Bài tập chương - phần Ngày 15 tháng năm 2022 Bài tập (i) Hãy chứng minh dựa phương pháp truy hồi ˆ du u = + (2n − 3) 2 n (a ± u ) 2a (n − 1) (a ± u2 )n−1 ˆ (ii) Áp dụng để tính tích phân: (x2 ˆ (a2 du , ± u2 )n−1 n ̸= x+1 dx + x + 1)2 Lời giải: (i) u dv 2nx du = − = (x + a2 )n ⇒ (x2 + a2 )n+1 v = dv =x Ta có In = Ta tính ˆ x2 dx = (x2 + a2 )n+1 x + 2n (x + a2 )n ˆ ˆ x2 dx (x2 + a2 )n+1 (x2 + a2 ) − a2 dx = (x2 + a2 )n+1 = In − a2 In+1 ˆ dx − a2 (x2 + a2 )n ˆ dx (x2 + a2 )n+1 Do In = = x (x+ a2 )n (x2 + 2n(In − a2 In+1 ) x + 2n(In − 2na2 In+1 ) + a2 )n Vậy In+1 = x 2na2 (x2 + a2 )n + 2n − In 2na2 Với ˆ I1 = x2 dx x = arctan ⇒ I2 , I3 , , In +a a a Vậy ˆ du u = + (2n − 3) 2 n (a ± u ) 2a (n − 1) (a ± u2 )n+1 ˆ (a2 du ± u2 )n−1 (i) ˆ x+1 dx = 2 (x + x + 1) =− ˆ 2x + dx + 2 (x + x + 1) 1 + 2x +x+1 1 =− + 2x +x+1 ˆ √ (x + ) + ( ) ) 2 ˆ √ (x + ) + ( ) ) 2 x+ (x + )2 + x+ 1 =− + 2x +x+1 (x + ) + 2 + ˆ √ + dx dx dx (x + ) + 2x + arctan √ +C 3 Bài tập Cho phân thức hữu tỉ sau h(x) = f (x) 4x3 − 18x2 + 22x − = g(x) x − 6x3 + 11x2 − 6x (i) Nhân tử hóa (factor) g(x) thành nhân tử tuyến tính (linear factor) (ii) Sử dụng phương pháp Heaviside để khai triển phân thức H(x) thành phân thức hữu tỉ đơn giản (partial fractions) ˆ (iii) Tính tích phân I = h(x) dx Lời giải: (i) g(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) (ii) h(x) = f (x) 4x3 − 18x2 + 22x − 4x3 − 18x2 + 22x − 1 1 = = = + + + g(x) x − 6x3 + 11x2 − 6x x(x − 1)(x − 2)(x − 3) x x−1 x−2 x−3 (iii) ˆ ˆ h(x) = 1 1 + + + = ln |x| + ln |x − 1| + ln |x − 2| + ln |x − 3| + c x x−1 x−2 x−3 Bài tập Cho phân thức hữu tỉ sau: H(x) = x6 + 5x5 + 12x4 + 18x3 + 19x2 + 12x + x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + (i) Chia đa thức tử cho đa thức mẫu (ii) Khai triển phân thức H(x) thành phân thức hữu tỉ đơn giản (partial fractions) (iii) Tính tích phân I = ˆ H(x) dx Lời giải: (i) H(x) = x5 + 4x4 + 8x3 + 11x2 + 8x + x6 + 5x5 + 12x4 + 18x3 + 19x2 + 12x + = + x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + (ii) x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + = (x + 1)2 (x2 + x + 1)2 (iii) ˆ ˆ ˆ x + 4x4 + 8x3 + 11x2 + 8x + x5 + 4x4 + 8x3 + 11x2 + 8x + = x + 4x + 8x + 10x + 8x + 4x + (x + 1)2 (x2 + x + 1)2 ˆ A B Cx + D Ex + F = 1+ + + + 2 x + (x + 1) x + x + (x + x + 1)2 A =1 B = C = ⇒ D = E =1 F = ˆ A B Cx + D Ex + F ⇒ 1+ + + + x + (x + 1)2 x + x + (x2 + x + 1)2 ˆ x+1 + + = 1+ x + (x + 1)2 (x + x + 1)2 ˆ ˆ d(x + ) 1 d(x2 + x + 1) = x + ln |x + 1| − + + x+1 (x2 + x + 1)2 2 (x + ) + √ x + 1 2 + arctan 2x√+ = x + ln |x + 1| − − + +c x + x2 + x + x2 + x + 3 H(x) = 4 Bài tập (i) Bằng cách đổi biến x = a sin t, chứng minh ˆ √ x dx = arcsin + C a −x a2 (ii) Áp dụng kết sử dụng tích phân phần để chứng minh ˆ a2 − x2 dx = x x a2 − x2 + a2 arcsin + C a Lời giải: (i) x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt, t = arcsin x a Sử dụng hệ thức sin2 t + cos2 t = ˆ ⇒ dx √ = a − x2 ˆ ˆ a cos tdt a2 − a2 sin t = x a cos tdt = t + c = arcsin + c a cos t a Bài tập Sử dụng phép Euler thứ (Euler’s first substitution) Từ phép đổi biến: √ √ ax2 + bx + c = ±x a+t, dẫn x = c − t2 √ ±2t a − b Với cách đổi biến trên, tính tích phân sau ˆ dx √ (i) x2 + c