Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 3

Khi đó, con người không còn m t thấ ời gian để giải các vấn đề thự ếc t với những phương thức thủ công thông thường nữa vì đã có công nghệ trợ giúp mà h s dành thọ ẽ ời gian để nghiên cứ

ĐẠ I H C QUỐC GIA THÀNH PHỐ H CHÍ MINH Ọ Ồ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1 Lâm Thanh Hoa 2013198 7, 9

2 Nguyễn Gia Huy 2013308 6, 12

9 Nguyễn Hoàng Minh Trí 2010734 2, 4

10 Nguyễn Minh Trung 2014884 15, 21

11 Nguyễn Phan Anh Tu n ấ 2012348 1, 5

12 Lê Quang Vinh 1915932 22, 23

3

Danh sách phân công 2

Lời nói đầu 4

Phần báo cáo 5

• Vấn đề 1 5

• Vấn đề 2 7

• Vấn đề 3 9

• Vấn đề 4 10

• Vấn đề 5 12

• Vấn đề 6 13

• Vấn đề 7 13

• Vấn đề 8 14

• Vấn đề 9 15

• Vấn đề 10 15

• Vấn đề 11 17

• Vấn đề 12 20

• Vấn đề 13 20

• Vấn đề 14 23

• Vấn đề 15 25

• Vấn đề 16 26

• Vấn đề 17 27

• Vấn đề 18 31

• Vấn đề 19 33

• Vấn đề 20 35

• Vấn đề 21 36

• Vấn đề 22 37

• Vấn đề 23 38

Tài li u tham kh o ệ ả 39

4

LỜI NÓI ĐẦU

Trong xã h i ngày nay, v i s phát tri n nhanh chóng c a khoa hộ ớ ự ể ủ ọc – kĩ thuật hiện đại, một số vấn đề ủa con người đã và đang đượ c c máy móc, công nghệ thay th D a vào nh ng nghiên c u và phát minh cế ự ữ ứ ủa con người, máy móc ngày nay có thể thực hi n vô s các công vi c ph c t p vệ ố ệ ứ ạ ới độ chính xác cao và thời gian ngắn Khi đó, con người không còn m t thấ ời gian để giải các vấn đề thự ếc t với những phương thức thủ công thông thường nữa vì đã có công nghệ trợ giúp

mà h s dành thọ ẽ ời gian để nghiên cứu các lĩnh vực m i, các vớ ấn đề m i, các ớcông trình m ới

Đố ới v i quá trình học tập của sinh viên, đặc biệt là các sinh viên khối kỹ thuật, việc ti p xúc, làm vi c hay thậm chí thành thạo các công cụ tính toán hiện đại ế ệnày là vi c vô cùng c p thi t Hiệ ấ ế ện nay, trong môi trường Đạ ọi h c, gi ng viên và ảsinh viên đều có thể sử dụng các phần mềm tính toán, các công cụ kĩ thuật hiện đại để dễ dàng hình dung hay truyền đạt các kiến thức trừu tượng một cách chính xác nh t, tấ ừ đó đạt được hi u qu giáo d c và h c t p cao nh t Sinh viên trên ệ ả ụ ọ ậ ấtoàn thế giới (theo h c các ngành khoa h c t nhiên) ọ ọ ự được khuy n khích tìm tòi, ếkhám phá các công c này và s d ng chúng ụ ử ụ để giải nh ng bài t p hay ng dữ ậ ứ ụng trong các bài h c trên giọ ảng đường Vi c s d ng các công cệ ử ụ ụ này đã mang đến những ảnh hưởng vô cùng tích cực đối với sinh viên nói riêng và đối với chất lượng gi ng dả ạy ở ậc Đạ ọ b i h c nói chung

Trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh cũng nắm bắt

xu th trên và th c hiế ự ện mô hình “Bài tậ ớn” trong mỗp l i môn học để giúp sinh viên nâng cao tinh th n t h , t tìm tòi và sáng t o Tầ ự ọ ự ạ ừ đó, có th rèn luyể ện thêm cho sinh viên nhiều kĩ năng nghề nghiệp và kĩ năng mềm quan tr ng cho ọhành trình s nghiự ệp và đờ ống tương lai củi s a h ọ

