Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1 Hàm số và giới hạn Bảng biến đổi lũy thừa ( ) 1 1 m m n m n m n n n m m n n n m n mn n n x x x x x x x x x x x x x x + − − = = = = = = 1 Hàm tuyến tính y bmx= + Dạng 1 Cho công thức tìm Hệ s.
Chương 1: Hàm số giới hạn Bảng biến đổi lũy thừa: x m x n = x m+ n ( ) xm n n = x m n x=x n xm = x m−n n x = x−n n x n xm = x m n 1/ Hàm tuyến tính y = mx + b Dạng 1: Cho cơng thức tìm Hệ số góc, giao trục Ox, Oy, MXĐ, MGT, biến thiên Hệ số góc là: m Giao điểm với trục Ox: Cho y=0 giải x=x0 Suy giao điểm với trục Ox (x0; 0) Giao điểm với trục Oy: Cho x=0 giải y=y0 Suy giao điểm với trục Oy (0; y0) Miền xác định hàm tuyến tính R Miền giá trị hàm tuyến tính R Biến thiên: +hệ số góc m>0: Hàm số đồng biến R (hàm số tăng) + hệ số góc m y=4 Suy giao điểm với trục Oy (0; 4) +Hệ số góc m=-0,2 Phương án C Dạng 3: Tìm hệ số góc đường thẳng qua điểm A ( x1, y1 ) B ( x2 , y2 ) Hệ số góc: m = y2 − y1 x2 − x1 2/ Hàm mũ Logarit Công thức hàm mũ: y = a ( b ) x Cho trước x, yêu cầu tìm y Cho trước y, yêu cầu tìm x (logarit) Ví dụ 1: Dân số Tulsa năm 2000 382872 người Từ năm 2000, dân số Tulsa giảm với tỉ lệ 2.6% năm Khi đó, mơ hình dân số Tulsa theo thời gian t năm kể từ năm 2000 (năm 2000 ứng với t = 0) là: P(t) = 382872 (1 – 2.6%)t Dân số Tulsa vào năm 2018 người? A 271844 người B 294200 người C 238295 người D 220187 người Giải P(t) = 382872(1-2,6%)t Dân số năm 2018, nghĩa hỏi P Vì năm 2000 ứng với t = nên năm 2018 ứng với t = 18 Tìm P(18) = 382872(1-2,6%)18 238295 người Chọn phương án C Ví dụ 2: Dân số thành phố A năm 2000 178238 người Từ năm 2000, dân số thành phố A tăng với tỉ lệ 2.2% năm Khi đó, mơ hình dân số thành phố theo thời gian t năm kể từ năm 2000 (năm 2000 ứng với t = 0) là: P(t) = 178238 (1 + 2.2%)t Sau năm kể từ năm 2000 dân số thành phố A gấp đôi dân số năm 2000? A 30 năm B 33 năm C 31 năm D 32 năm Giải Yêu cầu tìm t để dân số P gấp đơi dân số năm 2000 Cho P(t) = 2*178238 178238 (1 + 2,2% ) = *178238 t 178238 (1 + 2,2% ) − *178238 = t Shift CALC Ra t = 31,852 32 năm Chọn phương án D 3/ Lãi kép Cơng thức: Ví dụ 1: Giả sử người gửi 6000$ vào ngân hàng, hưởng lãi suất 7%/năm Nếu người gửi theo hình thức lãi kép, ghép lãi hàng quý sau năm, số tiền gốc lẫn lãi có tài khoản là: A 7919.58$ B 8254$ C 7770.71$ D 4545.7$ Tóm tắt P = 6000$ r = 7%/năm t = năm m = (ghép lãi quý nghĩa năm lấy lãi lần) Số tiền gốc lẫn lãi có tài khoản là: A (đề hỏi) Giải: r A = P 1 + m mt 7% = 6000 1 + 44 = 7919,58$ Chọn phương án A Ví dụ 2: Bạn muốn có 6000$ để mua ô tô sau năm Bây giờ, bạn nên gửi ngân hàng để đạt mục tiêu trên? Biết lãi suất ngân hàng 6.5%/năm bạn dự định gửi