ˆ dx √ (ii) x x + 4x − Lời giải: √ √ ax2 + bx + c = ±x a + t ⇒ ax2 + bx + c = x2 a ± 2xt a + t2 √ bx + c = ±2xt a + t2 ⇒ x = c − t2 √ ±2t a − b (i) ˆ √ dx x2 + c x2 + c = x + t ⇒ x2 + c = x2 + 2xt + t2 ⇒ x = ⇒ dx = − dt ˆ ˆ dx √ = − ⇒ 2 x +c c − t2 2t + = − ln √ c c − t2 2t dt ( c+( c − t2 ) +c 2t c − t2 ) x 2t = − ln √ + c c c + x2 c Bài tập Sử dụng phép Euler thứ hai (Euler’s second substitution) Từ phép đổi biến: √ ax2 + bx + c = xt ± √ √ ±2t c − b c, dẫn x = a − t2 Với cách đổi biến trên, tính tích phân sau ˆ dx √ (i) x −x2 + x + ˆ √ c − x2 (ii) dx x Lời giải: ax2 + bx + c = xt ± √ ±2t c − b ⇒x= a − t2 √ √ √ c ⇒ ax2 + bx + c = x2 t2 ± 2xt c + c ⇒ (a − t2 )x2 + x(b ± 2t c) = (i) √ + 2t + x + = xt − ⇒ −x + x + = x t − 2xt + ⇒ x = + t2 √ √ 2 − 2t + 2t ⇒ dx = dt (1 + t2 )2 √ √ √ t2 + t − −x2 + x + = xt − = t2 + √ √ √ √ (1 + 2t 2)(t2 + t − 2) ⇒ x −x + x + = x(xt − 2) = (t2 + 1)2 √ ˆ ˆ ˆ dx −1 d(1 + 2t 2) −2 √ dt = √ √ √ ⇒ = + 2t 2 + 2t x −x2 + x + √ √ − = ln |1 + 2t 2| + c √ √ √ √ − −x2 + x + + ln + 2 +c = x √ −x2 2 √ (ii) ˆ √ c2 − x2 dx x c2 − x2 = xt − c ⇒ x = ⇒ dx = 2tc 4t2 c2 ⇒ x2 = 1+t (1 + t2 )2 −2t2 c + 2c dt (1 + t2 )2 c2 − x2 = xt − c = 2t2 c c(t2 − 1) −c= 2 1+t t +1 t2 − xt − c = x 2t ˆ √ ˆ ˆ ˆ ˆ c − x2 (t2 − 1)2 t − 2t2 + 1 2d(t2 + 1) = c = c( ⇒ dx = c dt − x t(t2 + 1)2 t(t2 + 1)2 t (t2 + 1)2 √ −x2 + c2 + c 2c = c(ln |t| + + c) = c ln + √ t +1 c 2 −x + c + c + 1 x ⇒ Bài tập Sử dụng phép Euler thứ ba (Euler’s third substitution) Giả sử đa thức ax2 + bx + c có nghiệm thực α β √ aβ − αt2 Từ phép đổi biến: ax2 + bx + c = (x − α)t, dẫn x = a − t2 Với cách đổi biến trên, tính tích phân sau ˆ dx √ (i) dx x + 3x − ˆ x2 √ (ii) dx −x2 + 3x − Lời giải: ax2 + bx + c = (x − α)t ⇒ ax2 + bx + c = (x − α)2 t2 ⇔ (x − α)(ax − aβ) = (x − α)2 t2 ⇔ (ax − aβ) = (x − α)t2 ⇔x= aβ − αt2 a − t2 (i) ˆ √ dx x2 + 3x − x2 + 3x − = (x − 1)t ⇒ x2 + 3x − = (x − 1)2 t2 ⇒ (x − 1)(x + 4) = (x − 1)2 t2 ⇒ x = −4 − t2 − t2 −10t ⇒ dx = dt (1 − t2 )2 ˆ ˆ √ dx = dt = ln |x + 1| + ln |x − 1| + c ⇒ − t2 x + 3x − (ii) ˆ √ x2 dx −x2 + 3x − −t2 + 2t −x2 + 3x − = (x − 1)t ⇒ x = ⇒ dx = dt − t2 (1 − t2 )2 ˆ ˆ ˆ ˆ x2 (−t2 + 2)2 2t − √ ⇒ dx = dt = −2 )3 2 (1 − t − t (1 − t2 )3 −x + 3x − = ln |x + 1| + ln |x − 1|− 8 Bài tập Không sử dụng phép Euler, tính tính phân sau: ˆ dx √ (i) x2 + x + ˆ x+1 √ (ii) dx x2 + x + ˆ x2 + √ dx (iii) x2 + x + Lời giải: (i) ˆ √ dx = x +x+1 ˆ dx = ln |x + + (x+ )2 + (x + )2 + + c| (ii) ˆ √ x+1 dx = 2 x +x+1 = = ˆ √ ˆ 2x + + 2 x +x+1 ˆ d(x2 + x + 1) √ + x2 + x + x2 + x + + √ ˆ 1 ln |x + 2 dx +x+1 d(x + ) 2 (x + ) + x2 (x + )2 + | + c ... x−3 Bài tập Cho phân thức hữu tỉ sau: H(x) = x6 + 5x5 + 12x4 + 18x3 + 19x2 + 12x + x6 + 4x5 + 8x4 + 10x3 + 8x2 + 4x + (i) Chia đa thức tử cho đa thức mẫu (ii) Khai triển phân thức H(x) thành phân. .. factor) (ii) Sử dụng phương pháp Heaviside để khai triển phân thức H(x) thành phân thức hữu tỉ đơn giản (partial fractions) ˆ (iii) Tính tích phân I = h(x) dx Lời giải: (i) g(x) = x4 − 6x3 + 11x2... +c x + x2 + x + x2 + x + 3 H(x) = 4 Bài tập (i) Bằng cách đổi biến x = a sin t, chứng minh ˆ √ x dx = arcsin + C a −x a2 (ii) Áp dụng kết sử dụng tích phân phần để chứng minh ˆ a2 − x2 dx =