Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tà partial derivatives, differential, tangent plane, chain rule

Trong báo cáo này em đã thức hiện tổng hợp lý thuyết chung và liên quan đến đạo hàm riêng như: phương trình đạo hàm riêng, mặt phẳng tiếp xúc đạo hàm, cấp cao, định lý Clairaut,.... Bang

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HÒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HÒ CHÍ MINH

BAO CAO BAI TAP LON

GIAI TỊCH 2

DE TAI 4:

PARTIAL DERIVATIVES, DIFFERENTIAL, TANGENT PLANE,

CHAIN RULE

Giảng viên hướng dan: Phan Thành An

SVTH: Đỗ Duy Khang

MSSV: 2211424

Hoc ki: 222 Lop: P02

Thanh phé Hé Chi Minh — 2022

- - MỤC LỤC

I NOI DUNG BAO CAO 3

Il LY THUYET 3

1 Đạo hàm riêng 3

1.1 Đạo hàm riêng 6

1.2 Phuong trinh dao ham riêng 6

1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

2 Mặt phẳng tiếp xúc 8

3 Đạo hàm cấp cao 10

4 Vi phan H

5 Quy tắc đạo hàm hàm hợp 12

6 Dự án ứng dụng nhân tử Lagrange 13 HI.BÀI TẬP 17

Iv TAI LIEU THAM KHẢO19

I NOI DUNG BAO CAO

Đạo hàm riêng là một trong những bài toán mang tính thiết yêu, được ứng dụng rất nhiều vào đời sông thường ngày cũng như khoa học, công nghệ Trong báo cáo này em đã thức hiện tổng hợp lý thuyết chung và liên quan đến đạo hàm riêng như: phương trình đạo hàm riêng, mặt phẳng tiếp xúc đạo hàm, cấp cao, định lý Clairaut, và các công

thức, dự án ửng dụng về tính vận tốc trong khoa học tên lửa Thực hiện giải các bài toán

của đề tài bằng công nghệ thông tin cụ thé la matlab

ILLY THUYET

1 Đạo hàm riêng (Partial derivatives)

1.1 Mỏ đầu đạo hàm riêng

Vào một ngày nắng nóng, độ âm cực cao khiến chúng ta có cảm giác nhiệt độ, cao hơn nhiệt độ thực, ngược lại trong không khí cực khô ta lại thấy nhiệt độ thấp hơn nhiệt

kế chỉ Trung Tâm Khí Tượng Quốc Gia đã đưa ra khái niệm Chi s6 cam nhiệt (còn gọi là chí số nhiệt độ - độ ẩm hoặc humidex ở một số quốc gia) để mô tả các hiệu ứng của nhiệt

độ và độ âm kết hợp với nhau Chí số cảm nhiệt I là nhiệt độ cảm nhận khi nhiệt độ thật

là T và độ âm tương đối là H Vì vậy, ï là một hàm theo 7 và H ta có thê viết:

T=f(T,H) Bảng giá trị Ï sau đây được trích từ một bảng được biên soạn bởi Trung Tâm Khí Tượng Quốc Gia

Độ ẩm tương đối (%4)

HỊ50 |55 |60 |65 |70 |75 |§50 | 85 | 90

T

90 96 |98 | 10 | 103 | 106 | 109 | 112 | 115 | 119

độ 92 100} 103) 10 | 108) 112 | 115 | 119 | 123 | 128

° 94 104 | 107) 111 | 114] 118) 122) 12 | 132 | 137

7

96 109 | 113 | 116 | 121) 125) 130) 13 | 141 | 146

5

98 114 | 118] 12 | 127] 133) 138) 14 | 150 | 157

100 119) 124/12 | 135) 141/147) 15 | 151) 168

Bang 1

Nếu ta tập trung vào cột tô đậm của bảng tương ứng với độ âm tương đối H=70%, thì ta