theo hình thức lãi kép với kỳ hạn ghép lãi hai tháng A 4632.78$ B 4545.7$ C 4361.52$ D 7770.71$ Tóm tắt A = 6000$ (số tiền muốn có tương lai) t = năm r = 6.5%/năm m = lần/năm (ghép lãi tháng nghĩa năm có lần ghép lãi) Hỏi Bây giờ, bạn nên gửi ngân hàng (Hỏi P = ?) Giải mt r 6,5% A = P 1 + 6000 = P 1 + m 6000 P= = 4632,78$ 64 6,5% 1 + 64 Chọn phương án A 4/ Hàm bậc hai Lý thuyết: h=− b 2a −b Thay x0 vào công thức hàm số 2a + Khi a>0, hàm số có giá trị nhỏ x0 = y = f ( x ) ta có giá trị nhỏ f ( x0 ) + Khi a>0, hàm số có giá trị lớn x0 = −b Thay x0 vào công thức hàm số 2a y = f ( x ) ta có giá trị lớn f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm doanh thu: R(x) = x(75 – 3x) Giá trị x để doanh thu đạt tối đa là: A x = 12,5 B x = 25 C x = D x = 15 Giải R ( x ) = x ( 75 − 3x ) = −3x + 75 x (hàm bậc 2) Cách 1: Sử dụng máy tính (nếu được) Máy casio 570 VN PLus Mode 5, chọn (giải phương trình bậc 2) Nhập hệ số trước x2, trước x hệ số tự (nếu số hạng hệ số 0) Bấm dấu ‘=’ xuất x_value maximum (hoặc minimum) (với x_value maximum đề hỏi doanh thu tối đa) Ra được, x_value maximum 12,5 Như giá trị x để doanh thu đạt tối đa 12,5 Doanh thu tối đa là: y_value maximum 468,75$ Cách (Nếu bấm máy không được) R ( x ) = x ( 75 − 3x ) = −3x + 75 x a hệ số trước x2, b hệ số trước x Hệ số trước x2 -31, thay f(x) cơng thức (1) x →1 để tìm giới hạn bên phải) x2 − x + lim+ f ( x ) = lim+ = − x→1 x→1 x3 − (bam may voi x = 1,0001 1) + Và lim− f ( x ) (khi x tiến tới 1- nghĩa xm=11/3 Q2 Suy hàm doanh thu R ( Q ) = 1000Q − 3/ Tìm tích phân xác định Định lý thứ giải tích: b f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) với F(x) nguyên hàm f(x) a b Hoặc F ' ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Ví dụ 1: (cận số cụ thể) e Giá trị tích phân ln x + dx là: x A e-1 B C e2-1 D 3/2 Giải: Dùng máy tính để tính tích phân Do chọn phương án D Ví dụ 2: (cận có chứa tham số) m Giá trị I = ( − x ) −5/3 dx, m là: A I = 10 (8 − 2m )−8/3 − 384 B I = − C I = 10 (8 − 2m )−8/3 + 384 −3 (8 − 2m )−2/3 + 16 ta kết là: 3/2 D I = 3 (8 − 2m )−2/3 − 16 Giải: Cho m số nằm khoảng từ đến (do đề cho điều kiện m, không cho ta chọn tùy ý) Chọn m=2 Sử dụng máy tính tính tích phân I = ( − x ) −5/3 dx Ta I = 0,1101376 Thay m=2 vào phương án, ta được: Phương án A: 0,06966 Phương án B: -0,06966 Phương án C: -0,1101376 Phương án D: 0,1101376 Do đó, ta chọn phương án D 4/ Tìm tích phân xác định (bài tốn thực tế) Ví dụ 1: Một nhà sản xuất ước tính tốc độ thay đổi lợi nhuận P ứng với mức sản lượng x sản phẩm P ' ( x ) = 100x−1/2 − 0,4 x (đô la/sản phẩm) Biết nhà sản xuất lợi nhuận 520 đô la mức sản lượng 16 sản phẩm Lợi nhuận ứng với