Bài tập hàm biến số phức Ngày 15 tháng năm 2022 CHƯƠNG Bài 207: Khai triển hàm số sau thành chuỗi laurent vành khuyên cho 1 = , < |z + 2| < z + 2z − (z − 2)(z + 4) 1 1 = − (z − 2)(z + 4) 6z−2 6z+4 Trong miền đề cho ta có 1 ∞ z+2 n =− =− ) , |z + 2| < (− z−2 z+2 n=0 +1 − ∞ 1 1 n = = (−1)n ( ) , |z + 2| > 2 z+4 z+2 z + n=0 z+2 1+ z+2 Chuỗi Laurent hình vành khăn sau: ∞ ∞ z+2 n 1 n − ( ) − (−1)n ( ) 24 n=0 z + n=0 z+2 Bài 217: Hãy tìm xác định loại điểm bất thường cô lập hàm sau z = a) z + 2z + z z (z + 1)2 Có điểm bất thường lập z=0 z=-1 Phân loại sau: Ta áp dụng định lý có: Với điểm z=0 lim = ∞ Và z→0 z (z + 1)2 lim z 2 =1 z→0 z (z + 1)2 Từ điều kiện ⇒ z = cực điểm cấp Với điểm z=-1 lim = ∞ Và z→−1 z (z + 1)2 lim (z + 1)2 =1 z→−1 z (z + 1)2 Từ điều kiện ⇒ z = −1 cực điểm cấp 1 b) cos −z + e − z2 Điểm bất thường cô lập z = Áp dụng định lý : 1 lim (cos −z + ) = ∞ Và z→0 e −1 z lim z→0 Bài 190: Khai triển hàm số thành chuỗi Laurent lân cận z = ez f (z) = z Ta có cơng thức khai triển Taylor hàm quanh z=0 ∞ zn ez = n! n=0 ⇒ ez = z3 z ∞ zn n! n=0 Bài 200: Khai triển hàm số sau thành chuỗi Laurent lân cận điểm cho f (z) = ze + i Ta có cơng thức khai triển Taylor sau: ∞ 1 1 e z = + + + + = n z 2z 6z n!z n=0 Áp dụng công thức vào làm ∞ 1 + i =z ze n!(1 + i)n n=0 Bài 226: Phân loại điểm bất thường hàm sau theo điểm cho ln(1 + z ) ,z = f (z) = z2 Áp dụng định lý ta có: ln(1 + z ) lim = ∞ Và z→0 z2 ln(1 + z ) lim z =1 z→0 z2 Từ điều kiện ⇒ z = cực điểm cấp Bài 248: 1 z+ z z2 z f (z) = e = e e Điểm bất thường z=0 Áp dụng công thức khai triển Taylor cho hàm quanh z=0 z2 = ∞ ∞ zn n! n=0 n!z 2n n=0 z 1 z3 = (1 + z + + + )(1 + + + + ) 2! 3! z 2z 3z Ta thấy tích số hạng nhân vô hạn hạng tử Vậy z thặng dư ∞ Bài 259: Tìm thặng dư điểm bất thường cô lập hàm số sau: f (z) = ez sin , điểm bất thường cô lập z=0 z Áp dụng công thức khai triên Taylor: ∞ zn ez = n! n=0 e z+ ∞ sin 1 = (−1)n ( z n=0 (2n + 1)!z 2n+1 Chuỗi Laurent hoàn chỉnh là: ∞ ∞ zn (−1)n ( 2n+1 n! (2n + 1)!z n=0 n=0 Cách làm định nghĩa chưa nên thử cách làm định lý nha lim ez sin = −1 ⇒ z = điểm bất thường bỏ z→0 z Áp đụng định lý ta tính thặng dư cơng thức sau: Res[f (z), ∞] = − lim z[ez sin + 1] = ∞ z→∞ z Bài 241: Tính thặng dư điểm bất thường cô lập hàm số sau: ez f (z) = , Có điểm lập z=0 z=1 z (z − 1) ∞ zn z Tại z=0 ta có: e = n! n=0 ∞ 1 1 1 1 =− − − + =− − − + (−1)n z n z (z − 1) z z z z+1 z z z n=0 Chuỗi Laurent hoàn chỉnh là: ∞ ∞ zn 1 − − 2− 3+ (−1)n z n n! z z z n=0 n=0 Cách theo định nghĩa khó nên chưa làm ra, thoii đến với cách theo định lý nha :)) ez f (z) = , Có điểm cô lập z=0 z=1 z (z − 1) *Với z=0z e lim = ∞ Và z→0 z (z − 1) ez = −1 z→0 z (z − 1) Từ điều kiện ta thấy z=0 cực điểm cấp Áp đụng định lý ta có cơng thức tính thặng dư sau: d2 ez ez (z − 4z + 5) =− Res[f (z), 0] = lim = lim z→0 z→0 2! dz z − (x − 1) * Với z=1z e lim = ∞ Và z→0 z (z − 1) ez lim (z − 1) =e z→0 z (z − 1) Từ điều kiện ta thấy z=1 cực điểm đơn Áp dụng định lý cơng thức tính thặng dư sau: ez Res[f (z), 0] = lim [(z − 1) ]=e z→1 z (z − 1) Bài 274:ˆ z sin zdz f (z) = C (z − 1) z sin z Xét f (z) = , điểm z = điểm bất thường cô lập (z − 1)5 Áp dung định lý : z sin zdz lim = ∞ Và z→1 (z − 1)5 z sin zdz lim (z − 1)5 = sin ̸= z→1 (z − 1)5 Từ điều kiện ta suy z = cực điểm cấp d4 z sin z 1 ⇒Res(f (z), z0 ) = lim (z − 1)5 = lim [−4 cos x + x sin x] 4! z→1 dz (z − 1)5 4! z→1 1 = − cos + sin 6ˆ 24 z sin zdz 1 Vậy = 2πi(− cos + sin 1) 24 C (z − 1) 1 = − πi cos + πi sin 12 Bài 234: (1 − cosh z) sinh z f (z) = (1 − cos z) sin2 z lim z ... e −1 z lim z→0 Bài 190: Khai triển hàm số thành chuỗi Laurent lân cận z = ez f (z) = z Ta có cơng thức khai triển Taylor hàm quanh z=0 ∞ zn ez = n! n=0 ⇒ ez = z3 z ∞ zn n! n=0 Bài 200: Khai triển... ∞ 1 1 e z = + + + + = n z 2z 6z n!z n=0 Áp dụng công thức vào làm ∞ 1 + i =z ze n!(1 + i)n n=0 Bài 226: Phân loại điểm bất thường hàm sau theo điểm cho ln(1 + z ) ,z = f (z) = z2 Áp dụng định... ta có: ln(1 + z ) lim = ∞ Và z→0 z2 ln(1 + z ) lim z =1 z→0 z2 Từ điều kiện ⇒ z = cực điểm cấp Bài 248: 1 z+ z z2 z f (z) = e = e e Điểm bất thường z=0 Áp dụng công thức khai triển Taylor cho