ) ( 2 sin cos )

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Ví dụ : Cho hàm z = f(x+y,x.y), tính vi phân dz, d 2 z

Giải:

Ta đi tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm z theo x, y rồi

thay vào công thức vi phân

Trước hết, ta đặt t = x+y, s = x.y

Suy ra:

, thì z = f(t,s) là hàm theo 2 biến t và s; t, s là hàm theo 2 biến x và y

Hàm ẩn 1 biến : Cho hàm y=y(x) xác định từ phương trình

Giải:

Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức

2

1 1 1

1

x y

F y

F

y

2 2

2(y 1)

y

Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0

Để tính đh cấp 2, ta tính đh của đạo hàm cấp 1 - ghi nhớ rằng y’ đã tính trước đó để thay vào kết quả cuối cùng

1.5 Đạo hàm hàm ẩn

Hàm ẩn nhiều biến : Cho hàm z=z(x,y) xác định từ phương

trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0 Ta phải tính 2 đạo hàm riêng

Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta lấy đạo hàm 2 vế pt hàm ẩn theo x:

Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương trình

Cách 2: Sử dụng công thức bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình đã cho

1.5 Đạo hàm hàm ẩn

Ví dụ: Tính dz, d2z nếu ze x + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1)

Giải:

Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng cách đặt

F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên

Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để được

z = -1

3,

x x

e e

3(0,1)

Thay vào công thức trên, ta đƣợc kết quả

Nhắc lại ở phần 1.2: Tốc độ biến thiên của hàm f(x,y) theo

hướng vecto Ox (Oy) là đhr theo x (y) của hàm tại 1 điểm

1.6 Đạo hàm theo hướng – Vecto gradient – Vecto pháp

TỔNG QUÁT: Tốc độ biến thiên của hàm f(x,y) theo hướng

vecto bất kỳ u a b là gì , và được tính như thế nào?

Gọi giao tuyến của 2 mặt là C,

tiếp tuyến với C tại P là T thì

hệ số góc của tiếp tuyến T là

tốc độ biến thiên của hàm theo