Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài 2 geogebra

Để tìm hiểu cách tạo hình cũng như diện tích và thể tích của chúng thì nhóm chúng em, được sự hướng dẫn của giảng viên là cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã nghiên cứu và tìm hiểu về đề tài.. Qua

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 2

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Xuân Anh

TPHCM, tháng 5 năm 2022

Mục lục

0.1 Nền tảng hỗ trợ 6

0.1.1 Geogebra 6

0.1.2 Vonfram Alpha 6

0.2 Nội dung đề tài 6

0.2.1 Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong:z= x2+ y2, z = 2, y= −x2, phần ứng với y ≤ −x2 6

0.2.2 Trình bày khái niệm mặt định hướng và cách xá định vector pháp của mặt định hướng 7

0.3 Cơ sở lý thuyết 7

0.3.1 Tích phân bội 3: 7

0.3.2 Tích phân mặt loại 2: 7

0.4 Phần báo cáo 13

0.4.1 Vẽ hình khối V 13

0.4.2 Tính tích phân: 13

0.4.3 Áp dụng 14

0.5 Lời kết 14

0.6 Tài liệu tham khảo 14

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

2113405 Nguyễn Huy Hoàng Tìm hiểu, vẽ hình trên Geogebra 100%

2111773 Trần Ngọc Minh Tổng hợp, gõ Word, trình bày 100%

2011372 Nguyễn Vĩ Khang Nghiên cứu cơ sở lý thuyết 100%

Lời cảm ơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy

và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học Đó là những góp ý quý báu, là nền tảng thực hiện để chúng em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Bài báo cáo là kết quả của sự nổ lực của tất cả thành viên trong nhóm tuy nhiên không thể tránh khỏi sai sót, mong được sự thông cảm của quý thầy cô Kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của cô để chúng em có thể hoàn thiện bản thân mình hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn

Lời nói đầu

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta hay tiếp xúc hoặc quan sát thấy những vật thể có dạng hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng chẳng hạn như các loại hộp đựng, tủ quần áo, các tòa nhà hay các công trình kiến trúc khác Để tìm hiểu cách tạo hình cũng như diện tích và thể tích của chúng thì nhóm chúng em, được sự hướng dẫn của giảng viên là cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã nghiên cứu và tìm hiểu về đề tài Qua đề tài lần này, chúng ta sẽ biết được cách dựng hình bằng ứng dụng Geogebra, cách ứng dụng các kiến thức đã học vào trong thực tế Do kiến thức và hiểu biết của nhóm chúng em có hạn, đồng thời trong quá trình thực hiện không thể tránh khỏi những sai xót có thể dẫn đến kết quả thiếu tính chính xác tuyệt đối, mong nhận được sự góp ý chân thành của cô

0.1 Nền tảng hỗ trợ

0.1.1 Geogebra

Geogebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học Tác giả Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đại học Salzburg và hiện đạng tiếp tục phát triển tại trường đại học Florida Atlantic Geogebra được viết trên Java và vì thế phần mềm đa nền

0.1.2 Vonfram Alpha

Wolfram|Alpha là một máy trả lời do Wolfram Research phát triển Đây là một dịch vụ trực tuyến

có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nhập vào trực tiếp bằng cách tính toán câu trả lời từ các dữ liệu có cấu trúc, chứ không chỉ cung cấp một danh sách các tài liệu hoặc trang có web có thể chứa câu trả lời như cách máy tìm kiếm thường làm Website này được Stephen Wolfram công bố vào tháng 3 năm

2009, và được phát hành cho công chúng ngày 15 tháng 5 năm 2009

Ngoài chức năng là môt cỗ máy tìm kiếm, Wolfram Alpha còn là một phần mềm giải toán online (web giải toán) WolframAlpha cho phép giải một lượng phong phú các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, từ toán phổ thông đến toán ở bậc đại học: Tính toán cơ bản, Vẽ đồ thị, Đại số, Giải tích (thực và phức), Hình học, Lí thuyết số, Toán rời rạc, Toán ứng dụng, Logic & Lí thuyết tập hợp, Xác suất & Thống kê, Kinh tế lượng