mức sản lượng 25 sản phẩm là: a 126,2 đô la b 393,8 đô la c 646,2 đô la d 1166,2 đô la Giải Lợi nhuận mức 16 sản phẩm P(16) Lợi nhuận mức 25 sản phẩm P(25) Ta có chênh lệch lợi nhuận mức 25 sản phẩm so với lợi nhuận mức 16 sản phẩm là: P ( 25) − P (16 ) = 25 P '( x ) dx (Định lý thứ giải tích) 16 25 = (100 x −1/2 ) − 0,4 x dx ( Bam may ) 16 = 126,2 Mà P(16) = 520 la (đề cho) Do P ( 25) = P (16 ) + 25 P '( x ) dx = 520 + 126,2 = 646,2 đô la 16 Chọn phương án C Ví dụ 2: Sau t tháng, số lượng người lần đầu đăng kí kênh youtube giáo viên dạy tiếng Anh tăng với tốc độ N ' ( t ) = 60t + 231t1/2 + 145 người tháng Nếu số người đăng kí 27000 người số người lần đầu đăng kí sau 12 tháng bao nhiêu? a 12462 người b 14538 người c 41538 người d 39462 người Giải Số người đăng ký N(0) Đề hỏi số người đăng ký sau 12 tháng nghĩa hỏi N(12) Áp dụng giống ví dụ 1, ta có: 12 N (12 ) − N ( ) = N ' ( t ) dt 12 N (12 ) = N ( ) + N ' ( t ) dt 12 = 27000 + ( 60t + 231t = 27000 + 12462 = 39462 Chọn phương án D Bài tập làm thêm: 1/2 ) + 145 dt 120 + 12 t2 con/phút, sau t phút tính từ thời điểm Số lượng vi khuẩn tăng thêm bao nhiều từ sau phút thứ 60 sau phút thứ 120? Bài Số lượng vi khuẩn mẩu bánh mì tăng với tốc độ P’ ( t ) = 40t + Bài Người ta ước tính rằng, sau t tháng tính từ thời điểm tại, dân số thành phố A tăng với tốc độ P’ ( t ) = 1000 + 5t người tháng Sau tháng kể từ thời điểm tại, dân số thành phố A tăng thêm người? Bài Doanh thu biên bán x đơn vị sản phẩm 12 − 0.0004x (dollar đơn vị sản phẩm) Tìm doanh thu bán 5000 đơn vị sản phẩm Bài Tốc độ gia tăng tổng tài sản công ty f (t ) = 9000 + 2t (dollar/năm) Tính tổng tài sản công ty sau bốn năm hoạt động biết tài sản ban đầu công ty 10000 dollar 5/ Định lý thứ giải tích x Cơng thức: g ( x ) = f ( t ) dt (Hàm f(t) thỏa mãn điều kiện định lý) a Khi đó, g ' ( x ) = f ( x ) Công thức 2: g ( x ) = u( x ) f ( t ) dt a Khi đó, g ' ( x ) = f ( u ( x ) ).u ' ( x ) Ví dụ: x Cho hàm số g ( x ) = t ln tdt với x>e Đạo hàm g’(x) là: e Ta có f ( t ) = t ln t Do g ' ( x ) = f ( x ) = x2 ln x Ví dụ 2: dg = g ' ( x ) biết g ( x ) = Tìm dx ex t − dt Giải Hàm g(x) có dạng g ( x ) = u( x ) f ( t ) dt với u(x) = ex a Do đó, Ta có ( ) ex g ' ( x ) = f ( u ( x ) ) u ' ( x ) = e ' = 2x x e −1 e −1 ( ) x t −1 u ( x) = ex f (t ) = Ví dụ 3: x ( ) Cho g ( x ) = t + dt Giá trị g(4) là: ( ) g ( ) = t + dt = 74 6/ Tích phân suy rộng loại Dạng 1: Xét hội tụ tích phân tính giá trị Lý thuyết: a t f ( x ) dx = lim f ( x ) dx t → a b − b f ( x ) dx = lim f ( x ) dx t →− t Tích phân hội tụ giới hạn hữu hạn (nghĩa giới hạn tiến số cụ thể) Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ dx Phát biểu