Trong khuôn kh c a báo cáo này, chúng em ổ ủ – sinh viên đang theo học trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TPHCM – chỉ sử dụng những công cụ trên cho những vấn đề trong môn học Giải tích 2 (Calculus 2): đồ thị hàm 2 biến; đạo hàm và vi phân hàm 2 bi n; c c tr và giá tr l n nh t, giá trế ự ị ị ớ ấ ị nhỏ nhấ ủt c a hàm 2 biến; tích phân kép; tích phân bội ba; tích phân đường; tích phân mặt và chu i ỗ

số

5

PHẦN BÁO CÁO

VẤN ĐỀ 1

How does the shape of the graph depend on c?

T ạm dị ch: Khảo sát họ các hàm 𝑓(𝑥, 𝑦 = e) cx 2 +y 2

Hình d ng cạ ủa đồ thị phụ thuộc như thế nào vào c?

Lời gi ải:

𝑓(𝑥, 𝑦 = e) cx 2 +y 2

Nếu 𝑐 = 0, đồ là mthị ặt tr ụ𝑧 = 𝑒𝑦 2

Khi 𝑐 > 0, đồ thị có dạng elliptic paraboloid Các đường m c là nh ng hình elip ứ ữ

có tâm g c to ở ố ạ độ

Khi 0 < 𝑐 < 1 ụ, tr c chính c a các elip là trủ ục hoành và độ ệch tâm tăng khi l 𝑐tiến về 0

6

𝑐 = 0.5 Khi 𝑐 = 1, các đường m c là hình tròn v i tâm ứ ớ ở giữa

𝑐 = 1 Khi 𝑐 > 1, trục chính c a các elip là trủ ục tung và độ ệch tâm tăng khi l 𝑐 tăng

𝑐 = 2 Khi 𝑐 < 0, đồ thị có d ng hình yên ngạ ựa và có điểm yên ngựa gần điểm có to ạ độ(0, 0, 1) Đường mức là họ các đường hyperbol

7

𝑐 = −0.5

𝑐 = −2

VẤN ĐỀ 2

𝑊 =13 12 + 0.6215𝑇 −11 37 𝑣0.16+ 0.3965𝑇𝑣0.16

where T is the temperature (°C) and v is the wind speed (km/h) When T = 215°C and v = 30 km/h, by how much would you expect the apparent temperature W to drop if the actual temperature decreases by 1°C? What if the wind speed increases by 1 km/h?

T ạm dị ch:Chỉ ố s làm lạnh do gió được mô t bả ởi hàm số sau:

𝑊 =13 12 + 0.6215𝑇 −11 37 𝑣0.16+ 0.3965𝑇𝑣0.16

Trong đó T là nhiệt độ (°C) và v là tốc độ của gió (km/h) Khi T = 215 C và v = °

30 km/h Hãy dự đoán xem nhiệt độ biểu ki n W sế ẽ thay đổi như thế nào nếu giảm nhiệt độ đi 1 C ? Điề° u gì s x y ra nẽ ả ếu tăng tốc độ gió lên 1 km/h ?

Ý nghĩa: Vậy khi tăng vận t c gió lên 1 km/h thì nhiố ệt độ biểu ki n W sế ẽ tăng lên 0.68°C

9

VẤN ĐỀ 3

where m is the mass in kilograms and h is the height in meters

(a) What is the linear approximation of B(m, h) for a child with mass 23 kg and height 1.10 m?

