Báo cáo bài tập lớn giải tích

So sánh giá trị của hàm f tại những điểm cực trị tự do và cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN... Cơ sở lý thuyết Cho hàm ??, ? xác định trong miền đóng, bị chặn D... 14 Điều kiệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 Nhóm đề 4 Thành viên MSSV Bùi Phạm Minh Anh 1910739

Lê Đình Duy 1910083

Trương Phạm Duy 1910098

Nguyễn Ngọc Hạnh 1910163

Lâm Hồng Ngọc 1910375

Nguyễn Ngọc Tuyết Nhi 1910418

Nguyễn Yến Nhi 1911785

Trương Vĩnh Thịnh 1910570

Trịnh Quốc Tân 1910521

Huỳnh Thị Tường Vy 1910706

Giáo viên hướng dẫn: Lê Xuân Đại

Nhóm 4 L21 –

Tp Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 06 năm 2020

1

Mục lục

Đề 1………2

Đề 2………6

Đề 3………9

Đề 4………13

Đề 5………17

Đề 6………20

Đề 7………24

Nhận xét của giảng viên ………28

Phương trình tổng quát của mặt bậc 2:

A𝑥2 + B + C + D𝑦2 𝑧2 𝑥𝑦 + E𝑥𝑧 + F𝑦𝑧 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, trong đó ít nhất 1 số hạng b c 2 ph i khác 0 ậ ả

Dạng chính tắc: A + B + C + D = hay A + B𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 𝑥2 𝑦2+ 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

Hoặc ch còn l i 2 biỉ ạ ến như các đường Conic

Hyperboloid

Hai tầng Một tầng

3

Phần code

function n4b1

disp('ban muon ve Hyperboloid 1 tang hay 2 tang')

disp('neu muon ve 1 tang thi nhap: 1')

d=input('1 hay 2: ' 's', );d=str2double(d);

disp('nen nhap cac so nho hon 5')

else disp('chi nhap 1 hoac 2 thoi')

X(i,j) = R(i,j)*cos(p(i,j))*cos(t(i,j)); Y(i,j) = R(i,j)*sin(p(i,j))*cos(t(i,j)); Z(i,j) = R(i,j)*sin(t(i,j));

4

end

if abs(Y(i,j))>5 Y(i,j)=NaN; end

if abs(Z(i,j))>5 Z(i,j)=NaN; end

6

Đề 2

Cơ sở lý thuyết

Cho hàm số z=f(x,y), trong đó x=x(t), y=(t) (t ∈ (a,b)) Khi đó nếu ta thay z=(t) y=(t), thì

thu được hàm z=f(x(t) y(t)) = z(t), phụ thuộc vào biến Để tìm đạo hàm của hàm số t z(t)

theo biến ta sử dụng định lý sau: t

Cho hàm số z=f(x,y) khả vi trên D, x=x(t), y=y(t) (t∈(a,b)) lầ các hàm khả vi sao cho (x(t),y(t)) t∈D Khi đó đạo hàm c a hàm sủ ố z theo t được tính theo công th c ứ

dy

Chứng minh Sự thay đổi ∆𝑡 ẽ ẫn đế s d n sự thay đổi ∆𝑥 và ∆𝑦, từ đó dẫn đến s thay ự

đổ ủi c a ∆𝑧 Theo công th c s gia toàn ph n, ta có ứ ố ầ

𝛥𝑡 + 𝑓′

𝑦 lim

∆𝑡→0 𝛥𝑦

𝛥𝑡 +lim

∆𝑡→0𝜀1 lim

∆𝑡→0 𝛥𝑥

𝛥𝑡 +lim

∆𝑡→0𝜀2 lim

∆𝑡→0 𝛥𝑦 𝛥𝑡

f=eval(f); %the u v vao f

fx=diff(f,'x'); %dao ham theo x

disp('nhap toa do M0(x0,y0)')

x0=input('x0= ');x=x0;

fy1=0;

y0=input('y0= ');

fx1=eval(fx); %the x0 vao f'x

disp(['f`x(' num2str(x) ',' num2str(y0) ')= '

