tích phân bất định xác định

-1- Tích Phân B t Bài 1: Tính nguyên hàm hàm h u t : dx x2 − x − nh –Xác x4 x4 − dx dx x2 + x + x3 + x + 11x + ( x − 3)2 ( x + 1)2 x2 − x + x2 − x + x2 − x + x2 − x + 3x + dx ( x + x)2 ( 2x + x + 5x + x( x + 1) ( x − 1)10 dx 3 (x )( dx x +1 dx 2 x 2dx dx ( x + 3)( x − x + 1) ) x x3 + 2 dx dx dx − 4x + x + 4x + ) 8( x3 − 1) nh 4x − x dx dx -2- Bài t p 2: Tính nguyên hàm b ng phư ng pháp ex e 2x i bi n: x dx −1 1− x ( cos x + sin x )2 dx e2 x x dx dx e +1 + sin x cos 3x dx x x2 − xdx sin(2 x + 1) sin 3 x cos3 xdx x2 ( x − 1)11 dx dx dx sinh x.cosh x x − x dx 1+ x dx 1+ x sin x dx cos x x2 + dx x dx x2 − x2 − x dx e x dx e2 x − arcsin x + x − x2 − ln x dx x dx esin x sin xdx -3Bài 3: Tính nguyên hàm b ng phư ng pháp x+2 dx e x − e dx ax + a2 x x2 1+ x x −1 x i bi n: dx xdx − x4 dx x x − e a − e a dx arcsin x 1− x dx x − arctan x + x2 dx Bài 4: Tính nguyên hàm b ng phư ng pháp tích phân t ng ph n: x arcsin xdx ln x + x + dx x sin x cos xdx x arctan xdx x2 − x + ex xdx 2 x ln xdx sin x e x sin xdx ( x2 + 5x + 6) e xdx x ex sin ( ln x ) dx dx ln x x3 xe x cos xdx dx dx -4- Bài 5: Tính nguyên hàm hàm s vô t sau: dx dx x2 + 3x + dx x2 + x ( x + 1) x − x dx x − x2 3x − x2 − x + 2x − − x − x2 dx dx xdx 5x2 − x + − x − x dx xdx x4 − x2 + cos xdx sin x − 6sin x + 12 dx e x dx x − x2 + e x + e2 x sin xdx dx x x2 + x − dx ( x − 1) x2 − cos x + 4cos x + ln xdx x − 4ln x − ln x -5Bài t p 6: Tính nguyên hàm hàm s vô t x −1 x dx x +1 x +1 dx x −1 x+3 x sau: x3dx x −1 dx x +1 + dx 2x + x +1 − x −1 dx x +1 + x −1 xdx x3 (1 − x ) Bài 7: Tính nguyên hàm hàm vô t sau: ( x + 1)3 dx x+3x x +1 + ( x + 1) xdx x+2 − x +1 dx -6dx x x + 4dx x5 x − x 2dx dx ( x + 1)3 x2 + 2x x2 + x + x5dx dx x x − x +1 x2 + x x4 + 1 − x2 dx x dx 4− x x x2 − x + ( x − 3) x − x2 x6dx dx + x2 x + k dx Bài 10: Tính nguyên hàm: cos x tan xdx tan xdx dx sin x dx dx dx sin x tan x sin x cos3 x 3sin x + 2cos x dx dx + sin x + cos x 3cos x + 2sin x − sin x + cos x dx dx + sin x − cos x sinh x cosh x dx dx 2sinh x + 3cosh x x − sin x cos3 x dx dx cos + sin x sin ( x + 1) Bài 11: Tính tích phân xác nh sau: dx sin x cos3 x sin x sin x sin 3xdx dx sin x − 5sin x cos x dx sinh x cosh x dx sinh xdx cosh x sin x cos5 x -75 x dx π π (1 + x ) dx 2cos x + ln 15 x dx (1 + x ) ex ex −1 dx ex + sin x cos xdx 2cos x + 3sin x π x + x dx dx 16 ( x + 1) x +1 + π π 2 − sin x sin x dx + ex π π x sin x dx cos3 x arctan cos3 x dx sin x Tích Phân Suy R ng Bài 1: Xét s h i t c a tích phân sau: dx +∝ 1 0 x − x2 xdx − x4 x + x5 + x dx dx dx x ( e x − e− x ) dx ln x π − x4 dx ln x +∝ dx −1 +∞ sin xdx +∞ dx sin cos x x2 + x4 + cos x dx x x dx (1 − x ) x − 1dx -8Bài 2: Tính tích phân suy r ng sau: −∝ +∞ et dt dx −∝ x + x + +∞ dx ( x + 1)( x − 2) +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ dx e x + e− x +∞ +∞ ex + ex dx dx x(ln x + 1) dx ( x − 1)( x + 2)( x + 3) +∞ (5 x − 3) dx ( x − 2)(3 x + x − 1) +∞ ( x + 1) dx x( x − 1)2 1 dx cosh ( x) xe −2 x dx +∞ dx e +1 4x dx x2 + x + +∞ x+3 dx x( x + x + 1) +∞ x2 dx x6 + x + 12 (x + 1) dx 0 +∞ +∞ dx ( x + 3) 2x dx 4x + dx ex − dx sinh x xdx 2x -9+∞ +∞ +∞ x x −1 −1 dx (1 + x) x (4 − x) − x dx x x −1 xdx x3 − 1 dx ( dx +∞ dx x2 + + x ) dx x x2 − (2 − ) x − x3 dx x3 +∞ dx ( x + x + 1)3 −∞ Bài 3: Tìm t t c giá tr α +∞ ln + e3/ x − α tích phân suy r ng sau h i t : dx ( ln + x α +∞ ex − 1 arctan x α (2 + x) dx dx x + ln(1 + x ) ) x5α ( 0 +∞ +∞ dx x + xα ( x3 − 1)α +∞ +∞ x3 + sin x ) xα ( 1 +∞ dx π α dx β sin x cos xdx α sin x eα x − + x dx cosh x − cos x π dx dx dx x α e +x x + xα x − x +1 x ) dx +∝ β xα ( − x ) dx - 10 - ng D ng Tích Phân Bài 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y = x − x Ox y = ln x, Oy, x = e x = y , y = 1, x = y = x , y = 8, x = y = x − x , y = − x x2 , y = + x2 dài ng cong: Bài 2: Tính y = x3 , x = y = xy = 4, x = 1, x = 3, y = x + y = 8, y = x (tính riêng t ng ph n) x2 y = x , y = , y = x 2 10 y = e x , y = e − x , x = 1>0 y = x , x = y = e x , x = y = ln x, x = 1 y = arcsin e− x , x = x = y − ln y, y = e Bài 3: Tính v t th cho mi n ph ng gi i h n b i ng sau quanh tr c to tư ng ng: x3 y = sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy y = ( ≤ x ≤ a ) , ox ( ) y = x2 y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy 2x + y − = Bài 5: Tính di n tích m t tròn xoay quay quanh ng sau quanh tr c tư ng ng: x3 y = ( ≤ x ≤ a ) , ox y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy - 16 - H NG D N GI I CÁC H PH ƠNG TRÌNH SAU B NG PH ƠNG PHÁP KH dx 2x y dt ,x 4x 3x dy x 2y dt dx x 6y dt ,x 22 x 20 x 6t dy 2x 3y t dt dx x et dt , dy y t dt dx x dt t ,t x 2tx x 0, 2x dy x y dt t dx dy x y cos t dt dt ,x 4x 2cos t sin t dy x y sin t dt - 17 - dx 12 x y dt , dy x 12y dt dx x y et dt dy x y e2t dt dx t y tx dt dy t y t x dt ta duoc dx dt dy dt dx dt 10 dy dt y x 0(2) Euler : t x pt x cos t x sin t 3x 4y x x 6y 12t t tx 0(1) x , thay y tu pt (1) vao pt (2) Đại lượng Cơng thức Giải thích F: lực tác dụng lên bề mặt có diện tích S N/m2 = 1Pa (Pascal) chuẩn tính tốn Áp suất F p S 1at = 9,81.104 N/m2 atm = 1,013.105 N/m2 mmHg = 133,23 N/m2 atm = 760 mmHg m: khối lượng khối khí Phương trình trạng thái khí lý pV  tưởng (KLT) m RT M M: khối lượng phân tử chất khí (trong Hóa học) R  8,31 J mol.K T  K   273  t  C  i: số bậc tự phân tử khí Nội khối KLT m i U RT M i = phân tử đơn nguyên tử i = phân tử nguyên tử, bậc tịnh tiến, bậc quay i = phân tử có  nguyên tử Q thức ăn đưa vào thể, công A phần lượng bạn hoạt động, hít thở … cịn thừa Nguyên lý ĐLH Q  U  A chuyển thành U Nhận cơng tỏa nhiệt A < 0, Q < Sinh cơng cần thu nhiệt A > 0, Q > Lúc phải thỏa Asinh  Qthu Công khối khí sinh A  pdV V2 V1 Nếu khối khí giãn nở thể tích tăng, A > 0, khối khí sinh cơng Nếu khối khí bị nén thể tích giảm, A < 0, khối khí thu cơng Cơng khối khí nhận vào, cơng cấp cho hệ A    pdV V2 V1 … Nhiệt dung riêng c dQ Q  mdT mT C dQ Q  ndT nT chất Nhiệt dung NTP Là nhiệt lượng cần truyền cho mol chất để nhiệt C  Mc riêng phân tử độ tăng lên độ n m (số mol) M Các q trình biến đổi: Đẳng tích Đẳng áp Đẳng nhiệt Đoạn nhiệt TV  1  const Tp Phương trình p  const T V  const T pV  const 1 dung riêng CV  i R  i C p  1   R  2 CT   phân tử Công A khối khí sinh Hệ số Poisson - số đoạn nhiệt: Cp Cv  1 1 i pV   const TV  1  const Tp 1   const  số đa biến   :đẳng áp   : đẳng nhiệt   k : đoạn nhiệt    : đẳng tích   C  1 V C0 C m R T1  T2  M  1  pV  p V   1 1 2 U m R T1  T2  M  1  pV  p V   1 1 2 Q  U p V2  V1  m Cv T M m C p T M A m C T M m i RT M m i RT M m i RT M m i RT M m T C ln M T1 Nhiệt Q m V RT ln M V1  const pV   const  Nhiệt  Đa biến m p RT ln M p2 Biến thiên nội U Độ biến thiên Entropy s NTP m T Cv ln M T1 m T C p ln M T1 m V R ln M V1 m p R ln M p2 So sánh độ dốc đường đẳng nhiệt đoạn nhiệt: Đẳng nhiệt : pV  const  pdV  Vdp   dp p  dV V Đoạn nhiệt: trình chất mơi giới tiến hành hồn tồn khơng trao đổi nhiệt với mơi trường bên ngồi: pV   const  p V  1dV  V  dp   dp p   dV V Vậy tan góc nghiêng đường đoạn nhiệt lớn đường đẳng nhiệt  lần Đồ thị Entropy Thấy đồ thị đường thẳng vng góc với trục s biết đoạn nhiệt, đoạn nhiệt s khơng đổi: Đẳng tích : s  m m pV Cv ln T  Cv ln (màu đỏ biến) hàm s có đồ thị theo T, p đường M M nR cong có hình dạng sau: Tương tự, đẳng áp: s  m m pV C p ln T  C p ln đồ thị M M nR Đẳng nhiệt s ~ ln V ~ ln p NTP Chu trình khép kín QH : nhiệt lượng truyền từ hệ / truyền từ bên vào hệ QL : nhiệt lượng bên hệ ngồi / nhận từ bên ngồi vào hệ Cơng chu trình: Cách 1: Act  diện tích hình cong kín (p,V) = tích phân đường Nếu chu trình thuận chiều kim đồng hồ : A > Nếu chu trình nghịch chiều kim đồng hồ: A < Cách 2: Act  thuan   QH  QL Act  nghich   QH  QL QH tổng nhiệt lượng đoạn biến đổi có nhiệt lượng Q > 0, tính theo bảng công thức số QL tổng nhiệt lượng đoạn biến đổi có nhiệt lượng Q < Hiệu suất nhiệt: chu trình thuận chiều, để đánh giá mức độ hồn thiện chu trình, người ta dùng đại lượng này: H Nhiet  Q Act QH  QL   1 H  H  QH QL QL Hệ số làm lạnh: chu trình ngược chiều, để đánh giá mức độ hồn thiện chu trình máy