ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 NHÓM L23 18 TP HCM, 12 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHÓM L23[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH NHĨM L23_18 TP HCM, 12-2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHĨM L23_18 GVHD: Trần Ngọc Diễm Bùi Đình Trường Phùng Kim Anh Đức Nguyễn Thị Xuân Trúc Bùi Cao Thanh Phong Nguyễn Hồng Thiên TP HCM, 12-2022 2213731 2210810 2213721 2212547 2213235 LỜI CẢM ƠN Lời nhóm xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể sư phạm trường Đại học Bách khoa tạo điều kiện hết mức để nhóm học tập, trao đổi kinh nghiệm thầy cô bè bạn suốt thời gian qua Bên cạnh đó, thơng qua tập lớn giao, thành viên nhóm trở nên trường thành hơn, trau dồi thêm nhiều kĩ năng, khám phá nhiều điều mẻ, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu khoa học tương lai Trong suốt trình thực tập lớn mơn Giải tích 1, nhóm phải trăn trở trước nhiều vấn đề Nhưng nhờ dẫn kịp thời từ cô Trần Ngọc Diễm sinh viên trường, nhóm hồn thành tập cách hiệu quả, tiến độ giải hiệu vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn cô kim nam cho hành động nhóm phát huy tối đa mối quan hệ hỗ trợ trị mơi trường giáo dục Lời cuối, xin lần gửi lời biết ơn sâu sắc đến cá nhân, thầy dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt kết Mục lục danh mục hình ảnh Hình 1 D(x) hàm cầu Hình Xấp xỉ thặng dư người tiêu dùng hình chữ nhật r1,r2,…,rn Hình Thặng dư người tiêu dùng Hình S(x) hàm cung Hình Thặng dư nhà sản xuất Hình Hàm cung hàm cầu thị trường cân Hình Khoảng thời gian [0, T ] phân chia thành .9 Hình Đường cong Lorentz 13 Hình Đường cong Lorentz gần với đường thẳng phân phối thu nhập cơng 14 1.CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI NỀN KINH TẾ Ở phần này, chúng em nghiên cứu số ứng dụng tích phân xác định lĩnh vực kinh tế kinh doanh Thặng dư người tiêu dùng nhà sản xuất Đầu tiên, chúng em sử dụng cơng thức để tính tốn thặng dư người tiêu dùng Giả sử như: p=D ( x )là hàm cầu (demand function) với p giácủa loại hàng hóa x lượng nhu cầu Hình 1 D(x) hàm cầu Ngồi ra, giả sử giá thị trường hàng hóa đơn vị cố định p tương ứng với giá lượng cầu x (Hình 1.1) Chúng em thấy rằng, người tiêu dùng sẵn sàng trả đơn giá p cao pcho hàng hóa theo lô hưởng khoản tiết kiệm Sự khác biệt người tiêu dùng sẵn sàng trả cho x đơn vị theo lơ họ thực trả cho họ gọi thặng dư người tiêu dùng Để thu cơng thức tính thặng dư người tiêu dùng, chúng em chia khoảng thời gian [ , x ] thành n khoảng nhỏ, khoảng có độ dài ∆ x= x /n, biểu diễn điểm cuối bên phải khoảng điểm x 1, x , , x n= x (Hình 1.2) Quan sát Hình 2, chúng em dễ thấy có người tiêu dùng trả đơn giá D ( x 1) đô la cho lượng ∆ x hàng hóa thay giá thị