1 CHƯƠNG 1,2 Nguyên lý cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện bằng một trong � phương pháp, trong đó Phương pháp 1 có �� cách thực hiện, Phương pháp 2 có �� cách thực hiện, , Phương pháp � có �� c.
CHƯƠNG 1,2 Nguyên lý cộng Giả sử công việc thực Phương pháp có cách thực hiện, Phương pháp có cách thực hiện,…, phương pháp, … Phương pháp có cách thực hiện, hai phương pháp khác khơng có cách thực chung Khi ta có + +⋯+ cách thực công việc Nguyên lý nhân Giả sử công việc thực theo Bước có cách thực hiện, Bước có cách thực hiện,…, bước, … Bước có cách thực hiện, Khi đó, ta có × × …× cách thực cơng việc Hốn vị Định nghĩa 1.4.1 Có phần tử khác Một hoán vị phần tử theo thứ tự xác định phần tử cách xếp = ! = … Một chỉnh hợp chập cách lấy xếp) từ phần tử khác Với tập hợp công thức gồm phần tử, số chỉnh hợp phần tử khác (có để ý đến thứ tự, trật tự chập = ký hiệu ! ( − )! xác định Một tổ hợp chập cách lấy phần tử khác (không để ý đến thứ tự, trật tự xếp) từ phần tử khác Số tổ hợp chập ký hiệu xác định công thức = ! ! ( − )! Công thức cộng Cho hai biến cố , Khi đó, ( + )= ( )+ ( )− ( Cho hai biến cố , ) xung khắc Khi đó, ( + ) = ( )+ ( ) Xác suất có điều kiện Cho hai biến cố phép thử, với ( ) > Đại lượng ( ) ( ) ( | )= gọi xác suất có điều kiện biết xảy Công thức xác suất nhân Với hai biến cố bất kì, ta có: ( Nếu hai biến cố độc lập ( Cơng thức xác suất đầy đủ cho Cho , ) = ( ) ( | ) = ( ) ( | ) ,…, ) = ( ) ( ) biến cố hệ biến cố đầy đủ Khi đó, với ( )= ( ) ( | )+ ( biến cố phép thử, ta có: ) ( | ) + ⋯+ ( ) ( | ) CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác xuất (Bảng PPXS) Cho BNN rời rạc ={ ; ,…, } … … Hàm mật độ (xác suất) cho BNN rời rạc Hàm số : ℝ → ℝ xác định = ≠ ( )= Một số tính chất hàm mật độ xác suất ∀ ∈ ℝ, ( ) ≥ ∑ ( )=1 Hàm phân phối cho BNN rời rạc công thức 0, ⎧ ⎪ ( )= ⎨ ⎪ ⎩ + < , ≤ < + , ≤ < … +⋯+ , ≤ 1, ≤ < Biến ngẫu nhiên liên tục Trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục, ta dùng hàm mật độ để biểu diễn Hàm mật độ xác suất ( ) hàm số thỏa mãn điều kiện sau: ( ) ≥ với ∫ ( ) ∈ℝ =1 Tính chất 3.2.3 Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất ( ) Khi đó, với , ∈ ℝ = ℝ + ±∞, ta có: ( < < )= ( ) Kỳ vọng, phương sai Kỳ vọng biến ngẫu nhiên , ký hiệu ( ) xác định công thức ⎧ ( )= ế ⎨ ( )= ⎩ ⎧ ( ⎨ ( ⎩ )= ( ) ế )= ẫ ế ( ) ế ế ẫ ế ế ℎê ℎê ẫ ℎê ế ẫ ê ụ ℎê ê ụ Phương sai , ký hiệu ( )= ( Độ lệch tiêu chuẩn: )− ( ) ( ) = Kỳ vọng BNN ( ) là: ℎ( ) = ℎ( ) = ℎ( ) ế ℎ( ) ( ) ế ế ẫ ℎê ế ẫ ℎê ê Giá trị tin (mod) Trường hợp BNN rời rạc = Trường hợp ⇔ { , = … … … … ,…, ,…} BNN liên tục = ⇔ ( )= ( ) ∈ℝ Trung vị (Median) Trung vị BNN , kí hiệu ụ = thỏa ( < )≤ ( > Cho BNN Trong { , =( + )≤ ( < )≤ ( ≤ )≥ + rời rạc, độc lập có Bảng PPXS Ta có }≡ ,…, = hay + = 1, , = 1, có bảng PPXS: ) ( = = ; ) = = ; ; ; ÔN TẬP CHƯƠNG MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Dạng 1: Phân phối nhị thức Phép thử mà ta quan tâm biến cố Đặt = ế ế ế ố ℎô ế ố ả ( ) = ( = 1) = , ( ̅) = có xảy hay khơng, gọi phép thử Bernoulli ả =1− 1− ( = )= = , , ,… , = ! !