lạnh, người ta dùng đại lượng này:  Lanh  QL QL  , lớn Act QH  QL Hệ số bơm nhiệt: chu trình bơm nhiệt  Nhiet  QH QH  ,  Nhiet   Lanh  Act QH  QL Chu trình Carnot (nở – nở – nén – nén, đẳng trước đoạn sau) Chu trình Carnot thuận nghịch chiều: chu trình bao gồm trình đẳng nhiệt đoạn nhiệt xen kẽ nhau, có chiều chiều kim đồng hồ   Quá trình 1: Giãn nở đẳng nhiệt, chất mơi giới hồn tồn tiếp xúc với nguồn nóng, nên chất môi giới nhận nhiệt QH > từ nguồn nóng (TH = const), sinh cơng Q trình 2: Giãn nở đoạn nhiệt, chất môi giới từ nguồn nóng TH đến nguồn lạnh có nhiệt độ TL, sinh cơng NTP   Q trình 3: Nén đẳng nhiệt, chất mơi giới tiếp xúc hồn tồn với nguồn lạnh (TL = const) đồng thời nhả nhiệt lượng QL < cho nguồn lạnh, nhận cơng Q trình 4: Nén đoạn nhiệt, chất môi giới từ nguồn lạnh để trở nguồn nóng ứng với trạng thái ban đầu, nhận công  Hiệu suất nhiệt: H Nhiet  Q T Act  1 L  1 L QH QH TH o H Nhiet lớn độ chênh lệch nhiệt độ nguồn cao o H Nhiet phụ thuộc vào nhiệt độ nguồn, không phụ thuộc vào tính chất chất mơi giới o o H Nhiet  TL  TH   (điều xảy ra) H Nhiet  TL  TH hay nói cách khác có nguồn nhiệt Chu trình Carnot thuận nghịch ngược chiều: Nhận QL > 0, nhả QH < 0, QH  QL  Hệ số làm lạnh:  Lanh   Mọi tính chất hệ số làm lạnh tương tự chu trình chiều QL QL TL    Act QH  QL TH  TL TH  TL  Hệ số bơm nhiệt (hiệu suất) :  Nhiet   Nhiệt lượng truyền cho bên : QH  QL  Act QH TH   QH  QL TH  TL  TL TH Một lượng khí lí tưởng đơn nguyên tử thực chu trình biến đổi đồ thị hình sau Biết t1  270 C; V1  5lit ; t3  127 C ; V3  6lit , điều kiện chuẩn, khối khí tích V0  8,19lit Sau chu trình biến đổi, khí sinh công Đ/s: 20,26J  p0  100.10 Pa Điều kiện chuẩn :  T0  273 K Chuỗi q trình (màu đỏ có số liệu): nR      3 đẳng áp: p0V0 p1V1 p2V1 p2V3 p1V3     T2 T4 T0 T1 T3 p0V0 p2V3 T pV 400 100.103.8,19.103   p2  0   200.103  Pa  3 T0 T3 V3 T0 6.10 273 NTP    1 đẳng áp, A41   p1 V3  V1    p1 V3  V1   p1 ? p V T 100.103.8,19.103 300 p0V0 p1V1   p1  0   180.103  Pa  3 T0 V1 273 5.10 T0 T1 Cơng chu trình kín tích phân đường (diện tích) hình cong kín (p,V): Act  S1234   p2  p1 V3  V1    200  180  103    10 3  20 J Trong trình biến đổi từ (2) đến (3), khí sinh hay nhận công ? Đ/s: sinh 456J A23  p2 V3  V2   p2 V3  V1   200.103   10 3  200 J Tính nhiệt độ T4: V p1V1 p1V3   T4  T1  300  3600 K   360  273 C  870 C T1 T4 V1 Một bong bong nhỏ chứa 5mol Heli đơn nguyên tử nhúng hoàn toàn vào nước Nước tăng thêm 200C khí Heli tăng theo áp suất không đổi Kết bong bong dãn Nhiệt lượng Q cung cấp cho Heli trình dãn nhiệt độ tăng Đ/s: 2077J  i  3 Đẳng áp: C p  1   R  1   8,31  20, 775  Q  nC p T  5.20, 775.20  2077,5 J  2  2 Độ biến thiên nội Heli trình