trường p la đơn vị Chúng ta ước lượng lượng tiết kiệm người tiêu dùng sau: D ( x 1) ∆ x – p ∆ x=[ D ( x )− p ] ∆ x Hình Xấp xỉ thặng dư người tiêu dùng hình chữ nhật r¬1,r2,…,rn Và diện tích hình chữ nhật r 1.Tiếp tục quan sát, chúng em thấy khoản tiết kiệm người tiêu dùng sẵn sàng trả đơn giá D ( x 2) đ ô la cho x đơn vị (từ x đến x 2) hàng hóa, thay giá thị trường pđơ la đơn vị, ước lượng là: D ( x 2) ∆ x −p ∆ x=¿ Như vậy, tính xấp xỉ tổng số tiền tiết kiệm người tiêu dùng việc mua đơn vị x hàng hóa, ta được: [ D ( x )− p ] ∆ x +[ D ( x )− p ] ∆ x +…+ [ D ( x n ) −p ] ∆ x = [ D ( x ) + D ( x2 ) + …+ D ( x n ) ] ∆ x −[ p ∆ x + p ∆ x +…+ p ∆ x ] = [ D ( x ) + D ( x2 ) + …+ D ( x n ) ] ∆ x −n p ∆ x = [ D ( x ) + D ( x2 ) + …+ D ( x n ) ] ∆ x −p x Có thể nói, thuật ngữ biểu thức cuối tổng Riemann hàm cầu p=D ( x )trong khoảng [0,x] với điểm đại diện x 1, x 2, , x n Khi n tiến vô cực, thu công thức cho thặng dư người tiêu dùng Thặng dư người tiêu dùng Thặng dư người tiêu dùng ( Consumer ' surplus )được cho công thức: x ( Consumer surplus ) CS=∫ D ( x ) dx− p x ( ) ' đó: D hàm cầu, p đơn giá thị trường x số lượng bán Thặng dư người tiêu dùng xác định diện tích miền giới hạn đường cong p=D ( x ) đường thẳng p= p từ x=0 đến x=x (Hình 1.3) Chúng ta thấy điều viết lại phương trình (16) dạng: x Hình Thặng dư người tiêu dùng ∫ [ D ( x )− p ] dx biểu diễn kết dạng hình học Tương tự, có cơng thức để tính tốn thặng dư nhà sản xuất Giả sử p=S ( x )là hàm cung với đơn giá p hàng hóa định lượng x hàng hóamà nhà sản xuất cung cấp thị trường thời điểm Một lần nữa, giả sử giá thị trường cố định p thiết lập cho hàng hóa và, tương ứng với đơn giá này, lượng x đơn vị hàng hóa nhà sản xuất cung cấp cho thị trường (Hình 1.4) Sau đó, nhà sản xuất sẵn sàng bán hàng hóa có sẵn mức giá thấp để thu lợi từ thực tế Sự khác biệt mà nhà sản xuất thực nhận họ sẵn sàng nhận được gọi thặng dư nhà sản xuất Tương tự thặng dư người tiêu dùng, thấy thặng dư nhà sản xuất định nghĩa sau: Hình S(x) hàm cung Thặng dư người sản xuất cho công thức: x ( Producers surplus ) PS=p x −∫ S ( x ) dx ( ) ' S(x) hàm cung, p đơn giá thị trường x lượng cung Về mặt hình học, thặng dư nhà sản xuất xác định diện tích miền giới hạn đường thẳng p= p đường cong p=S ( x )từ x=0 đến x=x (Hình 6) Chúng ta chứng minh phát biểu cách chuyển phương trình (2) thành dạng: x ∫ [ p−S ( x ) ] dx Hình Thặng dư nhà sản xuất biểu diễn mặt hình học VÍ DỤ ÁP DỤNG Hàm cầu loại tivi cho bởi: p=D ( x )=−0.0002 x + 200 p đơn giá (tính la) x lượng cầu (tính đơn vị nghìn) Hàm cung cho tivi cho bởi: p=S ( x )=0.0003 x 2+ 0.01 x +120 p đơn giá (tính la) x số lượng tivi mà nhà cung cấp đưa thị trường, tính đơn vị nghìn Xác định thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất giá thị trường tivi ấn định giá cân ? GIẢI: Nhắc lại: giá cân đơn giá hàng hóa thị trường cân Chúng em xác định giá cân bằng cách lấy giao điểm hai đường cong CS PS (Hình 1.6) Để giải hệ phương trình: p=−0.0002 x +200 p=0.0003 x +0.01 x+182 Hình Hàm cung hàm cầu thị trường cân Chúng ta thay phương trình vào phương trình thứ hai, ta thu được: 2 0.0003 x + 0.01 x +182=−0.0002 x + 200 0.0005 x + 0.01 x−18=0 x 2+100−180,000=0 x + 20 x −36,000=0 Biến đổi phương trình trên, thu được: ( x−180 ) ( x+ 200 )=0 Do đó, x=180 x=−200 x=-200 nằm ngồi miền giá trị, nên ta lại nghiệm x=180 , với giá trị tương ứng là: p=−0.0002 ( 180 ) +200=193.52 Như vậy, điểm cân (180,193.52); nghĩa là, số lượng cân 180.000, giá cân $193.52 Đặt giá thị trường mức $193.52 đơn vị sử dụng công thức (1) với p=193.52 x=180, ta thấy thặng dư người tiêu dùng cho bởi: 180 CS=∫ ( −0.0002 x +200 ) dx−( 180 ) ( 193.52 )=777,6 hay $777,600 ( x đo đơn vị nghìn.) Tiếp theo, sử dụng công thức (2), thấy thặng dư nhà sản xuất cho bởi: 180 PS=( 180 )( 193.52 )− ∫ ( 0.0003 x +0.01 x +182 ) dx=1328.4 hay $1,328,400 Giá trị tương lai dòng thu nhập Giả sử cơng ty tạo dịng thu nhập khoảng thời gian - ví dụ, doanh thu chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn tạo thời gian năm Là thu nhập thực hiện, tái đầu tư kiếm lãi suất cố định Tương lai tích lũy dịng thu nhập khoảng thời gian năm số tiền mà công ty cuối thu vào cuối thời kỳ đó.Tích phân xác định sử dụng để xác định số tiền tích lũy, tổng số tương lai dòng thu nhập khoảng thời gian Tổng giá trị tương lai dòng thu nhập mang lại cho cách để đo lường giá trị luồng Để tìm tổng giá trị tương lai dòng thu nhập, giả sử: R(t) Tỷ lệ tạo thu nhập thời điểm t Đô la năm r Lãi suất ghép lãi liên tục Kỳ hạn T Năm Hãy chia khoảng thời gian [0, T] thành n khoảng thời gian có độ dài t T/n biểu thị điểm cuối bên phải khoảng t1, t2, , tn T, Hình 1.7 Hãy chia khoảng thời gian [0,T] thành n khoảng thời gian có độ dài Hình Khoảng thời gian [0, T ] phân chia thành Δ t= T biểu thị điểm cuối n bên phải khoảng t1, t2, , tn = T, biểu thị hình R hàm liên tục [0,T], sau R ( t ) khơng khác nhiều với R ( t 1) khoảng [0,t1] với điều kiện khoảng nhỏ (điều n lớn) Do đó, thu nhập tạo khoảng thời gian [0,t1] xấp xỉ R(t 1)∆ t đô la Giá trị tương lai số tiền này, T năm từ bây giờ, tính thể kiếm từ thời điểm t, [ R (t ) Δ t ]e ( r T−t ) đô la Tương tự, thu nhập tạo khoảng thời gian [t1,t2] xấp xỉ R ( t 2) Δ t la có giá trị tương lai, T năm từ bây giờ, xấp xỉ [ R (t ) Δ t ]e ( r T−t ) la Vì vậy, tổng giá trị tương lai dòng thu nhập tạo khoảng thời gian [0,T] xấp xỉ R(t ¿ e ¿ e rT ¿] r ( T−t ) r ( T−t 2) ∆ t + R ( t 2) e + … + R (t n) e ( r T−t n) đô la Nhưng, tổng tổng Rieman hàm e rT ¿trong khoảng [0,T] với điểm đại diện t1, t2,…, tn Để n tiến đến vô cùng, ta thu kết Tích luỹ tổng giá trị tương lai dịng thu nhập Giá trị tích luỹ, tổng giá trị tương lai sau T năm dòng thu nhập R(t) đô la năm, hưởng lãi suất r năm gộp liên tục, cho A=e rT T ∫ R ( t ) e−rt dt (3) VÍ DỤ ÁP DỤNG Doanh nghiệp TCBS có nghĩa vụ phải tốn khoản nợ vào thời điểm sau năm TCSB muốn lập quỹ trả nợ cách năm gửi đặn $1,000 vào ngân hàng với lãi suất 8%/năm (theo phương pháp tính lãi kép) Vậy sau năm TCSB phải trả cho ngân hàng tiền? GIẢI Sử dụng công thức (3) với R(t)=1,000, T=5, r=0,08 e 0.08 ( ) ∫ 1,000 e−0,08 tdt ¿ e 0.4 = [ −1,000 −0.08 t e 0.08 ]| −1,000 e0.4 −0.4 (e −1 ¿ ≈6,147.81 0.08 xấp xỉ $6,147 Một cách khác để đo lường giá trị dòng thu nhập cách xem xét giá trị Giá trị dòng thu nhập R(t) đô la năm thời hạn T năm, nhận lãi suất liên tục r năm, tiền gốc P mang lại giá trị tích luỹ dòng thu nhập P đầu tư hôm cho giai đoạn T năm với lãi suất giống Nói cách khác, rT P e =e rT T ∫ R ( t ) e−rt dt Chia hai vế cho e rT cho kết Giá trị dòng thu nhập Giá trị dòng thu nhập R(t) đô la năm, kiếm lãi suất liên tục r năm, cho T PV =∫ R ( t ) e −rt dt (4) VÍ DỤ ÁP DỤNG Phân tích đầu tư Một chủ doanh nghiệp xem xét lựa chọn hai kế hoạch đầu tư Kế hoạch A cần khoảng vốn $300,000, cịn kế hoạch B cần $230,000 Theo dự tính, năm tới, chọn kế hoạch A dòng lãi f ( t )=760,000 dollar/năm, chọn kế hoạch B g ( t ) =690,000 dollar/năm Biết lãi suất 6%/năm, chủ doanh nghiệp nên chọn kế hoạch nào? GIẢI Vì số vốn ban đầu $300,000, sử dụng phương trình (19) với R(t) = $300,000, r=0.06, T=5, để tìm giá trị tức thời lãi chọn kế hoạch A ∫ 760,000 e−0.06 t dt −300,000 | 760,000 −0.06 t ¿ e −300,000 lấy tích phân phép u = -0.06t −0,06 −0.3 ¿−12,666,666.67 e + 12,666,666.67−300,000 ≈ $ 2,982,969.21 Để tìm giá trị tức thời lãi chọn kế hoạch B, ta dùng (19) với R(t) = $690,000, r=0.06, T=5 ∫ 690,000 e−0.06 t dt−230,000 Giải tương tự đáp án $2,750,590,46 So sánh hai đáp án ta chọn kế hoạch A Lưu ý hàm R ví dụ hàm Nếu R khơng phải hàm phải sử dụng kĩ thuật tích phân phức tạp để ước lượng tích phân (4) Bài 7.1 7.2 có nói dạng TỔNG GIÁ TRỊ VÀ GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM Một niên kim chuỗi khoản toán thực theo khoảng thời gian đặn Khoảng thời gian mà khoản toán thực gọi kỳ hạn niên kim Mặc dù khoản tốn khơng thiết phải quy mô, chúng nhiều ứng dụng quan trọng cho chúng thảo luận Ví dụ niên kim tiền gửi định kì vào tài khoản tiết kiệm, tốn chấp nhà tháng toán bảo hiểm tháng Tổng giá trị niên kim tổng khoản tốn tiền lãi kiếm Cơng thức tính tổng giá trị niên kim A suy với trợ giúp (3) Để cho P = quy mơ khoản tốn vào niên kim r = lãi kép T = kỳ hạn niên