Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài 04 Độc lập về Đường Đi và trường vectơ bảo toàn

Hạt chuyển động từ A đến B dọc theo đường C đi trong trường hấp dẫn Lời giải: Để tìm W, ta lưu ý rằng hạt chuyển động trong trường hấp dẫn F chịu một lực mF, nên công do lực tác dụng lên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 04: Độc lập về đường đi và trường vectơ bảo toàn

Giảng viên hướng dẫn: HUỲNH THỊ VU

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2024

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

Họ và tên MSSV Bùi Đình Khôi 2311654

Đỗ Phú Khang 2311409

Nguyễn Tấn Khang 2311454

Nguyễn Việt Kha 1913677

Phan Gia Khánh 2311526

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 3

ĐỀ TÀI CỦA NHÓM 5

LỜI GIỚI THIỆU 6

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1) Tính chất của trường hấp dẫn 7

1.1 Định nghĩa 1 10

2) Tích phân đường dọc theo đường dẫn đóng 12

2.1 Định nghĩa 2 12

3) Độc lập về đường đi và trường vecto bảo toàn 14

3.1 Định nghĩa 3 15

4) Xác định xem một trường vecto có bảo toàn hay không 16

4.1 Định nghĩa 4 17

4.2 Định nghĩa 5 18

5) Tìm một hàng thế năng 19

5.1 Định nghĩa 6 21

6) Bảo toàn năng lượng 23

BÀI TẬP 26

Câu 2 26

Câu 4 26

Câu 12 27

Câu 20 28

Câu 22 29

Câu 26 30

Câu 34 31

Câu 41 33

Câu 42 34

ĐỀ TÀI CỦA NHÓM Độc lập về đường đi và trường vectơ bảo toàn

Yêu cầu:

Calculus” của tác giả Soo T.Tan.

2)Giải các bài tập 2, 4, 12, 20, 22, 26, 34, 41, 42 3)

LỜI GIỚI THIỆU

Giải tích 2 là môn học có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật – công nghệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học này một khối lượng thời gian nhất định và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn KHTN và làm tiền đề để học tốt các môn khác trong chương trình đào tạo Sau khi nhận được đề Bài tập lớn (BTL) từ cô Huỳnh Thị Vu – GVGD bộ môn Giải tích 2, nhóm 4 đã cùng nhau trải qua quá trình họp nhóm, thảo luận và phân chia nhiệm vụ mỗi thành viên, đặt mục tiêu hoàn thành BTL lần này kịp tiến độ, đúng thời hạn quy định Trong suốt quá trình làm BTL, nhóm chúng em đã gặp những khó khăn như: chưa định hướng được bố cục bài báo cáo; chưa biết cách trình bày bài giải hiệu quả, tối ưu, Nhưng với sự quan tâm, hướng dẫn, hỗ trợ giải đáp thắc mắc tận tình từ GVGD và sự tham gia làm việc đầy đủ, đóng góp ý kiến,

cố gắng nỗ lực và ý thức trách nhiệm của các thành viên, nhóm 4 đã hoàn thành bài làm kịp tiến độ, đạt được mục tiêu ban đầu đề ra Lời cuối, nhóm chúng em xin phép gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất đến cô Huỳnh Thị Vu đã cho chúng

em những bài giảng tốt nhất Ngoài những giờ học trên lớp, cô cũng luôn tận tâm chỉ dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng em về những khó khăn gặp phải trong quá trình thực hiện đề tài BTL Cảm ơn các cá nhân trong nhóm đã cùng nhau cố gắng, hợp tác để đạt được kết quả cuối cùng của BTL lần này Cảm ơn cô đã xem và nhận xét cho bài báo cáo của nhóm chúng em Xin chân thành cảm ơn!

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Tính chất của trường hấp dẫn

Trường hấp dẫn có một tính chất quan trọng mà chúng ta sẽ chứng minh trong phần ví dụ sau:

Ví dụ 1: Công thực hiện trên một hạt bởi trường hấp dẫn: Xét trường hấp dẫn gây ra bởi một vật

có khối lượng nằm ở gốc tọa độ (xem Ví dụ 3, mục 15.1):

với khoảng tham số (Xem Hình 1.) Công việc được thực hiện trên hạt ?