0.2 Nội dung đề tài

0.2.1 Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong: z =

x2+ y2, z = 2, y = −x2, phần ứng với y ≤ −x2

• Vẽ hình khối V (1đ)

• Tính tích phân

Z Z

S

(x− 2y + z)dydz + (2xy + z dzdx + (z) 2+ y dxdy (1đ))

0.2.2 Trình bày khái niệm mặt định hướng và cách xá định vector pháp của mặt định hướng.

Áp dụng: Tìm vector pháp của mặt S ở trên tại các điểm M(0; −1; 2), N(0; −1; 1), P(√12; −12; 1)

0.3 Cơ sở lý thuyết

0.3.1 Tích phân bội 3:

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong không gian Oxyz CHia V thành

nphần không giẫm lên nhau V1,V2, ,Vncó thể tích tương ứng là ∆V1,∆V2, ,∆Vn

Trong mỗi miền Vklấy 1 điểm bất kì Mk(xk, y , zk k)

Lập tổng tích phân: Sn=

n

X

k=1

f(xk, y , zk k)∆Vk

Cho max d(Vk) → 0, nếu tổng trên tiến đến giới hạn hữu hạn S không hpuj thuộc vào cách chia miền

V và cách lấy điểm Mkthì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x, y, z) trên miền V , kí hiệu là :

Z Z Z

V

f(x, y, z)dV Đồng thời, ta gọi hàm f(x, y, z) này là hàm khả tích trên miền V

Vậy:

Z Z Z

V

f(x, y, z)dV = lim

maxd(V x )→0

n

X

k=1

f(xk, y , zk k)∆Vk

Chú ý:

Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm Mkthì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x, y, z) trên miền V kí hiệu là: ∆V = ∆x y z = dxdydz∆ ∆

Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :Z Z Z

V

f(x, y, z)dV =

Z Z Z

V

f(x, y, z)dxdydz

0.3.2 Tích phân mặt loại 2:

1 Mặt định hướng

(a) Khái niệm mặt định hướng

• Mặt S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu tại điểm M bất kì của S xác định được vector pháp tuyến đơn vị ~n(M) có 3 thành phần là các hàm liên tục

• Mặt 2 phía S có phương trình F (x, y, z) = 0 thì phương trình tiếp diện tại M là:

F0

x(M )(x − xM) + F0

y(M )(y − yM) + F0

z(M )(z − zM) = 0 khi đó tại mỗi điểm M trên mặt S có 2 pháp vector ngược hướng nhau

~

nS(M ) = +5F (M) = (F0

x(M , F) 0

y(M , F) 0

z(M )), ~nS(M ) = −5F (M) = −(F0

x(M ), F0

y(M ), F0

z(M

• Trong trường hợp đặc biệt nếu mặt S có phương trình z = z(x, y) thì ta đặt F (x, y, z) =

z− z(x, y)

Khi đó mặt S có 2 pháp vector:

~

nS(M ) = +5F (M) = (−z0

x(M ), −z0

y(M ), 1), ~nS(M ) = −5F (M) = (z0

x(M ), z0

y(M ), −1) Nếu pháp vector tạo với tiaOzgóc nhọn thì tọa độ zcủa pháp vector dương, tương ứng với

~

nS(M ) = + 5 F (M) = (−z0

x(M ,)−z0

y(M ,1))

Ngược lại Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc tù thì tọa độ z của pháp vector âm, tương ứng với

~

nS(M ) = − 5 F (M) = (z0

x(M , z) 0

y(M ), −1)

• Việc chọn một trong hai pháp vecto được gọi là định hướng mặt S, phía của mặt S là phía mà khi đó ta đứng lên phía ấy, vecto pháp vừa chọn có hướng từ chân đến đầu

Hình 1: Mặt định hướng S có 2 phía trong và ngoài mặt cầu x2+ y2+ z2= 9, ứng với 0 ≤ ≤z 3