sau đúng? x Ví dụ: Cho tích phân I = a Tích phân hội tụ giá trị tích phân I = b Tích phân phân kỳ c Tích phân hội tụ giá trị tích phân I = 1/4 d Tích phân hội tụ giá trị tích phân I = 1/2 Giải: Đầu tiên, sử dụng máy tính, tính tích phân I với cận 99 99 Ta I = 1 x5 dx = 0,249999 0,25 = 999 Sau ta cho cận 999, I = 1 dx = 0,25 = x5 Do tích phân hội tụ giá trị tích phân ¼ Giải theo tự luận (Nếu lỡ máy tính chạy q lâu mà khơng kết quả) t dx dx dx Do tích phân I = có cận vơ nên ta có I = = lim x t → x x 1 t Bước 1: Tính tích phân dx x5 t dx x −4 t −4 1−4 1 −5 = x dx = = − = − + x5 − − − 4 t 1 t t Bước 2: Tìm giới hạn 1 lim − + = t → 4t 4 Bước 3: Kết luận Tích phân I hội tụ giá trị I ¼ Lưu ý: Khi tính tích phân mà số lớn, tăng ta thay cận số lớn nghĩa tích phân phân kỳ Dạng 2: Tìm tích phân hội tụ (hoặc phân kỳ) Cách làm Ví dụ: Các tích phân sau hội tụ hay phân kỳ? a) I = 1 dx 2x + 99 Đầu tiên ta cho cận 99, bấm máy I = x + dx = 24,004 999 Tiếp theo cho cận 999, I = dx = 117,455 2x + Nhận thấy cận ngày lớn (tiến vơ cùng) giá trị tích phân ngày lớn Do đó, tích phân I phân kỳ b) J = e dx x − Đầu tiên ta cho cận -99, bấm máy I = e dx = x −99 Tiếp theo cho cận -999, bấm máy I = e x dx = −999 Do tích phân J hội tụ giá trị tích phân J Sinh viên tự kiểm tra tính hội tụ tích phân sau cách bấm máy tính a) d) x b) dx x − dx ( x + 1)3 dx e) e dx 0 g) −x xe dx − c) − xdx − f) 2x −0,3dx h) dx x ln x e x i) dx x ln x e 7/ Tích phân suy rộng loại 2: Dạng 1: Xét hội tụ tích phân tính giá trị Lý thuyết: b a b a t f ( x ) dx = lim− f ( x ) dx (Hàm số f(x) bị gián đoạn cận b) t →b a b f ( x ) dx = lim+ f ( x ) dx (Hàm số f(x) bị gián đoạn cận a) t →a t Tích phân hội tụ giới hạn hữu hạn (nghĩa giới hạn tiến số cụ thể) Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ Ví dụ 1: Cho tích phân I = ln xdx Phát biểu sau đúng? a Tích phân hội tụ giá trị tích phân I = b Tích phân phân kỳ c Tích phân hội tụ giá trị tích phân I = -1 d Tích phân hội tụ giá trị tích phân I = Giải Đầu tiên ta cần xác định hàm dấu tích phân bị gián đoạn cận Hàm dấu tích phân f ( x ) = ln x Hàm f(x) bị gián đoạn x=0 (cận dưới) Do đó, ta chọn cận số gần với phải lớn (nghĩa số phải nằm phạm vi từ đến 1) Ta chọn số 0,0001 Tích phân ln xdx = −0.99897 −1 0,0001 Ta chọn số nhỏ 0,00001 Tích phân ln xdx = −0.999897 −1 0,00001 Vậy tích phân I hội tụ giá trị tích phân -1 Ví dụ 2: Cho tích phân I = 1 dx 2− x Hàm dấu tích phân f ( x ) = bị gián đoạn x=2 (cận trên) 2− x Do đó, ta chọn cận số gần với nhỏ (nghĩa số phải nằm phạm vi từ đến 2) 1,999 Ta chọn số 1,999 Tích phân 1 dx = 1,93675 2− x 1,9999 Ta chọn số lớn 1,9999 Tích phân Vậy tích phân I hội tụ giá trị tích phân Dạng 2: Tìm tích phân hội tụ (hoặc phân kỳ) Cách làm Ví dụ: Tích phân sau hội tụ hay phân kỳ? I = x3/2 dx dx = 1,98 2− x Hàm dấu tích phân x 3/2 , bị gián đoạn x=0 (cận dưới) Ta chọn x=0,001 Tích phân x3/2 0,001 dx = 62, 2455 Ta chọn cận nhỏ nữa, x=0,0001 Tích phân x3/2 0,0001 dx = 199 Vậy tích phân I phân kỳ Sinh viên tự kiểm tra tính hội tụ tích phân sau cách bấm máy tính a) ( x − 1)2 dx b) 1 −3 d) x dx 2 e) 1 dx x−2 c) 1 (2 − x) x3 dx dx f) 2x −0,3dx CHƯƠNG 4: HÀM NHIỀU BIẾN Dạng 1: Tính giá trị hàm nhiều biến Ví dụ 1: f ( x; y ) = x y − y f (1;0 ) = f ( 0;1) = − = −2 Ví dụ 2: hộp giấy nhỏ: 2.5$ hộp giấy vừa: 4$ hộp giấy lớn: 4.5$ Chi phí cố định: 8000$ Tổng chi phí sản xuất x hộp giấy nhỏ, y hộp giấy vừa, z hộp giấy lớn là: C = f ( x, y, z ) = 2.5x + y + 4.5z + 8000 đô la f ( 3000,5000,4000 ) = 2.5 3000 + 5000 + 4.5 4000 + 8000 = 53500$ Chi phí sản xuất 3000 hộp giấy nhỏ, 5000 hộp giấy vừa 4000 hộp giấy lớn 53500 la Ví dụ 3: Hàm tổng chi phí: TC = 3Q12 − 2Q1Q2 + 4Q22 Chi phí bỏ để sản xuất đơn vị sản phẩm thứ đơn vị sản phẩm thứ hai là; TC=48 la Ví dụ 4: Cho P ( K , L ) = (1.01) K 0.25 L0.75 (tỉ đô la) P(200, 12) xấp xỉ 24.4886 (tỉ đô la) Dạng 2: Tìm đạo hàm riêng cấp hàm nhiều biến Lý thuyết: Cho hàm số z = f ( x; y ) f x đạo hàm riêng theo biến x Ta xem y số lấy đạo hàm theo biến x f y đạo hàm riêng theo biến y Ta xem x số lấy đạo hàm theo biến y Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x; y ) = x3 y − xy + e x − y Tìm đạo hàm riêng f x , f y Giải f x ( x; y ) = x y − y + e x f y ( x; y ) = x3 y − 8xy − 20 y Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x; y ) = 3x y − x y Tìm giá trị f x ( −1;1) , f y ( −1;1) f x ( x; y ) = 12 x3 y − 10 xy , f x ( −1;1) = 12 ( −1) 12 − 10 ( −1)13 = −2 f y ( x; y ) = x y − 15x y f y ( −1;1) = −9 Dạng 3: Tìm đạo hàm riêng cấp Lý thuyết: Cho hàm số z = f ( x; y ) Các đạo hàm riêng cấp là: f xx ( x; y ) có cách lấy đạo hàm f x ( x; y ) theo biến x f xy ( x; y ) có cách lấy đạo hàm f x ( x; y ) theo biến y f yx ( x; y ) có cách lấy đạo hàm f y ( x; y ) theo biến x f yy ( x; y ) có cách lấy đạo hàm f y ( x; y ) theo biến y Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x; y ) = x y − xy + x3 − y Tìm f x ( x; y ) f xy ( x; y ) f x ( x; y ) = xy − y + x ( f xy ( x; y ) = ( f x ( x; y ) ) y = xy − y + x / ) / y = 12 xy − y + Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x; y ) = x y − xy + x3 − y Tìm f y ( x; y ) f yy ( x; y ) f y ( x; y ) = x y − xy − 10 y f yy ( x; y ) = 12 x y − 8x − 10 Dạng 4: Tìm điểm tới hạn hàm hai biến Lý thuyết: Cho hàm số y = f ( x; y ) Điểm tới hạn hàm số điểm ( x0 ; y0 ) mà đạo hàm riêng cấp không tồn Trong tập môn học này, ta xét trường hợp đạo hàm riêng cấp f x ( x; y ) = f x ; y = ( ) y Nghĩa để tìm điểm tới hạn, ta cần giải hệ phương trình: Ví dụ: Cho hàm số f ( x; y ) = 15 + 169 x + 182 y − x − y − xy Điểm tới hạn hàm số là: A (12; 7) B (-12; -7) C (3.25; 19.5) D (-3.25; -19.5) Giải f ( x; y ) = 15 + 169 x + 182 y − x − y − xy f x ( x; y ) = 169 − 10 x − y = f y ( x; y ) = 182 − 14 y − x = −10 x − y = −169 −7 x − 14 y = −182 x = 12 y = Hàm số có điểm tới hạn (12; 7) Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x; y ) = 1500 + 36 x − 1,5 x + 120 y − y Tìm điểm tới hạn hàm số Dạng 5: Tìm điểm giá trị cực đại địa phương, giá trị cực tiểu địa phương, điểm yên ngựa Lý thuyết: Cho hàm số y = f ( x; y ) Bước 1: Tìm đạo hàm riêng cấp Bước 2: Cho đạo hàm riêng cấp để tìm điểm tới hạn (Bỏ qua bước đề cho sẵn điểm tới hạn) Bước 3: Tìm đạo hàm cấp f xx ( x; y ) , f xy ( x; y ) , f yy ( x; y ) Bước 4: Tính D = f xx ( x; y ) f yy ( x; y ) − f xy ( x; y ) Bước 5: Thay điểm tới hạn (x0, y0) vào D kết luận sau: + D f xx ( x0 , y0 ) : Hàm số đạt cực tiểu địa phương ( x0 ; y0 ) + D f xx ( x0 , y0 ) : Hàm số đạt cực đại địa phương ( x0 ; y0 ) + D : ( x0 ; y0 ) điểm yên ngựa hàm số Ví dụ: Cho hàm hai biến f ( x; y ) = x3 − 3x − x + y + y − 12 y có điểm tới hạn là: A(-1;-2), B(-1; 1), C(3;-2), E(3;1) Xác định giá trị cực đại địa phương, giá trị cực tiểu địa phương điểm yên ngựa (nếu có) hàm số Giải Bước 1: Tính đạo hàm riêng cấp f x ( x; y ) = 3x − x − + f y ( x; y ) = y + y − 12 Bước 2: Bỏ qua (đề cho sẵn điểm tới hạn) Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp f xx ( x; y ) = x − f xy ( x; y ) = f yy ( x; y ) = 12 y + ( ) = ( x − 6)(12 y + ) − 02 = ( x − )(12 y + ) Bước 4: D = f xx f yy − f xy Bước 5: Thay điểm tới hạn vào D +A(-1;-2): D ( −1; −2 ) = 216 : Suy điểm A(-1;-2) điểm cực đại địa phương Giá trị cực f xx ( −1; −2 ) = −12 đại địa phương f(-1; -2) = + B(-1; 1): D ( −1;1) = −216 : Suy điểm B(-1; 1) điểm yên ngựa + C(3;-2): D ( 3; −2 ) = −216 : Suy điểm C(3; -2) điểm yên ngựa + E(3;1): D ( 3;1) = 216 : Suy điểm E(3; 1) điểm cực tiểu địa phương f 3;1 = 12 xx ( ) Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x; y ) = x3 + y3 − 12 x − y có điểm tới hạn A(-2; -1), B(-2; 1), C(2; -1), E(2; 1) Xác định giá trị cực đại địa phương, giá trị cực tiểu địa phương điểm yên ngựa (nếu có) hàm số Giải f x ( x; y ) = 3x − 12 f y ( x; y ) = y − f xx ( x; y ) = x f xy ( x; y ) = f yy ( x; y ) = y D = x6 y − 02 = 36 xy + A(-2; -1): D ( −2; −1) = 72 : Suy điểm A(-2;-1) điểm cực đại địa phương Giá trị cực f xx ( −2; −1) = −12 đại địa phương f(-2; -1) = 18 + B(-2; 1): D(-2;1) = 36.(-2).1= -72