Bài giảng giải tích 1 bài 8

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TIẾP THEO) Tích phân vài lớp hàm b) Hàm lượng giác  R  sin x, cos x  dx , R(sinx, cosx) hàm hữu tỉ biến  2t 1 t  R , dt   1 t2 1 t2  1 t2 +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx cosx đặt t = tanx t = cotx +) R(sinx, cosx) lẻ với sinx đặt t = cosx +) R(sinx, cosx) lẻ với cosx đặt t = sinx x Đặt t  tan ,  < x <   Chú ý  Ví dụ  sin a) c) e) b)  dx 2sin x  cos x  d)  sin x sin2 x sin3 x dx f) dx   sin x  cos x 2 g) i) x cos2 xdx h) dx  sin2 x  sin x cos x  cos2 x l) cos 2x dx  cos4 x  sin4 x sin2 x  cos3 x  sin2 x  1dx dx   sin2 x  sin x  2cos x dx 2sin x  cos x cos2 x (  ln C)  cos2 x tan x   cos2 x dx m) k) dx  sin2 x cos4 x sin2 x ( ln C )  sin2 x cot x   sin2 x dx  ax  b  c) Tích phân hàm số vô tỉ R x , Ax  Bx  C dx R  x, n  dx cx  d      R  x, 1)    a2  x dx , đặt x = asint x = acost đưa tích phân hàm lượng giác (4b)  R  x, 3)  R  x, 2)  a x  a  dx , đặt x  cos t a2  x dx , đặt x = atan t x = acot t  (4b) Ví dụ x5 a) dx 1 x  b)  x  x 3 x  2x  33 a  (4b) sin t dx c) x dx x2  x  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo d) g) a2  x dx, a  x   k)  l)  x  x  x  dx h) e)   x x 1 dx x 1 f) x 1 dx x 1 i) 2x dx   x   x 2  x 1 dx 1 x x 3dx  2x  x x4  m) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x  2x  x 3 ( x  x   3ln x   x  x   C ) dx dx ( x  x   ln x   x  x   C ) x  4x  x2 n) dx (   x  2x  3arcsin( x  1)  C )  x  2x Ví dụ Dùng phép Euler để tính   A > 0, đặt Ax  Bx  C  t  Ax  C > 0, đặt Ax  Bx  C  xt  C  Nếu Ax2 + Bx + C = A(x  )(x  ), đặt Ax  Bx  C = t(x  ) t(x  ) đưa tích phân hàm hữu tỉ dx dx a) b) x  x2  x  1   2x  x  c)  dx   x  a2  d) x2    x  1 dx x a x 1 Chú ý Có hàm nguyên hàm sơ cấp: x cos x sin x 1 x2 2 e  e , cos x , sin x , , , , , 1 x3 , (Chứng minh x x x ln x 1 x Liouville (Pháp) vào kỉ 19)  Một số công thức hay dùng dx  ln x  x  a2  C x  a2 dx x  arcsin  C a a2  x     x a2 x 2 a  x dx  a x  arcsin  C 2 a x a x  a2 dx  x  a2  ln x  x  a  C 2 2 34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Đặt vấn đề I Định nghĩa 1) Ý nghĩa hình học: +) Bài toán diện tích hình thang cong: f(x) liên tục không âm [a ; b], diện tích hình thang cong  y  f(x), a  x  b n S  lim  0 xi  f  xi  xi ,   max i 1, n i 0 b 2) Ý nghĩa học  f  x  dx , f(x) > a  Là khối lượng đoạn [a ; b] với mật độ khối lượng f(x)  công lực có độ lớn f(x) > tác động vào vật chuyển động thẳng từ x = a đến x = b 3) Tính áp lực lên mặt đĩa Tính áp lực lên mặt đĩa phẳng chìm nước hình b  F  whxdh , a tấn/(ft)3 32 4) Định nghĩa f(x) xác định [a ; b] w trọng lượng riêng nước = +) Chia [a ; b] điểm chia a  x0 < x1 < x2 < < xn  b +) Lấy i  [xi  ; xi] n +) Lập tổng   xi  f i   xi , đặt   max i 1, n i 1 Nếu lim   I không phụ thuộc vào cách chia [a ; b] cách chọn điểm i  0 ( n  ) b I tích phân xác định hàm f(x) [a ; b] kí hiệu  f  x  dx a 30 Ví dụ a) Tính  dx b) Tính 20  2010dx 11 n k d ) lim k cos n  n 2n k 1  ( 2   c) 1, x   y  x  dx, y  x    0, x  I  n k  k sin 2n n  n e ) lim ) k 1 35 (  ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo n thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n  n2  k n  f ) lim n  ( ) k 1 n  3n  k n  g ) lim ( k 1 n n h) Chứng minh  ln2 n  k k 1  n  n  k) lim k 1 4n  3k (  3 i) Chứng minh n )  2n  k  ln2 n  n  3k n  l) lim ) ( k 1  3 ) a  f  x  dx   f  x  dx a b  Khi a = b có k 1 b Định nghĩa  Khi b < a có  b  f  x  dx  a II Tiêu chuẩn khả tích, tính chất 1) Tiêu chuẩn khả tích Định lí f(x) khả tích [a ; b]  lim  S  s   ,  0 n S n f  x  , mi  f  x   Mi  xi , s   mi  xi , Mi  max x x i 0 i i i 0 Định lí f(x) liên tục [a ; b]  f(x) khả tích [a ; b] Định lí f(x) bị chặn [a ; b] có hữu hạn điểm gián đoạn [a ; b]  f(x) khả tích [a ; b] Định lí f(x) bị chặn đơn điệu [a ; b]  f(x) khả tích [a ; b] Ví dụ Tính a)  x dx b) c)  x dx e) b x  a dx, a  0 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 36 x  e dx 1  x dx d) 2 f) x a  dx, a 