Tích phân xác định

Tích phân xác định Tích phân xác định Tích phân xác định (Diện tích hình thang cong) Maple (1) Cho f : I  ℝ [a, b]  I  Chia tuỳ ý [a, b] x0 = a < x1 < < xn = b Chọn tuỳ ý ci  [xi–1 , xi] kí hiệu xi = xi – xi–1, p = max{ xi } In = f(c1)x1 + + f(cn)xn  Cho n   : p  Nếu In  I <  KPT cách chia, cách chọn f khả tích I tích phân xác định  Kí hiệu ∫ ( ) = lim → (Điều kiện khả tích) Hàm liên tục khúc khả tích đoạn [a, b] (Các lưu ý)  Hàm sơ cấp khả tích I  Có hàm khả tích khơng liên tục khúc  Tích phân giới hạn tổng tích phân ∫ ( ) =∫ Các tính chất Tính tuyến tính ( )  ∫ (l + ) = l∫  ∫ = –∫  ∫ =∫ +∫ ∫ =0 +∫ Liên hệ với diện tích  ∫ (l) = l(b – a)  ∫ ( ≥ 0) = S({ a  x  b,  y  f(x) )  ∫ ∶ − ầ ℎ =∫ Tính đơn điệu (a  b)  fg  ∫ ∫ m(b – a)  ∫  m  f(x)  M   M(b – a) (Trị trung bình) Maple (2) 1) Trị trung bình tích phân = ∫ 2) Hàm liên tục đạt trị trung bình tích phân f  C([a, b], ℝ)   c  [a, b] :  = f(c) Công thức Newton–Leibniz (Hàm cận trên) Cho f : I  ℝ khả tích khoảng [a, x]  I Hàm cận  : I  ℝ, x  (x) = ∫ ( ) Maple (3) (Đạo hàm hàm cận trên) Nếu f(x) liên tục (x) có đạo hàm liên tục  x  I, ’(x) = f(x) (Công thức Newton – Leibniz) Cho f(x) liên tục có ngun hàm F(x) ∫ Ví dụ ( ) = F(b) – F(a) ∫ (3 Tính − ) Giải  Hàm f(x) = 3x2 – x liên tục có F(x) = x3 – − I = F(1) – F(0) = = (Các hệ khác) 1) Hàm f(x) liên tục có ngun hàm F(x) = (x) + C 2) Cho f(x) liên tục [a, b] → ∑ =∫ ( ) 3) Cho f(x) liên tục u(x), v(x) có đạo hàm ∫ ( ) ( ) ( ) = f(v)v’(x) – f(u)u’(x) Ví dụ Tính → ∑ Giải  Biến đổi ∑ = ∑ ⎯⎯ → ∫ = Tính tích phân xác định (Phương pháp thế)  Cho f  C([a, b]) x = (t)  C1([, ]) : x2 1)  t  (, ), ’(t)  2) () = a, () = b Khi ( ) ∫ ( ) =∫ ( ) ∫ √1 − Ví dụ Tính Giải  f(x) = √1 − ,0x1 x = sin(t) với t  [0, ] x’(t) = cos(t)  x(0) = 0, x( ) =  I = ∫ √1 − cos = ∫02(1 + cos ) = ∫ cos = (Phương pháp nhóm)  Cho f  C([a, b]) u = (x)  C1([a, b]) : 1)  x  (a, b), ’(x)  2) f(x)dx  g(u)du Khi ∫ ( ) =∫ ( ) ( ) ( ) ∫ Ví dụ Tính Giải  u = ex + 1,  x  u’(x) = ex > 0, u(0) = 2, u(1) = e+1 du = ex dx   I=∫ ( ) dx = =∫ , –∫ = ( ) = ln( ) (Các hệ quả) Cho f  C(ℝ) 1) Hàm chẵn ∫ ( ) = 2∫ 2) Hàm lẻ ∫ ( ) =0 3) Hàm T – tuần hoàn ∫ ( ) =∫ ( ) ( ) (Tích phân phần)  Cho u, v  C1(I) [a, b]  I Khi ( ) ∫ ( ) = ( ) ( )| + ∫ I=∫ Ví dụ Tính ( ) ( ) Giải = =  = =  | −∫  I= =1 Ví dụ Cho n  ℕ*, tính In = ∫ sin , Jn = ∫ cos Giải a)  I0 = ∫ = , I1 = ∫ (cos )  In>1 = –∫ sin = sin =1 cos | + ( − 1) ∫ sin = ( − 1) ∫ sin (1 − sin = (n–1)In–2 – (n–1)In  In = In–2 = In–4 = ) cos ( )‼ ( ( = ( )‼ )‼ )‼ =2 =2 +1 b)  x= – t với t0 dx = – dt cosx = cos( – t) = sint  Jn = – ∫ sin = In