bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài giải toán bằng phần mềm matlab

Trang 1

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

Trang 2

MUC LUC

PHAN Iz CO SO LY THUYET o cccccsccccscsssssesssssssessssssesssssseesesessseesesssseesssssseesss

1 Mat phang ti@p tuy@ o.oo cccccce css esssssesssssssseesssssseseeseesssssesseesneseeeeeess

2 Giá trị lớn nhất, giá tri mh mat cece cccees ess eseeeseesesseesseeseestesseeseeeees

5 Tích phân dường loại Ï - - S- 2< + S113 S2 HH 1T 111211 ket 6 Tích phân dường loại 2 - Ác 2< + SH SH HH 1 111111111 ket H00 6.8m

PHẢN II: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 22222 2SScSEEEEtE2EEEEEEExeEErerrrrcee

Trang 3

PHAN I: CO SO LY THUYET

1 Mat phang tiép tuyén

Giả sử một mặt S co phuong trinh z = f(x, y) trong đo ƒ có các đạo hàm riêng cấp 1 lién tuc Lay P(xo, Vo Zo) là một điểm nằm trên S Gọi €¡ và Œ; là các đường cong nam trên S, tìm được bằng cách lấy các mặt phẳng dựng x = xạ và y = yọ Khi ấy P năm trên cả hai đường cong Œ¡ và Œ; Goi T, va T, là các đường thắng tiếp xúc với Œ¡ và Œ; tại điểm P Khi ấy mặt phẳng chứa cả T¡ và T; được gọi là mặt phẳng tiếp xúc với mặt S (xem hình vẽ dưới đây)

Z@ya) = f(&,y) + Â' g(x.v)

Trong đó Â là một hằng số chưa xác định, gọi là nhân tử Lagrange Điều kiện cần của cực trị là hệ phương trình sau:

Ấy (x,y, A) = f '(x,y) + Ag, '(x,y) =0

Uz, 39,4) = fy (uy) + A9, (x,y) = 0

2 '(x,y,Â) = g(x,y) = 0

Trang 4

Khi giải hệ phương trình này ta sẽ được bé s6 (xo, yo, Ap) là nghiệm của hệ điểm

dừng Khi đó ta sẽ so sánh f(xạ, Yo) vol f(x1, y1) - trong đó (xy, y1) là một bộ số khác

thỏa mãn điều kiện g(x y) = 0 mà thông thường sẽ là các giá trị biên - để kiểm tra

xem điểm dừng là cực đại hay cực tiêu Đề hiểu rõ hơn ta sẽ đi vào các ví dụ minh

họa

3 Tích phân kép

Mặt z = ƒ (x, y) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt

phang Oxy la D Giả thiết ƒ (x, y) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục

Dinh nghia 2.7 Cho ham sé f (x, y, z) xác định trong một miền dong, bi chan V cua

không gian Oxyz Chia miền ƒ một cách tuỳ ý thành n mién nhỏ Gọi các miền đó và thê tích của chúng là AW;, AW;, , AW, Trong mỗi miền A, lấy một điểm tuỳ ý M(x,, y,, Z,) và thành lập tổng tích phan I, = 1, f (4, yi %)AV; Nếu khi n > +00

sao cho max lay, > 0} ma/, tiễn tới một giá trị hưuu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền ƒ và cách chọn điểm M (xi, Vis Z4) thì giới hạn ay được gọi là tích phân

bội ba của hàm số ƒ(%, y,Z) trong miền V, kí hiệu là [[ƒ, ƒ(,y,Z)dV

Trang 5

Khi đó ta nói rằng hàm số ƒ (x, y, z) kha tich trong mién V

Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia mién V thanh cdc mién nhỏ nên ta có thé chia V boi ba ho mat thắng song song với các mặt phang toa dé, khi do dV = dxdydz và ta có thê viết

lH[: ƒ(x,y,z)dV = lÏÏ ƒ(%.y,z)dxdydz V V

5 Tích phân đường loại 1

Cho hàm số ƒ (x, y) xác định trén mét cung phang AB Chia cung AB thanh n cung

nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là As¡, Asy, As, Trén mdi cung As; lay

một điểm M; bất kì Giới hạn, nếu có, của „m.ƒ(M,)As, khi n — œ sao cho max As, > 0 không phụ thuộc vào cách chia cung 4 và cách chọn các điểm M; được gọi là tích phân đường loại một của hàm số ƒ (x, y) doc theo cung AB, kf hiéu 1a f aml (x, y)ds

Chi y:

là ƒ RB p(x, y)ds nếu tích phân đó tồn tại

e Tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định 6 Tích phần đường loại 2

Cho hai hàm số P(x, y), Q (x, y) xac dinh trén cung AB Chia cung AB thanhn cung

nhỏ As; boi cac diém chia Ay = A, Ay, Ap, ., An = B.Goi toa dé cua vecto Aj_,A; = (Ax;, Ay;) và lấy điểm M; bất kì trên mỗi cung As; Giới hạn, nếu có, của tổng

#n [P(M,)Ax, + Q(M,)Ay,] sao cho max Ax, — 0, không phụ thuộc vào cách chia

cung ẤP và cách chọn các điểm M, được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm

số P(x,y), Q(x, y) doc theo cung AB, ki hiéu là lJạPŒ, y)dx + Q(x,y)dy

Chú ý:

Trang 6

e_ Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của cung Ä, nếu đổi chiều trên

đường lấy tích phân thì tích phân đôi dẫn, ƒ AB P(x, y)dx + Q(x, y)dy = =f P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Xét mặt cong cho bởi phương trình tham số

r{u,0) = x(u,0) - ¡+ y(t) -J+ zÍt) -k

/ << ` x x x \

(3,07) “Reel 5 : > 0 <Â\

Đề đơn giản ta chọn miền Ð là hình chữ nhật và chia Ð thành các hình chữ nhật con có các cạnh song song với các trục tọa độ Ởu và 0% Giả sử Sy là ảnh của hình chữ

nhật R, Khi đó

% = T„(t, 9,) vat, = r,(u;, 9,)

Trang 7

là các véc tơ chỉ phương của mặt phẳng tiếp điện của mặt cong S tại điểm P,, Diện

tích của 5¡ có thể được xấp xỉ bởi điện tích của hình bình hành có hai cạnh là P,P,,,, Pints và h Piyat Do do,

Vậy công thức tinh xp xi dién tích cua mat S 1A

ƒ tp l„ A r„|dudø Điều này dẫn chúng ta tới định nghĩa sau:

Định nghĩa 1 Cho mặt cong Š trơn, cho bởi phương trình tham số

r{u, 0) = x(u,v) -it y(t) “yt z(t) -k, (u,v) eDcR

và Š chỉ được phủ một lần khi (u, v) biến thiên trén mién D Khi dé dién tich cua mặt

cong S được định nghĩa bởi

S=ff In, Ar,|dudv D

ở đó

Trang 8

ax, oy 2%) ax, „322

Trang 9

PHAN II: GIAI PHUONG TRINH

Câu 1

Giả sử ban đầu chúng ta sẽ có hàm số

f(%,y) = ax?y + by?x+c

Và điểm Mạ, Vo, Zo):

Đầu tiên, ta cần tìm đạo hàm từng phân của phương trình ƒ (x, y)

#(x,y) = by? + 2axy

f(x,y) = ax? + 2bxy

Phương trình đường thăng pháp tuyến với mặt cong z sẽ có dạng là

Z =Za + Ñ(%o,yụ)(% — xạ) + fy (0, Yo) Cy — yo)

Code MATLAB:

% Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến với mặt cong % File P1.m

% Xoa Workspace va Command Window

clear variables; clc; close all;

% Dinh dang phuong trinh

syms x y a bc x9 y9 z0 % Có thể gán giá trị cho x9, y9, z0 f(x,y) = a*x^2*y + b*y^2*x + c;¡ % Có thể thay đổi thành hàm bất kỳ fprintf("Ban đầu chúng ta có điểm f(x,y) = %s\n",f(x,y)); fprintf("Và điểm M(x9,y9,z9)\n");

