Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài Đổi biến trong tích phân bội 3

Tọa độ hình trụ: Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếuDlên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f x y z , , có chứa biểu thức x2y2thì

Phương pháp biến đổi trong tích phân bội 3

Phép đổi biến số tổng quát

Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của ba họ mặt cong Giả sử cần tính

 trong đó f x y z( , , ) liên tục trên

Thực hiện phép đổi biến số

 x,y,z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng

V uvw của mặt phẳng O uvw

 Công thức (1) xác định V uvw V

Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong tích phân bội ba cũng biến biên của miền V thành biên của miền V uvw , biến miền V bị chặn thành miền V uvw bị chặn.

Tọa độ hình trụ

Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếuD lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f x y z( , , )có chứa biểu thức (x 2 y 2 )thì ta hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ Toạ độ trụ của điểm M x y z( , , )là bộ ba ( , , )r z , trong đó ( , )r chính là toạ độ cực của điểm M là hình chiếu của điểm M lên Oxy

Hình 1 Hệ tọa độ trụ

Công thức đổi biến cos sin x r y r z z

 Định thức Jacobian của phép biến đổi là

Tọa độ hình cầu

Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,… và khi hàm lấy tích phân f x y z( , , )có chứa biểu thức (x 2 y 2 z 2 )thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu

Toạ độ cầu của điểm M x y z( , , )trong không gian là bộ ba ( , , )r  , trong đó:

Hình 2 Hệ tọa độ cầu

Công thức phép đổi biến là: cos sin sin sin cos x r y r z r

( , , ) ( cos sin , sin sin , cos ) sin 2

Phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng

Tương tự như khi tính tích phân kép, khi miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ thì ta sẽ sử dụng phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi.

1 Nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng.

V a b c  thì thực hiện phép đổi biến cos sin sin sin cos x ar y br z cr

-nếu V: (x a ) 2 (y b ) 2 (z c ) 2 R 2 thì thực hiện phép đổi biến cos sin sin sin cos x a r y b r z c r

3 Xác định miền biến thiên của r, , 

4 Dùng công thức biến đổi tổng quát để hoàn tất việc đổi biến.

*Tính tích phân bội ba bằng cách chuyển sang tọa độ trụ

 zdV , E được giới hạn bởi z x  2 y 2 và z  4

 x dV , E được giới hạn bởi x 2 y 2 1 , z  0 và z 2 4x 2 4y 2 Đặt: cos sin x r y r

4 (Calculus 15.8 bài 23) Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi mặt nón

2 2 z x y và mặt cầux 2 y 2 z 2 2. Đặt: cos sin x r y r

5 (Calculus 15.8 bài 9) Viết lại các phương trình sau bằng cách chuyển sang hệ tọa độ trụ

*Tính tích phân bội ba bằng cách chuyển sang tọa độ cầu.

6 (Calculus 15.9 bài 23) dV Đặt: x=psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ

Vậy thể E trong hệ tọa độ cầu được giới han bởi:

I=== 7 (Calculus 15.9 bài 35) Đặt: x=psin cos ɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ

Vậy thể E trong hệ tọa độ cầu được giới han bởi:

Bởi vì đối xứng nên tọa độ x,y của tâm là 0, ta chỉ cần tìm tọa độ z:

8 (Calculus 15.9 bài 21) Evaluate triple integral () dV, where B is the ball with 2 center the origin and radius 5. Đặt: x=psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ

Vậy thể E trong hệ tọa độ cầu được giới han bởi:

Tương tự chiếu lên Oxy, ta được: 0≤ ≤2πɸ

I=== 9 (Calculus 15.9 bài 30) Đặt: x=psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ

Vậy vật thể trong tọa độ cầu dược giới hạn bởi:

10 (Calculus 15.9 bài 40) Đặt:x =psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ

Ngoaì ra: Suy ra: │J│= sinɵ

Vậy vật thể trong tọa độ cầu dược giới hạn bởi:

Chiêú lên trục Oxy: Suy ra: 0≤ ≤2πɸ

 , trong đó V là nửa của khối ellipsoid

Lời giải Cách 1: Sử dụng phép đổi biến trong tọa độ trụ suy rộng. Đặt

' cos sin z bz x ar y ar

I d dr bz ar a brdz a b r dr

Cách 2: Sử dụng phép đỏi biến trong tọa độ cầu suy rộng. Đặt

0 0 0 0 0 cos sin sin 2 cos sin 2

*Tính tích phân bội ba bằng công thức đổi biến tổng quát

12.(Calculus 15.10 bài 6) Tìm định thức Jacobian:

Theo công thức tính định thức Jacobian:

13.(Calculus 15.10 bài 15) Tính với R là miền tam giác với 3 đỉnh (0,0), (2,1), (1,2); x = 2u + v, y = u + 2v.

Miền R có đồ thị như sau:

Miền R được giới hạn bởi 3 đường thẳng y x/2, y = 2x, y = 3 - x

Thế x = 2u + v, y = u + 2v vào các phương trình đường thẳng trên:

* u + 2v = 3 - 2u - v => u + v = 1 => v = 1 - u Đồ thị được vẽ lại với hoành độ u, tung độ v như sau:

14.(Calculus 15.10 bài 16) Tính , với R là hình bình hành có 4 đỉnh (-1,3), (1,-3), (3,-1), (1,5);

Miền R có đồ thị như sau:

Ta thấy miền R được giới hạn bởi các đường thẳng: y=ax+b

Mà nên ta được v = mu + n

Miền cũng giới hạn bởi các đường thẳng:

Giải hệ phương trình tại 4 điểm (x.y) để tìm hệ điểm (u,v), ta được 4 điểm:

15.(Calculus 15.10 bài 17) Tính , với R là miền giới hạn bởi đường elip

Suy ra: (miền giới hạn bởi đường tròn tâm O bán kính R=1)

16 (Calculus 15.10 bài 19) Tính với R là góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 3x và đường hyperbol xy = 1, xy = 3;

Ta có đồ thị miền R như sau:

Bài tập thực tế

1 Người ta làm một món đồ chơi bằng thủy tinh được đúc bằng khuôn đúc có dạng một phần mặt cầu ghép với mặt nón z như hình bên dưới Tính thể tích của món đồ trang trí này.

Trong tọa độ trụ, đặt:

2 Người ta cắt một khối gỗ hình lăng trụ để chuẩn bị gia công thành các sản phẩm khác nhau, khối gỗ được cắt bởi các mặt Tính khối lượng của khối gỗ biết khối lượng riêng của loại gỗ này cho bởi hàm

3 Người ta lấy một khối cầu kim loại có phương trình mặt cầu là rồi dùng dụng cụ cắt dạng mặt trụ có phương trình để khoét quả cầu theo phương thẳng đứng, chia quả cầu thành phần lõi A và phần còn lại B.

Tính thể tích của phần còn lại của quả cầu

Thể tích phần còn lại:

4 Một cái đế kim loại để kê đồ trang trí hoặc các món đồ có hình dạng mặt cong, được tạo ra bằng cách dùng dụng cụ chuyên dụng cắt khối trụ với mặt trụ là phương trình tạo cho mặt trên của đế dạng lõm có dạng mặt paraboloid và mặt đáy bằng Tính khối lượng của chân đế này biết hàm mật độ có dạng

5 Một vòng kim loại được giới hạn bởi mặt trong và mặt ngoài là hai mặt trụ có phương trình và , độ dày của vòng kim loại giới hạn bởi hai mặt phẳng Tính khối lượng của vòng này biết khối lượng riêng của kim loại là hàm

6 Tìm khối lượng m của một hình trụ được giới hạn bởi các mặt x 2 y 2 1;z0;z1.

Biết rằng khối lượng riêng của nó tại mỗi điểm M x y z ( , , ) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳn Oxy

Vì khối lượng riêng tại mỗi điểm đó đến mặt phẳng Oxy nên r=k.Z (k: hằng số) zdxdyd

Chuyển sang tọa độ trụ: os sin x rc y r z z

7 Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón:

 và mặt cầu có bán kính bằng 1.

Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu:

Do đó những bán kính vecto của các điểm trên giao tuyến ấy làm với trục OZ một góc 4

2 4 4 sin os y= sin sin os

Vì lí do đối xứng chúng ta sẽ tính được

8 Tìm trọng tâm của vật thể đồng chất được giới hạn bởi trụ xy 2 và các mặt phẳng x=z, z=0 và x=1

Vật thể E và hình chiếu của nó lên mặt phẳng xy được chỉ trên hình Các mặt dưới và trên của E là các mặt z=0 và z=x, vì thế chúng ta mô tả E như loại 1:

Vì sự đối xứng của E và qua mặt phẳng xz, chúng ta có thể trực tiếp nói rằng z 0

M x  và do đó y  0Các momen khác là :

Do đó trọng tâm là  x y z , ,    M m yz , M m xz , M m x y  5 7 ,0, 14 5 

9 Một vật thể bên trong hình trụ x 2 y 2 1, bên dưới mặt phẳng z=4, bên trên paraboloidz 1 x 2 y 2 Mật độ tại mỗi điểm của nó tỷ lệ với khoảng cách từ đó tới trục của hình trụ Tính khối lượng E

Trong tọa độ trụ, phương trình hình trụ là r=1 và phương trình paraboloid là z   1 r 2 , vì vậy ta có thể viết

Vì mật độ tại (x,y,z) tỷ lệ với khoảng cách từ đó đến trục z nên hàm mật độ là

 , ,  2 2 r f x y z K x y K trong đó K là hằng số tỷ lệ Khối lượng của E là

10.Người ta muốn tạo ra một món đồ chơi với dạng hình trụ được tính bằng

Vì lim ln0  2 1 1 lim ln(0 2 9 3) 0 r r r r r r

       nên thực chất I I 1 , 2 là các tích phân xác định. Đặt r 2   1 t rdrt td, ta có

11.Một chiếc móc khóa bằng thủy tinh có hình nón với mặt nón tương ứng với phương trình và mặt đáy ứng với mặt phẳng Tính khối lượng của chiếc móc khóa, biết khối lượng riêng của thủy tinh này cho bởi hàm

12.Tính thể tích món đồ chơi bằng nhựa được xác đinh bằng xdyd

2 sin cos sin sin cos sin x r y r J r z r

13.(Calculus 15.8 bài 28) Tính khối lượng của quả bóng B được cho bởi phương trình Mật độ tại mỗi điểm của nó tỷ lệ với khoảng cách từ đó tới trục z

Trong tọa độ trụ, ta có:

Vì mật độ tại (x,y,z) tỷ lệ với khoảng cách từ đó đến trục z nên hàm mật độ là:

M k x y dV k x y dz dxdy akr dr d a kd a k

14.(Calculus 15.9 bài 27) Tìm thể tích của một phần của quả bóng nằm giữa các hình nón

Hình nón =: Quả bóng có r=a:

=2) 15.(Calculus 15.9 bài 42) Mật độ khối lượng của bầu khí quyển gần bề mặt Trái đất có biểu thức như sau:

Với (khoảng cách từ tâm trái đất) được tính bằng đơn vị kilomet (km) (*bài trong Calculus bị nhầm lẫn chỗ này vì nếu tính bằng m thì mật độ sẽ ra số âm) và có đơn vị kilogam trên mét khối Tính khối lượng của khí quyển ở khoảng giữa mặt đất và độ cao 5km.

Giải: Nếu ta coi bề mặt trái đất là một hình cầu có bán kính 6370 km, thì (m).

Chia phần khí quyển đang xét thành các vỏ hình cầu có bán kính , bề dày d (rất nhỏ), thể tích dV d

Ta có khối lượng khí quyển được tính bằng công thức sau: