Bài tập môn Toán cao cấp 2

GV biên soạn ThS Nguyễn Thanh Hà Trang 1 CHƢƠNG 1 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1 Tìm các giới hạn sau 1) 364 8 lim 4x x x   2) 2 1 lim 3 x x x x         3) 0 lim x x x  4) 0 5 2.

CHƢƠNG 1: GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Tìm giới hạn sau: 1) lim x 64 x 8 x 4 5x  x 4) lim x x0  3x  x 1  2) lim   x  x    x2  x  e2 x 5) lim x 0  x  e x 1  e x  Tìm a để hàm số f ( x)   x a  3) lim x x x 0 x3  6) lim x 1 x 1 x  liên tục x = x   x  3x x   Tìm m để hàm số f ( x)   x  x liên tục điểm x = 2 x  m x   GV biên soạn: ThS Nguyễn Thanh Hà Trang CHƢƠNG 2: ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN  e3x  e x  4x  Cho f (x)   x2 4  x0 x 0 Xét tính liên tục khả vi f(x) x = Tính f’  (1  x)50  x   Xét hàm số f(x) =  x a x   a) Tìm a để hàm số f(x) liên tục x = b) Với a vừa tìm, tính f ’(0) Viết khai triển Maclaurin f(x) = ln(2 – x) đến x2 Viết khai triển Taylor hàm y = x lân cận điểm x0 = đến bậc Một doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm với hàm cầu P  222  1,5Q hàm chi phí TC = Q3  3Q2  132Q Tìm Q để lợi nhuận doanh nghiệp đạt tối đa Cho hàm chi phí TC = 0,1Q2 +3Q + Tại mức sản lƣợng Q = 1000, doanh nghiệp sản xuất thêm sản phẩm tốn thêm chi phí bao nhiêu? GV biên soạn: ThS Nguyễn Thanh Hà Trang CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Xét hội tụ hay phân kì của:    dx xdx ln x 1)  x 2)  dx 3)  x x2  e 1  4)  x2  dx 10  x  1 5) x dx  2x  e  x , x   Cho f  x    Tính , x    x 1 GV biên soạn: ThS Nguyễn Thanh Hà   f  x dx Trang CHƢƠNG 4: HÀM NHIỀU BIẾN Tìm y’(0) biết x  e y  e2 y Phƣơng trình y = 2x + 3lny xác định hàm ẩn y = f(x) Tính Cho hàm z = z(x, y) xác định từ phƣơng trình dy dx z x  ln    z y Tính dz(1, 1) x = 1, y = z = Cho hàm số z = f(x,y) thỏa mãn: y + x2 + 2z = ez Hãy tính z z , ? x y Tìm đạo hàm riêng vi phân tồn phần cấp 1, cấp hàm f (x, y)  x y  x y Tìm cực trị f(x,y) = x + y với điều kiện x  y  Tìm cực trị hàm a) f(x, y) = x2 + 2y2 – 2x + y – b) f(x, y) = x  3xy2  15x  12y 8 c) f(x,y) = xy   x y x2  y Cho hàm số f(x,y) =  sin(2t)dt Tìm biểu thức df (1,0) Cho f  yz df , x  et , y  ln t , z  t  Tính (1) x dt 10 Cho u  x3  y3 , x  t  s , y  t  s Tìm u u , t s 11 Cho hàm số f(u,v) = u.euv với u = x2y, v = x – y2 Tìm biểu thức 12 Cho f  ln(e x  e y ) y  x3  x Tính f f ; x y f df dx x 13 Một công ty sản xuất loại sản phẩm kết hợp với hàm tổng chi phí: TC = 3Q12 + 2Q1Q2 + Q22 + 10 (Qi sản lƣợng sản phẩm thứ i, i = 1,2) GV biên soạn: ThS Nguyễn Thanh Hà Trang Với giá bán sản phẩm thứ 160$ giá bán sản phẩm thứ 120$ Hãy xác định sản lƣợng sản xuất loại sản phẩm để thu đƣợc lợi nhuận tối đa? 14 Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm kết hợp với hàm tổng chi phí: TC = Q12 + 2Q1Q2 + Q22 + 20 Biết hàm cầu hai loại sản phẩm thị trƣờng là: Q1 = 25 – 1/2P1 Q2 = 30 – P2 Hãy xác định sản lƣợng sản xuất giá bán loại sản phẩm thị trƣờng để thu đƣợc lợi nhuận tối đa? GV biên soạn: ThS Nguyễn Thanh Hà Trang CHƢƠNG 5: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải pt sau: 1) x2 y dx  dy  1 x y 2 2) (1  e2 x ) y dy  e x dx, y(0)  x y x y 3) ( x2  xy)dx  xydy  4) y '  y  3x, y(1)  x 7) xy ' y  x2 cos x 6) y ' y cot x  x sin x 5) y ' Giải pt sau: 1) y '' y ' y  0, y(0)  2, y '(0)  3) y '' y '  0, y(0)  0, y '(0)  1 5) y '' y ' y  xe x GV biên soạn: ThS Nguyễn Thanh Hà 2) y '' y  0, y(0)  0, y '(0)  4) y '' y ' y  e x (2 x 1) Trang