8

2 Trên miền D: Tìm điểm d ng c a bài toán c c trừ ủ ự ị có điều ki n c a hàm f(x,y) trên ệ ủ

miền D:{

𝑓𝑥 ′+ 𝜆𝜑𝑥′ = 0

𝑓𝑦 ′+ 𝜆𝜑𝑦′ = 0

𝜑 = 0

Tính giá trị c a hàm f(x,y) t i nhủ ạ ững điểm c c tr này ự ị

3 So sánh giá trị của hàm f tại những điểm cực trị tự do và cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN

Phần code

syms x y lamda real

f=input('nhap ham f(x,y)= ');f=sym(f);

disp(' nhap toa do I(x0,y0) va R :')

x0=input('x0= ');

y0=input('y0= ');

r=input('R= ');

%tim cuc tri trong mien D

[p q]=solve(diff(f,'x'),diff(f,'y'));

13

Đề 4

Nhập 𝑦 = 𝑦1( )𝑥 , 𝑦 = 𝑦2(𝑥) sao cho đồ thị của chúng không cắt nhau trong kho ng ả

𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏[ ] Nh p hàm ậ 𝑓(𝑥, 𝑦) Tính 𝐼 =∬ 𝑓(𝐷 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦) , với D được giới hạn bởi 𝑦 = 𝑦1( )𝑥 , 𝑦 = 𝑦2( )𝑥 , 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 Vẽ miền D

Cơ sở lý thuyết

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1, D , D2 3,… (các phần không có phần chung) tương ứng có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3,… Trên mỗi mi n D ta lề k ấy 1 điểm Mk (xk,yk) tùy ý Lập tổng (gọi

Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mk.Cho

n → ∞ sao cho max{d(D)} 0 (d(D) là kí hi u → ệ đường kính c a mi n D t c là kho ng ủ ề ứ ảcách l n nh t giớ ấ ữa 2 điểm b t k thuấ ỳ ộc D) Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S không ph thu c vào cách chia miụ ộ ền D cũng như cách lấy điểm M thì gi i h n S k ớ ạđược gọi là tích phân kép của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) trên miền D và kí hiệu là:

14

Điều kiện khả tích:

Định nghĩa đường cong trơn:

Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0 Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn

Đổi sang tọa độ cực

Công thức đổi sang tọa độ cực

' '

( , )( , )

r

x x

D x y J

f=input('nhap f(x,y)= ');

y1=input('nhap y1= ');

y2=input('nhap y2= ');

disp('nhap khoang [a,b]')

a=input('a= ');b=input('b= ');

if subs(y1 y2,- 'x',(a+b)/2) > 0

disp(['tich phan can tinh I= ' num2str(I)])

16

17

Đề 5

Nhập hàm f(x,y,z) t bàn phím Tính tích phân b i ba I = ừ ộ ∭ 𝑓(𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧) , với E: z ≥0, x2 + y + z2 2≤ 2y bằng cách đổi sang hệ tọa độ cầu Vẽ vật thể E Từ đó xác định cận lấy tích phân

Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng bị chặn S trong không gian xyz Chia S thành n ph n nh Sầ ỏ 1, S2…, S không d m v i nhau v i các thn ẫ ớ ớ ể tích tương ứng V1, V2,…,Vn Trong mỗi miền Sk l y mấ ột điểm b t kì Mấ k(xk,yk,zk):

𝑆𝑛= ∑ f(𝑥𝑘, 𝑦𝑘, 𝑧𝑘)∆𝑉𝑘𝑛

𝑘=1

 ∭ 𝑓(𝜔 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧) 𝜔

Đổi biến sang h tệ ọa độ ầ c u:

𝜔: (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏) + (𝑧 − 𝑐) ≤ 𝑅2 2 2 2Đổi biến:

+Khai báo các biến

clc % xoa man hinh

clf % xoa va dong cua so figure

% Ve do thi

% Dua bai toan ve toa do cau

r=1;

phi=linspace(0,2*pi,50); % tao 50 diem phi tu 0 den 2pi

theta=linspace(0,pi/2,50); % tao 50 diem phi tu 0 den pi/2

[p t]=meshgrid(phi,theta); % tao luoi cho p va t

% doi qua he toa do cau

hold on % giu do thi tren cua so figure

mesh(x,y,z1,'FaceColor' 'r' 'FaceAlpha', , ,0.4,'EdgeColor' 'w,

'); % ve mat day luoi, mau do, day 0.4

hold on % giu do thi tren cua so figure

grid on % ve luoi cho he truc toa do

% chuc nang xem va qua 3D

% Dat tie de cho hinh ve vat the

title('Vat the E gioi han boi z>=0 và x^2+y^2+z^2 <=2*y');

%chuong trinh tinh tich phan boi 3

syms x y z real % khai bao 3 bien x y z

f=input('Nhap ham f theo 3 bien x,y,x F(x,y,z) ='); % lenh nhap ham f

syms r t p % khai bao 3 bien r t p

% Doi qua he toa do cau

I=int(I2,r,0,1); % tich phan lop 3

disp('Ket qua tich phan boi 3 cua ham f tren mien D la:

20

Đề 6

Nhập tọa độ 3 điểm trong m t ph ng Oxy Nh p hàm f(x,y), g(x,y) Tính ặ ẳ ậ

I = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐶 + 𝑔 𝑥, 𝑦( )𝑑𝑦 với C là biên của tam giác ABC ngược chiều kim đồng

hồ bằng công thức Green Vẽ đường cong C

Cơ sở lý thuyết

Cho đường cong trơn C là cung AB xác định trong mặt phẳng Oxy, ta sẽ chia cung

AB thành những cung nhỏ Ai-1Ai bởi những điểm A0 = A, A1, …, A = B Độ dài của n

những cung nhỏ Ai-1Aiđược ký hiệu là Δl và λ = max Δl Ta chọn bất kỳ điểm tương i i

ứng Mi(xi,yi) trên cung Ai-1Ai

Nếu f(x,y) là hàm số xác định trên đường cong trơn C= cung AB thì tích phân đường loại I của f dọc theo C là:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑙= lim

𝜆→0∑ 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖𝑛

𝑖=1 𝐴𝐵

) ∆𝑑𝑙𝑖

nếu giới hạn này tồn tại

Để tính công của lực F để di chuyển chất điểm M từ điểm A đến điểm B theo một đường cong trơn C nối điểm A với điểm B trong mặt phẳng Oxy, ta chia đường cong C thành nhiều đoạn đủ nhỏ và có thể xem:

Chất điểm di chuyển trên đường cong Ai-1Ailà đường thẳng

Lực tác dụng khi di chuyển trên đường cong Ai-1Ai không đổi và bằng 𝐹 (𝑀𝑖) Lúc này, công của lực là < 𝐹 (𝑀𝑖), 𝐴𝑖−1𝐴𝑖> Khi c ng các công c a l c trên mộ ủ ự ọi đường cong nh Aỏ i-1Ai ta thu được công thức gần đúng của công khi di chuyển chất điểm dọc cung AB:

𝑊 ≈ ∑ < 𝐹 (𝑀𝑖), 𝐴𝑖−1𝐴𝑖𝑛

𝑖=1

>

Giả sử 𝐹 (𝑀𝑖) = ( 𝑃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖), 𝑄 𝑥( 𝑖, 𝑦𝑖)) thì khi đó

< 𝐹 (𝑀𝑖), 𝐴𝑖−1𝐴𝑖 >= P(xi,yi)𝛥xi + Q(xi,yi)𝛥yi

21

Nếu gi i hớ ạn 𝐼1+ 𝐼2 t n t i không ph thu c vào vi c chia cung AB thành nh ng ồ ạ ụ ộ ệ ữđoạn nh và việc chọn M thì nh ng gi i h n I , Iỏ i ữ ớ ạ 1 2 được gọi là tích phân đường loại II dọc theo đường cong AB của hàm P(x,y) theo bi n x và Q(x,y) theo bi n y ế ế

Ta thường g p tặ ổng tích phân đường lo i II cạ ủa hàm P, Q như sau:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐴𝐵 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐴𝐵 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐴𝐵 + Q(x,y)dy

Áp dụng định lý Green vào việc tính tích phân đường lo i II cho miạ ền D đóng:Trong mặt phẳng Oxy, cho D là miền đóng có biên là các đường cong đơn giản, khép kín và trơn từng khúc C Các hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng c p I c a chúng ấ ủliên t c trong D thì: ụ

∳ 𝑃 𝑥, 𝑦( )𝐶

= ± ∬ (𝜕𝑄

𝜕𝑥−𝜕𝑃

𝜕𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷

Dấu “+” nếu chi u l y tích phân trùng v i chiề ấ ớ ều dương quy ước Ngược lại ta lấy

B=input('toa do B: ' 's', );B=str2num(B);

C=input('toa do C: ' 's', );C=str2num(C);

u=diff(g,'x')-diff(f,'y');

S=S+int(int(u,'y',y2,y1),'x',a(1,1),a(2,1));

%tich phan kep

if subs(y1-y2,'x',(a(2,1)-a(1,1))/2)>0

Đề: Nhập tọa độ 3 điểm A, B, C trong m t ph ng Oxy Nh p hàm f (x, y), g(x, y) Tính ặ ẳ ậ

I =∫𝐶 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 với C là biên của tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ bằng công thức Green Vẽ đường cong C

24

Đề 7

Tính 𝐼 = ∬ 𝑧𝑆 2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là mặt xung quanh, hướng phía ngoài c a v t th , gi i h n b i các mủ ậ ể ớ ạ ở ặt 𝑧 = 4 − 𝑦2, z = 0, x = 1, x = 0 b ng cách dùng ằcông th c Ostrogratxki-Gauss V mứ ẽ ặt cong S, pháp vecto với mặt cong tại điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) nhập t bàn phím ừ

Cơ sở lý thuyết

1 Mặt định hướng

S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu cho pháp vector tại M thuộc S di chuyển dọc theo một đường cong kín không cắt biến, khi quay về điểm xuất phát vẫn không đổi chiều Ngược lại pháp vector đổi chiều thì S được gọi là mặt không định hướng (mặt 1 phía)

Phía của S là phía mà đứng trên đó pháp vector hướng từ chân lên đầu

2 Tích phân m t lo i 2: ặ ạ

P( x,y,z), Q(x,y,z),R( x,y,z) xác định trên mặt định hướng,pháp véctơ đơn vị của mặt S là 𝑛 = (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾) có độ dài là 1 đơn vị

Tích phân m t lo i mặ ạ ột:𝐼 =∬𝑠 (𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛾) 𝑑𝑆 được g i là tích ọphân m t lo i ặ ạ

hai c a P, Q, R trên mủ ặt định hướng S, ký hiệu:

𝐼 = ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆

25

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦 ) (𝑧) ) √ 𝑥 ′)2+ (𝑧𝑦′)2+ 1𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷 𝑠

với D là hình chiếu của S lên Oxy

CÔNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O- G)

𝑆

Giải bài

Áp dụng công thức O-G, ta có:

𝐼 = ∬ 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦2𝑆

−2 𝑉

= − ∫ 𝑑𝑥

1 0

∫ (4 − 𝑦2𝑑𝑦) =2

−2

−323Pháp vecto 𝑛 = (0, 2𝑦, 1)

f=diff(P,'x')+diff(Q,'y')+diff(R,'z');

I1=int(f,z,0,4-y^2); % tich phan lop 1

expand(I1);

I2=int(I1,y,-2,2); % tich phan lop 2

expand(I2);

I=int(I2,x,0,1); % tich phan lop 3

disp('Ket qua tich phan mat S la: I= ');

27

Ví dụ minh họa

Với M =(0.5 , 1 , 3) ta có kết quả pháp vector như sau.0

Mặt S là mặt xung quanh của khối được viền đỏ

28

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

Hết