Tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng Tích phân cận vơ hạn Cho f : [a, +)  ℝ khả tích [a, b]  Tích phân suy rộng ( ) ∫ ( ) = lim ∫ →  Sự hội tụ, phân kỳ Ví dụ Khảo sát tích phân I=∫ 1) J=∫ 2) Giải 1) I = lim ∫ → = lim (ln 2) J = lim ∫ = lim → − ln 1) = + → 1− → =1 Maple (1) Tương tự, có tích phân  ∫ ( ) =  ∫ ( ) =∫ → ( ) ∫ ( ) +∫  Phép đổi biến y = – x Các tính chất 1) (Điều kiện cần)  TP hội tụ  f(x) ⎯⎯⎯⎯  f(x) ⎯⎯⎯⎯  TP phân kỳ → → 2) (Tuyến tính) ∫ (l + ) = l ∫ +∫ ( )  HT + HT = HT, HT + PK = PK HT.HT = ? PK + PK = ? 3) (Cộng tính) =∫ ∫ +∫ Cho a > 0,   ℝ 4) (Tích phân Riemann) = ∫ ℎộ ụ > ℎâ ỳ ≤ Tích phân hàm gián đoạn Cho f : [a, b)  ℝ, khả tích [a, b–]  Tích phân suy rộng ( ) ∫ ( ) = lim ∫ →  Sự hội tụ, phân kỳ Ví dụ Khảo sát tích phân 1) I=∫ J=∫ 2) √ Giải = lim (ln − ln(1 − )) = + 1) I = lim ∫ → 2) J = lim ∫ → → √ = lim → − √1 − =2 Maple (2) Tương tự, có tích phân  ∫ ( ) = lim ∫  ∫ ( ) =∫  Phép đổi biến ( ) → y= ( ) , , +∫ ( ) Cho a < b   ℝ (Tích phân Riemann) ∫ ( ) , ∫ ( ℎộ ụ < ℎâ ỳ ≥ = ) Các định lý hội tụ (So sánh bất đẳng thức) Cho f, g : [a, +)  ℝ+ :  x > b, < f(x)  g(x) 1) ∫ hội tụ  ∫ hội tụ 2) ∫ phân kỳ  ∫ phân kỳ Ví dụ Khảo sát tích phân ∫ Giải  Hàm f(x) = liên tục x  =∫ ∫ +∫  Ước lượng  x  1, < f(x) =  = g(x) TP g(x) hội tụ, suy Tp f(x) hội tụ Maple (3) (So sánh giới hạn) Cho f, g : [a, +)  ℝ+ : K = lim → ( ) ( ) (  K  + ) 1) K < +, ∫ hội tụ  ∫ hội tụ 2) K > 0, ∫ phân kỳ  ∫ phân kỳ  < K < + : TP hội tụ phân kỳ Ví dụ Khảo sát tích phân Giải ∫  Hàm f(x) = liên tục x  ∫ =∫ +∫  Chọn g(x) = ( ) ( ) = : ⎯⎯⎯⎯ =K →  K < +, TP g(x) hội tụ, suy TP f(x) hội tụ Maple (4) (Tiêu chuẩn Riemann) Cho f : [a, +)  ℝ+ : K = lim ( ) (0  K  + ) → 1) K < +,  >  ∫ hội tụ 2) K > 0,    ∫ phân kỳ ∫ Ví dụ Khảo sát tích phân √ Giải  Hàm f(x) = x5/2f(x) =  K < +,  = liên tục x  sin ⎯⎯⎯⎯ → 1=K > : TP f(x) hội tụ Maple (5) (Sự hội tụ tuyệt đối) Cho f : [a, +)  ℝ ∫ | | hội tụ  ∫ hội tụ (Phân loại hội tụ)  | f | hội tụ, f hội tụ : hội tụ tuyệt đối (khả tích)  | f | phân kỳ, f hội tụ : bán hội tụ  | f |  dùng định lý hội tụ Ví dụ Khảo sát tích phân 1) I=∫ 2) J=∫ Giải 1) Maple (6) ≤  | f(x) | = = g(x)  TP g(x) hội tụ  TP | f(x) | hội tụ  TP f(x) hội tụ tuyệt đối 2)  ∫  ∫ = − phân kỳ +∫ hội tụ