Tích phân xác định

Ban Học tập và NCKH LCĐ Viện Toán ứng dụng và Tin học Nguyễn Trung Nghĩa Lương Tùng Dương TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 Định nghĩa Xét hàm số f (x) liên tục, dương trên [a,b] Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ ([.]

Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Xét hàm số f ( x) liên tục, dương [a, b] Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ (không thiết nhau) điểm a = x0 < x1 < x2 < · · · < x i−1 < x i < · · · < xn−1 < xn = b Ta gọi phép chia phân hoạch P đoạn [a, b] Đặt ∆ x i = x i − x i−1 Khi đó, kP k = max ∆ x i i =1,n gọi chuẩn phân hoạch P Trên đoạn [ x i−1 , x i ] lấy điểm ξ i tùy ý Tổng I n = n P i =1 f (ξ i ) ∆ x i gọi tổng tích phân hàm f [a, b] ứng với phân hoạch P đoạn [a, b] Nếu kP k → 0, tổng tích phân I n dần tới giới hạn xác định không phụ thuộc vào phân hoạch P vào việc chọn điểm ξ i [ x i−1 , x i ] giới hạn gọi tích phân xác định hàm f [a, b] kí hiệu là: Zb f ( x) d x = lim n X kP k→0 i =1 a f (ξ i ) ∆ x i Khi ta nói f khả tích [a, b], a cận dưới, b cận trên, kí hiệu d x có ý nghĩa x biến tích phân Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân Zb - Mở rộng: a > b ⇒ Za f ( x) d x; a = b ⇒ f ( x) d x = − a Zb f ( x) d x = a b Điều kiện khả tích - Điều kiện Riemann - Hệ quả: + Mọi hàm f ( x) liên tục [a, b] khả tích đoạn + Mọi hàm f ( x) bị chặn có số hữu hạn điểm gián đoạn [a, b] khả tích đoạn + Mọi hàm f ( x) đơn điệu bị chặn [a, b] khả tích đoạn Tính chất Zb Zb [ c f ( x) + c f ( x)] d x = c a Zc f ( x) d x = a f ( x) d x, với c , c = const f ( x) d x + c a Zb Zb a Zb f ( x) d x + a f ( x) d x, ∀a, b, c c Zb f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] ⇒ f ( x) d x ≥ a Zb f ( x) ≥ g ( x) , ∀ x ∈ [a, b] ⇒ Zb f ( x) d x ≥ a g ( x) d x a Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Zb m ≤ f ( x) ≤ M, ∀ x ∈ [a, b] ⇒ m (b − a) ≤ f ( x) d x ≤ M ( b − a) a ¯ b ¯ ¯Z ¯ b ¯ ¯ R ¯ ¯ f ( x) d x¯¯ ≤ | f ( x)| d x ¯ ¯ a a Các định lý 4.1 Định lý giá trị trung bình thứ Nếu hàm f ( x) liên tục đoạn [a, b] tồn điểm c đoạn cho: Zb f ( x) d x = f ( c ) ( b − a) a 4.2 Định lý giá trị trung bình thứ hai Giả sử: + f ( x) khả tích f ( x) g( x) khả tích [a.b] + m ≤ f ( x) ≤ M + g( x) không đổi dấu [a,b], g( x) ≥ Khi đó: Z b b Z f ( x) g( x) dx = f ( c) a g( x) dx a với c ∈ [a, b] Zx 4.3 Định lý Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] hàm G xác định bởi: G ( x) = f ( t) d t với a a ≤ x ≤ b liên tục [a, b], khả vi [a, b] ta có: d dx d • Mở rộng: Cơng thức đạo hàm theo cận: dx Zx f ( t) d t = f ( x) a h(x) Z f ( t) d t = h0 ( x) f [ h ( x)] − g0 ( x) f [ g ( x)] g(x) 4.4 Định lý (Công thức Newton - Leibniz) Nếu hàm f liên tục [a, b], F nguyên hàm f khoảng thì: Zb a ¯ ¯ b f ( x) d x = F ( x) ¯¯ = F ( b ) − F ( a) a Một số phương pháp tính tích phân xác định 5.1 Phương pháp đổi biến số 5.2 Phương pháp tích phân phần Xem lại tích phân bất định Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Ứng dụng tích phân xác định 6.1 Sử dụng định nghĩa tích phân xác định để tính giới hạn Bài tốn: Cho S n = u1 + u2 + · · · + u n Tính lim S n n→+∞ Phương pháp giải - Bước 1: Biến đổi S n v dng: à ả ả ảá ¶ µ n b−a b−a b−a b−a b−a X b−a Sn = f a + + f a + + + f a + n = f a + i n n n n n i=1 n - Bước 2: Chỉ hàm f ( x) chứng minh f ( x) liên tục [a, b] - Bước 3: Từ định nghĩa tích phân xác định suy lim S n = Zb f ( x) d x n→+∞ a Thực tế, ta hay gặp trường hợp a = 0, b = Khi đó, bước rút gọn dễ hiểu sau: - Bước 1: Biến đổi S n dng: à ả ả ả n ´¸ X n i Sn = f +f + + f = f n n n n n i=1 n - Bước 2: Chỉ hàm f ( x) chứng minh f ( x) liên tục [a, b] - Bước 3: Từ định nghĩa tích phân xác định suy lim S n = Zb f ( x) d x n→+∞ a 6.2 Sơ đồ tổng tích phân, vi phân Giả sử cần tìm đại lượng A tương ứng với đoạn [a, b], ký hiệu A [a, b] Biết A có hai tính chất: (1) Nếu chia [a, b] thành n phần: a = x1 < x2 < · · · < x i < x i+1 < · · · < xn+1 = b A [a, b] = n X A [ x i , x i+1 ] (tính cộng được) i =1 (2) Nếu xét [ x, x + ∆ x] ⊂ [a, b], với ∆ x bé, coi A [ x, x + ∆ x] ≈ f ( x).∆ x Từ (1) (2) suy ra: A [a, b] ≈ n X f ( x i ) ∆ x i , với ∆ x i = x i+1 − x i i =1 ⇒ A [a, b] = lim n X max ∆ x i →0 i =1 f (xi ) ∆xi = Zb f ( x) d x a 6.3 Tính diện tích hình phẳng 6.3.1 Diện tích hình thang cong Zb  y = f ( x) y = (trục Ox) ⇒ S = | f ( x)| d x - Hình thang cong giới hạn  x = a, x = b a  b Z y = f x ( )  y = g ( x) ⇒ S = | f ( x ) − g ( x )| d x - Diện tích miền giới hạn  x = a, x = b a  Zt2  x = x ( t) ¯ ¯ y = y ( t) - Trường hợp đường cong cho phương trình tham số: ⇒ S = ¯ y ( t) x0 ( t)¯ d t  t1 ≤ t ≤ t2 t1 6.3.2 Diện tích hình quạt ½ - Đường cong tọa độ cực: ¡  Z Ê Ă ÂÔ2 r=r S= r ϕ dϕ α≤ϕ≤β α Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương 6.4 Tính độ dài đường cong - Cung đường cong Ù AB - Cung đường cong Ù AB - Cung đường cong Ù AB  Zb q  y = y ( x) y ( x) liên tục [a, b] ⇒ l Ù + [ y0 ( x)]2 d x có phương trình: = AB  a≤x≤b a  β Z q  x = x ( t) y = y ( t) ⇒ l Ù có phương trình tham số: = [ x0 ( t)]2 + [ y0 ( t)]2 d t AB  α≤t≤β α ¡ ¢ ẵ Z q Ê Ă ÂÔ2 Ê Ă ÂÔ2 r=r ϕ ⇒ lÙ = tọa độ cực: r ϕ + r ϕ dϕ AB α≤ϕ≤β α 6.5 Tính thể tích vật thể • Tổng qt: Thể tích V vật thể mà thiết diện thẳng góc với Ox có diện tích S ( x) hàm liên tục x : a ≤ x ≤ b là: Zb V= S ( x)d x a   a≤x≤b      y = f ( x) liên tục [a, b] x = ϕ ( y) liên tục [ c, d ] • Vật thể trịn xoay hình giới hạn    y = (trục Ox)    x = (trục O y) Zb + quay quanh Ox: VOx = π y2 ( x) d x a + quay quanh Oy: VO y = π Zd ϕ( x)2 d x c + quay quanh Oy: VO y = 2π Zb | x f ( x)| d x a  Zd  c≤ y≤d x = x ( y) liên tục [ c, d ] quay quanh Oy: VO y = π x2 ( y) d y • Vật thể trịn xoay hình giới hạn  x = (trục O y) c ½ ≤ α¡≤ ¢ϕ ≤ β ≤ π • Vật thể trịn xoay hình giới hạn quay quanh trục cực: r = r ϕ liên tục [α, β] 2π V= Zβ ¡ ¢ r ϕ sin ϕdϕ α 6.6 Diện tích mặt trịn xoay  Zb q  y = f ( x) f ( x) liên tục [a, b] quay quanh Ox : σ = 2π y + [ y0 ( x)]2 d x - Diện tích mặt trịn xoay cung Ù AB:  a≤x≤b a  d q Z x = x y ( )  x0 ( y) liên tục [ c, d ] quay quanh O y : σ = 2π x + [ x0 ( y)]2 d y - Diện tích mặt trịn xoay cung Ù AB:  c≤ y≤d c Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương   x = x ( t) Ù y = y ( t) : - Diện tích mặt trịn xoay cung AB có phương trình tham số:  α≤t≤β Zβ q + quay quanh Ox: σ = 2π y ( t) [ x0 ( t)]2 + [ y0 ( t)]2 d t + quay quanh Oy: σ = 2π α Zβ x ( t) q [ x0 ( t)]2 + [ y0 ( t)]2 d t α ½ - Diện tích mặt trịn xoay cung Ù AB có phương trình tọa độ cực: σ = 2π Zβ ¡ ¢ r=r ϕ quay quanh trục cực: α≤ϕ≤β q ¡ ¢ £ Ă ÂÔ2 Ê Ă ÂÔ2 r sin r ϕ + r ϕ dϕ α BÀI TẬP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH x Z 1) Cho hàm số f ( x) = Z 2) Tính tích phân p sin( t2 )dt Tính f ( π) cos(arctan x)dx Z p3 x arccos dx Z0ln 3x e 4) Tính tích phân dx x e +2 Zx (arctan t)3 dt 3) Tính tích phân 5) Tính giới hạn lim p + x2 ¶ 1 giới hạn: lim + + + n+ n + n+2 n+n ả 1 giới hạn: lim p +p + + p n→+∞ n − 22 nả2 n2 à4 n2 12 ( n − 1) π sin + sin giới hạn: lim + + sin n→+∞ n n n n x3 độ dài đường cong y = + , x ∈ [1; 2] 2x  p   y = − x2 x→+∞ µ 6) Tính 7) Tính 8) Tính 9) Tính 10) Tính diện tích mặt tròn xoay tạo quay đường cong p quanh trục Ox vòng   −1 ≤ x ≤ 11) Tính diện tích mặt trịn xoay tạo quay đường y = x − x2 , x ∈ [1; 2] quanh trục Ox vòng 12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tọa độ cực r = + cos ϕ π π 2 13) Cho miền D giới hạn đường y = sinx, (0 ≤ x ≤ ), x = 0, x = Tìm a để khối trịn xoay sinh quay miền D quanh đường thẳng y = a tích nhỏ nhất? Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương 14) Tính diện tích hình phẳng nằm trục hồnh giới hạn đường y = x + 1, y = cos x, y = 15) Tính độ dài đường cong y = ln x với ≤ x ≤ π 16) Tính diện tích mặt cong trịn xoay tạo nên quay y = sin x, − ≤ x ≤ 2 17) Tính thể tích vật thể phần chung hình trụ x + y ≤ 4, x2 + z2 ≤ 18) Tính diện tích hình phẳng giới hạn x ≥ y2 , x2 + y2 = y 19) Tính diện tích mặt cong trịn xoay tạo nên quay đường r = 2(1 + cos ϕ) quanh trục cực 20) Tính lực hấp dẫn cầu nhỏ khối lượng m kích thước khơng đáng kể tác dụng lên kim loại thẳng, đồng chất, tiết diện đều, khối lượng M , chiều dài l Biết cầu nằm đường kéo dài thanh, cách đầu khoảng a Trang ... pháp tích phân phần Xem lại tích phân bất định Trang Ban Học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa - Lương Tùng Dương Ứng dụng tích phân xác định 6.1 Sử dụng định nghĩa tích. .. x) chứng minh f ( x) liên tục [a, b] - Bước 3: Từ định nghĩa tích phân xác định suy lim S n = Zb f ( x) d x n→+∞ a 6.2 Sơ đồ tổng tích phân, vi phân Giả sử cần tìm đại lượng A tương ứng với đoạn... hàm số f ( x) = Z 2) Tính tích phân p sin( t2 )dt Tính f ( π) cos(arctan x)dx Z p3 x arccos dx Z0ln 3x e 4) Tính tích phân dx x e +2 Zx (arctan t)3 dt 3) Tính tích phân 5) Tính giới hạn lim