đang xét chỉ số cảm nhiệt như một hàm, một biển T với giả trị có định H, Chúng ta hãy

viêt g(T)=ƒ(T,70) Lúc đó g(T) mô tả chỉ số cảm nhiệt ! tăng như thế nào khi nhiệt độ thật T tăng trong khi độ âm tương đối là 70% Đạo hàm của ø khi T=96 °E là tốc độ biến thiên của T theo T=96

g(96+h,70)— g (96,70)

hao

h hộ

Ta co thé tinh xấp xi ø (96) bằng cách sử dụng giá trị trong Đáng ¡ lây h=2 và -2

98—96) _ f(98,70)—f(96,70) _ 133-125 _ 4

g'(96)~ 2

9°(96) g(94-96) _ f(94,70)—f(96,70) _ 118-125 x = 5 _

Lấy trung bình các giá trị này, ta có thể nói rằng ø (96) xấp xi 3.75 Điều này có nghĩa rằng, khi nhiệt độ that là 96°F và độ âm tương đối là 70% thì nhiệt độ biêu kiến (chỉ số cảm nhiệt tăng khoảng 7.45° khi nhiệt độ tăng lên I độ!

Bây giờ chúng ta hãy nhìn dòng tô đậm tương ứng với nhiệt độ có định T=96°F ở báng trên các số trong dòng này là các giá trị của hàm số G(H)=ƒ(96,H), mô tả chí số cảm nhiệt tăng như thế nào khi độ ẩm tương đối H tăng trong khi nhiệt độ thật là T=96°F Đạo hàm của hàm số này khi H=70% là tốc độ biến thiên của ï theo H khi

H=70%

G(70+h)—G(70) f (96,70+h)—f (96,70)

Bằng cách lấy h=5 và -5, ta tính xấp xi Œ '(70) bằng cách sử dụng các giá trị trong bảng

G'(70) x G175)=G (70) _ f (96,75) f (96,70) _ 130-125 _,

G'(70)% GIG)~G (70) _ [96,65)- [196791 _ =- -og

Bằng cách lấy trung bình các giá trị này ta được G /(70)0.9 Điều này nói rằng khi nhiệt độ là 96 °F“, độ âm tương đối là 70% thì chí số cảm nhiệt tăng khoảng 0.9°7 với mỗi phan trăm tăng lên của độ âm tương đối

Tổng quát, nếu ƒ là một hàm theo hai bién x,y gia str ta chi cho x biến thiên trong khi giữ nguyên y, ví dụ y=b trong đó b là hằng só, lúc đó ta thật sự đang xét một hàm

biến x, cụ thể hàm ø,=f (x,b) Nếu ø có đạo hàm tại ø thì ta gọi nó là đạo hàm riêng của ƒ

theo x tại (a,b) Do đó:

Theo định nghĩa của dao ham, ta co:

glath)—gla)

Hường

Vi vay, Phuong trinh (1) tro thanh:

| f,Ía,b)=lim [lath,b)~[la.b)ja) h0

Tương tự, ta có đạo hàm riêng của f theo y tại (a,b), được ký hiệu f„(a,b)

Có được bằng cách giữ x có định (x=a) và tim đạo hàm thông thường tại b của hàm G(y)=fla,y):

Với kí hiệu này của đạo hàm riêng ta có thê viết tốc độ biến thiên của chỉ số cảm

nhiệt ƒ theo nhiệt độ T và độ âm tương đôiH khi T=¿96°7 và H=70% như sau:

z(96,70)3.75

f„(96,70)0.9

Nếu bây giờ ta cho hai điểm (a,b) biến thiên trong Phương trình (2) va (3), f, và f, trở thành hàm hai biến

(4) _ Nếu ƒ là hàm hai biến, thì các đạo hàm riêng của nó là các hàm f,và f, được

xác định bởi:

f(x,y )stim Fy *MIf ley)

Co nhiéu ky hiệu khác cho đạo hàm riêng, ví dụ thay vì viết Íy TIBƯỜI ta có thê viết

f, hoặc D,ƒ (đê chỉ phép lây vi phân theo biên /hứ nhđ!) hoặc ôƒ/ôx Nhưng ở đây ôƒ/ôx

không được hiểu là tỉ số của các vi phân

Cac ki hiéu cho dao ham riéng Néu z=f (x,y), ta viet:

[(x,yÌ=f,=LfIx,yÌ=$<=f,=Ð,f=b,ƒ

[,Áx,y)=f,=.2,f(x.yÌ=5y =f;=Đ,ƒ=D,f

Để tính đạo hàm riêng điều ta cần làm là ghi nhớ từ phương trình (1), đạo hàm riêng theo x chỉ là đạo hàm thông thường theo một biến g ma ta co duoc bằng cách giữ y

cô định Do đó ta có quy tặc sau:

Quy tac dao hàm riêng củaz=ƒ(x,y)

1 Để tìm Í., ta xem y là hằng số và đạo hàm ƒ (x, y) theo x

2 Để tìmf,, ta xem x là hằng số và đạo hàm ƒ (x, y) theo y

Vĩ dụ:

1.2 Phương trình đạo hàm riêng

Các đạo hàm riêng thường gặp ở các phương trình đạo hàm riêng biểu diễn các quy tac vat ly nao do Vi du phương trình đạo hàm riêng:

ở°u_u _

TT TA 2U ox Oy Được gọi là phuong trinh Laplace, dat theo tén cua Pierre Laplace (1749-1827) Các nghiệm của phương trình này được gọi là các hàm điều hòa; chúng đóng vai trò quan trọng trong các bài toán về sự dân nhiệt, dòng chảy lỏng và điện thê

Vi dw: u(x, y)=e* siny

u,=e’ siny

_ x

uy =e" Cosy

u„=e”siny

u„=—e”siny

Khi đỏ:

U„„+U,„=€” siny — e” siny=0

* Phương trình sóng:

ởu_ 2O'u

52 FG ot OX

Mô tả chuyên động của một dạng sóng có thể là sóng đại dương, sóng âm thanh, sóng ánh sáng hoặc sóng chuyên động dọc theo một sợi dây đang dao động Ví dụ, nêu u(x,£)

biêu điện biên độ dao động của một cây dan vi cam tại thời gian £ và cách một dau của

dây đàn một khoảng x (in 2), thì u(x,f) thỏa mãn phương trình sóng Ở đây, hăng số a phụ thuộc vào khối lượng riêng và độ căng của dây

Hình 2 ox’ ay az

The Cobb-Douglas Production Function

P=P(L,K)

ôPiâK

1.3 Ý nghĩa hình học của dạo hàm riêng

Để giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng ta nhớ lại rằng phương trình z=f(x,y) biêu điễn mặt 5 (đỗ thị ƒ) Nêu ƒ(a,b)=c, thì điêm P(a,b,c) nam trén S Bang cách ấn định y=b và S (nói cách khác C; là nhát cắt của S trong mặt phẳng y=b) Tương

tự, giao với mặt phăng đứng x=ø và S là đường cong C; Đường cong C;và C; đều đi qua điểm P

Hinh 3 Đạo hàm riêng của ƒ tai (a,b) la hệ số góc của tiếp tuyén Cwa C,

Lưu ý đường cong C; là đồ thị của hàm số ø(x)=ƒ(x,b), vì vậy hệ số góc tiếp tuyên tại T: tại P là g (a)=f,(a,b) Đường cong C›;là đồ thị của hàm G(y)=ƒ (a, y), vì vậy hệ số góc của tiếp tuyến 7› tại P là G '(b)=ƒ,(a,b)

Do đó đạo hàm riêng của f.(đ,b) vàf,(a,b) có thể được giải thích hình học là hệ số góc của các tiệp tuyên tại P(a,b,c) với các mặt cắt là C¡ và C; củaŠS trong mặt phăng y=b vảx=q,

Như chúng ta thấy trong trường hợp của hàm chỉ số cảm nhiệt, đạo hàm riêng có thê được hiêu là tốc độ biên thiên của z theo y khi x cô định