(b) If the child’s mass increases by 1 kg and height by 3 cm, use the linear approximation to estimate the new BMI Compare with the actual new BMI

T ạm dị ch:Chỉ ố khối cơ thể đượ s c định nghĩa là 𝐵(𝑚, ℎ = 𝑚/ℎ) 2, v i m là cân ớnặng tính theo ki-lô-gam và h chi u cao tính theo mét ề

(a) Tìm x p x tuy n tính c a B(m, h) c a mấ ỉ ế ủ ủ ột đứa tr v i cân n ng 23 kg và ẻ ớ ặchiều cao 1.10 m

(b) N u cân n ng cế ặ ủa đứa tr ẻ tăng lên 1 kg và chiều cao tăng 3 cm, sử ụ d ng xấp

xỉ tuyến tính để tính giá tr cị ần đúng củ chỉ s BMI So sánh v i giá tr BMI a ố ớ ịthực

Ý tưởng: Công th c tính x p x tuy n tính c a hàm 2 bi n ứ ấ ỉ ế ủ ế 𝑓(𝑥, 𝑦) ại điểm t(𝑥 , 𝑦0 0) là 𝑓(𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 𝑥) ( 0,𝑦0) + 𝑓𝑥′(𝑥0, 𝑦0) ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦′(𝑥0, 𝑦0).(𝑦 − 𝑦0) (a) ng dỨ ụng tìm bi u th c x p x tuy n tính cho hàm ể ứ ấ ỉ ế 𝐵(𝑚, ℎ) ới 𝑚 v 0=

m0=input( 'Nhap can nang tai thoi diem dang xet m0 =' );

h0=input( 'Nhap chieu cao tai thoi diem dang xet h0 =' );

dm=input( 'Nhap su thay doi cua can nang dm =' );

dh=input( 'Nhap su thay doi cua chieu cao dh =' );

temperature T and the annual rainfall R Scientists estimate that the average temperature is rising at a rate of 0.15°C/year and rainfall is decreasing at a rate

11

of 0.1 cm/year They also estimate that at current production levels, 𝜕𝑊𝜕𝑇= −2 and 𝜕𝑊𝜕𝑅= 8

(a) What is the signifcance of the signs of these partial derivatives?

(b) Estimate the current rate of change of wheat production, 𝜕𝑊𝜕𝑡

bình T và lượng mưa hằng năm R Các nhà khoa học ước tính rằng nhiệt độtrung bình đang tăng 0.15°C/năm và ợng mưa đang giảm 0.1cm/năm.lư Họ ước tính r ng sằ ản lượng lúa mì ở thời điểm hi n t i là ệ ạ 𝜕𝑊

𝜕𝑇= −2 và 𝜕𝑊𝜕𝑅= 8

(a) D u hi u cấ ệ ủa các đạo hàm riêng này là gì ?

(b) Ước tính tốc độ thay đổi hi n t i c a lúa mì, ệ ạ ủ 𝜕𝑊

𝜕𝑇= −2: là đạo hàm riêng của sản lượng lúa mì theo nhiệt độ trung bình T

Ý nghĩa: Khi nhiệt độ trung bình T tăng lên 1°C thì sản lượng lúa mì W sẽ giảm

đi 2 (đơn vị ản lượ- s ng)

𝜕𝑊

𝜕𝑅= 8: là đạo hàm riêng của sản lượng lúa mì theo lượng mưa hằng năm R

Ý nghĩa: Khi lượng mưa R tăng lên 1 cm thì sản lượng lúa mì W sẽ tăng 8 (đơn

12

VẤN ĐỀ 5

the largest possible volume?

T ạm dị ch: Nếu độ dàiđường chéo c a hình h p ch ủ ộ ữ nhật là L thì th tích lể ớn nhất c a nó là bao nhiêu? ủ

Lời gi ải:

Gọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 là kích thước c a hình hủ ộp ch ữ nhật, ta có th tích cể ủa hình h p là ộ𝑥𝑦𝑧 và

𝐿 = √𝑥2+ 𝑦 + 𝑧2 2 → 𝐿2= 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 → 𝑧 = √𝐿2− 𝑥2− 𝑦2 Vậy ta có 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦√𝐿2− 𝑥2− 𝑦2 (𝑥, 𝑦 > 0)

VẤN ĐỀ 6

Yêu cầu: Find the volume of the solid lying under the elliptic paraboloid

𝑥2⁄4 + 𝑦 9 + 𝑧 = 12⁄ and above the rectangle 𝑅 = [−1,1] × [−2,2]