Hình 2: Mặt định hướng S có 2 phía trong và ngoài phần mặt Paraboloid z = x2+y2, ứng với 0 ≤ ≤z 4 (b) Vector pháp đơn vị:

Mặt 2 phía S có phương trình F (x, y, z) = 0, tại điểm M bất kì của S cũng có 2 vector pháp đơn vị ngược chiều nhau là ±5F (M)

|5F (M)| (1) Khi định hướng mặt S, ta sẽ chọn 1 trong 2 vector trên

Gọi α , ,β γ lần lượt là góc tạo bởi vector chỉ phương Ox Oy, ,Oz với pháp vector này, ta được:

cos α =~n(1,0,0)

|~n| , cos β =

~n(0,1,0)

|~n| , cos γ =

~n(0,0,1)

|~n|

~

n= (cos α, cos β, cos γ) (2)

Như vậy khi định hướng mặt S tực là ta chỉ chọn 1 trong 2 vector pháp tức là ta sẽ phải chọn dấu ” + ” hay ” − ” trong đẳng thức (1) để bằng vector ở đẳng thức (2)

(c) Cách cho mặt định hướng:

Khi cho hướng của 1 mặt 2 phía S thì người ta có thể cho hứng của mặt theo 1 trong các cách sau:

• Hướng trên (hoặc dưới) theo hướng trục Oz.Ta sẽ có góc: γ <π2(hoặc γ >π

2)

• Hướng trái (hoặc phải) theo hướng trục Oy.Ta sẽ có góc: β >π2(hoặc β <π

2 )

• Hướng trước (hoặc sau) theo hướng trục Ox Ta sẽ có góc: α <π2 (hoặc α >π

2)

• Hướng trong (hoặc ngoài) nếu là đường cong kín

Ta sẽ xác định 1 trong 3 góc là nhọn hay tù tùy vào từng mặt cong

(d) Cách xác định vector pháp của mặt định hướng:

Cho mặt S với phương trình F (x, y, z) = 0

• Tính 5F = (F0

x, F0

y, F0

z)

• Xác định 1 trong 3 góc α,β, γ xem là góc nhọn hay từ để suy ra cosin tương ứng là dương hay ấm và so sánh với dấu tọa độ tương ứng trong vector gradient

• Nếu 2 thành phần tương ứng của vector pháp và vector gradient cùng dấu thì 2 vector cùng dấu tức là :

~

n=+ 5 F

|5F | Ghi chú: Ta chia 2 trường hợp khi tính vector pháp đơn vị

1 Cho hướng của mặt S là trên hoặc dưới (trái hoặc phải, trước hoặc sau) thì không cần vẽ hình ta cungz xác định được 1 trong 3 góc α, ,β γxem góc nào là nhọn hay tù

2 Cho hướng của mặt S là trong hoặc ngoài thì cần vẽ hình 1 phần mặt cong để xác định 1 trong 3 góc α,β, γ xem là góc nhọn hay tù

(e) Mở rộng:

• Mặt không định hướng

Ngoài ra mặt định hướng còn có mặt không định hướng (mặt 1 phía) Ví dụ mặt Mobius Mobius có thể được tạo bằng cách sau:

Lấy một hình chữ nhật ABCD (bằng giấy) sau đó vặn cong hình chữ nhật để hai đầu giáp nhau (điểm A trùng điểm C, điểm B trùng điểm D) Giả sử pháp véc tơ tại điểm

M là Dịch chuyển liên tục dọc theo lá (không vượt quá biên) ta sẽ quay lại điểm xuất phát M ban đầu nhưng lúc này hướng của pháp véc tơ có hướng ngược lại Pháp véc tơ tại một điểm M không thể có hai hướng, do đó hàm pháp véc tơ không liên tục trên mặt Mobius, vì nếu liên tục thì sau khi dịch chuyển một cách liên tục, quay về vị trí M ban đầu thì pháp véc tơ phải trùng với pháp véc tơ ban đầu Do đó, mặt Mobius là mặt một phía

Hình 3: Mặt Mobius là mặt một phía

2 Tính tích phân mặt loại 2 (bằng cách đưa về tích phân mặt loại 1)

• Giả sử S : z = z(x, y) với vector pháp đơn vị vecn hướng lên trên Khi đó, phương trình của đường cong S là F (x, y, z) = z − z(x, y) = 0 và

~

1 + (z0

x)2+z0 y

2−z0

x,−z0

y,1 = (cos α, cosβ,cos )γ

dS=q1 + (z0

x)2+z0 y

2

dxdy

I=

Z Z

S

(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS

=

Z Z

S



x

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2+ Q −z0

y

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2+ Rq 1

1 + (z0

x)2+z0 y

2



dS

=

Z Z

D xy



x

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2+ Q −z0

y

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2+ Rq 1

1 + (z0

x)2+z0 y

2



 q

1 + (z0

x)2+z0 y

=

Z Z

D xy

h

P(−z0

x) + Q(−z0

y) + Ridxdy

• Nếu vector pháp tuyến đơn vị ~n của mặt cong S hướng xuống dưới thì phương trình của mặt cong S là:

F(x, y, z) = z(x, y) − z = 0 và

~

1 + (z0

x)2+z0 y

2z0

x, z0

y,−1 = (cos α, cos β, cos )γ

dS=

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2

dxdy

I=

Z Z

S

(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS

Z Z

S



0 x

q

1 + (z0

x)2+z0 y

0 y

q

1 + (z0

x)2+z0 y

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2



dS

=

Z Z

D xy



0 x

q

1 + (z0

x)2+z0 y

0 y

q

1 + (z0

x)2+z0 y

q

1 + (z0

x)2+z0 y

2



 q

1 + (z0

x)2+z0 y

=

Z Z

D xy

h

P(z0

x) + Q(z0

y) − Ridxdy

3 Công thức Ostrogratxki - Gauss

Cho S là mặt kín là vật thể được bao quanh bởif S Nếu P (x, y, z),Q(x, y, z) R(x, y, z) và, các đạo hàm riêng của nó liên tục trên miền f thì:

Z Z

S

P dydz+ Qdzdx + Rdxdy = ±

Z Z Z

f

 ∂P

∂x+∂Q

∂y +∂R

∂z

 dxdydz Dấu "+" nếu hướng của pháp vector với mặt cong lấy hướng ra phía ngoài vật thể f, dấu "-"nếu hướng của pháp vector với mặt cong lấy hướng ra phía trong f

Lưu ý: Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S0kín để áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss, rồi trừ đi phần bổ sung

Ví dụ 1: TínhZ Z

S

xdydz+ ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2+ y2+ z2= 9 Lời giải: Vì S là mặt kín nên áo dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được:

Z Z

S

xdydz+ ydzdx + zdxdy =

Z Z Z

V

3dxdydz= 3V= 4π.32= 36π

Ví dụ 2: TínhZ Z

S

x3dydz+ y3dzdx+ z3dxdy trong đó S là mặt phía trong của mặt cầu

x2+ y2+ z2= 4

Lời giải: Vì S là mặt kín nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được:

Z Z Z

V

3(x2+ y2+ z2)dxdydz

Đặt







x= r sin θ cos ϕ

y= r sin θ sin ϕ

z= r cos θ ⇒







0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ ≤r 2

, J = −r2sin θ

I= −3

Z2π

0

dϕ

Zπ

0

dθ

Z2 0

r4sin θdr =384

5 π

0.4 Phần báo cáo

0.4.1 Vẽ hình khối V

0.4.2 Tính tích phân:

I=

Z Z

S

(x− 2y + z dydz + (2xy + z dzdx + (z) ) 2+ y dxdy)

Vì S là mặt phía bên ngoài của khối V nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được:

I=

Z Z Z

V

(1 + 2 + 2x z)dxdydz (*)

Để tích tích phân (*) 1 cách nhanh chóng và chính xác ta sử dụng Vonfram Alpha

• Đầu tiên cần tìm cận chox, y, z:

Lấy giao tuyến của mặt z = x2+ y2và z = 2 ta đượcx2+ y2= 2

z= 2 Chiếu khối V lên Oxy ta được miền Dxy=x, y| − 1 ≤ x ≤ 1, −√2 − x2≤ y ≤ −x2

|

• Sau đó thực hiện tính toán trên Vonfram Alpha ta được:

I=

Z Z Z

V

(1 + 2 + 2x z)dxdydz ≈ 7.43616

0.4.3 Áp dụng

Tìm vector pháp của mặt S ở trên tại các điểm M(0; −1; 2), N(0; −1; 1), P (√12, 1

2; 1) Lời giải: Dễ dàng kiểm tra được M(0; −1; 2) nằm trên mặt z = 2, N(0; −1; 1) nằm trên mặtz= x2+y2, P(√1

2,

1

2; 1) nằm trên mặt y = −x2và 3 điểm này đều thuộc mặt S

• Với điểm M(0; −1; 2) thuộc mặt z = 2 ta có F (x, y, z) = z − 2 = 0

5F = (0; 0; 1) Vì S là mặt biên phía ngoài của khối V nên γ <π2suy ra cos γ > 0 Điều này có nghĩa tọa độ z của vector pháp và vector gradient cùng dấu

Vậy ~n = + 5F

|5F |= (0; 0; 1) ⇒ ~n(M) = (0; 0; 1)

• Với điểm N(0; −1; 1) thuộc mặt z = x2+ y2ta có F (x, y, z) = z − x2

− y2= 0 5F = (−2x; −2y; 1) Vì S là mặt biên phía ngoài khối V nên γ >π2 suy ra cos γ < 0 Điều này

có nghĩa tọa độ z của vector pháp và vector gradient ngược dấu

Vậy ~n = −5F

|5F |=

(2x,2y, −1) p4(x2+ y2) + 1⇒ ~n(N) =√1

5(0; −2; −1)

• Với điểm P (√1

2,

1

2; 1) thuộc mặt y = −x2ta có F (x, y, z) = x2+ y = 0 5F = (2x; 1; 0) Vì S là mặt biên phía ngoài khối V nên 0 < β <π2 suy ra cos β > 0 Điều này

có nghĩa tọa độ y của vector pháp và vector gradient cùng dấu

0.5 Lời kết

Thông qua việc làm báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2, chúng em đã trau dồi được cho mình những kiến thức mới, cũng như đào sâu các kiến thức đã học như Tích Phân Bội, Tích Phân Bội Ba, Tích Phân Mặt, Tích Phân Đường, và thấy được sự hữu ích cũng như tầm quan trọng của chúng trong việc tính toán các thông số phức tạp Bên cạnh đó, chúng em cũng nâng cao cho bản thân các kĩ năng về việc tự học, tự tìm hiểu thông tin, làm việc nhóm, soạn thảo và hơn cả là biết ứng dụng các phần mềm như Matlab, Geogebra, Vonfram Alpha,

0.6 Tài liệu tham khảo

[1 ] Nguyễn Đình Huy (2018) Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [2 ] Th.S Nguyễn Thị Xuân Anh Slide bài giảng Giải tích 2

[3 ] T.S Lê Xuân Đại Bài giảng điện tử Giải tích 2

[4 ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole

[5 ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole

[6 ] https://vi.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha

[7 ] https://vi.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

ơ đồ khối".png ơ đồ khối".pdf ơ đồ khối".jpg ơ đồ khối".mps ơ đồ khối".jpeg ơ đồ khối".jbig2 ơ đồ khối".jb2 ơ đồ khối".PNG ơ đồ khối".PDF ơ đồ khối".JPG ơ đồ khối".JPEG ơ đồ khối".JBIG2 ơ đồ

khối".JB2 Hình 4: Sơ đồ khối của hệ thống