PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TIẾP THEO) Tích phân vài lớp hàm b) Hàm lượng giác R sin x, cos x dx , R(sinx, cosx) hàm hữu tỉ biến 2t 1 t R , dt 1 t2 1 t2 1 t2 +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx cosx đặt t = tanx t = cotx +) R(sinx, cosx) lẻ với sinx đặt t = cosx +) R(sinx, cosx) lẻ với cosx đặt t = sinx x Đặt t tan , < x < Chú ý Ví dụ sin a) c) e) b) dx 2sin x cos x d) sin x sin2 x sin3 x dx f) dx sin x cos x 2 g) i) x cos2 xdx h) dx sin2 x sin x cos x cos2 x l) cos 2x dx cos4 x sin4 x sin2 x cos3 x sin2 x 1dx dx sin2 x sin x 2cos x dx 2sin x cos x cos2 x ( ln C) cos2 x tan x cos2 x dx m) k) dx sin2 x cos4 x sin2 x ( ln C ) sin2 x cot x sin2 x dx ax b c) Tích phân hàm số vô tỉ R x , Ax Bx C dx R x, n dx cx d R x, 1) a2 x dx , đặt x = asint x = acost đưa tích phân hàm lượng giác (4b) R x, 3) R x, 2) a x a dx , đặt x cos t a2 x dx , đặt x = atan t x = acot t (4b) Ví dụ x5 a) dx 1 x b) x x 3 x 2x 33 a (4b) sin t dx c) x dx x2 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo d) g) a2 x dx, a x k) l) x x x dx h) e) x x 1 dx x 1 f) x 1 dx x 1 i) 2x dx x x 2 x 1 dx 1 x x 3dx 2x x x4 m) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2x x 3 ( x x 3ln x x x C ) dx dx ( x x ln x x x C ) x 4x x2 n) dx ( x 2x 3arcsin( x 1) C ) x 2x Ví dụ Dùng phép Euler để tính A > 0, đặt Ax Bx C t Ax C > 0, đặt Ax Bx C xt C Nếu Ax2 + Bx + C = A(x )(x ), đặt Ax Bx C = t(x ) t(x ) đưa tích phân hàm hữu tỉ dx dx a) b) x x2 x 1 2x x c) dx x a2 d) x2 x 1 dx x a x 1 Chú ý Có hàm nguyên hàm sơ cấp: x cos x sin x 1 x2 2 e e , cos x , sin x , , , , , 1 x3 , (Chứng minh x x x ln x 1 x Liouville (Pháp) vào kỉ 19) Một số công thức hay dùng dx ln x x a2 C x a2 dx x arcsin C a a2 x x a2 x 2 a x dx a x arcsin C 2 a x a x a2 dx x a2 ln x x a C 2 2 34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Đặt vấn đề I Định nghĩa 1) Ý nghĩa hình học: +) Bài toán diện tích hình thang cong: f(x) liên tục không âm [a ; b], diện tích hình thang cong y f(x), a x b n S lim 0 xi f xi xi , max i 1, n i 0 b 2) Ý nghĩa học f x dx , f(x) > a Là khối lượng đoạn [a ; b] với mật độ khối lượng f(x) công lực có độ lớn f(x) > tác động vào vật chuyển động thẳng từ x = a đến x = b 3) Tính áp lực lên mặt đĩa Tính áp lực lên mặt đĩa phẳng chìm nước hình b F whxdh , a tấn/(ft)3 32 4) Định nghĩa f(x) xác định [a ; b] w trọng lượng riêng nước = +) Chia [a ; b] điểm chia a x0 < x1 < x2 < < xn b +) Lấy i [xi ; xi] n +) Lập tổng xi f i xi , đặt max i 1, n i 1 Nếu lim I không phụ thuộc vào cách chia [a ; b] cách chọn điểm i 0 ( n ) b I tích phân xác định hàm f(x) [a ; b] kí hiệu f x dx a 30 Ví dụ a) Tính dx b) Tính 20 2010dx 11 n k d ) lim k cos n n 2n k 1 ( 2 c) 1, x y x dx, y x 0, x I n k k sin 2n n n e ) lim ) k 1 35 ( ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo n thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n2 k n f ) lim n ( ) k 1 n 3n k n g ) lim ( k 1 n n h) Chứng minh ln2 n k k 1 n n k) lim k 1 4n 3k ( 3 i) Chứng minh n ) 2n k ln2 n n 3k n l) lim ) ( k 1 3 ) a f x dx f x dx a b Khi a = b có k 1 b Định nghĩa Khi b < a có b f x dx a II Tiêu chuẩn khả tích, tính chất 1) Tiêu chuẩn khả tích Định lí f(x) khả tích [a ; b] lim S s , 0 n S n f x , mi f x Mi xi , s mi xi , Mi max x x i 0 i i i 0 Định lí f(x) liên tục [a ; b] f(x) khả tích [a ; b] Định lí f(x) bị chặn [a ; b] có hữu hạn điểm gián đoạn [a ; b] f(x) khả tích [a ; b] Định lí f(x) bị chặn đơn điệu [a ; b] f(x) khả tích [a ; b] Ví dụ Tính a) x dx b) c) x dx e) b x a dx, a 0 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 36 x e dx 1 x dx d) 2 f) x a dx, a