T ạm dị ch: Tìm thể tích c a vật thể nủ ằm dưới elliptic paraboloid

the planes 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, and 𝑥 + 𝑦 = 2

T ạm dị ch: Tìm th tích ph n bao bể ầ ởi paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 12 2 và các mặt

ph ngẳ 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 = 2 và

disk 𝑥2+ 𝑦 ≤ 𝑎2 2 in the first quadrant Find the moments of inertia I and I and x ythe radii of gyration 𝑥 and 𝑦

T ạm dị ch: M t mộ ặt phân cách có mật độ không đổi 𝜌(𝑥, 𝑦 = 𝜌) chiếm m t ộphần của đĩa 𝑥2+ 𝑦 ≤ 𝑎2 2 trong g c phố ần tư thứ nhất Tìm momen quán tính Ix

Yêu cầu: Set up, but do not evaluate, integral expressions for (a) the mass, (b)

the center of mass, and (c) the moment of inertia about the z-axis of the solid enclosed by the cylinder 𝑦 = 𝑥2 and the planes 𝑧 = 0 and 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2+ 𝑦2

16

T ạm dị ch: Thiết lập (nhưng không tính toán) biểu thức tích phân để tính (a) khối lượng, (b) khối tâm và (c) momen quán tính theo trục z của vật thể giới hạn bởi hình trụ 𝑦 = 𝑥2 và các m t phặ ẳng 𝑧 = 0 và 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧 =)

17

VẤN ĐỀ 11

1; 𝑥 + 𝑧 = 1; 𝑦 + 𝑧 = 12 2 2 2 Indicate the positions of the coordinate axes and label the faces with the equations of the corresponding cylinders

1; 𝑥 + 𝑧 = 1; 𝑦 + 𝑧 = 12 2 2 2 Nêu v trí c a các tr c tị ủ ụ ọa độ và ghi nhãn các mặt bằng phương trình của các hình trụ tương ứng

Lời gi ải:

Thông qua đồ , ta có ththị ể xác định được các được các giao tuyến Tuy nhiên để

vẽ được đồ thị các giao tuyến đó cần xác định được các phương trình của chúng Như vậy, ta cùng đi tìm các phương trình tham số

18

Ta được đồ là hình ellipse có hình chi u lên Oxy là hình tròn bán kính là 1 thị ếQuan sát 2 đồ thị ở trên , ta xác định t chỉ chạy từ −𝜋4 → 𝜋4 𝑣à 3𝜋4 → 5𝜋4

Sau đó ta vẽ ại và được đường cong như sau : l

Áp dụng phương pháp tham số tương tự để tìm t t các giao tuy n c a 3 hình tr ấ ế ủ ụSau đó chúng ta vẽ vào Geogebra Ta được đồ thị như sau

20

VẤN ĐỀ 12

𝛿 =619 09 − 0.000097𝜌 where 𝜌 (the distance from the center of the earth) is measured in meters and is measured in kilograms per cubic meter If we take 𝛿the surface of the earth to be a sphere with radius 6370 km, then this model is a reasonable one for 6.370 10× 6≤ 𝜌 ≤ 6.375 10× 6 Use this model to estimate the mass of the atmosphere between the ground and an altitude of 5 km

T ạm dị ch: M t mô hình cho mộ ật độ δ của khí quyển trái đất gần bề mặt của nó

là 𝛿 =619 09 − 0.000097𝜌 trong đó ρ (khoảng cách từ tâm trái đất) được đo bằng mét và δ được đo bằng kilôgam trên mét khối Nếu chúng ta coi bề mặt trái

đất là một hình c u có bán kính 6370 km, thì mô hình này là một mô hình h p lý ầ ợcho 6.370 10× 6≤ 𝜌 ≤ 6.375 10× 6 S dử ụng mô hình này để ước tính khối lượng c a khí quy n gi a mủ ể ữ ặt đất và độ cao 5 km

Lời giải: Khối lượng khí quyển: 𝑚 =∭𝐸𝛿𝑑𝑉

𝑦 =𝑣+𝑢2 Khi đó:

𝑦 = 0 → 𝑢 = −𝑣; 𝑥 = 0 → 𝑢 = 𝑣

𝑥 + 𝑦 = 1 →𝑣 − 𝑢 + 𝑣 + 𝑢2 = 1 → 𝑣 = 1

𝑥 + 𝑦 = 2 →𝑣 − 𝑢 + 𝑣 + 𝑢2 = 1 → 𝑣 = 2 Miền l y tích phân theo ấ ẩn u, v được gi i h n bớ ạ ởi các đường: 𝑣 = 1, 𝑣 = 2,

2 21

| = −12Khi đó:

1

%Tinh dinh thuc Jacobian:

a=diff(x,u); b=diff(x,v); c=diff(y,u); d=diff(y,v);

A=[a b;c d];

J=abs(det(A));

%Doi can:v=1; v=2; u=v; u=-v

%Tinh tich phan:

23

VẤN ĐỀ 14

first quadrant

(a) Find the centroid of the lamina

(b) Find the center of mass of the lamina if the density function is 𝜌(𝑥,𝑦 =)

𝑥𝑦2

T ạm dị ch: M t lamina chiộ ếm một phần của đĩa 𝑥2+ 𝑦 ≤ 𝑎2 2 nằm góc phần ở

tư thứ nhất

(a) Tìm tâm c a lamina ủ

(b) Tìm tâm khối lượng c a lamina n u hàm mủ ế ật độ là 𝜌(𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 ) 2

Lời gi ải:

(b) Tâm khối lượng của lamina

𝑚 = ∫ ∫ 𝑝 𝑥, 𝑦( ) 𝑑𝐴= ∫ ∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝐴

𝐷 𝐷

Trong tọa độ ự c c

= ∫ ∫ (𝑟 cos 𝜃)(𝑟 sin 𝜃)𝑎 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

0

𝜋/2 0

= ∫ ∫ 𝑟4𝑎cos 𝜃 sin2𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃

0

𝜋/2 0

=𝑚 ∫ ∫𝑥𝑦1 3 𝑑𝐴

𝐷

=𝑚 ∫ ∫ (𝑟 cos 𝜃)(𝑟 sin 𝜃)1 𝑎 3 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

0 𝜋/2 0

25

=𝑚 ∫ ∫ 𝑟1 5𝑎cos 𝜃 sin3𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃

0

𝜋/2 0

=15𝑎5[𝑢4 ]4

0

1

[𝑎6 ] =6 5𝑎8Vậy tọa đồ tâm lamina là: (5𝜋𝑎32,5𝑎8)

→ 𝑑𝑠 = √(𝑥′)2+(𝑦′)2+(𝑧′)2𝑑𝑡= √[−sin(𝑡)]2+ cos(𝑡)2+ 12𝑑𝑡= √2𝑑𝑡 Khi đó: 𝐼 = cos∫𝜋2 2(𝑡) × sin( ) × √2𝑑𝑡𝑡 = 1/3

0

Đồ thị mi n l y tích phân: ề ấ

26

Code: curve(sin(t),cos(t),t,t,0,pi/2)

VẤN ĐỀ 16

Yêu cầu: A 160-lb man carries a 25-lb can of paint up a helical staircase that

encircles a silo with a radius of 20 ft If the silo is 90 ft high and the man makes exactly three complete revolutions climbing to the top, how much work is done

by the man against gravity?

lên m t c u thang xo n bao quanh m t silo có bán kính 20 ft N u silo cao 90 ft ộ ầ ắ ộ ế

và người đàn ông phải đi 3 vòng hoàn chỉnh để leo lên trên thì bao nhiêu trọng lực ch ng lố ại người đàn ông hoàn thành công việc

moving an object from a point P along a path to a point P in terms of the 1 2

distances d and d from these points to the origin 1 2

(b) An example of an inverse square feld is the gravitational field 𝑭 =

− 𝑚𝑀𝐺 𝒓/( ) | |𝒓3 Use part (a) to find the work done by the gravitational field when the earth moves from aphelion (at a maximum distance of 1.52 10× 8km from the sun) to perihelion (at a minimum distance of 1.47 10× 8 km) (Use the values m = 5.97 10× 24 kg, M = 1.99 10× 30kg, and G = 6 ×67

28

đối với một số hằng số c, trong đó r= xi + yj + zk.Tìm công do F thực hiện khi đưa một vật từ điểm P dọc theo đường đi đến điểm P theo khoảng cách d1 2 1 và d 2

đến điểm gốc

(b) M t ví d vộ ụ ề trường bình phương nghịch đảo là trường h p dấ ẫn 𝐹 =

− 𝑚𝑀𝐺 𝑟/( ) |𝑟|3.Sử d ng phụ ần (A) để tìm công do trọng trường th c hi n khi ự ệtrái đất chuyển động từ điểm cận nhật (ở khoảng cách tối đa là 1.52 10× 8 km từ mặt trời) đến điểm c n nhậ ật (ở khoảng cách t i thiố ểu là 1.47 10× 8 km).(Sử dụng các giá trị m = 5.97 10× 24 kg, M = 1.99 10× 30kg, and G =

6.67 10× −11 𝑁 𝑚2⁄𝑘𝑔2)

(c) M t ví d khác vộ ụ ề trường bình phương nghịch đảo là trường lực điện 𝐹 =𝜀𝑞𝑄𝑟/|𝑟|3.Giả s r ng mử ằ ột electron mang điện tích −1.6 × 10−19 C được đặt tại điểm gốc Một điện tích đơn vị dương cách nhau một khoảng 10−12 m và di chuyển đến vị trí cách êlectron một khoảng bằng nửa Sử dụng phần (a) để điều chỉnh công do lực điện thực hiện (Sử dụng giá tr ị𝜀 = 8.985 10× 9)

Lời gi i: ả

(a) Cho trường lực:

𝑭(𝒓) =| |𝒄𝒓𝒓𝟑Chúng ta mu n tìm công th c hi n b i F khi di chuy n m t v t tố ự ệ ở ể ộ ậ ừ điểm P1 dọc theo đường đi đến điểm P xét theo kho2 ảng cách d1 và d2 so với điểm gốc Đầu tiên chúng ta ước lượng F Như vậy chúng ta sẽ chứng mình rằng có tồn tại một hàm sao cho: 𝒇

𝑭 = 𝛁𝒇 Cho r ng: ằ

𝒇(𝒓)−𝒄|𝒓|

Chúng ta s ẽ chứng mình r ng v i hàm trên chúng ta có: ằ ớ 𝑓 ở 𝑭 = 𝛁𝒇

𝑓 = −𝑐

√𝑥2+ 𝑦 + 𝑧2 2 → ∇𝑓 =𝜕𝑓𝜕𝑥 𝐢 +𝜕𝑓𝜕𝑦 𝐣 +𝜕𝑓𝜕𝑧 𝐤

30

𝑭(𝒓) =| |𝒄𝒓𝒓𝟑Với m t h ng sộ ằ ố 𝑐, trong đó 𝑟 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 sau đó phương trình được thực hiện (W) b iở 𝐹 trong vi c di chuyển mệ ột đối tượng từ điểm 𝑃1 dọc theo đường đi đến điểm 𝑃2 trong đó 𝑑1 và 𝑑2 lần lượt là kho ng cách tả ừ điểm 𝑃1và 𝑃2đến điểm gốc:

Do đó phương trình được thực hiện bằng cách cho trường tr ng lọ ực khi Trái đất

di chuy n t ể ừ điểm vi n Nhễ ật (𝑑1) tới điểm cận Nhật (𝑑2) x p x là ấ ỉ

0,177 × 1033 𝐽(c) Nhớ ạ l i câu (a), cho F là trường lực bình phương nghịch đảo, nghĩa là:

𝑭(𝒓) =| |𝒄𝒓𝒓𝟑Với m t h ng sộ ằ ố 𝑐, trong đó 𝑟 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 sau đó phương trình được thực hiện (W) b iở 𝐹 trong vi c di chuyển mệ ột đối tượng từ điểm 𝑃1 dọc theo đường đi