Hình vi phân

Hình vi phân Hình phẳng Đường cong Cho  =  (Oxy) M(x, y)    ⃗ ⃗ B M A  Maple (1) (Phương trình tham số) Cho x, y  C1(I) x = x(t), y = y(t) , t  I  (TS) ⃗ = (x’(t), y’(t))  0⃗ Tiếp tuyến D = M + vect( ⃗ ) Pháp tuyến P = M + ( ⃗ )  Tại t =  M(a = x(), b = y()) , ⃗ (A = x’(), B = y’()) = = (TT) (PT) + + , uℝ A(X – a) + B(Y – b) = Ví dụ Khảo sát đường cong x = t + t2, y = t – t2 t = Giải  Maple (2) Các hàm (x, y)  C1(ℝ) ⃗ = (1 + 2t, – 2t)  Tại t = M(2, 0) , ⃗ = (3, –1) (TT) X = + 3u, Y = – u , u  ℝ (PT) 3(X – 2) – (Y – 0) =  3X – Y – = (Phương trình tắc) Cho y  C1(I) 1)  y = y(x) , x  I (CT) ⃗ = (1, y’(x))  0⃗  Tại x = a M(a = x, b = y(a)) , ⃗ (A = 1, B = y’(a)) = = (TT) (PT) 2) + , uℝ + (X – x) + B(Y – y) = x = x(y) , y  I Ví dụ Khảo sát đường parabole y = x2 x = Giải  Maple (3) Hàm y  C1(ℝ) ⃗ = (1, 2x)  Tại x = M(1, 1) , ⃗ = (1, 2) (TT) X = + u, Y = + 2u , u  ℝ (PT) (X – 1) + 2(Y – 1) = (Phương trình tổng quát) Cho f  C1(D) f(x, y) =  ⃗ = (f’x, f’y)  0⃗ Tiếp tuyến D = M + ( ⃗) Pháp tuyến P = M + vect( ⃗)  Tại (x = a, y = b) (TQ) M(a = x, b = y) , (TT) ⃗(A = f’x(M), B = f’y(M)) A(X – a) + B(Y – b) = = = (PT) + + , u  ℝ Ví dụ Khảo sát đường hyperbole x2 – y2 = A(√2, 1) Giải  Maple (4) f(x, y) = x2 – y2 – = 0, f  C1(ℝ2) ⃗(x, y) = (2x, –2y)  Tại x = √2, y = ⃗ (2√2, –2) // (√2, –1) M(√2, 1) , (TT) √2(X – √2) – (Y – 1) = (PT) X = √2 + √2.u , Y = – u , u  ℝ (Phương trình tọa độ cực) Chuyển qua tham số  r = r()  x = r()cos() = x(φ) , I y = r()sin() = y(φ) Các đường bậc hai Cho (O, ⃗, ⃗) Tập điểm M(x, y) thoả (C) a11 x2 + a22 y2 + 2a12 xy + a1 x + a2 y + a0 = DL  (O, ⃗, ⃗) (C) 1 x +  y + b x + b y + b0 = Các 1,2 dấu :  (, ⃗, ⃗) (E) + =  với  = –1, 0, Các 1,2 khác dấu :  (, ⃗, ⃗) (H) − = với  = –1, 0,  (, ⃗, ⃗) Các 1 = 0, 2  0, b1  : (P) y2 = 2px với p   (, ⃗, ⃗) Các 1 = 0, 2  0, b1 = : (T) y2 =  với  = –1, 0, Maple (5) Hình khơng gian Mặt cong Cho S  (Oxyz) M(x, y, z)  S  ⃗ M (Phương trình tham số) Cho (x, y, z)  C1(D) x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)  (TS) ⃗u = (x’u, y’u, z’u) ⃗v = (x’v, y’v, z’v) ⃗ = ⃗u  ⃗v = (D1, D2, D3)  0⃗ Pháp tuyến D = M + vect( ⃗) Tiếp diện P = M + ( ⃗)  Tại (u = , v = ) M(a = x(, ), b = y(, ), c = z(, )) ⃗ (A = D1(, ), B = D2(, ), C = D3(, )) (PT) (TD) = = = + + + với t  ℝ A(X – a) + B(Y – b) + C(Z – c) = Ví dụ Khảo sát mặt cong điểm (u = 1, v = 1) x = u + v2, y = u2 + v, z = uv Giải  Maple (1) Hàm ⃗  C1(ℝ2) ⃗u = (1, 2u, v), ⃗v = (2v, 1, u) ⃗u  ⃗v = (2u2 – v, 2v2 – u, – 4uv)  Tại (u = 1, v = 1) M(2, 2, 1), ⃗ (1, 1, –3) (PT) x = + t, y = + t, z = – 3t với t  ℝ (TD) (x – 2) + (y – 2) – 3(z – 1) = (Phương trình tắc) Cho z  C1(D) 1)  z = z(x, y) , (x, y)  D (CT) ⃗ = (–z’x, –z’y, 1)  Tại (x = a, y = b) M(a, b, c = z(a, b)) ⃗ (A = –z’x(a, b), B = –z’y(a, b), C = 1) (PT) (TD) = = = + + + với t  ℝ A(X – a) + B(Y – b) + C(Z – c) = 2) Tương tự x = x(y, z) , (y, z)  D y = y(z, x) , (z, x)  D Ví dụ Khảo sát mặt parabole z = x2 – y2 (x = 1, y = 1) Giải  Maple (2) (x, y, z)  C1(ℝ2) ⃗ = (–2x, 2y, 1)  Tại (x = 1, y = 1) M(1, 1, 0) ⃗ (–2, 2, 1) (PT) x = – 2t, y = + 2t, z = t với t  ℝ (TD) –2(x – 1) + 2(y – 1) + (z – 0) = (Phương trình tổng quát) Cho f  C1() f(x, y, z) =  (TQ) ⃗ = (f’x, f’y, f’z)  0⃗  Tại (x = a, y = b, z = c) M(a, b, c) ⃗ (A = f’x(a, b, c), B = f’y(a, b, c), C = f’z(a, b, c)) (PT) (TD) = = = + + + với t  ℝ A(X – a) + B(Y – b) + C(Z – c) = Ví dụ Khảo sát mặt hyperbole x2 + y2 – z2 = M(1, 1, 1) Giải  Maple (3) ⃗= f  C1(ℝ3) ⃗(f) = (2x, 2y, –2z)  Tại (x = 1, y = 1, z = 1) M(1, 1, 1), ⃗ (2, 2, –2) (PT) x = + 2t, y = + 2t, z = – 2t với t  ℝ (TD) 2(x – 1) + 2(y – 1) – 2(z – 1) = Các mặt bậc hai Trong (O, ⃗, ⃗, ⃗ ) Tập điểm M(x, y, z) (S) a11x2 + a22y2 + a33z2 + + 2(a12xy + a23yz + a13zx) + + a1 x + a 2y + a3z + a0 = DL  (O, ⃗, ⃗, ⃗) (S)  x +  y +  z + b x + b2 y + b z + b = Các 1,2,3 dấu : (E) + +  (, ⃗, ⃗, ⃗) =  với  = –1, 0, Các 3 khác dấu 1,2 :  (, ⃗, ⃗, ⃗) (H) + − =  với  = –1, 0, Trường hợp 1,2  0, 3 = 0, b3  : (P) ±  (, ⃗, ⃗, ⃗) = 2pz với p  Trường hợp 3 = b3 = :  (, ⃗, ⃗, ⃗) a) 1,2  (S) ± =  với  = –1, 0, b) 1  0, 2 = 0, b2  (C) x2 = 2py với p  c) 1  0, 2 = 0, b2 = (P) x2 =  với  = –1, 0, Maple (4) 3 Đường xoắn (Phương trình tham số) Cho x, y, z  C1(I) x = x(t), y = x(t), z = z(t) , t  I  (TS) ⃗ = (x’(t), y’(t), z’(t))  0⃗ Tiếp tuyến D = M + vect( ⃗ ) Pháp diện P = M + ( ⃗ )  Tại t =  M(a = x(), b = y(), c = z()) ⃗ (A = x’(), B = y’(), C = z’()) = = = (TT) (PD) + + + với u  ℝ A(X – a) + B(Y – b) + A(Z – c) = Ví dụ Khảo sát đường ốc trụ x = √2cos t, y = √2sin t , z = t t = Giải  Maple (1) Các hàm (x, y, z)  C1(ℝ) ⃗ = (–√2sin t, √2cos t, 1)  Tại t = M(1, 1, ) ⃗ = (–1, 1, 1) (TT) X = – u, Y = + u, X = + u với u  ℝ (PD) –(X – 1) + (Y – 1) + (Z – ) = (Phương trình tắc) Cho (y, z)  C1(I) y = y(x), z = z(x) , x  I  ⃗ = (1, y’(x), z’(x)) (CT)  Tại điểm x = a M(a, b = y(a), c = z(a)) ⃗ (A = 1, B = y’(a), C = z’(a)) = = = (TT) (PD) + với u  ℝ + + (X – a) + B(Y – b) + A(Z – c) = 2) Tương tự z = z(y), x = x(y) , y  I x = x(z), y = y(z) , z  I Ví dụ Khảo sát đường cong y = x2 z = x3 x = Giải  Maple (2) Các hàm (y, z)  C1(ℝ) ⃗ = (1, 2x, 3x2 )  Tại x = M(1, 1, 1) ⃗ = (1, 2, 3) (TT) X = + u, Y = 1+ 2u, Z = + 3u với u  ℝ (PD) (X – 1) + 2(Y – 1) + 3(Z – 1) = (Phương trình tổng quát) Cho f, g  C1() ( , , )=0 ( , , )=0  ⃗= ⃗ (f)  (TQ) ⃗ (g) = (D1, D2, D3)  Tại (x = a, y = b, z = c) M(a, b, c) ⃗ (A = D1(a, b, c), B = D2(a, b, c), C = D3(a, b, c)) (TT) = = = + + + với u  ℝ (PD) A(X – a) + B(Y – b) + A(Z – c) = Ví dụ Khảo sát đường cong + + + =4 =2 M(a, b > 0,√2) Giải  Maple (3) Các hàm f, g  C1(ℝ) ⃗(f) = (2x, 2y, 2z) ⃗(g) = (2x – 2, 2y, 0) ⃗ (f)  ⃗= ⃗ (g) = (– 4yz, 4yz – 4z, 4y)  Tại (x = a, y = b, z = √2) + + +2=4 =2  a = 1, < b = M(1, 1, √2) ⃗ (–4√2, 0, 4) // (–√2 , 0, 1) (TT) x = – √2t, y = 1, z = √2 + t với t  ℝ (PD) –√2(x – 1) + 0(y – 1) + (z – √2) =