Hình 1 Hạt chuyển động từ A đến B dọc theo đường C đi trong trường hấp dẫn Lời giải: Để tìm W, ta lưu ý rằng hạt chuyển động trong trường hấp dẫn F chịu một lực mF, nên công do lực tác dụng lên hạt là:

Nhưng biểu thức bên trong ngoặc có thể được viết là:

Khi

Như bạn có thể xác minh Sử dụng kết quả này, chúng ta có thể viết

Đừng lo lắng về việc tìm kiếm hàm thế năng đối với trường hấp dẫn Chúng ta sẽ phát triển F

một phương pháp có hệ thống để tìm kiếm thế năng các hàm của trường gradient ở phần sau của phần này

Ví dụ 1 chứng tỏ rằng công thực hiện lên một hạt bởi trường hấp dẫn phụ thuộc chỉ ở điểm đầuF

A và điểm cuối B của đường cong C chứ không phải trên chính đường cong đó Chúng ta nói rằng giá trị của tích phân đường dọc theo đường C không phụ thuộc vào đường đi

Tổng quát hơn, chúng ta nói rằng tích phân đường độc lập với đường đi nếu:

cho hai đường đi bất kỳ và có cùng điểm đầu và điểm cuối

Quan sát rằng trường hấp dẫn là trường vectơ bảo toàn với hàm thế năng ; đó là Ngoài

ra, Ví dụ 1 dường như gợi ý rằng nếu là trường vectơ gradient có hàm thế năng, thì

(1)

Biểu thức này làm chúng ta nhớ tới Phần 2 của Định lý cơ bản của Giải tích đề cập đến:

Khi liên tục trên [a;b] Định lý cơ bản của Giải tích, Phần 2, cho chúng ta biết rằng nếu biết F

đạo hàm của F trong khoảng [a;b] thì tích phân của F’ trên [a;b] được cho bởi hiệu của các giá trịcủa F (một nguyên hàm của F’ ) tại các điểm cuối của [a,b] Nếu chúng ta coi là một loại đạo hàm nào đó của , thì phương trình (1) nói rằng nếu chúng ta biết “đạo hàm” của , thì tích phân đường của được cho bởi sự chênh lệch các giá trị của hàm thế năng (“ngược đạo hàm” của tại điểm cuối của đường cong C

Bây giờ chúng tôi chứng minh rằng phương trình (1) thực sự đúng với tất cả các trường vectơ bảo toàn Ta phát biểu và chứng minh kết quả của hàm số hai biến và đường cong C trong mặt

Chứng minh: Chúng tôi sẽ đưa ra bằng chứng cho một đường cong trơn Từ

, chúng ta thấy rằng:

Ví dụ 2: Cho là một trường lực:

a. Chứng minh bảo toàn bằng cách chứng minh đó là gradient của thế năng

b. Sử dụng Định lý Cơ bản về tích phân đường để tính , trong đó là bất kỳ đường

Hình 2 C là một đường cong trơn tru nối từ A tới B

2 Tích Phân Đường Dọc Theo Đường Dẫn Đóng

Một đường dẫn được đóng nếu điểm cuối của nó trùng với điểm ban đầu Nếu một đườngcong có biểu diễn tham số với khoảng tham số thì sẽ đóng nếu(Xem Hình 3.)

Định lý sau đây đưa ra một phương pháp khác để xác định xem tích phân đường có độc lập với đường đi hay không

Hình 3 Trên đường cong khép kín đỉnh của bắt đầu tại , đi qua và kết thúc tại

Chứng minh: Giả sử độc lập với đường dẫn trong và để bất kì đóng đường dẫn trong Chúng ta có thể chọn bất kỳ hai điểm và trên và coi như được tạo thànhcủa đường dẫn từ đến và đường dẫn từ đến (Xem Hình 4a.) Sau đó

Khi là con đường đi qua theo hướng ngược lại Nhưng cả và có cùng điểm đầu

và cùng điểm cuối Vì tích phân đường là giả định là độc lập với đường đi, chúng ta có

Nên chứng tỏ rằng tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi.