( )! = − Ta ký hiệu ~ ( , ) Trong đó: Các đại lượng đặc trưng Kỳ vọng: ( ) = Phương sai: V Gá ị ( )= ắ = ắ : − ≤ ≤ Dạng 2: Phân phối chuẩn − + Các đại lượng đặc trưng Kỳ vọng: ( ) = ( )= Phương sai: = = Giá trị tin chắn: = 0; Trong trường hợp đặc = 1, ta có phân phối chuẩn tắc với hàm mật độ ( )= , √ ∈ℝ Ta ký hiệu ~ (0; 1) Đặt ( ) = (0 < < )= √ ∫ (hàm Laplace, bảng giá trị sẵn có) Khi đó: ( ) = + ( ) Nếu ~ ( , ) (− ) = − ( ), (+∞) = , , ( ≤ ≤ )= ( > )= , − ( < )= , + (−∞) = − , − Phân phối siêu bội Cho tập hợp có phần tử, có phần tử có tính chất A Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp Gọi số phần tử có tính chất A phần tử lấy Khi đó, ( = )= Lúc đó, biến ngẫu nhiên hiệu ~ ( , , ) = với = ; = 0,1, … , gọi có quy luật phân phối siêu bội với ba tham số Tính chất 4.1.1 Cho ~ ( , ( )= , , ) Khi = 1− Đại lượng gọi hệ số hiệu chỉnh Phân phối Poisson phần tử , , Ký Biến ngẫu nhiên {0,1,2, … } gọi có phân phối Poisson với tham số , ( = )= ! , > lấy giá trị = 0,1,2 … Ký hiệu ~ ( ) Cho biến ngẫu nhiên ~ ( ) Ta có ( )= −1≤ = ≤ ( lấy giá trị nguyên) Phân phối Poisson thường dùng để xấp xỉ cho phân phối nhị thức ~ ( , ) trường hợp lớn, nhỏ Cụ thể, ứng dụng , ~ ( , ), > 50; < 0,01; < ( = )= ≈ ! , = CHƯƠNG ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Dạng 1: Ước lượng giá trị trung bình Tóm tắt Trường hợp biết phương sai tổng thể hay độ lệch chuẩn tổng thể (không xét ≥ hay < ) Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ ≥ 30 Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ < 30 Ước lượng khoảng Khoảng ( ; )được gọi khoảng ước lượng θ ta coi Xác suất 1− Phân phối chuẩn Phân phối Student ∈( ; ) [ ∈ ( ; )] = − gọi độ tin cậy ước lượng ( : mức ý nghĩa) Dạng 1.1 Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn, biết phương sai Bước 1: Xác đinh , , , Tính = = hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước) Ta suy giá trị với (tra bảng trang 122) Bước 2: Tính độ xác tính cơng thức: = √ ( − ; Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng + ) Dạng 1.2 Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể Bước 1: Xác định: , , ≥ = Tính ( ) hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước) (tra bảng trang 122) = Bước 2: Tính độ xác cho công thức: Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng μ ( − ; √ + ) Dạng 1.3 Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể Bước 1: Xác định: , , , , < có phân phối Student với n – bậc tự − 1, cột (tra bảng phân phối Student phía dịng = Bước 2: Tính độ xác cho cơng thức: Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng μ ( − ; ) √ + ) Dạng 2: Ước lượng tỉ lệ Bước 1: xác định , , , − Tính = hàm phân phối xác suất Laplace (có bảng giá trị cho trước) Ta suy giá trị với Bước 2: Tính độ xác tính cơng thức = ( ) Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng ( − ; + ) Dạng : Ước lượng phương sai Bước 1: tính trung bình Xác định , , xác định − ,phương sai mẫu , Bước 2: tính Trong đó: , Trong đó: , = ( ) , ; = ( ) , : có phân phối Chi bình phương dịng n-1, cột − có phân phối Chi bình phương dịng n-1, cột Bước 3: Kết luận khoảng ước lượng: ( ; ) CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể Trường hợp biết phương sai tổng thể hay độ lệch chuẩn tổng thể (không xét ≥ hay < ) Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ ≥ 30 Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể (chỉ biết phương sai mẫu ℎ độ ệ ℎ ℎ ẩ ẫ < 30 Phân phối chuẩn Phân phối Student Dạng 1.1 Trường hợp biết phương sai tổng thể Bài toán kiểm định : = Bước 1: Ta xác định , , ; ( > > , = = | | > bác bỏ với ≠ , , Tính Bước 2: Tính giá trị kiểm định Bước 3: Bác bỏ : ⟹ √ ≠ với ≠ = , , Tính = Bước 2: Tính giá trị kiểm định Bước 3: Bác bỏ : ≥ ⟹ √ | | > bác bỏ với > ,