Chương 3: Tích phân bất định | Toán cao cấp 2

Slide 1 Tích phân bất định Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1 Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi.

Tích phân bất định Bảng tích phân hàm  1 x  dx  tan x  C  x dx   C ,    cos x  1 1  dx  cot x  c x dx ln x  C sin x x 1 x a x  2 dx  a arctan a  C a dx  ln a  C a x sin xdx  cos x  C cos xdx sin x  c 1 xa  2 dx  2a ln x  a  C a  x dx x sin x ln tan  C dx x  cos x ln tan     C   Tích phân bất định Bảng tích phân hàm x  2 dx arcsin a  c a  x  x a dx ln x  x a  C 2 a x x a  x 2 a  x dx  arcsin  C  a dx thx  C  ch x shxdx chx  C dx chxdx chx  C   cthx  C sh x Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) hàm khả vi có hàm ngược t= φ-1(x) ta có f ( x)dx f ( (t )) (t )dt Nếu nguyên hàm f(φ(t))φ’(t) G(t) 1 f ( x ) dx  G ( t )  C  G (  ( x))  C  Ví dụ: Tính tích phân I1   x dx Đặt x = sint dx cos tdt   x cos t  t arcsin x  sin2 t  x  x  I1 cos tdt  cos 2t 1 arcsin x x  x  dt  t  sin2t  C   C 2 4 Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx giả sử f ( x)dx g ( ( x )) ( x)dx với g ( x)dx G ( x)  C Thì f ( x)dx G ( ( x))  C dx Ví dụ: Tính I  x2  a2 x Đặt u   du  dx  dx adu a a adu 1 x I2    arctan u  C  arctan  C a a a u 1 a Tích phân bất định Ví dụ: Tính I e x  e x dx 2udu Đặt u   e  e u   e dx 2udu  dx  u 4 2udu 2 I (u  4)u 2u du  u  C  (e x  4)3  C 3 u 4 dx Ví dụ: Tính I  x 1 x dx 1  x  I  x x  x  x  dx dx  J (2  1) 1  2 x x du dx du ln(2  1) x x 2 dx  J  x   Đặt u = +1  ln u ln ln 2 1 x ln(2  1)  I x  C ln x x x Tích phân bất định Phương pháp tích phân phần: Định lý: Cho hàm u(x), v(x) khả vi u(x), v’(x) có nguyên hàm (a,b) Khi hàm u’(x), v(x) có nguyên hàm (a,b) ta có u( x)v( x)dx u ( x)v( x)  u ( x)v( x)dx Đẳng thức tương đương với: u( x)v( x)  u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) Đẳng thức hiển nhiên theo công thức đạo hàm tích Ta cịn viết CT dạng udv uv  vdu Tích phân bất định Ví dụ: Tính I arcsin xdx Đặt u=arcsinx, dv=dx I udv uv  vdu  x arcsin x  xd (arcsin x ) d (1  x )  x arcsin x    x arcsin x    x2  x2 xdx  x arcsin x   x  C Ví dụ: Tính I x ln xdx Đặt x dx  dx3 du , v ln x x3 ln x x3 x3 ln x x2 x3 ln x x3 I6    d (ln x)    dx   C 3 3 Tích phân bất định 2x I  x Ví dụ: Tính  e dx 2x 2x  de Đặt u=x , dv=e dx 2 2x e2 x e2 x x e 2x I7  x   d(x )   xe dx Tương tự: 2 2 2x 2x 2x 2x 2x   x e xe 2x x e xe e     e dx     C 2 2   Ví dụ: Tính I x cos xdx Đặt u  x , dv cos xdx d (sin x ) 2 I  x sin x  sin xd ( x )  x sin x  2 x sin xdx  x sin x  x cos x  cos xdx  x sin x  x cos x  2sin x  C Tích phân bất định Tích phân phân thức đơn giản lọai 1: b d x  M M M a b dx    x   k a a (ax  b) k a  k b x a       1 k C Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c tam thức bậc khơng có nghiệm thực Mx  N dx  k (ax  bx  c) Thêm bới để tử số thành đạo hàm mẫu số cộng số Mb (N  ) dx a M (2ax  b)dx    k  k 2 2a (ax  bx  c) b b b  k a  x  x  c  2 a 4a 4a   Tích phân bất định Mb (N  ) dx a M (2ax  b)dx    k  k 2 2a (ax  bx  c) b b b  k a  x  x  c  2 a 4a 4a   Thêm bớt để mẫu số có dạng u2+a2 Mb  b  (N  )d  x   a 2a   M d (ax  bx  x)    k k 2a (ax  bx  c) 2   b b  k  a  x   c   2a  a   du du Ta đựơc tổng dạng  k ,  u (u  a ) k Tích phân bất định 2x  dx Ví dụ: Tính I  x  x 1 Tách tử số thành tổng đạo hàm mẫu số số để chia hàm thành tổng hàm với hàm thứ có mẫu số tách thành tổng bình phương nhị thức số 2d ( x  ) ( x  1)dx I    x  x 1 2  (x  )  ( )  2   2x 1 ln( x  x  1)  arctan C 3 Tích phân bất định 2x  Ví dụ: Tính I8  dx x  5x  6x 2x  a b c Giả sử :    x  5x  x x x  x   x  a( x  2)( x  3)  bx( x  3)  cx( x  2) Ta chọn giá trị đặc biệt   x  :   b  b  x 0 :  6a  a  2 x 3 : 3c  c 1  dx  dx dx I    2x 2( x  2) x 1 1  ln x  ln x   ln x   C 2 Tích phân bất định x3  x  Ví dụ: Tính I  dx x  5x  22 x  19   I  x    dx x  5x    22 x  19 a b Giả sử:   ( x  1)( x  4) x  x  Cho x = -1, bỏ (x+1) mẫu số VT giữ lại số hạng chứa (x+1) VP a = - Cho x = -4, bỏ (x+4) mẫu số VT giữ lại số hạng chứa (x+4) VP b = 23 1 23 I ( x  5)dx   dx   dx x 1 x4 x   x  ln x   23ln x   C Tích phân bất định Tích phân số hàm vô tỉ ax  b )dx cx  d ax  b Đặt: n t 1.f cx  d Để đưa thành hàm hữu tỉ ( x, n x  dx I11  x  ( x  1)3 x   t dt Đặt: t  Ta được:  x   , dx  x t 1 (t  1) 4   6t dt (t  1)3 t t 3 I11 t  t (t  1)dt      C  (t  1) 7 4 Ví dụ: Tính   x 1   x 1        C  x  1  x  1 Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I11  x  3( x   1) Đặt: t  x   x t  3, dx 4t 3dt 4t 3dt  I11  t (t  1)   I11 4    dt  t  1 4t  4ln t   C 4 x   ln x 3  C Tích phân bất định Ví dụ : Tính I12 1 x x dx x 1 x 1t 4tdt Đặt: t   x , dx  x 1 1 t (1  t )  I12 4t dt       dt 2 2 (1  t )(t  1)  1 t 1 t 1 t  ln t   ln  t  2arctan t  C ln x 1  x  x  2arctan C x 1 x 1  x  Tích phân bất định b 2.f ( x, ax  bx  c )dx Đặt u  a ( x  2a ) Đưa tam thức bậc dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 dùng cách đổi biến cụ thể: a Dạng u2+a2: đặt u=a.tant u=a.cotant b Dạng u2-a2: đặt u=a/cost u=a/sint c Dạng a2-u2: đặt u=a.cost u=a.sint Ví dụ: Tính I13  I13  d ( x  1) ( x  1)  22 dx x2  x  ln ( x  1)  ( x  1)  22  C Tích phân bất định Ví dụ: Tính I14  Đặt x   cos u I14 x  1dx x sin udu dx sin udu x  tan u, dx  ,  cos u cos u x tan u.sin u.du  tan udu (tan u  1)du  du cos u  cos u tan u  u  C   u C cos u 1  x   arccos  C x x Tích phân bất định Trường hợp cụ thể, nên nhớ cách riêng sau mx  n dx  Tính hàm hữu tỉ ax  bx  c Ví dụ: Tính I15  ( x  4)dx  x  x2 d ( x  )  ( x  1) dx I15     2  x  x 2  ( x  )2 d (x  )  d (2  x  x )     2 ( )2  ( x  )2  x  x2 2 x 1   x  x  arcsin C 2 Tích phân bất định Tích phân hàm lượng giác f (cos x,sin x)dx a Nếu f(-sinx,cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=cosx b Nếu f(sinx,-cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=sinx c Nếu f(-sinx,-cosx) = f(sinx,cosx): đặt t=tanx d Tổng quát: đặt t=tan(x/2) x 2dt 1 t2 2t t tan  dx  ,cos x  ,sin x  2 1 t 1t 1 t2 dt t t tan x  dx  ,sin x  ,cos x  1 t 1 t2 1 t2