nhiệt độ tăng ? Đ/s: 1246J i Đẳng áp: U  n RT  .8,31.20  1246 J 2 Công khối khí Heli sinh để chống lại nước trình dãn nhiệt độ tăng ? A  Q  U  2277,5  1246  1031,5 J Một động làm việc theo chu trình Carnot với Kmol khí lý tưởng nguyên tử Nhiệt độ nguồn nóng 4000C nhiệt độ nguồn lạnh 200C Mỗi chu trình hoạt động 1s Áp suất cuối trình giãn nở đẳng nhiệt áp suất đầu q trình nén đoạn nhiệt Cơng suất động Đ/s: 18,4.103 kW Ta có nR  p1V1 p2V2 p3V3 p4V4    TH TH TL TL Hệ số đoạn nhiệt chu trình :    Ta có : H Nhiet   i Act T 293  1 L  1  0,565 673 QH TH Mà QH  A12  nRTH ln p V2 p V p  nRTL ln  cần tìm tỉ số  V1 p2 V1 p2 p4 1 1 Ta thấy từ (4) (1) đoạn nhiệt, TH p1   TL p4   NTP  p1  TL 1  293      p4  TH   673  7 1  18,366  Act  H nhiet QH  0,565.2.103.8,31.673.ln 18,366   18, 393.10 J Theo đề, công 1s, nên công suất P  18,393.106 W Có bình đựng chất khí, nối với ống có khóa Áp suất bình I 2.105 Pa, bình II 106 Pa Mở khóa nhẹ nhàng để hai bình thơng cho nhiệt độ khơng đổi Khi cân bằng, áp suất bình 4.105 Pa Tính dung tích bình II, biết dung tích bình I 15 lít Đ/s : lít Thấy nhiệt độ khơng đổi mà nghĩ liền p1V1  p2V2  V2  2.105 15   lit  sai Vì p1, V1 p2, 106 V2 thơng số hai khối khí riêng, có số mol khí khác khơng phải thơng số q trình khối khí Ở đây, ta dùng công thức : RT  PV PV PV PV , R T nên ta có : 1  2  3 n1 n2 n3 n Với V3  V1  V2 ; n3  n1  n2 , áp dụng tính chất phân số : P  P1 2.105 V1  V1   lit   PV 1  PV 2  P V1  V2   V2  6.105 P2  P Một động nhiệt lý tưởng chạy theo chu trình Carnot, có nguồn nóng nhiệt độ 1270C nguồn lạnh nhiệt độ 270C Hiệu suất máy ? Đ/s : 25% H Nhiet   300  0, 25  25% 400 Một khối khí Heli có áp suất, thể tích, nội p, V, U Biểu thức liên hệ chúng ? Biết Heli đơn nguyên tử Đ/s : pV  U i  U n RT n RT    2  U  PV  n  PV  RT Một khối khí Nitơ tích 8,3 lít, áp suất 15 at, nhiệt độ 270C Khối lượng khối khí ? Đ/s : 0,137kg PV  m PV 8,3.103.15.9,81.104 RT  m  M 28  137  g  M RT 300.8,31 Công thức A   pV hay A  nRT dùng để tính cơng thực q trình biến đổi đẳng áp n mol khí từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) ? Đ/s : A  nRT Biến đổi đẳng áp nên V T đổi, tăng giảm (do tỉ lệ thuận với nhau) Giả sử V tăng, tức khối khí sinh cơng (thu nhiệt bên ngồi vào) công dương, chọn công thức NTP Giả sử V giảm, tức khối khí nhận cơng bên ngồi vào để sinh nhiệt, tức công âm, chọn công thức Tính độ biến thiên Entropy 6,5g khí Hidro nung nóng từ nhiệt độ 270C đến 1270C điều kiện đẳng áp Đ/s : 27J/K  i  5 C p  1   R  1   R  R  2  2 Độ biến thiên Entropy : s  m T 6,5 400 C p ln  8,31.ln  27,19  J / K  M T1 2 300 10 Có 10kg khí đựng bình kín áp suất 107 Pa Người ta lấy lượng khí áp suất cịn 2,5.106 Pa Tính lượng khí lấy Coi nhiệt độ khơng đổi Đ/s: 7,5kg Ta lưu ý toán khí đựng bình kín, nên thể tích khơng đổi p2 2,5.106 m VM m1 m2 10  2,5  kg  pV  m1  RT     m2  107 M TR p1 p2 p1 Vậy lượng khí lấy : m  m1  m2  7, 5kg 11 Một vật có khối lượng 0,1kg đứng yên mặt bàn nằm ngang khơng ma sát Một vật khác có khối lượng, chuyển động với vận tốc 10m/s đến va chạm với vận tốc ban đầu Sau va chạm vật dính vào tiếp tục chuyển động Cả hai vật có nhiệt độ ban đầu 3000K nhiệt dung riêng 1,05.103J/kg.K Giả sử lượng nhiệt tạo thành va chạm chia cho hai vật Độ tăng nhiệt độ T hệ vật sau va chạm ? Đ/s: 1,2.10-2 (0K) Nhiệt lượng sinh phần động trước va chạm chuyển thành Tức động khơng bảo tồn, động lượng bảo toàn m.v0  2m.v1  v1  v0  5m / s Nhiệt lượng tạo thành: Q  Wd  Wd  1 mv0  2mv12  0,1.102  2.0,1.52  2,5 J 2 2 Nhiệt lượng làm tăng nhiệt độ: Q  mcT  T  Q  1,19.102  K  mc 12 Có hai bình chứa hai chất khí khác nhau, nối với ống có khóa Áp suất thể tích bình I at lít, bình II at lít Mở khóa nhẹ nhàng để bình thơng nhau, nhiệt độ khơng đổi Tính áp suất bình cân Đ/s: 2,2at RT  p1V1 p2V2 p V1  V2  p V  p2V2    p1V1  p2V2  p V1  V2   p  1  2, 2at n1 n2 n1  n2 V1  V2 13 Trong bình tích 0,25m3 chứa hỗn hợp khí carbonic nước Nhiệt độ khí 3270C Số phân tử khí carbonic nước 6,62.1021 0,9.1021 Tính áp suất 1kmol khí hỗn hợp Đ/s theo E-learning: 249N/m2 NTP nCO2  6, 62.1021  0, 011 mol  6, 022.1023 nH 2O  0,9.1021  0, 0015  mol  6, 022.1023 p  n1 8, 21  327  273 RT  0, 011  246  N / m  11 V1 50 11   VCO2 nCO2 0, 011 VCO2   m3       50 VH 2O nH 2O 0, 0015    V   m3  VCO2  VH 2O  0, 25  H 2O 100 Chênh lệch sai số lúc tính số mol Đề thừa 1kmol, đáp án sai Hoặc giải sai 14 Độ biến thiên Entropy đoạn hai trình đoạn nhiệt chu trình Carnot 1kcal/độ Hiệu số nhiệt độ hai đường đẳng nhiệt 1000C Nhiệt lượng chuyển hóa thành cơng chu trình ? Đ/s: 4,18.105 J Ta có: s12  m m V p R ln  R ln M V1 M p2 s34  m V m p R ln  R ln M V3 M p3 Mà theo đề, độ biến thiên Entropy trình đoạn nhiệt, nói đến độ biến thiên Entropy q trình đẳng nhiệt, đề khơng phân biệt giai đoạn đẳng nhiệt hết nên ta gia cát dự s12  s34  s  1 kcal /   4184  J /  Tính đáp án xem dự đốn Ta có: m V  RTH ln  s12TH  M V1    A  QH  QL  s TH  TL   4184.100  4,184.10 J V4 m QL  RTL ln  s34TL   M V3 QH  15 Cho 0,05mol Chlorine (khí lý tưởng nguyên tử) hoạt động theo chu trình hình Với thơng số trạng thái p1  p3  105 Pa; p2  5.105 Pa; V1  V2  103 m3 Độ tăng nội q trình 1-2 cơng thực khí q trình 2-3 ? Đ/s : 1000J 805J i i U12  n RT12  V1p12  103.4.105  1000 J 2 NTP   1  i Tính A cho q trình đẳng nhiệt 2-3 : A m p RT2 ln  0, 05.8,31.1203.ln  804 J M p3 p2V2 5.105.103   12030 K Với T2 tính dễ dàng từ phương trình : T2  nR 0, 05.8,31 Bonus : Giả sử 2-3 đoạn nhiệt, ta có cách tính sau : Ta có hai cơng thức để tính A cho đoạn nhiệt : A  Từ phương trình đoạn nhiệt Tp 1 1 T2 p2   T3 p3   An 1  const suy T3  p   T3     p3  m R T2  T3  A  pV  pV  M  1  1 2 3 1  2 T2  1203  7600 K R 8,31 T2  T3   0, 05 1203  760   460 J  1 1 Nếu tính theo p, V từ phương trình đoạn nhiệt pV   const , ta suy V3 : p3V3  p2V2  V3    A   p2 V2  5.10 3  3,16.10 3  m3  p3 105.3,16.103  5.105.103   460 J  / 1 Tính theo cơng thức thứ : A  U   nR T  0, 05.8, 31  760  1203   460 J 16 Một khối khí lý tưởng biến đổi theo chu trình ABCD AB CD hai q trình đẳng áp, cịn BC DA hai q trình đoạn nhiệt Biết nhiệt độ TA, TB, TC, TD số mol x Hiệu suất chu trình ABCD là? Đ/s: H Nhiet   Ta có: H Nhiet  TC  TD TB  TA Q Act QH  QL   1 L QH QH QH Với: QAB  nC p TB  TA    QH  QAB QCD  nC p  TD  TC    QL  nC p TC  TD   H  1 NTP TC  TD TB  TA 17 Một động nhiệt có tác nhân mol khí lý tưởng hoạt động theo chu trình bên (quá trình 2–3 : đoạn nhiệt, 3–1 : đẳng áp) Hiệu suất động theo p, p’, V, V’,  ? Đ/s:   p V  V   V  p  p  Ta có: H Nhiet  Q Act QH  QL   1 L QH QH QH Với: Q12  nCv T2  T1    QH  Q12 Q31  nC p  T1  T3    QL  nC p T3  T1  p V   V  C p T3  T1 p V   V  p V  V   nR  H  1  1   1   1  V  p  p  Cv T2  T1 V  p  p  V  p  p  nR 18 Cho hệ lúc đầu có số mol x = 1mol, thể tích V1 = 22,4 lít, nhiệt độ 270C Lúc sau, V2  2V1 Hằng số tự i = Công hệ trường hợp đẳng nhiệt ? Đ/s: A = – 1727,6J Do đẳng nhiệt nên để tăng thể tích ta có dùng cơng để nâng piston lên, tức hệ nhận cơng khối khí không tự sinh công A  nRT ln V2  1.8,31.300.ln  1728 J V1 Công nhiệt độ giai đoạn sau hệ trường hợp đoạn nhiệt ? Đ/s: A = – 1516J T = 2270K Đoạn nhiệt nhiệt lượng khơng trao đổi với bên ngồi, nghĩa khơng cung cấp nhiệt lượng cho hệ Vậy để thể tích tăng đoạn nhiệt tác động cơng từ bên ngồi trường hợp đẳng nhiệt n p1V1 p2V2 1.8, 31.300   p1   111294 Pa 22, 4.10 3 RT1 RT2   1  i V  p1V1  p2V2  p2    p1  111294  42173Pa  V2  25  A   1  p1V1  p2V2    111294.22, 4.103  42173.22, 4.103.2   1509 J  1 1  1 Nhiệt độ T2: T2V2 NTP  TV 1  1 V   T2     V2   1  5 T1    300  227, 30 K 2 1 Hoặc tính theo n p2 tìm trước đó: T2  p2V2 42173.22, 4.103.2   227,30 K nR 1.8,31 19 Một kilomol oxy hơ nóng đẳng tích, nhiệt độ tuyệt đối tăng lên 1,5 lần Độ biến thiên Entropy trình ? Đ/s: 8400J/K Ta có Cv  s  i R  8,31  20, 775 2 m T CV ln  103.20, 775.ln1,5  8423  J / K  M T1 20 Một mol khí Oxy coi khí lý tưởng giãn đẳng nhiệt 370C từ 12 lít đến 19 lít Tính cơng khí sinh q trình Đ/s: 1184J A m V 19 RT ln  1.8, 31.310.ln  1183,8 J M V1 12 21 Có 1g Oxy áp suất 3at sau hơ nóng đẳng áp chiếm thể tích lít Coi khí Oxy lý tưởng, tìm nhiệt độ sau hơ nóng Đ/s: 1133K n m  mol M 32 p1V1 p2V2 p2V2 3.9,81.104.103   T2    1133, 280 K n nR RT1 RT2 8,31 32 22 Entropy mol khí lý tưởng gia tăng 23J/K giãn nở đẳng nhiệt Khi thể tích khối khí tăng lên lần ? Đ/s: lần s V V s  nR ln   e nR  e 4.8,31  1, 99758 lần V1 V1 23 23 Một tủ lạnh gia đình có hiệu suất 4,7 lấy nhiệt từ buồng lạnh chu trình 250J Cần cơng chu trình để tủ lạnh hoạt động Đ/s: 53J  Nhiet  QH 250  Act   53J Act 4, 24 Một chậu đồng có khối lượng 150g chứa 220g nước 200C Một đồng có khối lượng 300g nhiệt độ cao rơi vào chậu nước, làm cho nước sôi biến 5g nước thành Nhiệt độ cuối hệ 1000C Nhiệt độ ban đầu đồng độ biến thiên Entropy hệ ? Biết nhiệt dung riêng đồng 390J/kg.K, nhiệt dung riêng nước 4200J/kg.K, nhiệt hóa nước 2,3.106J/kg Đ/s: 11460K 136J/K Chú ý : Hệ trung hòa đồng, thau đồng, nước 1000C Giai đoạn – Nước tăng nhiệt độ từ 200C đến 1000C: Q1  mcT  220.10 3.4200.80  73920 J Giai đoạn – Nhiệt lượng để nước hóa hơi, nhiệt tỏa đồng cung cấp: NTP Q2  m.L  5.103.2,3.106  11500 J Nhiệt lượng làm cho chậu đồng 150g tăng lên đến 1000C: Q3  mcT  150.103.390.80  4680 J Vậy tổng nhiệt lượng trình này: Q  73900  11500  4680  90080 J Đây nhiệt lượng đồng nóng truyền lại  T  90080 Q   7700 K mc 300.103.390 Nhiệt độ ban đầu đồng nóng: T  373  770  11430 K Độ biến thiên Entropy : Do khơng phải chu trình khí nên ta dùng công thức tổng quát: ds  dQ T Đối với nước: Giai đoạn (thu nhiệt vào): Q1  mcT  dQ  mcdT (do T đổi nên lấy dT): s1  mc  373 293 373 dT  mc  ln T 293  220.103.4200  ln 373  ln 293  223  J / K  T Giai đoạn (thu nhiệt vào): Q2  mL  dQ  Ldm (do m đổi nên lấy dm, T = 373 không đổi): Ở bắt đầu có hướng: s2  L 0,005 L 0,005 2,3.106 dm  m  0, 005  31 J / K  T 0 T 373 Đối với đồng: Độ biến thiên Entropy đồng nóng (tỏa nhiệt ra): đổi T nên lấy theo dT: s3  mc  373 1143 dT 373  mc  ln T 1143  300.103.390  ln 373  ln1143  131 J / K  T Độ biến thiên Entropy thau đồng (thu nhiệt vào): s4  mc  373 293 dT 373  mc  ln T 293  150.103.390  ln 373  ln 293  14  J / K  T s   si  223  31  131  14  137  J / K  i0 NTP ... t y t x dt ta duoc dx dt dy dt dx dt 10 dy dt y x 0(2) Euler : t x pt x cos t x sin t 3x 4y x x 6y 12t t tx 0(1) x , thay y tu pt (1) vao pt (2) Đại lượng Cơng thức Giải thích F: lực tác dụng...  S1234   p2  p1 V3  V1    200  180  103    10 3  20 J Trong trình biến đổi từ (2) đến (3), khí sinh hay nhận công ? Đ/s: sinh 456J A23  p2 V3  V2   p2 V3  V1   200.103... nRT dùng để tính cơng thực q trình biến đổi đẳng áp n mol khí từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) ? Đ/s : A  nRT Biến đổi đẳng áp nên V T đổi, tăng giảm (do tỉ lệ thuận với nhau) Giả sử V