2 Mat phang tiép xitc (Tangent planes)

Một trong những ý tưởng quan trọng nhất trong giải tích một biến là khi chúng ta phóng to một điểm trên đồ thị của một hàm khả vi, đồ thị trở nên không khác biệt nhiều với tiếp tuyên của nó và chúng ta có thê tính xấp xỉ hàm số bằng một hàm tuyến tính Ở đây chúng ta phát triển ý tưởng tương tự trong không gian 3 chiều Khi chúng ta phóng to một điểm trên một mặt là đồ thị của một hàm khá vi hai biến, mặt đó trong càng lúc cảng giống một mặt phắng (mặt phẳng tiếp xúc của nó) và chúng ta có thể tính xấp xỉ hàm đó bằng một hàm tuyến tính hai biến

Hình 4 Mặt phẳng tiếp xúc chứa các tiếp tuyển T va T,

Giá sử mặt phăng S có phương trình z=ƒ(x.y) , trong đó f có đạo hàm riêng cấp l liên tục và cho P(X» ¥oZ0) la mot điểm trên 5 Cho C¡ vàC; là đường cong tạo thành bởi mặt phăng thắng đứng Y=u và X=%o giao với mặtS Khi đó điểm P năm trên cả C; vàC;, Cho T; và T; là tiếp tuyến với đường C¡ và C; tại điểm P Khi đó mặt phăng tiếp xúc với mặt S

tại điểm P được xác định là mặt phăng chứa cả hai tiếp tuyến T) và T;,

Chúng ta sẽ thấy rằng nêu € là đường cong bất kỳ khác nằm trên mặt S và đi qua điểm P, thì tiếp tuyên của nó tại P cũng năm trong mặt phẳng tiếp xúc Vì vậy bạn có thê hình dụng mặt phăng tiếp xúc với S$ tai P là bao gôm tất cả các tiệp xúc có thé tại P với các đường cong năm trên mặt Š và đi qua P Mặt phẳng tiếp xúc tại P là mặt phăng xấp xi gần nhất với mặt S gần điểm P

Ta có phương trình:

A(x—xy)+B(y— yu)+CÍz—z¿)=0

Bằng cách chia phương trình này cho C và cho a=— A/C và b=- BÍC, £a có thể viết

nó dưới dang :

Z~Zo=dÍx—xụ)+b(yT yo) Œ)

Nếu phương trình (1) biểu thị cho mặt phẳng tiếp xúc tại P, thì giao của nó với mặt phăng y= yụ phải là tiếp tuyên T: Thiết lập y= yo theo phương trình (1) ta có:

Z~Za=a(x—xụ]) trong đó Y=o

Và ta nhận ra phương trình này là phương trình (dạng điểm - hệ số góc) của đường thăng có hệ sô góc a Nhung từ mục 14.3 ta biệt răng hệ sô góc của tiệp tuyên T; là

f,ÁXu,Va)

[2] Giá sửf có đạo hàm riêng liên tục Phương trình của tiếp tuyên với mặt z=ƒ (x y)

tại diém P(x, YoZu) là:

Z—2Z9=f (X0s Yo) X—Xo) +f y(Xo Yo) (¥— Yo)

Lưu ý: sự giỗng nhau giữa phương trình của mặt tiếp xúc và phương trình của tiếp tuyến

y—ys=f '(Xo)(x—Xụ]

3 Đạo ham cdp cao (Higher order derivative)

Nếu f là hàm hai biến thì đạo hàm riêng của nó Í.:f„ cũng là hàm hai biến, vì vậy

ta có thế xet đạo hàm riêng của chúng (f,).›(f,);:(f„)x,(f;)y được gọi là đạo hàm riêng cấp

2 của ƒ Nêuz=ƒ (x,y)ta có thê sử dụng ký hiệu sau:

(f.).=f„=fu=4S at =f 0%

(fe) =bo=fa= af) ae a

()=Iz=la=‡ |3 l=z+= oe

W),=f„=fs=a sf) 21-2

Do ký hiệu f„ (2”ƒ/2yôx) có nghĩa răng đầu tiên chúng ta đạo hàm theo xvà sau đó

theo y, ngược lại với cách tính ƒ„, đầu tiên đạo hàm theo y rôi mới đạo hàm theo x