Theo hệ quả của Định lý 1, chúng ta thấy rằng nếu một vật chuyển động dọc theo một đường khép kín và kết thúc ở nơi nó bắt đầu, thì công thực hiện bởi một trường lực bảo toàn lên vật đó bằng không

3 Độc lập về đường đi và trường vectơ bảo toàn

Định lý cơ bản về tích phân đường cho chúng ta biết rằng tích phân đường của trường vectơ bảo toàn không phụ thuộc vào đường đi Một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên là: Có phải trường vectơ có tích phân độc lập với đường đi có nhất thiết phải là trường vectơ bảo toàn không? Để trảlời câu hỏi này, chúng ta cần xem xét các khu vực vừa mở vừa kết nối Một vùng được mở nếu

nó không chứa bất kỳ điểm biên nào của nó Nó được kết nối nếu bất kỳ hai điểm nào trong vùng

có thể được nối bởi một đường đi nằm trong vùng (Xem Hình 5.) Định lý sau đây cung cấp câu trả lời cho một phần câu hỏi đầu tiên mà chúng ta đã nêu ra

Hình 5.a Vùng mặt phẳng được kết nối Hình 5.b. Vùng không được kết nối vì không thể tìm thấy đường đi từ đến nằm hoàn toàn trong

Chứng minh: Nếu bảo toàn thì Định lý cơ bản cho tích phân đường dẫn đến tích phân đườngkhông phụ thuộc vào đường đi Ta sẽ chứng minh điều ngược lại cho trường hợp là một vùng phẳng; cách chứng minh cho trường hợp ba chiều cũng tương tự Giả định rằng tích phân độc lậpvới đường đi trong Để cho là một điểm cố định trong , và để là bất kỳ điểm nào

Vì mở nên tồn tại một đĩa chứa trong có tâm . Chọn bất kỳ điểm trong đĩa với Bây giờ, theo giả định, tích phân đường là độc lập của đường dẫn, vì vậy chúng ta có thể

Vì tích phân đầu tiên trong hai tích phân bên phải không phụ thuộc vào , nên ta có:

Nếu chúng ta viết sau đó:

Khi sử dụng Định lý cơ bản của Giải tích, Phần 1 Tương tự, bằng cách chọn là đường dẫn có đoạn thẳng đứng như trong Hình 7, chúng ta có thể chỉ ra rằng

Bởi thế,

Tức là được bảo toàn

Hình 6 Đường dẫn bao gồm đường dẫn từ đến theo sau là đường ngang

4 Xác định xem một trường vector có bảo toàn hay không

Mặc dù Định lý 3 cung cấp cho chúng ta một mô tả tốt về các trường vectơ bảo thủ, nhưng nókhông giúp chúng ta xác định xem một trường vectơ có bảo thủ hay không, vì việc tính tích phânđường của trên tất cả các đường đi có thể là không thực tế Trước khi nêu tiêu chí để xác địnhxem một trường vectơ có bảo thủ hay không, chúng ta xem xét điều kiện mà trường vectơ bảotoàn phải thỏa mãn

( Hình 8.)

C1 đơn giản, C2 không đơn giản, C3 đơn giản và đóng, C4 đóng nhưng không đơn giản.

Vùng liên thông R trong mặt phẳng là vùng liên thông đơn nếu mọi đường cong khép kín đơngiản C trong R chỉ bao quanh các điểm nằm trong R Như được minh họa trên Hình 9, vùng liênthông đơn không chỉ được kết nối mà còn không có bất kì lỗ nào

được kết nối đơn giản vì đường cong

khép kín đơn giản được hiển thị bao

quanh các điểm bên ngoài R2; R3

không được kết nối đơn giản vì nó

không được kết nối.

( Hình 9 )

Định lý sau đây, nghịch đảo

một phần Định lý 4, cho chúng ta một phép kiểm tra để xác định xem liệu trường vectơ trên vùngliên đơn trong mặt phẳng có bảo toàn hay không

Bằng chứng của định lý này có thể được tìm thấy trong sách giải tích nâng cao

VÍ DỤ 3 Xác định xem trường vectơ có bảo toàn haykhông

Lời giải Ở đây và Từ

∂Q

∂ x =−2 x= ∂ P

∂ y

với mọi (x, y) trong mặt phẳng mở và liên thông đơn giản, ta kết luận bởi định lý 5 rằng F là bảotoàn.

VÍ DỤ 4 Xác định xem trường vectơ F(x, y) = 2 xy2

i +x2

yj có bảo toàn hay không.

Lời giải Ở đây và Vì thế

5 Tìm một hàm thế năng

Khi chúng ta đã chắc chắn rằng trường vectơ F là trường vectơ bảo toàn, chúng ta làm cách nào

để tìm hàm thế cho F? Một kỹ thuật như vậy được sử dụng trong ví dụ sau

VÍ DỤ 5

a Chứng minh rằng F bảo toàn và tìm hàm thế sao cho

b Nếu F là một trường lực, hãy tìm công F thực hiện khi di chuyển một hạt dọc theo bất kỳđường nào từ (1,0) đến (2,3)

với mọi điểm trên mặt phẳng nên ta thấy F bảo toàn Do đó, tồn tại một hàm sao cho Trong trường hợp này phương trình có dạng:

b Vì F bảo toàn nên chúng ta biết rằng công mà F thực hiện khi di chuyển một hạt từ (1,0) đến(2, 3) không phụ thuộc vào đường đi nối hai điểm này.

Sử dụng phương trình (1), chúng ta thấy rằng công do F thực hiện là

a Chứng tỏ F là bảo toàn và tìm hàm sao cho

b Nếu F là một trường lực, hãy tìm công F thực hiện khi di chuyển một hạt dọc theo bất kỳđường nào từ (0, 1,0) đến (1, 2, -1)

Bài làm

a Chúng ta tính toán

Vì F = 0 với mọi điểm R3 , nên ta thấy F là một vectơ bảo toàn theo Định lý 6 Do đó, tồn

Phương trình vectơ này tương đương với hệ ba phương trình vô hướng

(8) (9) (10)

Tích phân phương trình (8) đối với x (sao cho y và z, được coi là các hằng số), chúng ta có

tốc của vật tại thời điểm t bất kỳ Công do lực F tác dụng lên vật khi nó chuyển động từ Ađến B dọc theo C là:

Vì động năng K của một hạt có khối lượng m và tốc độ v là 1

a) Chứng minh bảo toàn và tìm một hàm f sao cho F

b) Sử dụng kết quả câu (a) để tính , với là đường đi từ C tới

và

Vậy F bảo toàn và tồn tại hàm sao cho

-Để xác định g(y), đạo hàm f(x, y) theo y: f y

-Lấy nguyên hàm của (1) theo x, ta được: f(x, y) = e − x cosy + g(y), với g(y) được coi là hằng số.

-Để xác định g(y), đạo hàm f(x, y) theo y: f y

Câu 26: Xác định xem hàm có bảo toàn hay không, nếu có hãy tìm một hàm sao F f

Theo định lí 6: Để hàm F bảo toàn thì cần các điều kiện sau và F nằm trong vùng đơn liên

(Simply connected region):

o Câu 34: Xác định xem hàm có bảo toàn hay không, nếu có hãy tìm một hàm sao F f

cho F=∇ f và sau đó dùng kết quả này để tính toán ∫

Theo định lí 6: Để hàm F bảo toàn thì cần các điều kiện sau và F nằm trong vùng đơn liên

(Simply connected region):

nó không bảo toàn

c/ Điều này sẽ không mâu thuẫn với định lí 5 ta đã đề cập, bởi vì điều kiện ∂Q

∂ x=∂ P

∂ y là

chưa đủ để khẳng định là hàm F có bảo toàn hay không, trường vector F cần phải được xácđịnh và có đạo hàm liên tục trên một vùng đơn liên (simply connected region) (một vùng không có lỗ ở trong vùng đó) Mà ở đây ta thấy rằng F không xác định tại (0,0) thế nên đâykhông phải là vùng đơn liên Như vậy điểm kỳ dị tại gốc tọa độ đã phá vỡ yêu cầu để trường F là trường bảo toàn

o Câu 42: F (x , y , z )= y

(y2+ z2)2j+ z(y2+ z2)2k

a/ Chứng minh đường cong F = 0

0=0( Đ)

Như vậy đường cong F sẽ bằng 0.

b/ F có bảo toàn không?

Ta chưa thể khẳng định được F có bảo toàn hay không vì ta chưa xác định được giới hạn của F ở đâu, nếu là vùng đơn liên thì F sẽ bảo toàn Nhưng còn nếu tại điểm (x,0,0) thì hàm F sẽ không xác định giống câu trước và sẽ không thế bảo toàn Như vậy ta cần phải xác định thêm giới hạn của F nằm ở đâu để chắc chắn F bảo toàn!