Giải tích 1. Bài 8: Tích phân bất định127

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye GIẢI TÍCH I BÀI §2.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TT) Tích phân vài lớp hàm  b) Hàm lượng giác R  sin x, cos x  dx , R(sinx, cosx) hàm hữu tỉ biến sin 2t x , cosx Đặt t  tan ,  < x <   sinx  2 1 t  2t 1 t  x  2arctan t  I  R  dt , 2 1 t  1 t  1 t  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Chú ý +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx co R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)) đặt t = cotx +) R(sinx, cosx) lẻ với sinx (nghĩa cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = cosx +) R(sinx, cosx) lẻ với cosx (nghĩa cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = sinx Ví dụ dx a) sin x cos xdx b) sin2 x cos dx cos x d c) d) 2sin x  cos x  cos4 x  s     PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye e) sin x sin2 x sin3 x dx f)  dx g)   sin x  cos x 2 h) dx  sin2 x  sin x cos x  cos2 x sin x  2cos x k)  dx 2sin x  3cos x i)  sin 2x cos3 x  sin dx   sin2 x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x cos ( ln  cos sin2 x ( ln  sin2 x x tan dx l (K54)  cos x cot x dx  sin x   GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Hàm chẵn với sinx cosx, nên đặt d t  cot x, x  (0; )  x  arc cot t  dx   1 t cot x 1 I dx  dt   2 1 t  sin x t 1 1 t d (t  2) +)     ln(t  2)  C 2 t 2 2 1 sin x   ln(  1)  C  ln  C 2 sin x  sin x dx m (K60) ( x 3 sin x  4cos x   tan      PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo n (K61)  thao.nguye dx ( 5cos x  12 sin x  13 2(2 tan x  GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) x t  tan , x  (  ; )  x  2arctan t  sinx  2 1 t2  t I  cosx  dt 2 1 t 2t 1 t  12  13 2 1 t 1 t 2  dt  2 5(1  t )  24t  13(1  t ) 8t  24 t  1 d (2t  3) dt   +) 2 (2t  3) 2(2t  4t  12t       PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  thao.nguye x 2(2 tan  3)  C ( ln cos(2  o (K64) tan(2 x )dx GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Hàm lẻ với sin(2x) nên t  cos(2x )  dt  2sin(2 x )dx  sin(2 x )dx  sin(2x ) dt   ln t I dx   cos(2 x ) t +)   ln c os(2x )  C   c) Tích phân hàm số vô tỉ    R x , Ax  Bx  C dx ,   ax  n R x, cx  d  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye R x Ax , Tích phân  Bx  C dx 1)  R  x, 2  a x   dx , đặt x = asint x đưa tích phân hàm lượng giác (4b) CM 10 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye b a Định nghĩa Khi b < a có f  x  dx   f  x  d a b b  Khi a = b có f  x  dx  a II Tiêu chuẩn khả tích, tính chất 1) Tiêu chuẩn khả tích Định lí f(x) khả tích [a ; b]  lim  S  0 n S  Mi i 1 n xi , s   mi i 1 xi , Mi  max f mi  f  x  xi 39 xi PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Định lí f(x) liên tục [a ; b]  f(x) khả [a ; b] Định lí f(x) bị chặn [a ; b] có hữu gián đoạn [a ; b]  f(x) khả tích [a Định lí f(x) bị chặn đơn điệu [a ; khả tích [a ; b] Ví dụ Tính a)   b) x 2dx x dx 0 40 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye d) x 3dx c) e x dx 1 1 b  e) a x dx, a  f) a GIẢI a)   x dx 41 x dx, a  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Chia [0 ; 2] thành n phần ( xk  ), điểm chia n  x0 < x1 < x2 < < xn  2 +) Lấy k  k  [xk 1; xk ], k=1,2, ,n n +) Lập tổng n n n 2 2 f  k  xk  k  ( ) k (  n n n k 1 n k 1 k 1  đặt    max xi  lim i 1, n 0 (n  ) 42  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Do y=x liên tục [0;2], nên khả tích trê 0 Do x dx  lim 0 ( n  )   GIẢI b) x 2dx 43 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Chia [0 ; 1] thành n phần ( xk  ), điểm chia n  x0 < x1 < x2 < < xn  k +) Lấy k   [ xk 1; xk ], k=1,2, ,n n +) Lập tổng n  f  k 1 k  n n 1 k   xk  k ( )   n n n k 1 k 1    n(n  1)(2n  1) ( ) ,, đặt n   max xi  lim i 1,n 44 0 ( n PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye y x +) Do  liên tục [0;1], nên khả tích t 1 [0;1] Do x dx  lim  0 0 ( n ) n  n k k cos g (K52) lim n  n 2n k 1 k k sin lim n  n 2n k 1  45 ( ( ) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye n h (K54) lim n ( )  k 1 n  k n n lim  n  3n  k 2 n  ( k 1 n i (K55) Chứng minh  ln2 n k  k 1  n Chứng minh  ln2 2n  k k 1  46 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye n GIẢI 1)  ln2 nk k 1  47 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye liên tục [0;1], nên khả t 1 x 1 [0;1] có dx  ln(1  x )  ln2 1 x +) Từ đó, y     từ định ngh (1  x ) k phân ( k  ) ta có n n n dx 1    ln2 k n 1 x n k  k 1 k 1  n +) Hàm y      48 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye n k (K57) lim ( 2   n k k 1 n n lim  n  n  3k n  ( k 1  (2n  1)!  l (K63) lim  n  n  n (n  1)!    n1 k lim  2 n   n  n k  k 1   GIẢI 49 3 ( ) e     ( PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye n 1 n 1   k n k n +)   n  k 1 4n  k n  k 0 k ( ) n x +) Hàm f ( x )  liên tục [0;1] nên khả t  x2 đoạn này, 0 dx   x2 x 0 x ) dx   x   x2 d (4  50 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Từ định nghĩa tích phân xác định (1), ta   n 1   n k n    lim  lim   lim   n  n   n  1 n   n k  k 1  ( )   n      n 1 1 k n x   lim  dx  n   n k  x   k 0  ( )  n      51 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  m (K64) lim  n  n  thao.nguye  k   k 1  n  ( GIẢI 52 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) thao.nguye k 1   k     n n n k 1 k 1   n n   +) Hàm f ( x )  x6 liên tục [0;1] nên khả tích trê x này, nên có x dx   1  (1) +) Từ định nghĩa tích phân xác định (1), ta  n 6 1 lim  k   x dx   n   n k 1     53 ... 2 §2.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Đặt vấn đề I Định nghĩa 1) Ý nghĩa hình học: +) Bài tốn diện tích hình thang cong: f(x) liên tục không âm 33 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye [a ; b], diện tích hình... +)   ln c os(2x )  C   c) Tích phân hàm số vơ tỉ    R x , Ax  Bx  C dx ,   ax  n R x, cx  d  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye R x Ax , Tích phân  Bx  C dx 1)  R  x, 2... n ax  b  Tích phân R  x ,  dx, n  cx  d   ax  b n n  t (cx  d )  ax  b  x Đặt t  cx  d  b  dt n   dx  R1(t )dt  I  R  n , t  R1(t )dt   ct  a    Ví dụ GIẢI  x dx