% Tim dao hàm từng phần của phương trình f(x,y) fx(x,y) = diff(f,x);

Trang 10

\B để tính toán, ta có phương trình của

Viết phương trình Larange cho hàm số ƒ (x, y) và đường cong C

L(x,y,Ä) = ƒ(x,y) + AC(x,y) = (x? + 2y?) + AG? + y? - 1)

Viết phương trình đạo hàm từng phần của L(x, y, A)

0

2x? + 2y?) + Â(x? + y? — 1)) = 2x(Â + 1)

x (x? + 2y?) + A(x? + y? -1)) = 2y(a +2)

5(0” +2y?)+A(x?+y?—1)) =x?+y?—1 —=0

Vậy, cực tiêu là 1 và cực đại là 2

Code MATLAB:

Trang 11

% Vẽ mặt cong, tìm điều kiện và chỉ ra điểm cực trị trên mặt cong % File P2.m

% Xoá Workspace và Command Window

% Định dạng phương trình thông qua hàm syms

syms x y delta

f(x,y) = x^2 + 2*y^2; C(x,y) = x42 + y^2 - 1;

L(x,y,delta) = f(x,y) + delta*C(x,y); fprintf( "Phương trình Larange 1a %s\n",L) % Tìm đạo hàm từng phần

Lx(x,y,delta) = diff(L(x,y,delta),x); Ly(x,y,delta) = diff(L(x,y,delta),y); Ldelta(x,y,delta) = diff(L(x,y,delta),delta); % Giai hệ phương trình

[x,y,delta] = solve([Lx==9 Ly==9 Ldelta==9],[x,y delta]); % Viết vòng lặp để tìm ra cực trị và cực tiểu

fprintf ("Vay giá trị cực đại là %.2f ở\n", max) for i = 1:size(maxindex,2)

X_plot = -5:.2:5; y_plot = -5:.2:5;

Trang 12

[x_plot, y_plot ]=meshgrid(x_plot,y_plot); f = x plot.^2 + 2.*y plot.^2;

mesh(f)

title("Đồ thị mặt cong”); % Bottom plot

nexttile

p = nsidedpoly(1999, 'Center', [Ø 0], 'Radius', 1); plot(p, 'FaceColor', 'w'}

axis equal title( "Điều kiện”)

Trang 13

50 + 9+ 60

250 Or

05+

4+

3 2 Cau 3

Ta có

x+y? +z?

Tinh đạo hàm từng phần Oz Ox Oz

Trang 14

% Định dạng phương trình

fprintf( "Từ phương trình, chúng ta sẽ tìm được dz/dx = -x/z” +

“va dz/dy = -y/z\n");

fprintf("Thé vao phương trình, ta có S = 2/sqrt(4-x^2-y^2)\n") fprintf( "Trong hệ toạ độ trụ, chúng ta có giới hạn:\n “);

S2 = int(S1,theta, thetamin, thetamax) ;

fprintf("Sau khi dùng tích phân kép để giải phương trình, " + " phần diện tích mặt là %.2f\n",S2);

% Vẽ đồ thị

f = 6(x,y,z) x.^2+y.^2+z.^2 - 4; fimp1icit3(†f);

Trang 15

Sau đó lập tích phân bội ba cua ham f (x, y)

I=[l[(x+2y)dV = [ [[(Äx+2y) dzdydx = 5

Code MATLAB:

13

Trang 16

% Tinh tich phân bội 3 % File P4.m

% Định dang phương trình SymMS x y Z

f(X,y,z) = x+ 2W;

fprintf( "Ta có phương trình f(x,y,z) = %s\n", f) % Dùng tích phân bội ba để tìm kết quả ŠS = int(int(int(f,z,9,x),y,x^2,x),x,9,1);

fprintf("Sau khi dùng tích phân bội ba để tính, ta có kết quả là %.2f", S);

% Vẽ đồ thị

f = 6(X,y,z) x + 2.*y; fimplicit3(T)

title('Đồ thị minh hoa‘)

Kết quả:

phương trinh f(x chi dung tich

Trang 17

Phương trinh tham sé cua C1:x = x,y = x*,x € [0,1]

% Tích phân đường loại 1 % File P5.m

% Định dạng phương trình syms x y

fprintf("Vậy ta có kết quả tích phân đường của tham số C2 là %.2f\n",S2) % Tính kết quả tổng

fprintf( "Vậy ta có đáp án là = S1 + S2 = %.2f",S1 + S2);

% Vẽ đồ thị

xX = 0:0.1:1; y = X.42;

15

Trang 18

plot(x,y,'r')

hold on; x = 1;

1ine([x,x],[1,2]); axis on

xlim([-@.5 1.5]); ylim([-9.5 2.5]); legend('C1', ‘C2')

0.5F ⁄

Câu 6

Phương trình của parabol là: x = 4 — y”,y = y,—3 <y <2

Vậy dx = —2ydy nên ta có

2

Jy?dx + xdy =f y?(-2y)dy + (4— y?)dy

-3

16

Trang 19

5 = J(-2y? -y? + 4)dy= 405

3

Code MATLAB:

% Tich phân đường loại 2 % File P6.m

% Viết phương trình tham số

fprintf("Phương trình tham số của parabol" + "la: x = 4 - y^2, y = y, -3<=y<=2\n"); syms y;

x = 4 - y^2; xx = diff(x,y); fprintf("Vay ta c6 dx = %s\n",xx); Ff = y*2*xx + x;

fprintf("Thé dx va dy vào” +

” phương trình, ta có phương trình tích ” +

"phân đường loại 2 theo y là: %s\n", Ff); fprintf("Với y chạy từ -3 đến 2."}; S = int(f,y,-3,2);

fprintf("Sau khi tính toán, ta có kết qua 14 %.2f",S); % Vẽ hình minh hoạ

f = 6(x,y) y.^22+x- 4; fimplicit(f,[-5 9]); legend( 'Đường parabol €'}; title( "Đường parabol C”}

Kết quả:

17

Trang 20

Đường parabol C

Câu 7

Ban đầu chúng ta có phương trình

% Tich phan mat loai 1 % File P7.m

18

Trang 21

% Viết phương trình z và các biến liên quan syms xX y;

zZ=xX + y*2; zx = diff(z,x); zy = diff(z,y);

fprintf("Ban dau ta c6 z = %s\n",z) fprintf("Va p = zx = %s\n",zx)3 fprintf("Va gq = zy = %s\n",zy)3 % Tim dS

dS = sqrt(1 + zx42 + zy^2);

fprintf("dS = sqrt(1 + p%2 + q%2) = %s\n",dS) % Dùng tích phân mặt loại 1 để tìm kết quả S = int(int(y*dS,x,0,1),y,0,2);

fprintf("Sau cùng, khi dùng tích phân mặt loại 1, ta có kết quả là %.2f", S);

% Vẽ hình minh hoạ f = 6(x,y,z) x + y.^2 - 7; fimp1icit3(f,[9 1 9 2 9 5]); legend( 'Mặt cong S‘);

Kết quả:

ea

2 + q*2) khi dung tich pl

19

Trang 22

TAI LIEU THAM KHAO

[1] Stewart, James, 1941- Student Solutions Manual for Stewart's Calculus : Early

Transcendentals, Third Edition Pacific Grove, Calif :Brooks/Cole Pub., 1995

[3] Peter L, K., 2021 MATLAB for Begineers: A Gentle Approach Revised Edition Peter I Kattan (September 24, 2009)

20

Trang 23

[4] J Edwards (1892) Differential Calculus London: MacMillan and Co pp 143 ff Cajori, Florian (2007-01-01) A History of Mathematical Notations Torino: Cosimo, Inc ISBN 9781602067141

21