kim (tính năm) m = số lần toán năm Các khoản toán vào niên kim tạo thành dịng thu nhập khơng đổi R(t) = mP dollar năm Thay giá trị R(t) vào (18), ta có: A=e rT T ∫ R (t )e −rt rT dt =e rT ¿ mP e ¿ ∫ mPe−rt dt [ ]| −ⅇ−rt r T T =mP e rT [ −ⅇ−rT + r r ] mP rT ( e −1 ) e rT e−rT =1 r Điều dẫn đến công thức sau Tổng giá trị niên kim Tổng giá trị niên kim A= mP rT ( e −1 ) r (5) Trong P, r, T, m có ý nghĩa VÍ DỤ ÁP DỤNG Tài khoản hưu trí cá nhân (IRA) Năm 1995, Peter gửi $3000 vào tài hưu trí cá nhân với lãi kép 9%/năm Giả sử anh tiếp tục gửi vào tài khoản $3000 năm, tính số tiền tài khoản vào năm 2015 GIẢI Ta sử dụng công thức (20) với P=3000, T=20, m=1, r=0.09 A= 3000 0.09 20 (e −1 ) 0.09 ≈ 168,321.58 Do Peter có khoảng 68,321trong tài khoản vào năm 2015 Khám phá cơng nghệ Nhắc ví dụ Giả sử Peter muốn biết số tiền anh có tài khoản hưu trí thời điểm tương lai, không năm 2015 Sử dụng công thức (3) số liệu từ ví dụ cho thấy số tiền thời điểm x (x tính năm, x>0) A=f ( x )=33333 ( e 0.09 x −1 ) Dùng công cụ vẽ đồ thị để vẽ đồ thị f, cửa sổ quan sát [0,30] x [2000, 400,000] Dùng phóng đại (Zoom) tìm kiếm (Trace), sử dụng tính ước lượng hàm số công cụ vẽ đồ thị để kiểm tra kết tìm ví dụ Từ (3) suy cơng thức tính giá trị niên kim Giá trị niên kim giá trị niên kim PV = mP ( 1−e−rT ) r (6) Trong P, r, T, m có ý nghĩa VÍ DỤ ÁP DỤNG Tony CEO công ty đa quốc gia,anh muốn thành lập quỹ mà anh rút 10000$ năm 12 năm tới.Nếu quỹ kiếm lãi suất 5% năm cần tiền để thành lập quỹ? Giải: Ta sử dụng công thức (6) với P = 10000$, m = 1, r = 0,05 PV = 10,000 ¿ 0.05 Vậy Tony cần khoảng 90.238 la để thành lập quỹ Hình Đường cong Lorentz Đường cong Lorentz phân phối thu nhập Một phương pháp nhà kinh tế sử dụng để nghiên cứu phân phối thu nhập xã hội dựa đường cong Lorentz, đặt theo tên nhà kinh tế học người Mĩ M.D.Lorentz Để mô tả đường cong Lorentz Đặt f(x) biểu thị tỷ lệ tổng thu nhập nhận 100x% dân số nghèo ( ) Sử dụng thuật ngữ này, f(0.3) = 0.1 đơn giản cho biết 30% người nhận thu nhập thấp nhận 10% tổng thu nhập Hàm f có tính chất sau: 1) Miền xác định f [0,1] 2) Miền giá trị f [0,1] 3) f(0) = f(1) = 4) f(x) x với x [0,1] 5) f(x) tăng đoạn [0,1] Hai tính chất xuất phát từ thực tế x f(x) phân số tổng thể.Tính chất số nhận xét cho biết 0% người nhận thu nhập nhận 0% tổng thu nhập 100 % người nhận thu nhập nhận 100% tổng thu nhập.Tính chất số xuất phát từ thực tế 100x% người nhận thu nhập không nhân 100x% tổng thu nhập.Một đường cong Lorentz điển hình thể hình 1.8 VÍ DỤ ÁP DỤNG Phân phối thu nhập nước phát triển mô tả hàm: f ( x )= x + x 8 Tính f(0.4) giải thích kết vừa tính f ( 0.4 )= ( 0.4 ) + ( 0.4 )=0.25 8 Như vậy,40% dân số nhận thu nhập thấp nhận 25% tổng thu nhập Hình Đường cong Lorentz