Định lý Clairaut

Giá sử ƒ xác định trên đĩa D chứa điểm (a,b) nêu các hàm f„, ƒ„ liên tục trên Ð thì:

f„\a,b)=fa(a,b)

Ta cũng có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3 hoặc cấp cao hơn Ví dụ:

ởƒ

ay ex

_ _ oO

öyöx

Và bằng cách sử dụng định lý Clairaut ta có thể chứng minh f¿„=f„„= zx nếu các hàm này liên tục

4 Vi phan (Differential)

10

V6i ham mot bién kha vi, y=f(x), ta định nghĩa vi phân dx là một biến độc lập

Tức là đx có thê được cho gia tri cua mot số thực bất kỷ Khi đó vi phân y được định

nghĩa là:

dy =ƒ '{x)dx

tangent line

Hình 5

Hình 5 biễu diễn diễn mối quan hệ giữa A y và vi phan dy; Ay biéu thi cho mức biến thiên chiêu cao của đường cong y=ƒ(x) và dy biểu thị cho mức biên thiên chiêu cao tiếp tuyến khi x biến thiên một lượng dx=Ax,

Với hàm hai biến khả vi, z=ƒ(x,y) , ta định nghĩa vi phân đx và đy là các biến độc lập; tức là chúng có thê được cho giá trị bât kỳ Khi đó vi phân đz còn được gọi là vi phân

toàn phần được định nghĩa:

de=f(x,y)dx+f,(x,y)dy= Adve ea

(So sánh với phương trình đy =ƒ '(x)dx) Đôi khi ký hiệu dx được sử dụng thay thé dz Nếu ta cho dx=A x=x-a và dy=Â y=y—b trong phương trình vi phân toàn phần, khi

do vi phan của z là

đz=ƒ,(a,b)(x—a)+ƒ,(a,b](y—b)

Vì vậy, theo ký hiệu vi phân xấp xi tuyến tính ta có thê viết là:

f{x,y)*ƒ{a,b]+dz

Hình 6 là bản sao 3 chiều của hình 5 và cho chúng ta thấy giái thích hình học của

vi phân đ2 và sô gia Az,đz biêu diễn cho mức biên thiên chiêu cao của mặt phăng tiệp xúc, trong khi Az biêu diễn cho mức biến thiên chiều cao của mặt z=ƒ ¿) khi (x,y) từ (a,b) đến

(a+Ax;b+A y),

II

z— fla,b) = f,(a.b)(x — a)+ f,(a, by — b)

Hinh 6

5 Ouy tdc dao ham ham hop (Chain Rule)

Quy tac dao ham ham hợp của hàm số một biến đưa ra quy tac vi phan ham hop: Néu y=f(x) vax=g(t), trong dé f va g 1a ham kha vi, thi y gidn tiép 1a ham kha vi theo t va:

dt dxdt Đối với các hàm nhiều hơn một biến, quy tắc đạo hàm hàm hợp có một số phiên bán, mỗi phiên bản đưa ra một quy tắc vi phân hàm hợp Phiên bán đầu tiên liên quan đến trường hợp z = Ñx,y) và mỗi biến x và y lần lượt là một hàm theo biển Điều này có nghĩa rằng 2 gián tiếp la mot ham theo t,z=f(g(t),h(t)) và quy tắc đạo hàm hàm hợp đưa ra công thức vi phân Z nhu mot nam theo t Chung ta gia str rang kha vi Nhớ lại trong bài trước đây là trường hợp khi f, và fy liên tục

Quy tac dao ham ham hợp (Trường hợp I) Giả sử z=ƒ (x,y) la ham kha vi theo x vay, trong dox=g(t) va y=h(t) đều là hàm khả vi theo t Thì z là hàm khả vi theot và

dz _of dx , of dy 2 wot, of di)

dt @xdt @y dt

12