Tích phân bất định Nguyên hàm Cho f : I ℝ Hàm F : I ℝ nguyên hàm hàm f F’(x) = f(x) Ví dụ f(x) = cos(x), F = sin(x) + C Maple (1) Cho F(x) nguyên hàm f(x) 1) F(x) + C nguyên hàm 2) C : G(x) = F(x) + C Tích phân bất định họ nguyên hàm ∫ f(x)dx = F(x) + C Tích phân bất định Các tính chất (Phép toán ngược) d( f(x)dx) = f(x)dx dF(x) = F(x) + C (Tuyến tính) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (Bất biến) f(x)dx = F(x) + C f(u)du = F(u) + C Các phương pháp Cho f : I ℝ liên tục (Phương pháp thế) Cho x = (t) với t J thoả mãn 1) (t) C1, ’(t) 2) f((t))’(t) = g(t) 3) g(t)dt = G(t) + C Khi f(x)dx = G(–1(x)) + C Tìm ∫ √1 − Ví dụ Giải f(x) = √1 − Đổi biến ,|x|1 x = sin(t), t [− , ] x’(t) = cos(t), dx = cos(t)dt Thay vào tích phân ∫ √1 − sin cos = ∫ |cos | cos = ∫(1 + cos ) = = t+ t + sin √1 − sin sin 2t + C +C Thế t = arcsin(x) ∫ √1 − = arcsin x + √1 − +C Maple (2) (Phương pháp nhóm) Cho f : I ℝ liên tục Cho u = (x) với x I thoả mãn 1) (x) C1, ’(x) 2) f(x)dx = g(u)du 3) g(u)du = G(u) + C Khi f(x)dx = G((x)) + C Tìm ∫ Ví dụ Giải ,xℝ f(x) = u = ex + 1, x ℝ Đổi biến du = ex dx, = −1 Thay vào tích phân ∫ ( ) =∫ −∫ = ln +C Thế u = ex + = ln ∫ +C (Tích phân phần) Cho u, v : I ℝ hàm có đạo hàm liên tục u(x)dv(x) = u(x)v(x) – v(x)du(x) Ví dụ Tìm x.ex dx Giải Ta có u = x, dv = ex dx du = dx, v = ex Thay vào công thức x.exdx = xex – exdx = (x – 1)ex + C Bảng nguyên hàm Hàm mũ, hàm luỹ thừa Ta có (xn)’ = nxn–1 ( xn+1)’ = xn ( n –1) Suy công thức 1) xn dx = xn+1 + C, n –1 Tương tự 2) dx = ln| x | + C 3) ex dx = ex + C 4) ax dx = 5) ln x dx = x(ln x – 1) + C ax + C Hàm hữu tỷ, hàm vô tỷ 1) ∫ = 2) ∫ = 3) ∫√ 4) ∫ arctan + ln + = arcsin + ± = + ± Hàm hyperbole 1) cosh x dx = sinh x + C 2) sinh x dx = cosh x + C 3) x dx = ln(ch x) + C 4) ∫ = x + C Hàm lượng giác 1) cos x dx = sin x + C 2) sin x dx = – cos x + C 3) tan x dx = – ln| cos x | + C 4) ∫ = tan x + C +