gần với đường thẳng phân phối thu nhập công Tiếp theo xem xét đường cong Lorentz mô tả hàm y = f(x) = x Vì xác 100x% người nhận thu nhập thấp nhận 100x% tổng thu nhập nên đường y = x gọi đường bình đẳng.Ví dụ,10% người nhận thu nhập thấp nhận 10% tổng thu nhập,v.v Bây giờ, rõ ràng đường Lorentz gần với đường phân phối thu nhập người nhận thu nhập công Nhưng khoảng cách đường cong Lorentz với đường bình đẳng phản ánh diện tích đường cong Lorentz đường thẳng y= x (Hình 1.9) Đường cong gần đường biểu diễn diện tích nhỏ Quan sát cho thấy xác định số, gọi hệ số bất bình đẳng đường cong Lorentz, tỷ lệ diện tích đường bình đẳng đường cong Lorentz đến diện tích nằm đường bình đẳng.Hệ số bất bình đẳng cho cơng thức: L = 2∫ [ x−f ( x ) ] dx (7) ÁP DỤNG VÍ DỤ Trong nghiên cứu thực hội đồng phát triển kinh tế quốc gia liên quan đến phân phối thu nhập số phận lực lượng lao động quốc gia đó,người ta thấy đường cong Lorentz mơ tả phân phối thu nhập lập trình viên giáo viên xác định hàm: 11 f ( x )= x + x g(x) = x+ x 7 12 12 Tính hệ số bất bình đẳng ứng với đường cong Lorentz Nghề nghiệp có phân phối thu nhập cơng hơn? GIẢI Các hệ số bất bình đẳng tương ứng là: L 1=2∫ [ x−( ¿ x + x)]dx=0.43 ¿ 7 L 2=2∫ [ x−( 11 ¿ x + x)]dx=0.3 ¿ 12 12 Như kết luận đất nước này,thu nhập giáo viên phân phối so với thu nhập lập trình viên 2.BÀI TẬP Giải lại ví dụ có sử dụng tiện ích vẽ đồ thị Sừ dụng Geogebra dễ dàng tìm điểm cân (300,160) Sau áp dụng cơng thức tính thặng dư người tiêu dùng trình bày phần lý thuyết Ta 300 CS=∫ ( −0.001 x +250 ) dx−(160)( 300) Nhập lệnh: (int (-0.001x^2+250)dx from to 300)-48000 lên https://www.wolframalpha.com/ Ta thu kết sau Dễ dàng tìm CS=18000 Vậy thặng dư người tiêu dùng $18.000.000 Tượng tự thằng dư nhà sản xuất Áp dụng công thức tính thặng dư nhà sản xuất trình bày phần lý thuyết Ta 300 PS=∫ ( 160 ) ( 300 )−( 0.0006 x +0.02 x+ 100 ) dx Nhập lệnh: 48000 - (int(0.0006x^2+0.02x+100)dx from to 300) lên https://www.wolframalpha.com/ Thu kết sau Dễ dàng tìm PS=11700 Vậy thặng dư nhà sản xuất $11.700.000 Đề Hàm cầu thương hiệu đồng hồ báo thức du lịch là: Trong giá bán đơn vị tính Đơ-la lượng cầu tháng, đơn vị tính nghìn Hàm cung thương hiệu đồng hồ là: Trong có ý nghĩa với trước số lượng, tính theo hàng nghìn Nhà cung cấp cung cấp đồng hồ thị trường hàng tháng Xác định thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà cung cấp giá trị thị trường mức cân Giải Ta có Hàm cầu thương hiệu đồng hồ báo thức du lịch là: (1) Hàm số thể khả cung cấp đồng hồ thương hiệu là: (2) Khi thị trường cân ta có (1) = (2) Giải phương trình t nghiệm = = 12 ứng với giá trị là: Vậy điểm cân (12, 4.96); tức lượng đồng hồ cân 12000 giá cân 4.96 Đô-la Giá thị trường đồng hồ báo thức du lịch 4.96 Đơ-la Sử dụng cơng thức tính thặng dư nhà sản xuất, với Hay $2,880 (2880 Đô-la, ta được: tính đơn vị nghìn) Sử dụng cơng thức tính thặng dư người tiêu dùng, với ta được: Hay $33,120 Đề Bài Khoản đầu tư A kì vọng tạo thu nhập với tỷ lệ Đô-la/năm năm tới khoản đầu tư B dự kiến tạo thu nhập với tỷ lệ Đô-la/năm khoảng thời gian Nếu lãi suất hành cho năm 10%/năm, khoản đầu tư tạo thu nhập ròng cao vào cuối năm năm tới ? Giải Áp dụng cơng thức tính giá trị dòng thu nhập (giá trị dòng thu nhập năm, thu tiền lãi với tỷ lệ năm cộng gộp liên tục) có dạng: Lên khoản đầu tư A B t được: Thu nhập ròng sau năm khoản đầu tư A là: Do khơng tìm nguyên hàm nên sử dụng hỗ trợ máy tính, tìm kết quả: Hay khoảng $ Thu nhập ròng vào cuối năm sau năm khoản đầu tư B là: Hay $ Sau phép tính, dễ dàng nhận thấy thu nhập rịng sau năm cao Ta kết luận khoản đầu tư A cho TỔNG KẾT a Kết quả: Với tài liệu tham khảo giao, nhóm phân cơng hồn thành hết u cầu vấn đề mà cô giao b Nhận xét: Ưu điểm: Trình bày rõ ràng, đảm bảo bố cục nội dung tổng thể Đã biết ứng dụng phần mềm Geogebra kết hợp với Wolframalpha việc trình bày ý tưởng tốn ví dụ minh họa Ví dụ trực quan, đơn giản, dễ hiểu Hình ảnh minh họa trực quan, làm bật ý tưởng trình bày Khuyết điểm: Một số nội dung dịch cịn chưa sát nghĩa với sách Vì hạn chế kĩ thiết bị, nhóm chưa thể trình bày Latex, mơ ví dụ phần mềm chưa tối ưu Một số phần báo cáo trình bày chưa bắt mắt hình thức c Kết luận: Với phân công chuẩn bị kỹ lưỡng cố gắng hết mình, nhóm hồn thành đề tài giao cho kết mong muốn Qua phần tập lớn nhóm đã: Biết thao tác giải tốn mơ Geogebra Wolframalpha Nâng cao hứng thú môn học Trau dồi kỹ học tập làm việc nhóm Nâng cao tinh thần trách nhiệm thắt chặt tình đồn kết thành viên nhóm Rèn luyện khả tự nghiên cứu 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ CÔNG CỤ HỖ TRỢ Soo T Tan - Applied calculus for the managerial, life, and social sciences _ a brief approachBrooks_Cole _ Cengage Learning https://www.quora.com/How-is-Lagrange-theorem-applied-to-real-world-scenarios https://www.geogebra.org/calculator https://www.wolframalpha.com/ https://www.youth4work.com/ ... chân thành đến tập thể sư phạm trường Đại học Bách khoa tạo điều kiện hết mức để nhóm học tập, trao đổi kinh nghiệm thầy cô bè bạn suốt thời gian qua Bên cạnh đó, thông qua tập lớn giao, thành... lai Trong suốt trình thực tập lớn mơn Giải tích 1, nhóm phải trăn trở trước nhiều vấn đề Nhưng nhờ dẫn kịp thời từ cô Trần Ngọc Diễm sinh viên trường, nhóm hồn thành tập cách hiệu quả, tiến độ... Một số phần báo cáo trình bày chưa bắt mắt hình thức c Kết luận: Với phân cơng chuẩn bị kỹ lưỡng cố gắng hết mình, nhóm hoàn thành đề tài giao cho kết mong muốn Qua phần tập lớn nhóm đã: